Divisão em Partes Proporcionais
1. Introdução
Na matemática, tudo aquilo que é possível de ser
quantificado ou medido recebe o nome de grandeza.
Assim, por exemplo, comprimento, idade, salário, altura e
outras medidas são grandezas.
Quanto comparamos grandezas proporcionais
entre si, elas podem ser direta ou indiretamente
proporcionais. Por exemplo, velocidade e tempo para
percorrer uma distância são inversamente proporcionais
pois quando uma delas aumenta, a outra diminui na mesma
proporção. Já a distância percorrida e o tempo são
diretamente proporcionais pois aumentam ou diminuem
juntas.
Suponhamos então que há uma certa quantidade
que deve ser dividida em várias partes (no mínimo, duas)
de forma proporcional. Ou seja, na proporção das partes
que estão envolvidas. Isso pode acontecer de duas formas
diferentes: em uma divisão diretamente proporcional ou
inversamente proporcional. Na primeira, quanto maior for
o tamanho da parte, maior será a quantia que lhe cabe da
divisão. No segundo caso é o inverso, quanto maior a parte
na divisão, menor deverá ser a quantia que lhe cabe. Esse
tipo de divisão é, muitas vezes, conhecida como “Regra da
Sociedade”.
2. Divisão Diretamente Proporcional
Nesta forma, quanto maior for a parte de cada um,
maior a quantia dada a ela. Por exemplo, considere uma
sociedade na qual três sócios A, B e C entraram com,
respectivamente, 5, 4 e 3 partes do capita. Agora eles
querem repartir R$ 18.000,00 de lucro em partes
diretamente proporcionais a cada contribuição.
fazendo com que a quantia dada a cada um, quando
dividida pelo tamanho da sua parte, seja sempre
proporcional.
Voltando ao problema de exemplo, da divisão dos
R$ 18.000,00, e vamos chamar de Q1, Q2 e Q3 as
quantidades a serem dadas aos sócios A, B e C,
respectivamente. Já p1, p2 e p3 são as partes deles. Como a
definição do exemplo mencionou p1 = 5, p2 = 4 e p3 = 3.
Como esses elementos, podemos escrever as seguintes
relações:
+ + = 180001
=
= 2
5
4
3
Isso é um sistema de equações que deve ser
resolvido por substituição. Para isso, tomamos a relação (2)
e, com ela, separamos as três equações possíveis. Como
vamos substituir uma das incógnitas na equação (1), vamos
selecionar apenas as duas equações onde ela estiver
envolvida e isolar a outra incógnita. Vejamos:
=
5
4
5 = 34
4
=
3
5
=
5
3
5 = 3
3
=
4
5
Não será usada!
Agora, continuamos o problema com a equação
(1), trocando Q2 e Q3 pelos seus respectivos valores
encontrados em (3) e (4):
+ + = 18000
+
4 3
+
= 18000
5
5
Antes de fazermos as contas, vamos considerar
alguns aspectos matemáticos do problema. Considere que
Q1, Q2, Q3, ..., Qn são as quantias que caberão a cada uma
das n partes do problema e que p1, p2, p3,..., pn são as
respectivas partes envolvidas. Podemos estabelecer que:
5 + 4 + 3 90000
=
5
5
Q1 + Q2 + Q3 + ... + Qn = Total
12 = 90000
pois a soma de cada uma das quantias do resultado deve
ser igual ao total a ser dividido. Além disso, uma vez que
as partes da divisão são proporcionais, podemos afirmar
que:
=
=
=⋯=
=
4
3
5 + 4 + 3 = 90000
= 7500
Uma vez que sabemos o valor de Q1, voltamos as
equações (3) e (4), trocamos Q1 por 7.500 e descobrimos o
valor de Q2 e Q3:
=
4 4 ∙ 7500
=
= 6000
5
5
=
3
3 ∙ 7500
=
= 4500
5
5
Observe com a soma das quantias das partes é
igual ao total e se pegarmos cada uma das partes e
dividirmos pelo seu tamanho, teremos o mesmo valor.
a) Dispositivo prático
É possível realizarmos a divisão diretamente
proporcional com um dispositivo prático bastante simples.
Basta somar todas as partes e descobrir em quantos
pedaços a quantia total deve ser dividida. Para isso,
dividimos a quantia total pelo total das partes. Depois
disso, multiplicamos cada parte pelo tamanho do pedaço e
descobrimos a quantidade a ser dada a cada um.
Vejamos isso no exemplo acima. São três partes
envolvidas de tamanho 5, 4 e 3. Somando essas partes
encontramos o total de 12 pedaços. Agora, dividimos a
quantia a ser repartida em 12 partes e damos 5 delas para
A, 4 delas para B e 3 delas para C:
ç = 18000 ÷ 12 = 1500
= 5 ∙ 1500 = 7500
= 4 ∙ 1500 = 6000
= 3 ∙ 1500 = 4500
Observe, entretanto, que isso somente funciona
para uma divisão diretamente proporcional.
3. Divisão Inversamente Proporcional
A divisão inversamente proporcional segue o
mesmo principio da outra, mas a relação entre as partes é
inversa. Assim, quando da divisão das quantias, devemos
dividir pelo inverso das partes o que, na prática, significa
multiplicar. Vejamos:
ou seja
+ + + ⋯ + = !"#
=
=
=⋯=
1$
1$
1$
1$
+ + + ⋯ + = !"#
% = = = ⋯ = A sequência da resolução é igual nos dois tipos de
divisão. Por exemplo, vamos supor que uma empresa
deseja dividir R$ 11.000,00 entre três funcionários de
forma inversamente proporcional a suas faltas. O primeiro
funcionários faltou 5 dias no ano, o segundo 10 dias e o
terceiro faltou 15 dias.
Em primeiro lugar devemos construir as relações:
%
+ + = 110001
5. = 10. = 15. 2
Montamos então, usando a equação (2), as três
possibilidades de equações e escolhemos duas delas para
isolar as incógnitas de trabalho:
5 = 10
5
=
10
= 3
2
5 = 15
5
=
15
= 4
3
10 = 15
Não será usada!
Vamos agora retomar a equação (1) e trocar as
incógnitas Q2 e Q3 pelos que encontramos em (3) e (4):
+ + = 11000
+
+
= 11000
2
3
6 + 3 + 2 66000
=
6
6
6 + 3 + 2 = 66000
11 = 66000
= 6000
Como agora sabemos o valor de Q1, voltamos as
equações (3) e (4), trocamos Q1 por 6.000 e descobrimos o
valor de Q2 e Q3:
=
=
6000
=
= 3000
2
3
6000
=
= 2000
3
3
Observe que, o funcionário Q1 foi o que faltou o
menor número de vezes e, por isso, levou a maior parte. Já
Q3, que faltou mais, ganho a menor quantia.
Prof. Marcos Carrard
www.mcarrard.com.br