II CONGRESSO NACIONAL DE ENGENHARIA MECÂNICA
II NATIONAL CONGRESS OF MECHANICAL ENGINEERING
12 a 16 de Agosto de 2002 - João Pessoa – PB
Título: Propriedades de Contato de Rolamento de Sistema Veicular
ROBERTO SPINOLA BARBOSA
Professor Doutor da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – EP-USP
Instituto de Pesquisas Tecnológicas do Estado de São Paulo - IPT
e-mail: [email protected]
Resumo: O modelamento matemático do comportamento dinâmico de veículos tem grande
dependência da representativa descrição das forças de contato do conjunto roda/via produzida
pelo sistema veicular. As forças de contato dependem dos movimentos relativos entre os corpos em
rolamento, da forma da superfície de contato e de características do material. Veículos
automotores sob rodas de borracha possuem grandes deformações devido à elasticidade do
material. Em contrapartida veículo metro-ferroviário, com roda metálica cônica, produz pequena
área de contato devido à elevada rigidez do material. As velocidades relativas são identificadas
com auxílio das equações diferenciais de movimento do sistema dinâmico. A mecânica de contato
descreve as propriedades do par de rolamento, baseando-se na descrição acurada da forma das
superfícies em contato. A identificação das dimensões da elipse de contato, foi realizada com
interpolação numérica baseada em splines, sobre a descrição geométrica da seção das superfícies.
A partir dos movimentos relativos de translação e rotação do par roda/trilho um modelo discreto
finito (EF) permite identificar as regiões de adesão e escorregamento na área de contato,
compondo a força tangencial de interação entre os corpos. Foi utilizada a rotina FASTSIM
proposta por Kalker para o cálculo das forças tangenciais. Um experimento foi montado com o
objetivo de identificar a rigidez de contato entre corpos em contato de rolamento. O dispositivo é
composto por uma roda que rola sobre uma pista retificada e permite medir as forças laterais em
função do ângulo de ataque. Os resultados experimentais de rigidez de contato de rolamento
obtidos nos ensaios de laboratório foram comparados com valores calculados. Observou-se boa
concordância entre os resultados experimentais de coeficiente de rigidez de contato e os valores
previstos analiticamente.
Palavras-chave: dinâmica, veículo, contato, rolamento, ferrovia
1. INTRODUÇÃO
Quando dois corpos elásticos rolam um sobre o outro, os pontos de sua superfície que
entram em contato, podem permanecer lado a lado durante a passagem pela zona de contato, graças
às deformações elásticas locais, até o ponto onde as contrações tangenciais desenvolvidas pelas
deformações superem um limite, que é função da pressão normal e do coeficiente de atrito entre as
superfícies. O conhecimento da distribuição das deformações tangenciais na zona de contato, e
portanto do esforço transmitido pelo contato, são necessárias para a implementação de modelos de
simulação numérica para o estudo do comportamento dinâmico de veículos. A identificação das
tensões de contato vem sendo estudada desde o século XVIII com Hertz que desenvolveu as
primeiras formulações analíticas para o cálculo das deformações de corpos cilíndricos submetidos à
força normal.
Para a determinação das deformações locais é necessária uma descrição precisa das
superfícies em contato. Além das solicitações normais impostas no contato, em alguns casos pode
haver movimento relativo tangencial ou angular entre os corpos. Este é o caso do sistema de
rolamento ferroviário que utiliza rodas cônicas. Para o cálculo das forças tangenciais de contato
entre corpos em rolamento, é necessária a determinação do escorregamento que depende da
velocidade relativa entre os corpos em movimento e das propriedades do material. A motivação
deste trabalho consiste na avaliação comparativa do algoritmo do cálculo das forças tangenciais de
contato de rolamento com resultados experimentais. Foram realizados ensaios para a medição do
