CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS PROF. CRISTIANO ARBEX 2014 NOME: Nº: DISCIPLINA: CURSO: DESENHO TÉCNICO ENG. PERÍODO: DATA: PROFESSOR: / / CRISTIANO ARBEX
INTRODUÇÃO Este material tem o objetivo de mostrar as principais construções geométricas utilizadas em Desenho Técnico. Para cada definição apresentada são propostos exercícios de aplicação. O nível de dificuldade das construções é gradativo, de tal forma que as construções mais elaboradas sempre utilizarão os conceitos das construções anteriores. CONVENÇÕES UTILIZADAS: LETRAS: LINHAS:
GREGAS: Planos (Ex: α,β,γ,δ,θ,ρ,Ԅ,π,ω) MÉDIA (0,5 HB): Dados do problema MAIÚSCULAS: Pontos (Ex: A, B, C, ...) FINA (0,3 HB): Construções auxiliares MINUSCULAS: Retas (Ex: a, b, c, ...) GROSSA (0,9 B): Solução do problema Definição 1: LUGAR GEOMÉTRICO (LG) Lugar Geométrico, ou simplesmente L.G. é um conjunto de pontos que apresentam uma mesma propriedade. O LG fornece todas as soluções do problema, porém, a solução desejada dependerá das condições impostas pelo projetista. Definição 2: CIRCUNFERÊNCIA Circunferência é LG dos pontos de um plano cuja distância em relação a um ponto fixo (pertencente ao plano) é constante. Trata‐se, portanto, de uma curva plana fechada. Definição 3: CÍRCULO Circulo é a porção de um plano delimitada pela circunferência. Compreende todos os pontos da própria circunferência e mais os pontos do seu interior. CONCLUSÕES: i) O L.G. dos pontos eqüidistantes R de um ponto O conhecido é uma circunferência de centro O e raio R. ii) O L.G. dos centros de circunferências de raio R conhecido que contêm o ponto P é a circunferência de centro P e raio R. Exercício 1 – LG de pontos Equidistantes a um centro Dados os pontos O e P, construir o LG dos pontos eqüidistantes ao ponto O e que contenha o ponto P. Notas: Desenho Técnico Página 2 NOME: Nº: DISCIPLINA: CURSO: DESENHO TÉCNICO ENG. PERÍODO: DATA: PROFESSOR: / / CRISTIANO ARBEX
Exercício 2 – LG de centros de circunferência de raio R Dado um ponto P e um segmento de reta de comprimento R, construir o LG dos centros de circunferências que contenham o ponto P e apresentem raio R. Notas: Definição 4: MEDIATRIZ Mediatriz é a reta perpendicular a um segmento de reta qualquer, passando pelo ponto médio (M) desse segmento. CONCLUSÕES: i)
O LG dos pontos eqüidistantes a dois pontos A e B é a Mediatriz (m) do segmento de reta AB. ii)
O LG dos centros de circunferências que contenham os dois pontos A e B é a mediatriz (m) do segmento de reta AB. Exercício 3 – Determinação da Mediatriz Dado um segmento de reta AB, determine a reta Mediatriz (m) e o ponto médio (M) desse segmento AB. Notas: Desenho Técnico Página 3 NOME: Nº: DISCIPLINA: CURSO: DESENHO TÉCNICO ENG. PERÍODO: DATA: PROFESSOR: / / CRISTIANO ARBEX
Exercício 4 – LG dos centros de circunferências passando por dois pontos Dados dois pontos A e B, determine o LG dos centros de circunferências que contenham simultaneamente os pontos A e B. Notas: Definição 5: RETA PERPENDICULAR Uma reta é dita perpendicular a uma outra reta ou mesmo a um segmento de reta quando formam entre si um ângulo de 90 graus. Pode ser obtida geometricamente por meio do processo da mediatriz. Exercício 5 – Reta Perpendicular a um ponto P pertencente a uma reta dada Dada uma reta r e um ponto P pertencente a ela, determine a reta (m), perpendicular à reta r, passando pelo ponto P. Notas: MÉTODO 1 r P Desenho Técnico Página 4 NOME: Nº: DISCIPLINA: CURSO: DESENHO TÉCNICO ENG. PERÍODO: DATA: PROFESSOR: / / CRISTIANO ARBEX
Notas: MÉTODO 2 r P Exercício 6 – Reta Perpendicular a um ponto P fora da reta dada Dada uma reta r e um ponto P não pertencente a ela, determine a reta perpendicular (m) à reta r, de tal forma que contenha o ponto P Notas: P r Desenho Técnico Página 5 NOME: Nº: DISCIPLINA: CURSO: DESENHO TÉCNICO ENG. PERÍODO: DATA: PROFESSOR: / / CRISTIANO ARBEX
