1
Engenharia Aeronáutica
Engenharia de Produção Mecânica
Engenharia Mecatrônica
4º / 5° Semestre
TERMODINÂMICA BÁSICA – APOSTILA 02
Prof Daniel Hasse
Calor e Trabalho
Primeira Lei da Termodinâmica
SÃO JOSÉ DOS CAMPOS, SP
Capítulo -3
CALOR E TRABALHO
Capítulo - 3
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 2
3 - CALOR E TRABALHO
Trabalho e calor são a essência da termodinâmica. Assim é fundamental
que o estudante de termodinâmica entenda claramente as duas definições tendo em
vista que a análise correta de muitos problemas térmicos dependem da distinção entre elas.
3.1 - Trabalho
Podemos definir o trabalho termodinâmico como: "Um sistema realiza trabalho se o único efeito sobre o meio (tudo externo ao sistema) PUDER SER o levantamento de um peso."
Note-se que o levantamento de um peso é realmente uma força que age através de uma distância. Observe também que nossa definição não afirma que um
peso foi realmente levantado ou que uma força agiu realmente através de uma dada
distância, mas que o único efeito externo ao sistema poderia ser o levantamento de um peso.
O trabalho realizado por um sistema é considerado positivo e o trabalho realizado sobre o sistema é negativo. O símbolo W
designa o trabalho termodinâmico.
Em geral falaremos de trabalho como
uma forma de energia. Vamos ilustrar a definição de trabalho fazendo uso de dois exemplos.
Considere como sistema a bateria e o motor elétrico delimitados pela fronteira como mostrados
na figura 3.1-1a , e façamos com que o motor
acione um ventilador. A pergunta que segue é a
seguinte: O trabalho atravessará a fronteira do
sistema neste caso? Para responder a essa
pergunta usando a definição de trabalho termodinâmico dada anteriormente vamos substituir o
ventilador por um conjunto de polia e peso como
mostra a figura 3.1-1b. Com a rotação do motor
um peso pode ser levantado e o único efeito no
meio é tão somente o levantamento de um peso. Assim para o nosso sistema original da Fig.
3.1-1a concluímos que o trabalho atravessa a fronteira do sistema.
Agora, façamos com que o nosso sistema seja constituído somente pela bateria como mostra a figura 3.1-2. Neste caso quem cruza a fronteira do sistema é a
energia elétricas da bateria. Constitui trabalho
termodinâmico a energia elétrica cruzando a
fronteira do sistema?. Sem dúvida, como o conjunto é o mesmo do caso anterior, poderá ocorrer o levantamento de um peso, então energia
elétrica cruzando a fronteira do sistema também
constitui trabalho como definido anteriormente.
Unidades de Trabalho - Como já foi
observado, consideramos trabalho realizado por um sistema, tal como o realizado
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Fundamentos da Termodinâmica
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por um gás em expansão contra um êmbolo, como positivo, e o trabalho realizado
sobre o sistema, tal como o realizado por um êmbolo ao comprimir um gás, como
negativo. Assim, trabalho negativo significa que energia é acrescentada ao sistema.
Nossa definição de trabalho envolve o levantamento de um peso, isto é, o
produto de uma unidade de força ( Newton) agindo através de uma distância ( metro). Essa unidade de trabalho no sistema Internacional é chamada de Joule, ( J ).
1 J = 1N.m
Definimos POTÊNCIA como trabalho por unidade de tempo, e a representamos por
•
W . Assim
δw
dt
a unidade de potência é Joule por segundo, denominada Watt ( W )
•
W≡
1W=1
J
s
Trabalho Realizado Devido ao Movimento de Fronteira de um Sistema
Compressível Simples num Processo Quase-Estático
- Já observamos que
há várias maneiras pelas quais o trabalho pode ser realizado sobre ou por um sistema. Elas incluem o trabalho realizado por um eixo rotativo, trabalho elétrico e o
trabalho realizado devido ao movimento da fronteira do sistema, tal como o efetuado
pelo movimento do êmbolo num cilindro. Neste curso vamos considerar com alguns
detalhes o trabalho realizado pelo movimento da fronteira do sistema compressível
simples durante um processo quase-estático.
Consideremos como sistema o gás contido num cilindro com êmbolo, como
mostrado na Fig 3.1-3. Vamos tirar um dos pequenos pesos do êmbolo provocando
um movimento para cima deste, de uma distância dx. Podemos considerar este
pequeno deslocamento de um processo quase-estático e calcular o trabalho, δW, realizado pelo sistema durante este processo. A
força total sobre o êmbolo é P. A, onde P é
a pressão do gás e A é a área do êmbolo.
Portanto o trabalho δW é:
δ W = P Adx
( 3.1-1)
Figura 3.1-3 - Exemplo de trabalho efetuado
pelo movimento de fronteira de um sistema
num processo quase-estático
Porém, da Fig. 3.1-3 verificamos que A dx = dV, a variação do volume do
gás devido ao deslocamento, dx, do êmbolo logo:
δ W = P dV
( 3.1-2)
O trabalho realizado devido ao movimento de fronteira , durante um dado
processo quase-estático, pode ser determinado pela integração da Eq. 3.1-2. Entretanto essa integração somente pode ser efetuada se conhecermos a relação en-
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Fundamentos da Termodinâmica
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tre P e V durante esse processo. Essa relação pode ser expressa na forma de uma
equação ou pode ser mostrada na forma gráfica.
Consideremos "em primeira" a solução gráfica, usando como exemplo um
processo de compressão tal como o que ocorre durante a compressão de ar em um
cilindro como mostra a Fig. 3.1-4. No inicio do processo o êmbolo está na posição
1 e a pressão é relativamente baixa. Esse estado está representado no diagrama
P x V como mostra a figura. No fim do processo, o
êmbolo está na posição 2 e o estado correspondente do sistema é mostrado pelo ponto 2 no diagrama
P x V. Vamos admitir que essa compressão seja um
processo quase-estático e que, durante o processo,
o sistema passe através dos estados mostrados pela linha que liga os pontos 1 e 2 do diagrama P x V.
A hipótese de um processo quase-estático, aqui, é
essencial, porque cada ponto da linha 1-2 representa um estado definido e estes estados corresponderão aos estados reais do sistema somente se o
desvio do equilíbrio for infinitesimal. O trabalho realizado sobre o gás durante este processo de compressão pode ser determinado pela
integração da Eq. 3.1-2, resultando:
W2 = ∫ δ W = ∫ P dV
2
1
1
2
1
( 3.1-3)
O símbolo 1W 2 deve ser interpretado como o trabalho realizado durante o processo,
do estado 1 ao estado 2. Pelo exame do diagrama P x V, é evidente que o trabalho
realizado durante esse processo é representado pela área sob a curva 1-2, ou seja
a área, a-1-2-b-a. Neste exemplo, o volume diminuiu e a área a-1-2-b-a representa
o trabalho realizado sobre o sistema ( trabalho negativo). Se o processo tivesse ocorrido do estado 2 ao estado 1, pelo mesmo caminho, a
mesma área representaria o trabalho realizado pelo sistema ( trabalho positivo ). Uma nova consideração do diagrama P x V, Fig. 3.1-5, conduz a uma outra conclusão
importante. É possível ir do estado 1 ao estado 2 por caminhos quase-estáticos muito diferentes, tais como A, B
ou C. Como a área sob a curva representa o trabalho para cada processo é evidente que o trabalho envolvido em
cada caso é uma função não somente dos estados iniciais
e finais do processo, mas também, do caminho que se
percorre ao ir de um estado a outro.
Por esta razão, o trabalho é chamado de função de linha, ou em linguagem
matemática, δW é uma diferencial inexata .
Na determinação da integral da Eq. 3.1-3 devemos sempre lembrar que estamos interessados na determinação da área situada sob a curva da Fig. 3.1-4. Relativamente a este aspecto, identificamos duas classes de problemas:
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Fundamentos da Termodinâmica
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1- A relação entre P e V é dada em termos de dados experimentais ou na
forma gráfica ( como, por exemplo, o traço em um osciloscópio ) Neste caso podemos determinar a integral da Eq. 3.1-3 por integração gráfica ou numérica.
2- A relação entre P e V é tal que seja possível ajustar uma relação analítica
entre eles, e podemos então, fazer diretamente a integração.
Um exemplo comum desse segundo tipo de relação é o caso de um processo chamado politrópico, no qual P V n = cons tan te , através de todo o processo. O
expoente "n" pode tomar qualquer valor entre - ∞ e + ∞ dependendo do processo particular sob análise.