coeficiente de rigidez de contato, parâmetro utilizado para o cálculo das forças tangenciais de
contato. Os resultados experimentais foram comparados com o cálculo analítico realizado.
2. FUNDAMENTOS
O modelamento matemático do comportamento dinâmico de veículos necessita da descrição
das forças de contato do conjunto roda/via produzida pelo sistema veicular. As forças de contato
dependem dos movimentos relativos entre os corpos em rolamento, da forma da superfície de
contato e de características do material. As velocidades relativas podem ser calculadas com auxílio
das equações diferenciais de movimento do sistema veicular composto pela estrutura, suspensão e
roda. A área de contato depende da força normal e da forma das superfícies em contato.
Considerando que as superfícies possuam curvaturas conhecidas é possível determinar a forma do
contato utilizando a formulação de Hertz. A identificação das dimensões da elipse de contato, foi
realizada com interpolação numérica baseada em splines, sobre a descrição geométrica da seção das
superfícies. A partir dos movimentos relativos de translação e rotação do par roda/via um modelo
discreto finito (EF) permite identificar as regiões de adesão e escorregamento na área de contato,
compondo a força tangencial de interação entre os corpos.Diversos atores propuseram algoritmos
para cálculo das forças tangenciais (Kalker,1982; Polach, 1999). Neste trabalho foi adotada a rotina
FASTSIM desenvolvida por Kalker. Cada um dos aspectos mencionado será descrito adiante de
forma detalhada.
2.1 Descrição dos Perfis
Como as superfícies são identificadas de forma discreta (medidas ou geradas) através de
pares ordenados de coordenadas cartesianas, técnicas de interpolação podem ser empregadas para a
descrição completa do perfil. Foi utilizada a spline para descrever o perfil dos corpos em contato.
Existem duas formas comuns de constituição de splines. A representação polinomial (piecewise
polynomial, ou forma pp) e a representação na forma de combinação linear (forma B). A
representação polinomial Pj descreve a curva em termos de polinômio local de coeficientes cij para
cada intervalo entre os pontos b1, ..., bj+1 , exclusivamente crescentes.
k
Pj ( x ) = ∑
i =1
( x − bj )k −i
(k − i )! cij
(1)
A utilização de splines para a descrição dos perfis possui alguns vantagens: possui derivadas
contínuas; permite a manipulação das curvas, realizando alisamento com desvio tratado pelo
método de mínimos quadrados, permite a realização de subtração entre duas curvas e a rotação da
curva. Estes aspectos são importantes pois permitem manipular geometricamente os perfis e calcular
a curvatura com facilidade, informação necessária para a determinação das tensões. A curvatura Cy
do perfil, é calculada em função do posicionamento lateral Y com base na primeira e segunda
derivadas do perfil z, conforme a expressão a seguir.
Cy =
&z&y
(1 + z& )
(2)
2 3/ 2
y
A localização do ponto de contato para um determinado deslocamento lateral é feita através
da determinação do mínimo da função distância entre os perfis. A função distância é obtida pela
subtração das splines que descreve cada um dos perfis. O mínimo é obtido pelo zero da derivada da
função distância de cada lado (esquerdo e direito).
2.2 Cálculo da Tensão Normal
A metodologia utilizada para o cálculo da área de contato e portanto das tensões está baseada
na metodologia proposta por Hertz (Seely, 1952). Assume-se que os corpos ilimitados (semiespaço) em contato sejam homogêneos, isotrópicos e elásticos de acordo com a lei de Hooke. Podese expressar a deformação elástica (ou profundidade de penetração) devido à força vertical Fz
aplicada no ponto P (x, y, 0) com distância r (r2 = x2+y2) da origem, pela fórmula:
δ P = u z = (1 − υ 2 )Fz / πEr
(3)
Considerando que o par de rolamento, devido a sua forma geométrica, apresenta uma região
de contato na forma elíptica, as tensões são proporcionais à soma das curvaturas (inverso do raio)
das superfícies nas várias direções conforme:
 1
1
1
1  E 
σ ≅ b
+
+
+


