9) Construa a matriz A = (aij)2x3 de modo que aij = 3i2-j
1ª Lista de Exercícios
− 2 se i > j

10) Calcule o determine da matriz B = (bij)3x3 tal que bij = 1 se i = j
3 se i < j

Geometria Analítica e Álgebra Linear
Prof. Marcos Dutra
11) Encontre a transposta da matriz A = (aij)3x2 tal que aij = j-2i
Matrizes, Determinantes e Estudo da Reta
12) Dadas as matrizes A =
1) Obtenha o coeficiente angular das retas definidas pelos pontos A e B em cada
um dos itens:
13) Determinar x e y sabendo que:
 x2
a. 
 4

a. A(2,3) e B(3,5)
b. A(3,4) e B(7,8)
c. A(3,3) e B(1,3)
1 −2
1 2 −3
e B = 3 0 determine A + 2Bt
4 5 0
4 −3
− 1
− 1  9

= 
0   2 x − y 0 
 x + y 2  4 x − y 
=

1   3
1 
 3
b. 
d. A(2,-1) e B(2,4)
2) Determine a equação da reta que passa pelos pontos P(2,5) e Q(-1,-1) e
esboce seu gráfico.
3) Obtenha as coordenadas do ponto de intersecção das retas r e s sendo:
−1 2
5
0 −2 3
14) Considere as matrizes A = 0
1 −4 B= 1
4 − 5 , determine:
3 −2 7
−3 2
0
(r) a reta que passa pelos pontos A(2,3) e B(5,6)
a. At + Bt
(s) a reta que passa pelos pontos P(-1,3) e Q(0,2)
b. (A + B)t
Dica: determine as retas r e s e em seguida, calcule o ponto de
c. Compare os resultados a) e b)
intersecção através de sistema.
 2x − 5

15) Determine x e y sabendo que A é uma matriz identidade  0
 0

4) Considere a reta de equação y=3x+2
a. Determine a forma geral da equação.
b. Quais são os coeficientes angular e linear dessa reta?
c. Obtenha os pontos de intersecção da reta com os eixos cartesianos.
5) Calcule o coeficiente angular de cada uma das retas abaixo:
 1 3
− 2 1 
 − 1 − 2
 B = 
 e C = 
 encontre a
16) Dadas as matrizes A = 
 0 2
 0 − 3
− 3 0 
matriz X tal que X + 2 C = A + 3B
a. 3x+2y-4=0
b. 2x-2y+1=0
17) Dadas as matrizes: A =
6) A soma dos coeficientes angular e linear da reta que passa pelos pontos A(0,3)
e B(3,0) é igual a:
1 −1
1 4 0
e B = − 1 1 , calcule:
1 −3 1
5
0
a. A.B
a. 1
c. 3
b. 2
d. 4
e. 5
b. B.A
c. Compare os resultados a) e b) e justifique a resposta.
7) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto P(-1,2) e tem coeficiente
angular igual a 3.
8) Os coeficientes angular e linear de uma reta são as raízes da equação
‫ ݔ‬ଶ − 2‫ ݔ‬− 3 = 0. Escreva a equação dessa reta na forma reduzida.
0

0
y + x 1 
0
1
0 1
 e B =
18) Se A = 
 3 2
 − 1 1

 , e verifique se (A.B)t = Bt.At
 0 1
 1 1
 , calcule A2 – 2A + 3I2
19) Se A = 
 − 1 1
7) y=3x+5
3 0
 1


− 5 8 
 e da matriz B =  − 4 − 2 1  .
20) Determine a inversa da matriz A = 
2
−
3


 3 − 1 2


8) y=3x-1
9)
21) Calcule o determinante das matrizes abaixo:
A=
2 1 0
11 10 9
15) (3;-3)
 − 3 10 

16) X= 
 6 − 7
10) 13
22) Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por
matrizes. Vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo a
correspondência abaixo:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
 − 1 − 3 − 5

11) A t = 
 0 − 2 − 4
 0 7 − 1


0 − 7 1 
 5 20 0 


3 8 5 
12) 

 0 5 − 6
a) Suponhamos que você recebeu a mensagem:
A.B ≠ B.A (produto
de matrizes não é
-12 54 28 -13 73 42 16 26 38
A mensagem está codificada através da multiplicação da matriz C
(chamada matriz chave para o código) e M é a matriz com a
correspondência numérica da mensagem.
Utilizando a mesma chave traduza a mensagem.
Dica: Quem recebe a mensagem decodifica-a através da multiplicação pela
inversa ሺ‫ܯ‬. ‫ܥ‬ሻ. ‫ି ܥ‬ଵ = ‫ ܯ‬e posterior transcrição dos números para letras.
b) Aconteceu que o inimigo descobriu a chave. O seu comandante manda
você substituir a matriz chave por
1 1 −1
൥1 1 0 ൩
0 0 2
Você transmite a mensagem “CRETINO” a ele (codificada, naturalmente!).
Porque não será possível a ele decodificar sua mensagem?
1) a) 2
b) 1
2) y=2x+1
3) P(1/2, 3/2)
c) 0
d) ∄
4) a) 3x-y+2
b)
angular:
3,
linear 2
c) eixo x: (-2/3, 0) ; eixo y:(0,2)
5) a) -3/2; b) 1
6) 2
13) (3,2) e (-3,-10)
− 1 1 0


14) a.  0
5 0
 8 − 9 7


b.
− 1
 0

 8
1 0 1
‫ = ܥ‬൥−1 3 1൩
0 1 1
RESPOSTAS:
− 3 3 

17) 
 9 − 4
1
5
−9
0
0 
7 
comutativo)
 0 − 3

18) 
1 5 
1 0

19) 
0 1
 3 8
 e
20) A-1 = 
 2 5
B-1=
− 3 − 6 3 


 11 2 − 1 / 30
 10 10 10 

