3
O Erro de Medição
Fundamentos da Metrologia
Científica e Industrial
www.posmci.ufsc.br
Erro de Medição
sistema de
medição
indicação
mensurando

valor verdadeiro
erro de
medição
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 2/67)
Um exemplo de erros...

Teste de precisão de tiro de canhões:





Canhão situado a 500 m de alvo fixo;
Mirar apenas uma vez;
Disparar 20 tiros sem nova chance para
refazer a mira;
Distribuição dos tiros no alvo é usada para
qualificar canhões.
Quatro concorrentes:
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 3/67)
A
B
D
C
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 4/67)
Ea
Ea
Es
Es
A
B
D
C
Ea
Ea
Es
Es
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 5/67)
3.1
Tipos de erros
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Tipos de erros


Erro sistemático: é a parcela previsível do
erro. Corresponde ao erro médio.
Erro aleatório: é a parcela imprevisível do
erro. É o agente que faz com que
medições repetidas levem a distintas
indicações.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 7/67)
Precisão & Exatidão



São parâmetros qualitativos associados ao
desempenho de um sistema.
Um sistema com ótima precisão repete
bem, com pequena dispersão.
Um sistema com excelente exatidão
praticamente não apresenta erros.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 8/67)
3.2 e 3.3
Caracterização e componentes do
erro de medição
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Exemplo de erro de medição
(1000,00 ± 0,01) g
E = I - VVC
1
E = 1014 - 1000
1014
g
1014
0g
E = + 14 g
Indica a mais do
que deveria!
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 10/67)
Erros em medições repetidas
111
1014
1015
1017
0g
1010
erro médio
(1000,00
(1000,00
(1000,00
± 0,01)
± 0,01)
± 0,01)
g g g
1014 g
1015 g
1017 g
1012 g
1015 g
1018 g
1014 g
1015 g
1016 g
1013 g
1016 g
1015 g
dispersão
1020
1000
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 11/67)
Cálculo do erro sistemático
média de infinitas indicações
condições:
valor verdadeiro conhecido exatamente
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 12/67)
Estimativa do erro sistemático
VVC
tendência
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 13/67)
3.4
Erro sistemático, tendência e
correção
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Algumas definições

Tendência (Td)


Valor Verdadeiro Convencional (VVC)


é uma estimativa do Erro Sistemático
é uma estimativa do valor verdadeiro
Correção (C)


é a constante que, ao ser adicionada à
indicação, compensa os erros sistemáticos
é igual à tendência com sinal trocado
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 15/67)
Correção dos erros sistemáticos
Td
C = -Td
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 16/67)
Indicação corrigida
Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
média
I
1014
1015
1017
1012
1015
1018
1014
1015
1016
1013
1016
1015
1015
C
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
Ic
999
1000
1002
997
1000
1003
999
1000
1001
998
1001
1000
1000
Ea
-1
0
2
-3
0
3
-1
0
1
-2
1
0
0
C = -Td
C = 1000 - 1015
C = -15 g
995
1000
1005
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 17/67)
3.5
Erro aleatório, incerteza padrão e
repetitividade
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Erro aleatório e repetitividade
-5
0
5
O valor do erro aleatório é imprevisível.
A repetitividade define a faixa dentro da qual
espera-se que o erro aleatório esteja contido.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 19/67)
Distribuição de probabilidade
uniforme ou retangular
1.2
Probabilidade (1/6)
probabilidade
1/6
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1 2 3 4 5 6
Lançamento de um dado
1
2
3
4
5
6
Valores
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 20/67)
7
Distribuição de probabilidade
triangular
probabilidade (1/36)
6
4
2
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
Média de dois dados
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 21/67)
Distribuição de probabilidade
triangular
Probabilidade (1/36)
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Média de 2 dados
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 22/67)
Lançamento de um dado
Probabilidade (1/6)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Valores
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 23/67)
Média de dois dados
P rob a b ilid ade (1/36)
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
M é di a d e 2 d a do s
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 24/67)
Média de três dados
Pr o bab ilid ade (1/2 16)
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
M é di a d e 3 d a do s
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 25/67)
Média de quatro dados
Pro bab ilid a d e (1 /12 96)
16 0
14 0
12 0
10 0
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
7
M é di a d e 4 d a do s
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 26/67)
Média de seis dados
Pro ba bili dad e ( 1/ 466 56)
50 0 0
45 0 0
40 0 0
35 0 0
30 0 0
25 0 0
20 0 0
15 0 0
10 0 0
50 0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
M é di a d e 6 d a do s
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 27/67)
Média de oito dados
Probabilidade (1/1679616)
160000
140000
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Média de 8 dados
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 28/67)
“Teorema do sopão”