 R1R R2 R R1T R2 T   1 − υ2 
(4)
onde E é o módulo de elasticidade do material e υ o coeficiente de Poisson.
2.3 Movimentos Relativos Tangenciais
Foi elaborado um modelo matemático do veículo para determinação dos movimentos
relativos tangenciais entre a roda e a via. Uma representação simplificada linear de ¼ do veículo
(Barbosa, 1996), pode ser observada na Figura 1. O sistema físico foi descrito com dois graus de
liberdade correspondendo ao deslocamento lateral do rodeiro uy em relação à via e rotação angular
ϕz . O sistema de referência adotado está vinculado à estrutura do veículo e trafega junto a este a
uma velocidade constante Vo. Assumindo pequenos deslocamentos e desconsiderando os efeitos
inerciais do truque, o conjunto de equações diferenciais de movimento pode ser obtido a partir da
aplicação da 2a lei de Newton sobre o rodeiro nas direções dos graus de liberdade utilizando as
dimensões (eo e bo) e propriedades elásticas (cx e cy) mostradas na figura:
 m 0   &&u y   c y
+
 0 Θ ϕ

  && z   0
0   u y   Ty1 + Ty 2   Fy 
 +
= 
c x e 2o  ϕ z   b o (Tx1 − Tx 2 )  Tϕ 
(5)
De maneira simplificada e linear, pode-se exprimir as forças no contato nas direções
longitudinal Txi e lateral Tyi como sendo proporcionais às velocidades relativas υx e υy entre as
superfícies de contato roda/trilho. As constantes de proporcionalidade, kx e ky, relacionam os
escorregamentos entre as superfícies da seguinte forma:
Truque
eo
eo
CZ/2
CZ/2
ϕZ
Z
Y
ωX
CY/2
CY/2
r1
r2
br
Dormente
bo
bo
CX/4
CX/4
Vo
X
Tx1
Tx2
Y
CY/2
ϕZ
Ty1
Ty2
CY/2
rN
CX/4
CX/4
Figura 1 – Modelo do Truque
Tx1, 2 = k x
υx
1, 2
Vo
e Ty1, 2 = k x
υy
1, 2
(6)
Vo
u& 
 λ u ϕ& b 

Tx 2 = − Tx1 = kx  y + z o  e Ty1 = Ty 2 = ky  −ϕ z + y 
Vo 
Vo 
 ro

(7)
De forma geral o escorregamento linearizado para o caso ferroviário (υx e υy), incluindo o
escorregamento de pivotamento υsp, podem ser resumidas na forma matricial geral conforme
apresentado a seguir:
υ x   0 
  
 1
υ y  = 0 +
υ  − δ / r  r0
 sp   0 0 
(8)
− λ
 0

 − ε
0 
u y  1
− r0   +
ϕ
V
0  z  0
0 − e0 
1 0 u& y + 1

ϕ&  r
0 1  z  0
λ
0

ε
λr0 
υ g  1
0   +
ϕg V
− ε r0   0
0

− δ r / e
 00 0

0
0
υ& g 
r0  
ϕ& g
0  
onde uy e ϕz são os graus de liberdade de um rodeiro, υg e ϕg são o alinhamento e inclinação da via
e respectivas derivadas, λ a conicidade do rodeiro, δ a inclinação do plano de contato da roda.
Substituindo as expressões 7 na equação diferencial de movimento obtêm-se:
 m 0   &&u y  1  2 k y
+
 0 Θ ϕ


  && z  Vo  0
0   u& y  
cy
+

2 
2 k x b o  ϕ& z   2 k x λb o / ro
−2 k y   u y   Fy 
 = 
c x e 2o  ϕ z  Tϕ 
(9)
que correlaciona os graus de liberdade com os efeitos externos. Observa-se que o termo da primeira
derivada é inversamente proporcional a velocidade Vo do veículo. Assim, o amortecimento modal se
reduz em função do aumento da velocidade.
3. CÁLCULO DAS FORÇAS TANGENCIAIS NO CONTATO
O equacionamento do problema tangencial de contato, traduz-se no fato de que, a todo ponto
P(x,yt) dentro da elipse de contato, um escorregamento total W, é dado pela diferença entre o
escorregamento de corpo rígido, introduzido pelo tensor (GT, Ωp) e a parte compensada pelo
deslocamento elástico relativo U, entre os sólidos (diferença entre os deslocamentos do ponto de
contato na roda e o respectivo no trilho).
X
N
δ
Z
υsp
Yt
Yt
P
O
yt
Ty
X
Y
Tx
x
b
a
υx , υy, υsp - Escorregamentos
Tx , Ty - Forças Tangenciais
X
Tx
Ty
Y
Vx
υx
υy
Z
Vx - Velocidade Longitudinal
ωy - Velocidade Angular
α - Angulo de Ataque (yaw)
ωy
α
δ - Angulo do Plano de Contato
N - Força Normal no Contato
Figura 2 - Identificação dos Escorregamentos e Forças Tangenciais no Contato
O escorregamento é dado pelo tensor composto pelos vetores:
r
GT = υ x
{
υy
}
0
′
e
r
′
Ω P = 0 0 υ sp
{
}
(10)
No caso do rolamento estacionário, e considerando que a zona de contato evolui na direção
longitudinal (x), tem-se:
r
r
∂ r
r
W = Vx  GT + Ω p ∧ ( P − O ) − U 
∂x 

