PROVA DE MATEMÁTICA DA UNICAMP
VESTIBULAR– 2011 – 1a Fase
RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
QUESTÃO 21
Recentemente, um órgão governamental de pesquisa divulgou que, entre 2006 e 2009, cerca de 5,2
milhões de brasileiros saíram da condição de indigência. Nesse mesmo período, 8,2 milhões de brasileiros
deixaram a condição de pobreza. Observe que a faixa de pobreza inclui os indigentes.
O gráfico abaixo mostra os percentuais da população brasileira enquadrados nessas duas categorias, em
2006 e 2009.
Após determinar a população brasileira em 2006 e em 2009, resolvendo um sistema linear, verifica-se que
a) o número de brasileiros indigentes passou de 19,0 milhões, em 2006, para 13,3 milhões, em 2009.
b) 12,9 milhões de brasileiros eram indigentes em 2009.
c) 18,5 milhões de brasileiros eram indigentes em 2006.
d) entre 2006 e 2009, o total de brasileiros incluídos nas faixas de pobreza e de indigência passou de 36%
para 28% da população.
RESOLUÇÃO:
Número da população brasileira:
Ano de 2006 – x milhões de habitantes.
Ano de 2009 – y milhões de habitantes.
0,26x − 0,21y = 8,2 26x − 21y = 820 26x − 21y = 820
4x = 740
⇒
⇒
(L 2 − L1 ) ⇒ 
⇒

0
,
10
x
−
0
,
07
y
=
5
,
2
10
x
−
7
y
=
520
30
x
−
21
y
=
1560


x = 185

x = 185
x = 185
x = 185
⇒
⇒
.