PV = cons tan te = P1 V = P2 V
n
n
1
→
n
2
cons tan te P1 V1n P2 V2n
P=
=
=
Vn
Vn
Vn
Para esse tipo de processo, podemos integrar a Eq. 3.1-3, resultando em:
∫ PdV = cons tan te ∫
2
1
2
1
dV
V − n +1
= cons tan te (
)
Vn
− n +1
P2 V2n V21− n − P1 V1n V11− n
1− n
→
∫
2
1
2
1
=
PdV =
cons tan te 1− n
( V2 − V11− n ) =
1− n
P2 V2 − P1V1
1− n
( 3.1-4)
Note-se que este resultado, Eq. 3.1-4, é válido para qualquer valor do expoente n,
exceto n = 1. No caso onde n = 1, tem-se;
PV = Constante = P1V1 = P2V2 ,
∫ PdV = P1 V1 ∫
2
1
2
1
dV
V
= P1 V1 ln
e portanto,
V2
V1
(3.1-5)
Deve-se observar que nas Eqs. 3.1-4 e 3.1-5 não dissemos que o trabalho
é igual às expressões dadas por aquelas equações. Aquelas expressões fornecem
o valor de uma certa integral, ou seja, um resultado matemático. Considerar ou não,
que aquela integral corresponde ao trabalho num dado processo, depende do resultado de uma análise termodinâmica do processo. É importante manter separado o
resultado matemático da análise termodinâmica, pois há muitos casos em que o trabalho não é dado pelas Eqs. 3.1-4 ou 3.1-5. O processo politrópico conforme já
descrito , expõe uma relação funcional especial entre P e V durante um processo.
Há muitas relações possíveis, algumas das quais serão examinadas nos problemas
apresentados no final deste capítulo.
Exemplo 3.1-1
Capítulo - 3
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Fundamentos da Termodinâmica
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Considere como sistema o gás contido no cilindro
mostrado na figura, provido de um êmbolo sobre o qual são
colocados vários pesos pequenos. A pressão inicial é de
200 kPa e o volume inicial do gás é de 0,04 m3.
a) Coloquemos um bico de Bunsen embaixo do cilindro e deixe3
mos que o volume do gás aumente para 0,1 m , enquanto a pressão
permanece constante. Calcular o trabalho realizado pelo sistema durante
esse processo.
como a pressão, neste caso é constante, concluímos pela Eq. 3.1- 3;
W2 = P ∫ dV = P( V2 − V1 )
2
1
1
→
W2 = 200 kPa x ( 0,1 − 0,04) m 3 = 12,0 kJ
1
b) Consideremos o mesmo sistema e as mesmas condições iniciais e finais, porém, ao mesmo tempo que o bico de Bunsen está sob o cilindro e o êmbolo se levanta, removamos os pesos deste, de tal maneira que durante o processo a temperatura se mantém constante.
Se admitirmos que o gás se comporta como gás ideal, então da Eq. 2.3.3, obtemos:
PV = mRT
e notamos que este processo é politrópico com o expoente n = 1, pois a massa, m, do sistema é
constante, R é a constante do gás e sendo T constante, mRT = constante. Da nossa análise anterior, concluímos que o trabalho é dado pela Eq. 3.1-5, Portanto:
W2 = ∫ PdV
2
1
1
= P1 V1 ln
V2
0,1
= 200 kPa x 0,04 m 3 x ln
= 7,33 kJ
V1
0,04
c) Consideremos o mesmo sistema porém, durante a troca de calor removamos os pesos de
1,3
tal maneira que a expressão PV = constante descreva a relação entre a pressão e o volume du3
rante o processo. Novamente o volume final é 0,1 m . Calcular o trabalho.
Esse processo é politrópico , no qual n = 1,3. Analisando o processo, concluímos novamente
que o trabalho é dado pela Eq. 3.1- 4, assim:
V1 1,3
0,04 1,3
) = 200(
) = 60,77 kPa
V2
0,1
2
P2 V2 − P1 V1 60,77 x 0,1 − 200 x 0,04
=
1W2 = ∫1 PdV =
1 − 1,3
1 − 1,3
P2 = P1 (
= 6,41 kJ
d) Consideremos o sistema e o estado inicial dados nos três primeiros exemplos, porém mantenhamos o êmbolo preso por meio de um pino, de modo que o volume permaneça constante. Além
disso façamos com que o calor seja transferido do sistema para o meio até que a pressão caia a 100
kPa. Calcular o trabalho.
Como δW = P.dV, para um processo quase-estático, o
trabalho é igual a zero porque, neste caso, não há variação do
volume, isto é, dV=0.
O processo em cada um dos quatro exemplos está mostrado na Figura ao lado. O processo 1-2a é um processo a pressão constante e a área 1-2a-f-e-1 representa o respectivo trabalho. Analogamente, a linha 1-2-b representa o processo em que
PV = constante, a linha 1-2c representa o processo em que
PV
1,3
= constante e a linha 1-2d representa o processo a volume
constante. O estudante deve comparar as áreas relativas sob cada curva com os resultados numéricos obtidos acima.
Exemplo 3.1-2
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Um cilindro com êmbolo móvel, como mostrado na figura,
contém 3 kg d’água no estado de vapor úmido com título igual a 15
% e pressão de 2,0 bar (estado 1 ). Esse sistema é aquecido à
pressão constante até se obter o título igual a 85 % ( estado 2 ).
Pede-se:
a) Representar o processo em um diagrama P-V.
b) Calcular o trabalho realizado pelo vapor durante o processo.
Resposta a)
Resposta b)
Da definição de Trabalho termodinâmico devido ao movimento de fronteira, e sendo a massa do sistema constante,
temos:
2
2
2
1
1
1
W2 = ∫ PdV = P∫ mdv = P. m∫ dv = P. m.(v2 − v1 )
1
(1)
Assim, para calcularmos o 1W2 precisamos determinar o valor do volume específico 1 e 2.
Considerando a tabela de propriedades da água saturada para P = 2,0 bar temos:
VL = 0,0010605 m3/kg
VV = 0,8857 m3/kg
Da definição de título e da relação entre título e uma propriedade qualquer na região de vapor
úmido temos:
V = V L + X x( VV - V L )
V 1 = 0,0010605 + 0,15 ( 0,8857 - 0,0010605 )
V 1 = 0,133756 m3/kg
V 2 = 0,0010605 + 0,85 ( 0,8857 - 0,0010605)
V 2 = 0,7530 m3/kg
Substituindo na expressão do trabalho, Eq.(1) temos:
1 W2
1
= 2,0.105 x 3 x (0,7530 - 0,133756 ) [ J ]
W2 = 3,715.105 [ J ]
Exemplo 3.1-3
ou
1
W2 = 371,5 [ kJ ]
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Fundamentos da Termodinâmica
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Um cilindro com êmbolo móvel, como mostrado na figura, contém 5 kg d’água no estado de vapor úmido com título igual
a 20 % e pressão de 5,0 bar (estado 1). Esse sistema é aquecido à pressão constante até se obter a temperatura de 200 OC
(estado 2). Pede-se:
a) Representar o processo em um diagrama P-ν e h-s
b) Determinar o trabalho realizado pela substância de trabalho
contra o êmbolo, em kJ
Solução
b) O trabalho devido ao movimento de fronteira é:
W2 = ∫ PdV
2
1
1
como P = constante, então
W2 = m P ∫ d ν
2
1
1
= m P (ν 2 − ν1 )
Da tabela de propriedades de saturação, para o estado 1, P1= 5,0 bar
obtemos
Vls1 = 0,0010926 m3 /kg,
Vvs1= 0,3749 m3 /kg
V1 = Vls1 + X1 ( Vvs1-Vls1) = 0,0010926 + 0,2 ( 0,3749 - 0,0010926)
V1 = 0,0759 m3 /kg
Da tabela de vapor superaquecido para P2 = 5,0 bar e T2 = 200 oC, obtemos
V2 = 0,4249 m3 / kg
Assim o trabalho entre o estado 1 e 2 resulta
10 5
m3
kPa x ( 0,4249 − 0,0759)
= 872,5 kJ
1 W2 = 5, 0 kg x 5, 0
kg
10 3
Sistemas que Envolvem Outras Formas de Realização de Trabalho
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Fundamentos da Termodinâmica
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Há sistemas que envolvem outras formas de trabalho, como por exemplo: sistemas que envolvem trabalho magnético e sistemas que envolvem trabalho elétrico.