(11)
Considerando que o movimento permanece dentro do plano de contato (X, Yt) a componente
na direção normal é nula. A equação acima, gera o sistema de equações correspondentes ao
problema plano tangencial:
∂Ux
Wx
= υ x − yt ⋅υ sp −
Vx
∂x
e
Wy
Vx
= υ y + x ⋅υ sp −
∂Uy
∂x
(12)
A resolução deste sistema de equações, exige o conhecimento de U. Baseado na teoria da
elasticidade, é possível obter uma relação entre os deslocamentos elásticos relativos Ux,y e as
deformações tangenciais tx,y (Soua, 1997). Esta resolução é apresentada por diversos autores
(Kalker, 1967, François 1993).
3.1 Algoritmo de Cálculo
A rotina FASTSIM adotada neste trabalho, é utilizada pela comunidade de dinâmica de
veículos, sendo baseado na teoria de distribuição parabólica da pressão normal em uma área elíptica
de contato (formulação de Hertz). Considera a hipótese de proporcionalidade entre os
deslocamentos elásticos e deformações tangenciais, na zona de contato limitado pela lei de atrito de
Coulomb. A discretização da elipse de contato para cálculo da deformação de cada elemento que
compõe a força tangencial de contato é realizada conforme exemplificado na Figura 3. O aspecto
não linear de transição até o escorregamento completo é provido pela saturação individual de cada
elemento respeitando a limitação de Coulomb em função da força normal.
Discretização da Malha para
Cálculo da Forças Tangenciais
Tx , Ty - (mx = 5 ; my = 6)
X
i
Yt
i+1
b
X
dx
dy
Y
Z
a
Figura 3 – Discretização da Elipse de Contato
A Figura 4 apresenta um exemplo de resultado do cálculo com 180 elementos discretos (15
× 12) contendo escorregamento horizontal e de pivotamento. Neste caso foi adotada uma força
normal de 105 kN, coeficiente de atrito de 0,5, escorregamentos horizontais moderados
(longitudinal de 0,0017 e transversal de 0,00056) e rotacional elevado (-0,91). Observa-se quando
houve escorregamento no elemento quando identificado pelo sinal “°” . Nota-se na região interna da
elipse de contato, que a direção das forças tangenciais dos elementos definem um pólo cuja força
tangencial é nula. Os valores de forças de contato (TX e TY) estão expressos no canto inferior direito
da figura.
Distribuição das Tensões Tangenciais
4
nux = 0.0017
3
Área = 100 mm2
b = 3.4 mm
nuy = 0.00056
mx = 15
fi = -0.91 m-1
my = 12
Direção Transversal (mm)
2
1
0
a = 9.4 mm
-1
-2
mu= 0.5
-3
-4
-10
N = 105 kN
Tx = -17.9 kN
x Adesão
Ty = 34.3 kN
o Escorregamento
TT = 38.7 kN
-8
-6
-4
-2
0
2
Direção Longitudinal (mm)
4
6
8
10
Figura 4 – Distribuição das Tensões Tangenciais (Elevada Rotação Relativa)
4. MEDIDA EXPERIMENTAL
Foram realizadas medidas experimentais das forças tangenciais de contato em função do
escorregamento entre os sólidos em contato de rolamento. Foi utilizado um dispositivo de ensaio
composto de uma roda que rola sobre uma pista plana com eixo de rolamento de direção controlada.
Foi medida a força lateral em função do ângulo de ataque da roda. Para pequeno escorregamento as
forças tangenciais e momento (Tx, Ty e Msp), normalizadas para carga vertical unitária, são funções
dos escorregamentos tangenciais (υx e υy) e da rotação relativa entre as superfícies (ver Figura 5),
podendo ser expressa de forma matricial e linear por:
 Tx 
C11