1850 − 7 y = 520 7 y = 1330  y = 190
Número de indigentes em 2006: 0,10 × 185 milhões = 18,5 milhões.
Número de indigentes em 2009: 0,07 × 190 milhões = 13,3 milhões.
RESPOSTA: Alternativa c.
1
QUESTÃO 22
Considere três modelos de televisores de tela plana, cujas dimensões aproximadas são fornecidas na
tabela abaixo, acompanhadas dos preços dos aparelhos.
Modelo
23' '
32' '
40' '
Largura (cm)
50
70
90
Altura (cm)
30
40
50
Preço (R$)
750,00
1.400,00
2.250,00
Com base na tabela, pode-se afirmar que o preço por unidade de área da tela
a) aumenta à medida que as dimensões dos aparelhos aumentam.
b) permanece constante do primeiro para o segundo modelo, e aumenta do segundo para o terceiro.
c) aumenta do primeiro para o segundo modelo, e permanece constante do segundo para o terceiro.
d) permanece constante.
RESOLUÇÃO:
Cálculo dos preços, em reais, por unidade de área da tela:
modelo de 23' '
modelo de 32' '
750,00
1400,00
p1 =
= 0,50
p2 =
= 0,50
50 × 30
70 × 40
Conclusão: Os três preços permanecem constantes.
modelo de 40' '
2250,00
p3 =
= 0,50
90 × 50
Resposta: Alternativa d.
QUESTÃO 23
Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal.
Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio
da base do cilindro.
A altura do cone formado pela areia era igual a
a) 3/4 da altura do cilindro.
c) 2/3 da altura do cilindro.
b) 1/2 da altura do cilindro.
d) 1/3 da altura do cilindro.
RESOLUÇÃO:
Considerando o diâmetro do cilindro R = 2a, o diâmetro do cone será 2R = 4a. Do enunciado tem-se a
figura:
2
Como o cone foi formado com toda a areia que preenchia o cilindro:
π a2 × H =
π 4a 2 h
3
⇒H=
4h
3H
⇒ 4h = 3H ⇒ h =
3
4
Resposta: Alternativa a.
QUESTÃO 24
O sangue humano costuma ser classificado em diversos grupos, sendo os sistemas ABO e Rh os métodos
mais comuns de classificação. A primeira tabela abaixo fornece o percentual da população brasileira com
cada combinação de tipo sanguíneo e fator Rh. Já a segunda tabela indica o tipo de aglutinina e de
aglutinogênio presentes em cada grupo sanguíneo.
Tipo
A
B
AB
O
Fator Rh
+
34%
8%
2,5%
36%
–
8%
2%
0,5%
9%
Tipo
Aglutinogênios
Aglutininas
A
B
AB
O
A
B
AeB
Nenhum
Anti-B
Anti-A
Nenhuma
Anti-A e Anti-B
Em um teste sanguíneo realizado no Brasil, detectou-se, no sangue de um indivíduo, a presença de
aglutinogênio A. Nesse caso, a probabilidade de que o indivíduo tenha sangue A+ é de cerca de
a) 76%.
b) 34%.
c) 81%.
d) 39%.
RESOLUÇÃO:
O teste, em questão, detectou no sangue de um indivíduo a presença de aglutinogênio A, é porque ele ter
sangue tipo A ou tipo AB. Considerando este evento como evento M.
n(M) = 34% + 8% + 2,5% + 0,5% = 45%.
Considerando como evento N a possibilidade desse indivíduo ter sangue A+, o
n(N) = 34%.
Assim, a probabilidade tendo sido detectada, a presença de aglutinogênio A esse indivíduo ter sangue A+
n ( N ) 34%
=
= 0,75555.. = 76%
é de cerca de p =
n (M ) 45%
Resposta: Alternativa a.
QUESTÃO 25
Um determinado cidadão recebe um salário bruto de R$ 2.500,00 por mês, e gasta cerca de R$ 1.800,00
por mês com escola, supermercado, plano de saúde, etc. Uma pesquisa recente mostrou que uma pessoa
com esse perfil tem seu salário bruto tributado em 13,3% e paga 31,5% de tributos sobre o valor dos
produtos e serviços que consome. Nesse caso, o percentual total do salário mensal gasto com tributos é
de cerca de
a) 40%.
c) 45%.
b) 41%.
d) 36%.
RESOLUÇÃO:
O total de tributos pagos por uma pessoa com o perfil apresentado na questão, será igual a 13,3% de
2.500 (salário bruto) acrescido de 31,5% de 1800 (produtos e serviços), isto é: 0,133 × 2500,00 + 0,315
× 1800,00 = 333,50 + 567,00 = 899,50.
899,50
O percentual de 899,50 reais em relação a 2500,00 é:
= 0,3598 = 36%
2500,00
Resposta: Alternativa d
3
QUESTÃO 26
No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinza.
Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por uma
camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza,
como ilustra a figura abaixo, que mostra apenas a parte central do mosaico. Observando a figura,
podemos concluir que a 10a camada de ladrilhos cinza contém
a) 76 ladrilhos.
b) 156 ladrilhos.
c) 112 ladrilhos.
d) 148 ladrilhos.
RESOLUÇÃO:
Os números de ladrilhos cinzas nas diversas camadas se sucedem da seguinte forma:
Camada 1
4
Camada 2
6×2 + 4 ×2 = 2(6 + 4) = 2×10 =20
Camada 3
10×2 + 8 ×2 = 2(10 +8) = 2×18 = 36
Camada 4
14×2 + 12 ×2 = 2(14 + 12) = 2×26 = 52
Camada 5