Exercício 7 – Equidistância pré determinada entre dois pontos Dados dois pontos A e B e um segmento de reta de comprimento L, determine dois pontos X e Y de tal forma que as distâncias XA, XB, YA e YB sejam iguais ao comprimento l do segmento dado. Notas: Exercício 8 – Determinação do Centro de uma circunferência Determine o centro (O) da circunferência. Notas: Desenho Técnico Página 6 NOME: Nº: DISCIPLINA: CURSO: DESENHO TÉCNICO ENG. PERÍODO: DATA: PROFESSOR: / / CRISTIANO ARBEX
Exercício 9 – Menor distância entre ponto e reta Dada uma reta r e um ponto P não pertencente a ela, determine o ponto M na reta r, de tal forma que o segmento PM seja a menor distância entre o ponto P e a reta r. Notas: P
r Definição 6: RETAS PARALELAS Duas retas são paralelas se, e somente se, estão contidas no mesmo plano e não apresentem ponto comum. Por mais que se prolonguem, as retas paralelas nunca se encontram e as distâncias entre os pontos que se correspondem são sempre iguais. CONCLUSÃO: i) O LG dos pontos que estão a uma distância R, conhecida, de uma dada reta t é o par de retas u e v, paralelas e distantes R da reta t Exercício 10 – Traçado de retas paralelas distantes R da reta dada Dada uma reta r e um segmento R, determine o par de retas paralelas, u e v, distantes R da reta r. Notas: r Desenho Técnico Página 7 NOME: Nº: DISCIPLINA: CURSO: DESENHO TÉCNICO ENG. PERÍODO: DATA: PROFESSOR: / / CRISTIANO ARBEX
Exercício 11 – Traçado de retas paralelas passando por um ponto P Dada uma reta t e um ponto P não pertencente a ela, determine a reta paralela passando pelo ponto P. Notas: P
t Definição 7: RETA TANGENTE Uma reta t é tangente a uma circunferência de centro O quando a intercepta em um único ponto, denominado Ponto de Tangência (Pt). Nestas condições, a reta que une o centro da circunferência e o ponto de tangência é perpendicular à reta tangente à circunferência. Definição 8: PONTO DE TANGÊNCIA (Pt) É o ponto de uma circunferência de centro O no qual uma reta tangente forma um ângulo reto (90º) com o segmento OPt cujo comprimento é igual ao raio da circunferência. Definição 9: PONTO DE CONCORDÂNCIA (Pc) É o ponto no qual duas circunferências apresentam pontos de tangência (Pt’s) coincidentes. CONCLUSÕES: i) Se duas circunferências apresentam ponto de concordância, então esse ponto estará localizado na reta que une os centros das circunferências. ii) O L.G. dos centros de circunferências, de raio R conhecido, tangentes a uma reta t, é o par de retas r e s, paralelas à reta t, e distantes R desta mesma reta. Notas: Desenho Técnico Página 8 NOME: Nº: DISCIPLINA: CURSO: DESENHO TÉCNICO ENG. PERÍODO: DATA: PROFESSOR: / / CRISTIANO ARBEX
Exercício 12 – Tangência a um ponto pertencente à circunferência Dada uma circunferência de centro O e dois pontos P e Q a ela pertencentes, determine as retas tangentes que contenham os pontos P e Q. Notas: P
Q Exercício 13 – Circunferência de centro conhecido tangente a uma reta dada Dada uma reta t e um ponto O não pertencente a ela, determinar uma circunferência C, centrada no ponto O, de forma que a reta t seja tangente a essa circunferência. Determinar, ainda, o respectivo ponto de tangência. Notas: t O
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Exercício 14 – Circunferência de raio R tangente a uma reta Dado um segmento de reta de comprimento R e uma reta t, determine o L.G. dos centros de circunferências de raio R que sejam tangentes à reta t Notas: R t Exercício 15 – Concordância Externa de Circunferências Dada uma circunferência de centro O1 conhecido, determine a circunferência de centro O2 de tal forma que sejam concordantes externamente. Marque o ponto de concordância (Pc). Notas: O1 Desenho Técnico O2
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