Também existem outros sistemas que envolvem trabalho devido ao movimento de
fronteira; um fio esticado sujeito a uma força e uma película superficial.
Deve-se observar também que há outras formas de trabalho que podem ser
identificadas em processos que não sejam quase-estáticos. Um exemplo disso é o
trabalho realizado por forças de cisalhamento, num processo que envolve atrito num
fluido viscoso, ou trabalho realizado por um eixo rotativo que atravessa a fronteira
do sistema.
A identificação do trabalho é um aspecto importante de muitos problemas
termodinâmicos. Já mencionamos que o trabalho só pode ser identificado nas fronteiras do sistema. Por exemplo, consideremos a Fig 3.1-6 que mostra um gás separado do vácuo por uma membrana. Fazendo com que a membrana se rompa, o gás
encherá todo o volume. Desprezando-se qualquer trabalho associado com a ruptura
da membrana, podemos indagar se há trabalho envolvido no processo. Se tomarmos como nosso sistema o
gás e o espaço evacuado, concluímos prontamente
que não há trabalho envolvido, pois nenhum trabalho é
identificado na fronteira do sistema. Se, entretanto, tomarmos o gás como sistema, teremos uma variação do
volume e poderemos ser induzidos a calcular o trabalho pela integral
∫ PdV
2
1
Entretanto este não é um processo quaseestático e, portanto, o trabalho não pode ser calculado por aquela relação. Ao contrário, como não há resistência na fronteira do sistema quando o volume aumenta,
concluímos que, para este sistema não há trabalho envolvido.
Um outro exemplo pode ser citado com a ajuda
da Fig. 3.1-7. Na Fig. 3.1-7a, o sistema consiste no
recipiente mais o gás. O trabalho atravessa a fronteira do sistema no ponto onde a fronteira intercepta o
eixo e pode ser associado como forças de cisalhamento no eixo rotativo. Na Fig. 3.1-7b, o sistema inclui o eixo e o peso, bem como o gás e o recipiente.
Neste caso não há trabalho atravessando a fronteira
do sistema, quando o peso se move para baixo. Como veremos mais adiante, podemos identificar uma
variação de energia potencial dentro do sistema, porém, isto não deve ser confundido com trabalho atravessando a fronteira do sistema.
Exemplo 3.1-4
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Considere o sistema mostrado na figura ao lado. O volume
3
inicial do ar no interior do conjunto êmbolo-cilindro é de 0,03 m ,
2
neste estado a pressão interna é de 1,1 kgf/cm , suficiente para contrabalançar a pressão atmosférica externa e o peso do êmbolo. A
mola toca o êmbolo mas não exerce qualquer força sobre o mesmo
nesse estado. O sistema ( ar) é então aquecido até que o volume do
sistema seja o dobro do volume inicial. A pressão final do sistema é
2
de 3,5 kgf/cm e, durante o processo a força de mola é proporcional
ao deslocamento do êmbolo a partir da posição inicial. Pede-se:
a) Mostrar o processo em um diagrama, P - v
b) Considerando o ar como sistema, calcular o trabalho realizado pelo sistema
Solução: a)
W2 = ∫ P d V , e, sendo
2
b) sendo o trabalho
1
W2 = ∫ ( Patm + Pemb + Pmolla ) d V
2
1
P = ( Patm + Pêmb + Pmola ), temos:
1
ou
1
W2 = ∫ ( Patm + Pemb ) d V
2
1
1
+ ∫ Pmola d V
2
1
a pressão atmosférica + o peso do êmbolo é constante, e no sistema internacional vale
4
4
P êmb + P atm = 1,1 x 9,81 x 10 N/m2 = 10,791 x 10 Pa
logo, o trabalho correspondente será:
1W2( atm )
= 10,791 × 10 4
∫
2
1
dV = 10,791x 10 4 [2V1 − V1 ] = 10,791 x 10 4 ( 2 x 0,03 − 0,03) →
W2 ( ATM ) = 3,2373 kJ
1
O trabalho devido à força de mola contra o êmbolo será
W2 =
1
∫
Pmola d V
mas,
Pmola = F( volume),
assim devemos determinar primeiro qual a função que relaciona a pressão devido à mola
com relação à variação do volume.
Entretanto, como ∫ 2PdV representa a área sob a curva, podemos resolver a integral calculando
1
diretamente a área sob a curva da figura a-2. Como sabemos, a área de um triângulo retângulo é
3
A= (b x h)/2, onde, para este caso, b= (V2 - V1) = (0,06 - 0,03) = 0,03 m , e
4
4
h= (P2 - P1) = (3,5-1,1)x 9,81x10 Pa = 23,544 x 10 Pa
logo,
Wmola =
0,03 x 23,544 x 104
= 3,5316 kJ
2
O trabalho total do processo, nada mais é que a soma dos dois trabalhos anteriores,
como mostra a área sob a curva na figura a-3, ou seja:
W2 = Watm + Wmola = 3,237 + 3,5316
1
3-2 CALOR
→
W2 = 6,7686 kJ
1
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Fundamentos da Termodinâmica
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A definição termodinâmica de calor é um tanto diferente da interpretação comum da palavra. Portanto, é importante compreender claramente a definição de calor dada aqui, porque ela se envolve em muitos problemas térmicos da engenharia.
Se um bloco de cobre quente for colocado em um béquer de água fria, sabemos, pela experiência, que o bloco de cobre se resfria e a água se aquece até
que o cobre e a água atinjam a mesma temperatura. O que causa essa diminuição
de temperatura do cobre e o aumento de temperatura da água? Dizemos que isto é
resultado da transferência de energia do bloco de cobre à água. É dessa transferência de energia que chegamos a uma definição de calor.
Calor é definido como sendo a forma de energia transferida, através da fronteira de um sistema a uma dada temperatura, a um outro sistema (ou meio ) numa
temperatura inferior, em virtude da diferença de temperatura entre os dois sistemas.
Isto é, o calor é transferido do sistema de maior temperatura ao sistema de temperatura menor e a transferência de calor ocorre unicamente devido à diferença de
temperatura entre os dois sistemas. Um outro aspecto dessa definição de calor é
que um corpo ou sistema nunca contém calor. Ou melhor, calor só pode ser identificado quando atravessa a fronteira. Assim o calor é um fenômeno transitório. Se
considerarmos o bloco quente de cobre como um sistema e a água fria do béquer
como outro sistema reconhecemos que originalmente nenhum sistema contém calor
(eles contêm energia, naturalmente). Quando o cobre é colocado na água e os dois
estão em "comunicação térmica", o calor é transferido do cobre à água, até que seja
estabelecido o equilíbrio de temperatura. Nenhum sistema contém calor no fim do
processo. Infere-se, também, que o calor é identificado somente na fronteira do sistema, pois o calor é definido como sendo a energia transferida através da fronteira
do sistema.
Unidades de Calor - Conforme já discutimos, o calor, como o trabalho, é uma forma de transferência de energia para ou de um sistema. Portanto, as unidades de
calor, ou sendo mais geral, para qualquer outra forma de energia, são as mesmas
do trabalho, ou pelo menos, são diretamente proporcionais a ela. No sistema Internacional, SI, a unidade de calor ( e de qualquer outra forma de energia ) é o Joule.
Calor transferido para um sistema é considerado positivo e transferido de um
sistema é negativo. O calor é normalmente representado pelo símbolo Q.
Um processo em que não há troca de calor ( Q = 0 ), é chamado de processo
adiabático.
Do ponto de vista matemático o calor, como o trabalho, é uma função de linha e é reconhecido como tendo uma diferencial inexata. Isto é, a quantidade de
calor transferida quando o sistema sofre uma mudança, do estado 1 para o estado
2, depende do caminho que o sistema percorre durante a mudança de estado.
Como o calor é uma função de linha, a sua diferencial é escrita como δQ. Na integração escrevemos:
∫ δQ =
2
1
1
Q2
( 3.2-1)
em outras palavras, 1Q2 é o calor transferido durante um dado processo entre o estado 1 e o estado 2.
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Fundamentos da Termodinâmica
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O calor transferido para um sistema na unidade de tempo, é chamado taxa
•
de calor, e designado pelo símbolo Q , a respectiva unidade é o Watt ( W )
•
Q≡
δQ
dt
(3.2-2 )
Comparação entre Calor e Trabalho - É evidente, a esta altura, que há muita
semelhança entre calor e trabalho, que passaremos a resumir:
a) O calor e o trabalho são, ambos, fenômenos "transitórios". Os sistemas
nunca possuem calor ou trabalho, porem qualquer um deles ou, ambos, atravessam
a fronteira do sistema, quando o sistema sofre uma mudança de estado.
b) Tanto o calor como o trabalho são fenômenos de fronteira. Ambos são observados somente nas fronteiras do sistema, e ambos representam energia atravessando a fronteira do sistema.
c) Tanto o calor como o trabalho são funções de linha e têm diferenciais inexatas.