18×2 + 16 ×2 = 2(18 + 16) = 2×34 = 68
.............
............
Analisando a sequência dos números de cada camada percebe-se que eles formam a PA (4, 20, 36, 52, ...),
na qual o primeiro termo é 4 e a razão é 16 e cujo termo geral é an = 4 + (n – 1)× 16.
Logo a camada 10 de ladrilhos cinzas tem n(C10) = 4 + (10 – 1) × 16 = 4 + 144 = 148.
Resposta: Alternativa d.
QUESTÃO 27
Quarenta pessoas em excursão pernoitam em um hotel. Somados, os homens despendem R$ 2.400,00. O
grupo de mulheres gasta a mesma quantia, embora cada uma tenha pago R$ 64,00 a menos que cada
homem.
Denotando por x o número de homens do grupo, uma expressão que modela esse problema e permite
encontrar tal valor é:
a) 2400x = (2400 + 64x)(40  x).
b) 2400(40  x) = (2400 – 64x)x.
c) 2400x = (2400  64x)(40  x).
d) 2400(40  x) = (2400 + 64x)x.
RESOLUÇÃO:
Sendo 40 o número de pessoas em excursão e considerando como x o número de homens, o número de
mulheres será representado por 40 – x.
4
Os grupos dos homens e das mulheres gastaram igualmente R$ 2.400,00, então cada homem pagou
2400
2400
reais e cada mulher
reais.
x
40 − x
Como cada mulher pagou R$ 64,00 a menos que cada homem:
2400
2400
=
− 64 ⇒ 2400x = 2400(40 − x ) − 64x (40 − x ) ⇒ 2400x = (2400 − 64x )(40 − x ) .
40 − x
x
Resposta: Alternativa c.
Texto para as questões 28 e 29
A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a
prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade,
servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano.
Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto
a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da
prefeitura e da câmara de vereadores.
QUESTÃO 28
Sabendo que a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500 m, podemos concluir que a distância
real, em linha reta, entre a catedral e a câmara de vereadores é de
a) 1500 m.
c) 1000 2m .
b) 500 5m
d) 500 + 500 2 m .
(
)
RESOLUÇÃO:
5
Como a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500 m, o lado de cada quadrado é de 250m.
Então a distância real entre a catedral e o ponto A é de 1000 m e entre o ponto A e a câmara é de 500m
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triãngulo retângulo (câmara, ponto A, catedral);
d 2 = 1000 2 + 500 2 = 1250000 ⇒ d 2 = 2 4 × 57 ⇒ d = 4 × 125 5 = 500 5 .
Resposta: Alternativa b.
QUESTÃO 29
O ponto de interseção das avenidas Brasil e Juscelino Kubitschek pertence à região definida por
a) (x − 2)2 + (y − 6)2 ≤ 1.
b) (x − 1)2 + (y −5)2 ≤ 2.
c) x ∈ ]1, 3[, y ∈ ]4, 6[.
d) x = 2, y ∈ [5, 7].
RESOLUÇÃO:
A figura acima resulta do enunciado, em que a Avenida Juscelino Kubitschek está representada pela reta
DM , mediatriz do segmento BC .
O ponto D representa a intersecção das avenidas Brasil e Juscelino Kubitschek.
A reta DM ⊥ BC passa por M, ponto médio do segmento BC .
 3 + 5 1+ 3
Sendo B = (3, 1) e C = (5, 3), então M = 
,
 = (4,2) .
2 
 2
x −x
y − yC
O coeficiente angular da equação da reta BC é B
, então o da reta DM é − B C
xB − xC
y B − yC
.
6
 x − xC 
(x − x M ) = ( y − y M ) ⇒
Logo, a equação reduzida da reta DM é dada pela relação:  − B
 y B − yC 
 3−5
−
(x − 4) = ( y − 2) ⇒ − x + 4 = y − 2 ⇒ y = − x + 6 .
 1− 3 
Como a Avenida Brasil é representada pela reta x = 2, D = (2, y)
Substituindo x por 2 na equação y = –x + 6, tem-se: y = –2 + 6, ou seja, y = 4 ⇒ D = (2, 4).
Finalmente substituindo os valores das coordenadas de D nas alternativas oferecidas, a única que é
satisfeita é a alternativa b, o que mostra que o ponto D pertence à região determinada pela desigualdade
(x − 1)2 + (y −5)2 ≤ 2, pois, (2 − 1)2 + (4−5)2 ≤ 2 ⇒ 2 ≤ 2 (VERDADE).
Resposta: Alternativa b.
QUESTÃO 30
Em uma xícara que já contém certa quantidade de açúcar, despeja-se café. A curva abaixo representa a
função exponencial M(t), que fornece a quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas), t minutos após
o café ser despejado. Pelo gráfico, podemos concluir que
a) M(t) = 2 ( 4−t / 75) .
b) M(t) = 2 ( 4−t / 50) .
c) M(t) = 2 (5− t / 50) .
d) M(t) = 2 (5− t / 150) .
RESOLUÇÃO:
t

 m+ 
n
A função exponencial M(t) pode ser representada pela equação M ( t ) = 2
e seu gráfico passa pelos pontos (0, 16) e (150, 4).
com m ∈ N e n ∈ N*
M (0) = 2 m = 16 ⇒ 2 m = 2 4 ⇒ m = 4 .
 t
 4+ 
n
Logo pode-se escrever: M ( t ) = 2
 150 
 4+

n 
M (150) = 2
Assim M ( t ) =
 150 
 4+

n 
= 4 ⇒ 2
t 

 4− 
75 

2
.
= 22 ⇒ 4 +
150
= 2 ⇒ 4n + 150 = 2n ⇒ −150 ⇒ n = −75 .
n
.
Resposta: Alternativa a.
7