 Ty  = G ab  0
M 
 0
 sp 
0
C22
− ab C32
 υ x 
 
− ab C23  υ y 
abC33  υ sp 
0
(13)
onde a e b são as dimensões da elipse de contato Cmn os coeficientes de Kalker e G modulo de
cisalhamento do material. Isolando apenas o termo na direção lateral e considerando a carga total N,
obtêm-se:
Ty = -N2/3 G ab C22 υy - N G (ab)3/2 C23 υsp.
(14)
No caso do dispositivo concebido, como a roda não possui conicidade (φ = 0 pois sin δ = 0)
e o plano de contato é paralelo ao eixo de rotação da roda, o segundo termo da equação acima é
nulo. Portanto a expressão pode ser simplificada para:
Ty = -N2/3 G ab C22 υy
ou Ty = ky υy
ou
ky = Ty / υy = -N2/3 G ab C22
(15)
Y
Roda Cônica
y& = Vy
V
α
Roda
αVc
Vc=ωro
Vx
ω
X
R
υsp = ω sinδ
a) direção da roda (vista em planta)
δ
b) rotação no plano de contato (spin)
Figura 5 – Indicação da Velocidade Relativa
A constante de proporcionalidade ky que condiciona a relação entre a força tangencial e o
escorregamento relativo corresponde à rigidez do contato (coeficiente C22). É função das proporções
da elipse de contato (ab) calculadas para uma carga normal unitária N, das características do
material (G). Neste experimento o valor de carga normal é mantido constante e portanto a proporção
da elipse de contato também. A constante de proporcionalidade ky é função de Ty /υy e obtida
diretamente pela inclinação na origem dos ângulos na curva de resultados de ensaio. O valor
experimental de inclinação, próximo da origem dos ângulos, correspondente ao coeficiente de
rigidez de contato, foi identificado e comparado aos valores propostos por Kalker.
4.1 Dispositivo de Ensaio
O dispositivo utilizado para a realização dos ensaios consiste em uma roda, guiada por um
sistema deslizante retilíneo conforme apresentado na Figura 6. A roda possui uma superfície de
rolamento circular de raio R que rola sobre uma superfície metálica plana. A seção transversal da
roda possui raio idêntico. A roda está suportada por mancais de rolamento fixados a uma estrutura
(carro). O carro está ligado ao sistema deslizante por meio de três tirantes articulados. Este sistema
permite que o carro se movimente livremente na direção vertical. Uma chapa de aço plana e
retificada foi utilizada como pista de rolamento da roda
Dois sistemas de medição foram utilizados para amostrar informações durante o ensaio. Um
sistema com dois tirantes laterais com uma célula de carga para medida da força lateral no tirante
inferior. Outro sistema composto por um parafuso com rosca micrométrica que controla o ângulo do
movimento da roda em relação à direção do movimento da guia (ângulo de ataque). A roda possui
um diâmetro de 0,250 metros e raio de arredondamento da superfície de 0,125 metros. Esta
geometria produz elipse de contato com semi-eixos idênticos no plano (a/b ≈ 1). A identificação de
força lateral na região de contato é obtida por relação de momentos a partir da força medida e
respectivas distâncias.
Os ensaio foram realizados movimentando-se o carro sobre a pista, sempre no mesmo
sentido. Para cada ensaio foi ajustado um valor de ângulo de ataque do carro e a força lateral
desenvolvida foi medida. Um sistema de amostragem de dados foi utilizado para observação da
força lateral ao longo do movimento do carro. Foi utilizado o valor médio de regime da força lateral
para cada ângulo de ataque utilizado em cada ensaio.
Carro
Guia
Deslizante
F
Z
Roda
Y
α
R
Regulagem
do Ângulo
Vy
Vo
Vx
X
Figura 6 - Dispositivo de Ensaio
4.2 Resultados
O resultado proveniente do ensaio consiste em conjunto de pares de valores contendo o
ângulo do carro e a força lateral desenvolvida. Os pares foram desenhados num gráficos cartesianos
típico conforme apresentados na Figura 7. Os pontos medidos estão identificados com circulo e o
traço pontilhado corresponde ao cálculo realizado. Para carga de ensaio de 496,4 N, produz-se uma
elipse de contato com semi-eixos principais de dimensões 0,742 mm. Nesta situação a área total é
de 1,73 mm2 e a tensão máxima de contato (no centro) de 430,6 MPa. O ângulo de ataque foi