Deve-se observar que na nossa convenção de sinais, +Q representa calor transferido ao sistema e, daí é
energia acrescentada ao sistema, e +W representa o trabalho realizado pelo sistema, que é energia que sai do
sistema. A Fig. 3.2-1 mostra a convenção de sinais que
adotamos.
Um esclarecimento final pode ser útil para mostrar a diferença entre calor e
trabalho. A Fig. 3.2-2 mostra um gás contido num recipiente rígido. Espiras de resistência elétrica são enroladas ao redor do recipiente. Quando a corrente elétrica circula através das espiras, a temperatura do gás
aumenta. O que atravessa a fronteira do sistema,
calor ou trabalho ?
Na Fig. 3.2-2a, consideramos somente o
gás como sistema. Neste caso calor atravessa a
fronteira do sistema, porque a temperatura das paredes é superior à temperatura do gás.
Na Fig. 2.3-2b, o sistema inclui o recipiente
e as resistências elétricas. Neste caso a eletricidade atravessa a fronteira do sistema, e como anteriormente indicado, isto é trabalho.
Formas de interação de Calor.
As formas mais comuns de interação de calor são através de :
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Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 13
a) - Condução → Lei de Fourier
A condução de calor pode ser considerada como a transferência de energia
das partículas mais energéticas de uma substância para partículas menos energéticas, graças às interações entre partículas [Incropera, F. P. &
Witt, D. P.]. A relação matemática é:
•
Q = − kA
x
dT
dx
( 3.2-3)
x
onde:
k = condutividade térmica
A = área da parede perpendicular à direção x
x = posição onde está sendo calculada a taxa de calor
b) - Radiação térmica
→ lei de Stefan - Boltzmann
A radiação térmica é a energia emitida pela matéria que estiver em
uma temperatura finita. A energia do campo de radiação é transportada pelas ondas eletromagnéticas (ou fotons numa outra linguagem). Enquanto a transferência
de calor por condução precisa de um meio material, a radiação não necessita de
qualquer meio. Na realidade, a transferência de energia por radiação ocorre com
maior eficiência no vácuo. A relação matemática para essa forma de calor é:
•
Q e = ε σ ATb4
(3.2-4)
sendo:
ε = emissividade, propriedade radiativa da superfície,
0≤ ε≤1
W
)
m .K 4
Tb = Temperatura termodinâmica da superfície emitente
A = área emitente da superfície
σ = Constante de Stefan - Boltzmann, (σ = 5, 67 x 10 − 8
2
c) - Convecção - Lei de resfriamento de Newton
O modo de transferência convectiva de calor é sustentado pelo movimento
molecular aleatório e pelo movimento macroscópico do fluido no interior da camada
limite.
Capítulo - 3
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 14
A transferência convectiva de calor pode ser classificada de acordo com a natureza do escoamento. Convecção forçada, convecção livre, ou conveção combinada, dependendo da característica do movimento do meio que está em contato com a
superfície. Independentemente da natureza particular do processo de transferência
de calor por convecção, a equação da taxa apropriada tem a forma: [Incropera, F.
P. & Witt, D. P.]
•
Q = hA(Tb − T f )
(3.2-5)
onde:
A = Área de troca de calor
h = Coeficiente de convecção de calor ou coeficiente
de película
Tb, Tf = Respectivamente as temperaturas da superfície e do fluido.
Capítulo - 4
PRIMEIRA LEI
DA
TERMODINÂMICA
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 2
4 - PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA
A primeira lei da termodinâmica é comumente chamada de " lei da
conservação da energia". Nos cursos elementares de física, o estudo da
conservação de energia dá ênfase às transformações de energia cinética e potencial
e suas relações com o trabalho. Uma forma mais geral de conservação de energia
inclui os efeitos de transferência de calor e a variação de energia interna.
Esta forma mais geral é chamada de " Primeira Lei da Termodinâmica ".
Outras formas de energia podem também serem incluídas, tais como: energia
eletrostática, energia de campos magnéticos tensão superficial etc.
Energia é uma noção familiar, e já conhecemos a maioria dos detalhes sobre
ela. Neste capítulo vários aspectos importantes do conceito de energia são
analisados alguns dos quais já foram vistos no capítulo anterior. A idéia básica, aqui,
é que a energia pode ser armazenada dentro de um sistema, transformada de uma
para outra forma de energia e transferida entre sistemas. Para o sistema fechado
a energia pode ser transferida através do trabalho e da transferência de calor. A
quantidade total de energia é conservada em todas transformações e
transferências.
4-1 - Primeira Lei para Um Sistema Percorrendo Um Ciclo
A primeira lei da termodinâmica estabelece que, durante um processo cíclico
qualquer, percorrido por um sistema, a integral cíclica (somatório sobre todo o ciclo),
do calor é proporcional à integral cíclica do trabalho, matematicamente
∫ δQ = ∫ δ W
(4.1-1)
ou
∑Q = ∑W
ciclo
(4.1-2)
ciclo
A base de todas as leis da natureza é a evidência experimental, e isto é
verdadeiro, também, para a primeira lei da termodinâmica.
Toda a experiência efetuada até agora provou a veracidade direta ou
indiretamente da primeira lei. A primeira lei nunca foi contestada e tem sido
satisfeita por muitas experiências físicas diferentes.
Como discutido no capítulo 3 a unidade de calor e trabalho, para o sistema
internacional, SI, é o joule ou seus múltiplos. Outras unidades são freqüentemente
usadas, tais como aquelas do sistema prático inglês e do sistema prático métrico,
respectivamente, BTU (British thermal units) e a kcal (quilocaloria)
1 kcal = 4,1868 kJ
1 kcal = 3,96744 BTU
1 BTU = 1,0553 kJ
1 kw = 860 kcal / h = 3 412 BTU / h
1 hp = 641,2 kcal / h = 2 545 BTU / h
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 3
Como exemplo de grandes sistemas industriais, que operam em um ciclo
termodinâmico, podemos citar as termoeléctricas a vapor e os sistemas de
refrigeração. Estes dois sistemas são projetados, operados e controlados através da
análise termodinâmica, mais especificamente através dos princípios da primeira lei
da termodinâmica. A seguir, como motivação, são apresentados os esquemas
desses dois sistemas.
Figura 4.1-1a - Sistema termelétrico de uma central de geração elétrica
Figura 4.1-1b - Sistema de refrigeração por compressão de vapor
4-2 - Primeira Lei para Mudança de Estado de um Sistema
A Eq. 4.1-1 estabelece a primeira lei da termodinâmica para um sistema
operando em um ciclo. Muitas vezes, entretanto, estamos mais interessados a
respeito de um processo que em um ciclo. Assim é interessante obter uma
expressão da primeira lei da termodinâmica para um processo. Isto pode ser feito
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 4
introduzindo-se uma nova propriedade, a energia total, a qual é representada pelo
símbolo E.
Considere-se um sistema que percorre um
ciclo, mudando do estado 1 ao estado 2 pelo
processo A e voltando do estado 2 ao estado 1 pelo
processo B. Este ciclo está mostrado na Fig. 4.2-1.