Quanto mais
ingredientes diferentes
forem misturados à
mesma sopa, mais e
mais o seu gosto se
aproximará do gosto
único, típico e
inconfundível do
"sopão".
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 29/67)
Teorema central do limite

Quanto mais variáveis aleatórias forem
combinadas, tanto mais o comportamento
da combinação se aproximará do
comportamento de uma distribuição
normal (ou gaussiana).
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 30/67)
Curva normal
pontos de inflexão
s = desvio padrão
m = média
assíntota
s
s
assíntota
m
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 31/67)
Efeito do desvio padrão
s>s>s
m
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 32/67)
Cálculo e estimativa do
desvio padrão
cálculo exato:
(da população)
estimativa:
(da amostra)
n
n
s = lim
n 
Ii
I
n
2
(
I

I
)
 i
i =1
n
s=
2
(
I

I
)
 i
i =1
n 1
i-ésima indicação
média das "n" indicações
número de medições repetitivas efetuadas
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 33/67)
Incerteza padrão (u)




medida da intensidade da componente
aleatória do erro de medição.
corresponde à estimativa do desvio padrão
da distribuição dos erros de medição.
u=s
Graus de liberdade ():


corresponde ao número de medições
repetidas menos um.
=n-1
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 34/67)
Área sobre a curva normal
95,45%
2s
2s
m
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 35/67)
Estimativa da repetitividade
(para 95,45 % de probabildiade)
A repetitividade define a faixa dentro da qual,
para uma dada probabilidade, o erro aleatório é
esperado.
Para amostras infinitas:
Re = 2 . s
Para amostras finitas:
Re = t . u
Sendo “t” o coeficiente de Student para  = n - 1
graus de liberdade.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 36/67)
Coeficiente “t” de Student

1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
13.968
4.527
3.307
2.869
2.649
2.517
2.429
2.366
2.320

10
11
12
13
14
15
16
17
18
t
2.284
2.255
2.231
2.212
2.195
2.181
2.169
2.158
2.149

19
20
25
30
35
40
50
60
70
t
2.140
2.133
2.105
2.087
2.074
2.064
2.051
2.043
2.036

80
90
100
150
200
1000
10000
100000

t
2.032
2.028
2.025
2.017
2.013
2.003
2.000
2.000
2.000
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 37/67)
Exemplo de estimativa da
repetitividade
(1000,00 ± 0,01) g
1
1014
g
1014
0g
1014 g
1015 g
1017 g
1012 g
1015 g
1018 g
1014 g
1015 g
1016 g
1013 g
1016 g
1015 g
média: 1015 g
12
u=
2
(
I

1015
)
 i
i =1
12  1
u = 1,65 g
 = 12 - 1 = 11
t = 2,255
Re = 2,255 . 1,65
Re = 3,72 g
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 38/67)
Exemplo de estimativa da
repetitividade
-3,72
1010
1015
1015
+3,72
1020
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 39/67)
Efeitos da média de medições
repetidas sobre o erro de medição

Efeito sobre os erros sistemáticos:

Como o erro sistemático já é o erro médio,
nenhum efeito é observado.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 40/67)
Efeitos da média de medições
repetidas sobre o erro de medição

Efeitos sobre os erros aleatórios

A média reduz a intensidade dos erros
aleatórios, a repetitividade e a incerteza
padrão na seguinte proporção:
Re I
Re I =
n
uI
uI =
n
sendo:
n o número de medições utilizadas para calcular a média
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 41/67)
Exemplo

No problema anterior, a repetitividade da
balança foi calculada:
ReI = 3,72 g

Se várias séries de 12 medições fossem
efetuadas, as médias obtidas devem
apresentar repetitividade da ordem de:
Re I12
3,72
=
= 1,07 g
12
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 42/67)
3.6
Curva de erros e erro máximo
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Curva de erros
Td + Re
Td
Td - Re
erro
Emáx
15
1015
- Emáx
indicação
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 44/67)
Algumas definições