incrementado gradualmente até a saturação das forças tangenciais de contato (máxima força lateral
disponível) no valor de 270 N, resultando num coeficiente de atrito da ordem de 0,57 (escala à
direita). Para o caso da pista seca o escorregamento produzido foi de até 11 mrad.
Foi realizada também uma medição utilizando baixo coeficiente de atrito, lubrificando-se a
pista com uma fina camada de óleo pulverizada. O ângulo de ataque foi incrementado até 2 mrad e a
velocidade longitudinal utilizada foi de 5 mm/s. A inclinação inicial da curva é constante até cerca
de 0,3 mrad. A partir de 0,5 mrad a inclinação da curva diminui caracterizando o início do
escorregamento. A força máxima lateral foi de 63 N resultando num coeficiente de atrito da ordem
de 0,13.
Fy/Fn
0.604
Ensaio Escorregamento Lateral
300
FSIM...
mi: 0.56 [-]
Ens 30 (16/12/96)
0.504
250
a: 0.7419 [mm]
Peso: 496.4 Newtons
Forca Lateral (N)
200
0.403
b: 0.742 [mm]
b/a: 1 [-]
0.302
150
Pcentro: 430.6 [MPa]
100
0.201
dy/dx: 1.492e+005 [N/rad]
50
0.101
c22o: 3.305 (Ensaio)
C22: 3.699 (Kalker)
0
-2
0
2
4
6
Ângulo (mrad)
8
10
12
0.000
Figura 7 – Resultado Típico de Ensaio (Pista seca)
Fy/Fn
0.145
Ensaio Escorregamento Lateral
70
FSIM...
60
Ens 24 (21/11/96) Oleo
mi: 0.1315 [-]
Peso: 483.9 Newtons
a: 0.7356 [mm]
0.124
0.103
50
Forca Lateral (N)
b: 0.7357 [mm]
40
0.083
b/a: 1 [-]
0.062
30
Pcentro: 426.9 [MPa]
0.041
20
dy/dx: 1.554e+005 [N/rad]
c22o: 3.501 (Ensaio)
10
0.021
C22: 3.699 (Kalker)
0
-0.5
0
0.5
1
Ângulo (mrad)
1.5
2
Figura 8 – Resultado Típico de Ensaio (Pista Lubrificada)
0.000
2.5
5. COMPARAÇÃO DE RESULTADOS
Para efeito de visualização dos resultados do cálculo analítico foi apresentada a distribuição
das forças laterais em cada elemento discreto da região de contato (elipse), considerando as mesmas
condições do ensaio (1,5 mrad). Observa-se na Figura 9 o vetor com intensidade e direção das
forças e a identificação (círculo) quando o modulo supera a relação de contato (Coulomb). Na
Figura 10 apresenta-se a distribuição das forças laterais e limite de adesão (linha pontilhada) ao
longo do comprimento de rolagem (direção longitudinal). Finalmente na Figura 11 apresenta-se uma
visão tridimensional da área de contato com a respectiva intensidade das tensões laterais produzidas
(eixo Z com cores).
Comparando-se os resultados para a pista com atrito elevado, observou-se boa aproximação
(12 %) entre o resultado analítico (C22 = 3,699) e experimental (C220 = 3,305) da inclinação na
origem (rigidez de contato). Os valores intermediários da força lateral até o escorregamento
completo (saturação) apresentaram entretanto um desvio maior (ver Figura 7). Para o caso de baixo
atrito (pista lubrificada) observou-se melhor aproximação (5,3 %) entre o resultado analítico (C22 =
3,699) e experimental (C220 = 3,501) e os valores intermediários da força lateral até o
escorregamento completo apresentaram boa concordância também, conforme apresentado na Figura
8.
Distribuição das Tensões Tangenciais
1
Área = 1.73 mm2
nux = 0
0.8
nuy = -0.0015
mx = 15
b = 0.742 mm
my = 12
fi = 0 m-1
Direção Transversal (mm)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
a = 0.742 mm
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
mu= 0.5
N = 0.4964 kN
Tx = 0 kN
x Adesão
Ty = 0.184 kN
o Escorregamento
TT = 0.184 kN
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Direção Longitudinal (mm)
0.4
0.6
0.8
1
Figura 9 – Distribuição das Forças Laterais e Identificação do Escorregamento
Distribuição das Tensões (FASTSIM)
250
mu = 0.5
nux = 0
nuy = -0.0015
Modulo Tensão Tangencial (MPa)
200 fi = 0 m-1
150
100
50
a = 0.742 mm
b = 0.742 mm
0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Direção Longitudinal (mm)
0.4
0.6
0.8
Figura 10 - Distribuição das Forças Laterais e Limite de Adesão (Coulomb)
Distribuição das Tensões Laterais
250
Tensão (MPa)
200
150
100
50
0
1
0.5
1
0.5
0
0
-0.5
Direção Lateral (mm)
-0.5
-1
-1
Direção Longitudinal (mm)
Figura 11 – Distribuição das Tensões Tangenciais na Área de Contato