Da primeira lei da termodinâmica temos;
∫ δQ = ∫ δW
considerando os dois processo que constituem o
ciclo separadamente obtemos;
∫
2
1
δQ A + ∫ δQ B = ∫ δWA + ∫ δWB
1
2
2
1
1
2
agora, consideremos outro ciclo, com o sistema mudando do estado 1 ao estado 2
pelo mesmo processo A e voltando ao estado 1 pelo processo C como indicado na
Fig 4.2-1. Para este ciclo podemos escrever:
∫
2
1
δQ A + ∫ δQ C = ∫ δWA + ∫ δWC
1
2
2
1
1
2
Subtraindo a segunda destas equações da primeira, temos,
∫ δQ
1
2
B
− ∫ δQ C = ∫ δWB − ∫ δWC
1
1
1
2
2
2
ou, reordenando
∫ ( δQ − δW )
1
2
= ∫ ( δQ − δW ) C
1
B
2
(4.2-1)
Visto que B e C representam caminhos arbitrários entre os estados 1 e 2
concluímos que a quantidade (δ
δQ - δW) é a mesma para qualquer processo entre o
estado 1 e o estado 2. Em conseqüência, (δ
δQ - δW) depende somente dos estados
inicial e final não dependendo do caminho percorrido entre os dois estados. Isto nos
faz concluir que a quantidade, (δ
δQ - δW ), é uma função de ponto, e portanto, é a
diferencial exata de uma propriedade do sistema. Essa propriedade é a energia
total do sistema e é representada pelo símbolo E. Assim podemos escrever
δQ − δW = dE
ou,
δQ = dE + δW
(4.2-2)
Observe-se que, sendo E uma propriedade, sua diferencial é escrita dE. Quando a
Eq. 4.2-2 é integrada, de um estado inicial 1 a um estado final 2, temos
1Q2 =
E2 - E1 + 1W 2
(4.2-3)
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 5
onde, 1Q2 é o calor transferido para o sistema durante o processo do estado 1 para
o estado 2, E1 e E2 são os valores inicial e final da energia total do sistema e 1W 2 é
o trabalho efetuado pelo sistema durante o processo.
O significado físico da propriedade E é o de representar toda a energia de um
sistema em um dado estado. Essa energia pode estar presente em uma
multiplicidade de formas, tais como; energia cinética, energia potencial, energia
associada à estrutura do átomo, energia química, etc.
No estudo da termodinâmica é conveniente considerar-se separadamente as
energias cinética e potencial, as demais formas de energia do sistema são
agrupadas em uma única variável, já definida, a energia interna, representada pelo
símbolo U. Assim,
E = U + EC + EP
(4.2-4)
sendo
EC =
1
m V2
2
e
EP = mgZ
(4.2-5)
onde, m é a massa do sistema, V é a velocidade, g a aceleração gravitacional e
Z a elevação em relação ao referencial adotado para o sistema termodinâmico.
A razão para trabalhar separadamente é que a energia cinética, (EC), e a
energia potencial, (EP), estão associadas a um sistema de coordenadas que
escolhemos, e podem ser determinadas pelos parâmetros macroscópicos de
massa, velocidade e elevação. A energia interna U está associada ao estado
termodinâmico do sistema. Como cada uma das parcelas é uma função de ponto,
podemos escrever
dE = dU + d(EC) + d(EP)
(4.2-6)
A primeira lei da termodinâmica para uma mudança de estado de um sistema pode,
então, ser escrita como;
δQ = dU + d( EC) + d( EP ) + δW
(4.2-7)
Três observações podem ser feitas relativa a essa equação:
1 - A energia total, E, realmente existe e podemos fazer uso desta para
escrever a primeira lei. Entretanto é mais conveniente, em termodinâmica, trabalhar
separadamente com a energia interna, U, a energia cinética, EC, e com a energia
potencial EP.
2 - A equação 4.2-3 e 4.2-7 são de fato o enunciado da conservação de
energia. A variação líquida de energia do sistema é sempre igual à transferência
líquida de energia através da fronteira do sistema , na forma de calor e trabalho.
3 - A equação 4.2-3 e 4.2-7 somente tratam com variações de energia
interna, energia cinética e energia potencial. Não conseguimos nos informar sobre
os valores absolutos dessas quantidades através dessas equações. Se quisermos
atribuir valores à energia interna, energia cinética e potencial, precisamos admitir
estados de referência e atribuir valores às quantidades nesses estados.
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 6
Exemplo 4.2-1
Um sistema inicialmente em repouso sofre um processo no qual recebe uma
quantidade de trabalho igual a 200 kJ. Durante o processo o sistema transfere para o
meio ambiente uma quantidade de calor igual a 30 kJ. Ao final do processo o sistema
tem velocidade de 60 m/s e uma elevação de 50 m. A massa do sistema é de 25 kg, e
a aceleração gravitacional local é de 9,78 m/s2. Determine a variação de energia
interna do sistema durante o processo, em kJ.
Solução
Conhecemos: Um sistema de massa conhecida sofre um
processo recebendo uma quantidade de trabalho e
transferindo uma quantidade de calor conhecidos. O
sistema está inicialmente em repouso e no estado final tem
velocidade de 60 m/s e elevação de 50 m.
Obter: Determinar a variação de energia interna do sistema.
Hipótese: 1- O sistema sob análise é um sistema fechado, constituído da massa de
25 kg
2- No estado final o sistema está em equilíbrio (velocidade uniforme)
análise:
a primeira lei da termodinâmica (balanço de energia) para o sistema
fechado é
1
Q 2 = ∆E+ 1W2
ou
1
Q 2 = ∆U + ∆EC + ∆EP + 1W2
a variação de energia cinética e potencial é:
∆EC =
1
m ( V 22 − V 12 ) →
2
∆EC =
1
m2
( 2 5 k g )( 6 0 2 − 0 2 ) 2 →
s
2
∆ E C = 45 000 J
m
)(50 − 0) m → ∆EP = 12 225 J
S2
substituindo os valores numéricos na expressão da 1 a lei obtemos o valor de ∆U,
∆EP = mg( Z 2 − Z 1 ) → ∆EP = 25 ( kg ) 9,78 (
∆U = 1 Q 2 − ∆EC − ∆EP − 1W2 → ∆U = ( −30 kJ ) − ( 45,0 kJ ) − (12,225 kJ ) − ( −200 kJ )
⇒
∆U = − 87,225 + 200 = + 112,775 kJ
Comentários:
1- O sinal positivo de ∆U indica que a energia interna do sistema aumentou.
2- Deve-se observar cuidadosamente a conversão de unidades
3- O balanço de energia pode ser obtido pela seguinte planilha
Entradas
200 kJ (trabalho)
200 kJ
Variações Internas
45,000 kJ (energia
cinética)
12,225 kJ (energia
potencial) 112,775 kJ
(energia interna)
170,000 kJ (variação total)
Saídas
30 kJ (calor transferido)
30 kJ
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 7
A entrada líquida de energia excede a saída líquida de energia em 170 kJ, e
portanto, a energia interna do sistema aumentou.( a energia se conservou ! )
Exemplo 4.2-2
Considere 5 kg de vapor de água contida no interior do conjunto cilindropistão. O vapor sofre uma expansão do estado 1 onde P = 5,0 bar e T=240 oC para o
estado 2 onde P=1,5 bar e T=200 oC. Durante o processo 80 kJ de calor é transferida
para o vapor. Uma hélice é colocada no interior do conjunto através de um eixo para
homogeneizar o vapor, a qual transfere 18,5 kJ para o sistema. O conjunto cilindropistão está em repouso. Determinar a quantidade de trabalho transferido para o
pistão durante o processo de expansão.
Solução: - Esquema do problema e o esquema gráfico da solução no plano P-V
hipótese:
1- o vapor é o sistema termodinâmica
fechado.
2- não há variação de energia cinética
e potencial.
Análise:
O balanço de energia para o
sistema fechado resulta
Q 2 = ∆U + ∆EC + ∆EP +∑ 1W2 , como dos dados do problema, ∆EC = ∆EP = 0 , então;
(1)
1 Q 2 = ∆ U +∑ 1W2
onde,
∑ 1W2 = Whelice + Wpistao ,
substituindo na expressão (1)
1
Wpistao = 1Q 2 − Whelice − m( u 2 − u1 )
(2 )
Da tabela de propriedades superaquecidas do vapor de água obtemos para o estado 1 e 2
u1 = 2707, 6 kJ ,
e
u 2 = 2656,2 kJ
substituindo os valores numéricos na expressão (2) temos:
Wpistao = ( +80 kJ ) − ( −18,5 kJ ) − 5,0 kg ( 2656,2 − 2707,6) kJ ⇒
Wpistao = + 355,5 kJ
Comentários:
1) O sinal positivo do trabalho indica que o sistema (vapor de água) realizou trabalho
sobre o meio (pistão) quando o sistema sofreu a expansão
2) Em princípio, o trabalho do pistão poderia ser calculado através da expressão
∫ Pdv , Entretanto, não é possível utilizar tal equação uma vez que não se conhece
a função P= P(volume), mas tão somente, os estados inicial e final.