Curva de erros:


É o gráfico que representa a distribuição dos
erros sistemáticos e aleatórios ao longo da
faixa de medição.
Erro máximo:

É o maior valor em módulo do erro que pode
ser cometido pelo sistema de medição nas
condições em que foi avaliado.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 45/67)
Calibração Virtual
Clique sobre a figura
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 46/67)
3.7
Representação gráfica dos erros
de medição
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Sistema de medição “perfeito”
(indicação = VV)
indicação
960
980
1000
1020
1040
960
1000
1020
1040
980
mensurando
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 48/67)
Sistema de medição com erro
sistemático apenas
indicação
960
980
1000
1020
1040
+Es
960
980
1000
1020
1040
mensurando
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 49/67)
Sistema de medição com erros
aleatórios apenas
indicação
960
980
960
980
Re
1000
1020
1040
1000
1020
1040
mensurando
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 50/67)
Sistema de medição com erros
sistemático e aleatório
indicação
960
980
Re
1000
1020
1040
+Es
960
980
1000
1020
1040
mensurando
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 51/67)
3.8
Erro ou incerteza?
www.posmci.ufsc.br
Erro ou incerteza?

Erro de medição:


é o número que resulta da diferença entre a
indicação de um sistema de medição e o valor
verdadeiro do mensurando.
Incerteza de medição:

é o parâmetro, associado ao resultado de
uma medição, que caracteriza a faixa dos
valores que podem razoavelmente ser
atribuídos ao mensurando.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 53/67)
3.9
Fontes de erros
www.posmci.ufsc.br
Fontes de erros:
fatores externos
sinal de
medição
retroação
mensurando
operador
sistema de medição
indicação
fatores
internos
retroação
fatores externos
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 55/67)
Erros provocados por fatores
internos


Imperfeições dos componentes e
conjuntos (mecânicos, elétricos etc).
Não idealidades dos princípios físicos.
alongamento
região linear
força
região não linear
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 56/67)
Erros provocados por fatores
externos

Condições ambientais





temperatura
pressão atmosférica
umidade
Tensão e freqüência da rede elétrica
Contaminações
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 57/67)
Erros provocados por retroação

A presença do sistema de medição
modifica o mensurando.
65 °C
20 °C
70 °C
65 °C
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 58/67)
Erros induzidos pelo operador





Habilidade
Acuidade visual
Técnica de medição
Cuidados em geral
Força de medição
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 59/67)
Dilatação térmica

Propriedade dos materiais modificarem suas
dimensões em função da variação da
temperatura.
T
b
c
c'
b'
b = b' - b
c = c' - c
b =  . T . b
c =  . T . c
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 60/67)
Temperatura de referência


Por convenção, 20 °C é a temperatura de
referência para a metrologia dimensional.
Os desenhos e especificações sempre se
referem às características que as peças
apresentariam a 20 °C.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 61/67)
Dilatação térmica:
distintos coeficientes de expansão térmica
I = 44,0
I = 40,0
>
I = 38,0
20°C
40°C
10°C
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 62/67)
Dilatação térmica:
mesmos coeficientes de expansão térmica
I = 40,0
I = 40,0
=
I = 40,0
20°C
40°C
10°C
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 63/67)
Dilatação térmica:
Ce
Sabendo que a 20C
Ci = Ce
α=α
Ci
Qual a resposta certa
a 40C?
(a) Ci < Ce
(b) Ci = Ce
(c) Ci > Ce
(d) NRA
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 64/67)
Dilatação térmica:
(a) Ci < Ce
(b) Ci = Ce
(c) Ci > Ce
(d) NRA
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 65/67)
Micrômetro
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 66/67)
Correção devido à
dilatação térmica
SM
Mat Temp.
A 20 °C
A TSM  20 °C
A TSM
A 20 °C
A TSM  20 °C
A TSM
Peça a medir
Mat Temp.
A 20 °C
A TP = TSM
A TSM  TP
B 20 °C
B TSM = TP
B TSM  TP
Correção devido à temperatura
C=0
C=0
C = A . L . (TSM - TP)
C=0
C = (A - B). (TSM - 20°C) . L
C = [A . (TSM - 20°C) - B . (TP - 20°C)] . L
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 67/67)