6. CONCLUSÕES
Foi apresentada a formulação para o cálculo das forças tangenciais de contato de corpos em
rolamento. Foi descrita a metodologia para a interpolação de perfis com splines utilizada para a
determinação das proporções da elipse de contato. Foi apresentado o modelo matemático do veículo
que calcula o comportamento dinâmico das rodas e permite a determinação dos escorregamentos na
região do contato. Foi descrito o experimento realizado para a medição da rigidez de contato cujos
resultados foram comparados com a metodologia analítica de cálculo.
Observa-se por comparação com os resultados experimentais que a metodologia de cálculo
utilizada apresenta boa concordância da inclinação na origem da curva de rigidez de contato. Os
valores de saturação de contato apresentam também bons resultados para a comparação realizada
com os ensaios realizados com baixo atrito (pista lubrificada). Para a pista seca, os resultados de
saturação calculados ficaram acima dos valores medidos revelando alguma limitação do método
para elevado coeficiente de atrito.
7. REFERÊNCIAS
BARBOSA, R. S. (2000). Interação de Contato do Par Roda/Trilho, Congresso Nacional de
Engenharia Mecânica, CONEM 2000, 11 pp, Natal, RN.
BARBOSA, R. S.; COSTA, A. (1996). Dinâmica do rodeiro ferroviário. Revista Brasileira de
Ciências Mecânicas - ABCM, v. 18, n. 4, pp. 318-329.
BARBOSA, R. S. (1997). Vérification Expérimentale des Coefficients de Raideur au Contact.
Institut de Recherche sur le Transporte et leur Sécurité (INRETS), Paris, França, 56 p.
FRANÇOIS, D. PINEAU A. (1998) Mechanical Behavior of Materials, Vol. II, Kluwer Academic
Publishers, France.
KALKER, J. J. (1982). A fast algorithm for the simplified theory of rolling contact. Journal of
Vehicle System Dynamics, Swets & Zeitlinger, v. 11, pp. 1-13.
KALKER, J. J. (1967). On the rolling contact of two elastics bodies in the presence of dry friction.
Delft, Netherlands. PhD. Thesis, Delft University, Holland.
POLACH, O. (1999) A fast wheel-rail forces calculation computer code. Journal of Vehicle System
Dynamics, Swets & Zeitlinger, Supplement 33, pp. 728-739.
SEELY, F. B. SMITH, J. O. (1952). Advanced Mechanics of Materials, University of Illinois, 2nd
Edition, 450 p., Editora John Willey & Sons, EUA.
SOUA, B. (1997) Etude de l’Usure et de l’Endommagement du Roulement Ferroviaire avec des
Modeles d’Essieux Non-Rigides, These de Doctorat, 213 p. Paris, France.
Title: Rolling Contact Properties of Vehicular System
Roberto Spinola Barbosa
Professor Doutor da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – EP-USP
Instituto de Pesquisas Tecnológicas do Estado de São Paulo - IPT
e-mail: [email protected]
Abstract: Vehicle dynamic modelling has dependence from a representative vehicle wheel/track
contact force description. Contact forces depend upon rolling bodies relative movements,
surface shape and material properties. Rubber vehicles tyre has large deformations due to
material elasticity. On the contrary rail vehicle with conic iron wheel produces small contact
area. Relative speeds are to be identified with moving differential equations of the dynamic
system. Based in the surface shape, contact mechanics describes rolling bodies properties.
Spline numeric interpolation is used over geometric surface description to identify contact
ellipse proportions. A discrete finite model is used to identify slip stick contact regions based on
wheel/rail translation and rotation relative movements forming tangential interaction force.
FASTSIM routine proposed by Kalker is used to tangential force calculations. An experiment
has been set to identify rolling bodies contact stiffness. A wheel-based device has been used to
measure lateral rolling force due to attack angle. Experimental results have been compared
with analytical calculations. It has been observed good agreement between experimental and
analytical rolling contact stiffness.
Keywords: dynamics, vehicle, rolling contact, railway.