3) A tabulação do balanço de energia para o sistema, resulta:
Entradas
18,5 kJ (trabalho devido à hélice)
80,0 kJ (calor transferido para o sistema)
98,5 kJ
Saídas
355,5 kJ (trabalho sobre o pistão)
355,5 kJ
A saída total de energia, pelo balanço de energia, excede a energia de entrada,
conseqüentemente a energia do sistema diminuiu da diferença, ∆U= (98,5 - 355,5) = - 257 kJ
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 8
4.3 - PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA EM TERMOS DE FLUXO
Muitas vezes é vantajoso usar a primeira lei em termos de fluxo, expressando
a taxa média ou instantânea de energia que cruza a fronteira do sistema — como
calor e trabalho — e a taxa de variação de energia do sistema. Procedendo desse
modo estamos nos afastando do ponto de vista estritamente clássico, pois
basicamente a termodinâmica clássica cuida de sistemas que estão em equilíbrio e
o tempo não é um parâmetro importante para sistemas que estão em equilíbrio.
Entretanto, incluiremos neste texto essas equações, em termos de fluxo, pois são
desenvolvidas a partir dos conceitos da termodinâmica clássica e são usadas em
muitas aplicações da termodinâmica. Nesta forma, a equação do primeiro princípio
para o volume de controle encontra amplas aplicações na termodinâmica, mecânica
dos fluidos e transferência de calor.
Consideremos um intervalo de tempo δt, durante o qual uma quantidade de
calor δQ atravessa a fronteira do sistema, um trabalho δW é realizado pelo sistema,
a variação de energia interna é ∆U, de energia cinética é ∆(EC) e da energia
potencial é ∆(EP). Da primeira lei, podemos escrever
δQ = ∆U + ∆EC = ∆EP + δW
dividindo por δt teremos a taxa média de energia trocada, como calor e trabalho e
de aumento de energia do sistema.
δQ ∆ U ∆EC ∆EP δW
=
+
+
+
δt
δt
δt
δt
δt
calculando o limite desses valores quando δt tende para zero temos
δQ •
= Q , fluxo instantâneo de calor
δt → 0 δ t
lim
•
δW
= W , potência
δt → 0 δ t
lim
lim
δt → 0
∆U dU
,
=
δt
dt
lim
δt → 0
∆ ( EC ) d( EC )
,
=
δt
dt
lim
δt → 0
∆ ( EP ) d( EP )
=
δt
dt
Portanto a primeira lei em termos de fluxo é
•
Q=
dU d( EC) d( EP ) •
+
+
+W
dt
dt
dt
(4.3-1)
ou
•
Q=
dE •
+W
dt
(4.3-2)
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 9
Exemplo 4.3-1
Durante a operação de carregamento de uma bateria, a corrente elétrica, I, é de 20
•
ampères, e a tensão, ε, é de 12,8 Volts, A taxa de transferência de calor, Q , da
bateria para o meio é de 10 W. Qual a taxa de aumento de energia interna?
Solução
Como não há variação de energia cinética e potencial a equação do primeiro
princípio em termos de fluxo pode ser escrita na forma da Eq. 4.3-1
•
Q=
dU •
+ W , onde, como sabemos a potência elétrica é dada por:
dt
•
W ele = − ε i = − 12,8 x 20 = − 256 W
portanto a variação de energia interna do sistema (bateria) será:
dU • •
= Q− W = − 10W − ( −256 W ) = 246 J / s
dt
Do ponto de vista prático, é interessante escrever a equação 4.3-2 na forma
de somatório para incluir os vários fluxos de calor e/ou trabalho que podem ocorrer
no sistema.
∑
•
1 Q2 =
dE
+
dt
∑
A figura 4.3-1, mostra um sistema
termodinâmico sujeito às possíveis interações
com o meio, a convenção de sinais usados e o
•
referencial. Na Fig 4.3-1, Σ Q + significa calor
•
liquido entrando no sistema, Σ W + significa
somatório de trabalho liquido sendo realizado
pelo sistema sobre o meio. A direção indicada
de calor e trabalho na Fig. 4.3-1 está em acordo
com a posição dos termos nas Eqs. 4.3-1, 4.3-2
e 4.3-3.
•
1 W2
(4.3-3)
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 10
4.4 - Calor Específico a Pressão Constante e a Volume Constante
Várias propriedades relacionadas à energia interna são importantes em
termodinâmica. Uma delas é a entalpia, que já foi definida no capítulo 2. Duas
outras conhecidas como calor específico a pressão constante, CP, e calor
específico a volume constante, Cν , serão aqui consideradas.
Os calores específicos a pressão e a volume constante, são particularmente
úteis para a termodinâmica nos cálculos envolvendo o modelo de gás ideal.
As propriedades intensivas Cν e CP são definidas para substâncias puras e
compressíveis simples como sendo a derivada parcial das funções u(T,v) e h(T,P)
respectivamente;
∂u
Cν =
(4.4-1)

∂ T ν
CP =
∂ h

∂ T P
(4.4-2)
onde os índices ν e Ρ representam respectivamente (volume específico e
pressão), variáveis fixadas durante a derivação. Valores para Cv e Cp podem ser
obtidos por mecanismos estatísticos usando medidas espectroscópicas. Elas podem
também ser determinadas macroscopicamente através de medidas exatas das
propriedades termodinâmicas.
As unidades macroscópicas de Cv e Cp, no sistema internacional, SI, são o
kJ/kg-k ou kJ/kg -oC. Para unidades molares, kJ/ kmol-k.
Observe que na definição de Cv e Cp estão envolvidas somente propriedades
termodinâmicas, e portanto Cv e Cp são também propriedades termodinâmicas de
uma substância.
Aproximações para Líquidos e Sólidos
Pode-se observar nas tabelas de propriedades saturadas e de líquido
comprimido para a água que o volume específico do líquido varia muito pouco com a
pressão e que a energia interna varia principalmente com a temperatura. Este
comportamento é exibido por qualquer substância na fase líquida ou sólida.
Para simplificar avaliações envolvendo líquidos ou sólidos, freqüentemente
adotamos a hipótese, bastante razoável em termos de engenharia, que o volume
específico do líquido é constante e a energia interna como sendo somente função
da temperatura. A substância assim idealizada é chamada de incompressível.
Assim para uma substância na fase líquida ou sólida, que satisfaz o modelo
de substância incompressível a energia interna varia somente com a temperatura, e
portanto, o calor específico a volume constante será função somente da
temperatura. Logo podemos escrever a Eq. 4.4-1 como uma diferencial ordinária
tendo em vista que Cv é função somente de uma variável, a temperatura.
du
Cν =
(incompressível)
( 4.4-3)
dT
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 11
Pela definição anterior de entalpia, para qualquer substância, sabemos que
ela é função da energia interna, da pressão e do volume específico em qualquer
fase, de acordo com a expressão:
h = u + Pv
Para substâncias modeladas como incompressíveis, o calor específico a pressão
constante CP e a volume constante, Cv são iguais, Pode-se mostrar essa afirmação
derivando a equação da entalpia mantendo-se a pressão constante, resultando:
∂ h
du
dv
+P
, sendo a substância incompressível
 =
∂ T P d T
dT
a derivada dv = 0 , portanto
∂ h
du
 =
∂ T P
dT
(incompressível)
(4.4-4)
o lado esquerdo da igualdade é o calor específico a pressão constante, CP e o lado
direito é o calor específico a volume constante de uma substância incompressível,
Cv. Assim;
C ν = C P = C , para sólidos e líquidos
(4.4-5)
O calor específico de alguns sólidos e líquidos são dados na tabela 4.4-1 a
seguir.
Tabela 4.4-1 - Calor específico de alguns sólidos e líquidos a 25 OC
SÓLIDOS
Alumínio
Cobre
Granito
Grafite
Ferro
Chumbo
Borracha (macia)
Prata
Estanho
Madeira (maioria)
Cp
kJ/kg-K
ρ
kg/m3
LÍQUIDOS
Cp
kJ/kg-K
0,900
0,386
1,017
0,711
0,450
0,128
1,840
0,235
0,217
1,760
2700
8900
2700
2500
7840
11310
1100
10470
5730
350-700
Amônia
Etanol
Freon - 12
Mercúrio
Metanol
Óleo (leve)
Água
4,800
2,456
0,977
0,139
2,550
1,800
4,184
ρ
kg/m3
602
783
1310
13560
787
910
997
Para pequenos intervalos de variação de temperatura a variação do calor
específico de um líquido ou sólido em geral é desprezível e o calor específico
nestes casos pode ser admitido constante sem acarretar erros significativos.
Resultado para a entalpia e a energia interna,
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
d h = CP ∫ d T
2
1
-
pág. - 12
d u = Cν ∫ d T
2
e
1
como Cp = Cv então,
dh ≅ du,
para líquidos e sólidos
Exemplo 4.4-1
Estimar o calor específico à pressão constante do vapor d'água a
O
temperatura de 375 C.
6,0 MPa e
Solução:
Se considerarmos uma mudança de estado à pressão constante sobre um
pequeno intervalo de temperatura, que envolva a temperatura dada, a
Eq. 4.4-2 pode ser escrita como:
 ∆ h
CP ≅ 

 ∆ T P
(1)
das tabelas de propriedades da água para vapor superaquecido na pressão
de 6,0 MPa, temos
para
para
T = 350
T = 400
C
h = 3043,0 kJ/kg
C
h = 3177,2 kJ/kg
O
O
substituindo na expressão (1) temos;
CP ≅
3177,2 − 3043,0 134,2
≅
400 − 350
50
→ C P ≅ 2,684
kJ
kg − k
Obs. Foram usadas as temperaturas de 350 OC e 400 OC por incluírem a temperatura de 375 OC no
intervalo, e por serem os valores tabelados mais próximos à temperatura de 375 OC
Exemplo 4.4-2
Uma barra de metal cuja massa é de 0,30 kg é removida de um forno à temperatura
inicial de 927 OC e imersa em um tanque contendo uma massa de
O
9,0 kg de água com temperatura de 27 C. Cada substância pode
ser modelada como incompressível. Um valor apropriado para o
calor específico da água é 4,184 kJ/kg-OC e do metal é
0,42
kJ/kg-K. O calor transferido do tanque para o meio externo pode ser
desprezado. Determinar a temperatura final de equilíbrio do sistema.
Solução:
conhecido:
uma barra de metal é colocada em imersão em um tanque com água
Capítulo - 4
determinar:
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 13
temperatura final de equilíbrio da água e do metal
hipóteses: 1- a barra de metal e a água no interior do tanque formam o sistema fechado
2- o sistema é termicamente isolado
3- não há variação de energia cinética e potencial
4- a água e a barra de metal serão modeladas cada uma como substâncias
incompressíveis com valores conhecidos de calor específico
A temperatura final de equilíbrio pode ser avaliada de um balanço de energia para
sistema fechado
1
Q 2 = ( U 2 − U 1 ) + ∆EC + ∆EP + 1W2
das hipóteses 2 e 3 resulta que, 1Q2 = 1W2 = ∆EC = ∆EP = 0. Como a energia interna é uma
propriedade extensiva, seu valor para todo o sistema é a soma dos valores da água e do metal. Assim
o balanço de energia fica:
∆U ]agua + ∆U ]metal = 0
considerando o metal e a água como incompressíveis podemos escrever as variações de energia
interna em função da temperatura e dos respectivos calores específicos, logo
m a C a ( Tf − Tia ) + m m C m ( Tf − Tim ) = 0
onde Tf é a temperatura final de equilíbrio, Tia e Tim são as temperaturas iniciais da água
e metal respectivamente, resolvendo para Tf e substituindo os valores numéricos, temos:
Tf =
Tf =
m a C a Tia + m m C m Tim
m aC a + m mC m
9,0( kg ) 4,184( kJ / kg − o C) 27( o C) + 0,3( kg ) 0,42( kJ / kg − o C) 927( o C)
9,0( kg ) 4,184( kJ / kg − o C) + 0,3( kg ) 0,42( kJ / kg − o C )
Tf = 30 o C
como o sistema termodinâmico está em equilíbrio, esta é a temperatura final da água e da barra de
metal
Exemplo 4.4-3
Um conjunto êmbolo cilindro, como mostrado na figura,
contém no seu interior palha de aço em uma atmosfera de
oxigênio puro. O peso do êmbolo e a pressão externa mantém a
pressão interna do conjunto constante e igual a 1,0 bar. O ferro
da palha de aço reage muito lentamente com o oxigênio para
formar Fe2O3. Calor é removido do sistema de modo a manter a
temperatura constante e igual a 25 OC. Para a reação de 2 moles de ferro, 2Fe +
1,5O2 → Fe2O3, é necessário remover 831,08 kJ de calor. Adotando como sistema
o oxigênio e a palha de aço calcular: W e ∆U para o processo.
Solução:
Hipóteses:
1- O sistema (oxigênio + palha de aço) está em repouso
2- Tanto o Fe como o Fe2O3 são sólidos, podemos considera desprezível
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 14
o volume ocupados por eles,
_
3- O oxigênio se comporta como gás ideal, portanto, P ν = ℜ T
Da hipótese 2 e 3, para a condição inicial e final do sistema podemos escrever:
_
_
_
onde ν é o volume molar, V é o volume
total ocupado pelo sistema (volume do oxigênio), e " n " o número de moles do
oxigênio
substituindo o volume molar e subtraindo a primeira da segunda equação
temos:
P1 ν1 = ℜ T1 , P2 ν 2 = ℜ T2 , entretanto,
V = nv ,
P2 V2 − P1 V1 = n 2 ℜ T2 − n1ℜ T1
da equação de reação química, para formar os dois moles de Fe2O3 são
necessários 1,5 moles de oxigênio. Observe que essa quantidade de oxigênio é
consumida no processo para formar o Fe2O3, que é um sólido com volume
desprezível comparado ao volume total do sistema.
P( V2 − V1 ) = ( n 2 − n1 )ℜ T
assim a variação do volume do sistema resulta:
∆V = ∆n
ℜT
P
a) O trabalho do sistema devido á variação do volume será
W2 = ∫ PdV = P ∫ dV = P ∆V = P∆n
2
1
⇒
2
1
1
W2 = − 1,5 ( mols)
1
⇒
ℜT
= ∆nℜ T
P
1( kmols)
J
8314 (
)( 25 + 27315
, )( K )
1000 ( mols)
Kmols − K
W2 = − 3718,23 J = − 3,72 kJ
1
Trabalho negativo, significa que o êmbolo realizou trabalho sobre o sistema
b) Da primeira lei para o sistema temos
1
Q 2 = ∆U + ∆EC + ∆EP + 1W2 ,
da 1a hipótese , ∆EC = ∆EP = 0
∆U = 1Q 2 − 1W2 = ( − 831,08 kJ ) − ( −3,72 kJ ) = − 827,36 kJ
Onde o sinal negativo indica que houve uma diminuição da energia interna do
sistema que reflete a variação nas energias de ligação provocada pela reação
química
Exercícios
4-1) - Um tanque contendo um fluido é agitado por uma
hélice como mostrado na figura. O trabalho aplicado à hélice é
de 1280 kcal. O calor transferido do tanque para o meio é de
378 kcal. Considerando o tanque e o fluido como sistema,
determinar a variação de energia interna do sistema, em kJ.
Resposta ∆U = 3 738,8 kJ
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 15
4-2) - Considere um tanque contendo um volume de água de 400 litros à
temperatura de 28,96 0C e na pressão atmosférica ao nível do mar (760 mmHg ).
A água do tanque é aquecida através de uma resistência elétrica até que sua
temperatura atinja 45,81 0C. determine a quantidade de energia, transferida para
o sistema, em kcal.
Resposta
Energia = 680,2 kcal
4-3) - Considere um conjunto cilindro-êmbolo, como mostrado
na figura. O sistema contém 10 kg de água à temperatura de 36,16
O
C e pressão absoluta de 1,5 bar. Calor é transferido para o sistema
até se obter vapor saturado seco (x=1). Determinar a quantidade de
calor transferida à água no processo, em kcal.
Resposta Q = 5 656,3 kcal
4.4) - A taxa de calor transferida de um motor elétrico, em funcionamento,
•
para o ambiente varia com o tempo conforme a expressão a seguir, Q = −02.(1 − e − 0,05t ) ,
•
onde, t é o tempo em segundos, e a taxa de calor, Q , é em kJ. O eixo do motor
tem rotação constante de ω = 100 rad / s e aplica, a uma carga externa, o torque
de 18 N.m. O motor consome uma potência elétrica constante de 2,0 kw. Obtenha
uma expressão para a taxa de variação de energia total do motor (dE / dt).
Resposta,
dE
( −0 , 05 t )
= 0,2 . e
dt
4-5) - Um recipiente que tem um volume de 5 m3 contém 0,05 m3 de líquido
saturado de água e 4,95 m3 de vapor de água saturada, a 10 bar. Calor é transferido
até que o recipiente contenha somente vapor saturado seco. Determinar o calor
transferido para o sistema.
4- 6) - Um coletor solar residencial possui uma área de 5,00 m2. A radiação
solar média em um dia de céu limpo é de 1000
W/m2 no plano do coletor solar. O coletor solar
aquece a água de um tanque termicamente
isolado, o qual tem capacidade de 400,0 litros
como mostra a Figura. Entre o tanque e o
coletor solar existe uma bomba que faz com que
a água circule pelo coletor com uma vazão de
0,020 l/s. Admitindo-se rendimento térmico do
coletor solar, η = 45% e que o trabalho da bomba (potência) é desprezível pede-se:
Qual será a temperatura da água no tanque ás 15 horas se às 8 horas a
temperatura no tanque era de 20°C ? (admita temperatura uniforme da água no
tanque).
4.5 - Energia Interna, Entalpia e Calor Específico para Gás ideal
Para gases que obedecem o modelo de gás ideal, a energia interna
específica é função somente da temperatura, como mostrou Joule através de uma
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 16
experiência clássica da termodinâmica em 1843. Assim , o calor específico a volume
constante, Cv, definido pela Eq. 4.4-1 é função somente da temperatura, e pode ser
escrito como:
du
C ν ( T) =
(4.5-1)
dT
ou separando as variáveis, o valor da energia interna específica para o gás ideal
fica:
d u = C ν ( T) d T
(4.5-2)
integrando a Eq. 4.5-2 desde a temperatura T1 até T2 obtemos:
u( T2 ) − u( T1 ) = ∫ C ν ( T) d T
T2
T1
(4.5-3)
A entalpia específica foi definida no capítulo 2 como:
h = u + Pv
Entretanto, para um gás ideal a equação de estado P-v-T, como já visto é:
Pν = RT
substituindo o valor do produto Pv na equação de definição da entalpia, temos;
h = u + RT
(4.5-4)
A Eq. 4.5-4 mostra que no caso de gás ideal a entalpia específica também é
função somente da temperatura. Assim da Eq. 4.4-2 de definição do calor
específico a pressão constante, resulta para o gás ideal:
C P (T ) =
ou
dh
dT
d h = C P ( T) d T
(4.5-5)
(4.5-6)
integrando a Eq. 4.5-6 desde a temperatura T1 até T2 obtemos;
h( T2 ) − h( T1 ) = ∫ C p ( T) d T
T2
T1
(4.5-7)
Uma relação importante entre os calores específicos dos gases ideais pode
ser obtida, diferenciando a Eq. 4.5-4 em relação à temperatura
dh du
=
+R
dT dT
substituindo o calor específico, obtemos:
C p ( T) − C ν ( T) = R
(4.5-8)
(4.5-9)
ou na base molar
_
_
C P ( T) − C ν ( T) = ℜ
(4.5-10)
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 17
Assim os calores específicos para um gás ideal diferem apenas do valor da
constante particular do gás. Como R é sempre positivo então, Cp > Cv e
_
_
conseqüentemente C P > C ν , Para um gás ideal o expoente da transformação
isoentrópica, k, ( P V k = cons tan te ), é função somente da temperatura, por definição
k≡
C P ( T)
C ν ( T)
(4.5-11)
Como Cp > Cv segue-se que k >1. Combinando a Eq. 4.5-9 com a Eq. 4.5-11
resulta
kR
C P ( T) =
(4.5-12)
k −1
C ν ( T) =
R
k −1
(4.5-13)
Os calores específicos para gases que tem comportamento de gás ideal,
necessitam de equações como função da temperatura. Uma dessas equações é a
seguinte:
_
CP
= α + β T + γ T 2 + δT 3 + ε T 4
ℜ
(4.5-14)
onde a tabela 4.5 -1 fornece valores de α, β , γ, δ e ε para alguns gases na
faixa de temperatura de 300 a 1000 K. No limite quando a pressão tende para
zero todos os gases tendem ao comportamento de gás ideal.
_
Tabela 4.5 -1 variação de
α
Gás
CO
CO2
H2
H2O
O2
N2
AR
SO2
CH4
C2H2
C2H4
Gases
monoatômicos
C P com a temperatura para alguns gases Ideais
β x 10
3
γ x 10
6
δ x 10
9
ε x 10
12
3,710
2,401
3,057
4,070
3,626
3,675
3,653
3,267
3.826
1,410
1,426
-1,619
8,735
2,677
-1,108
-1,878
-1,208
-1,337
5,324
-3,979
19,057
11,383
3,692
-6,607
-5,810
4,152
7,055
2,324
3,294
0,684
24,558
-24,501
7,989
-2,032
2,002
5,521
-2,964
-6,764
-0,632
-1,913
-5,281
-22,733
16,391
-16,254
0,240
0,000
-1,812
0,807
2,156
-0,226
0,2763
2,559
6,963
-4,135
6,749
2,5
0
0
0
0
Para gases monoatômicos, tais como He, Ne, Ar, C P é constante em uma grande faixa de
temperatura sendo aproximadamente igual a 5ℜ
ℜ / 2.
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 18
Exemplo 4.5-1
Determine a variação da entalpia específica , em kJ/kg para o vapor de água
quando este sofre um processo desde o estado 1 onde T1 = 400 K e P1 = 0,1 MPa até o
estado 2 onde T2 = 900 K e P2 = 0,5 MPa, por meio de:
a) tabelas de vapor superaquecido da água
b) por integração usando o modelo de gás ideal, com o calor específico dado
pela Eq. 4.5-14.
c) repita o item " a " e " b " para pressão final de 10 MPa.
Resposta:
a) Da tabela de vapor superaquecido temos h1 = 2730,5 kJ/kg
e h2 = 3762,2 kJ/kg , então;
h2 - h1= 1031,7 kJ/kg
_
b) Substituindo a expressão de C P , na Eq. 4.5-7 , temos
h 2 − h1 =
ℜ T2
(α + β T + γT 2 + δT 3 + εT 4 )d T
M ∫T1
integrando,
h1 − h1 =
=
β
γ
δ
ε
ℜ

α ( T2 − T1 ) + ( T22 − T12 ) + ( T23 − T23 ) + ( T24 − T24 ) + ( T25 − T15 )

M
2
3
4
5

8,314
1108
,
4,152
2
2
3
3
{4,070( 900 − 400 ) −
3 [( 900 ) − ( 400 ) ] +
6 [( 900 ) − ( 400 ) ]
18,02
2(10 )
3(10 )
−
2,964
0,807
4
4
[(900)5 − ( 400)5 ]}
9 [( 900 ) − ( 400 ) ] +
4(10 )
5(10 )12
h 2 − h 1 = 1025,0 kJ / kg
A diferença percentual da variação de entalpia calculada pelos dois métodos
é de 0,65%, que é bem próxima do valor obtida através da tabela.
c) O valor de h1 é o mesmo do item a. Para pressão de 10 MPa e T= 900 K
obtemos, da tabela de vapor superaquecido por interpolação h3 = 3691,72 kJ/kg, logo
h3 - h1 = 961,19 kJ/kg
O valor a ser obtido através da integração será o mesmo do item b) pois o calor
específico é função somente da temperatura. Somente a pressão é diferente do caso
anterior.
O valor obtido com o modelo de gás ideal, agora, resulta 7% maior que o valor obtido
através da tabela. Sem dúvida, os resultados do modelo de gás ideal para o item b) onde a
pressão era de 0,5 MPa era esperado, pois como sabemos " todo gás tende a gás ideal
quando a pressão tende para zero "
Para o caso da pressão de 10 MPa , que é 20 vezes maior que o caso anterior, um
desvio maior em relação ao valor correto era esperado.
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 19
4.6 - Conservação de Massa
Na seção anterior consideramos o primeiro princípio da termodinâmica para
um sistema que sofre uma mudança de estado. Um sistema já foi definido como
tendo uma quantidade fixa de massa. Surge agora uma pergunta: variará a massa
do sistema quando houver variação de energia do sistema? Se isto acontecer, então
a nossa definição de sistema como tendo uma quantidade fixa de massa não mais
será válida, quando variar a energia do sistema.
Da teoria da relatividade, sabemos que a massa e a energia estão
relacionadas pela equação bastante conhecida
E = m C2
(4.6-1)
onde C é a velocidade da luz, m a massa e E é a energia. Concluímos a partir
dessa equação que a massa de um sistema varia quando sua energia varia.
Calculemos a grandeza dessa variação de massa para um problema típico e
determinemos se essa variação é ou não significativa.
Consideremos um recipiente rígido que contém 1,0 kg de uma mistura
estequiométrica de um hidrocarboneto combustível (por exemplo, gasolina, C8H18)
e ar, que constitui o nosso sistema. Do nosso conhecimento do processo de
combustão, sabemos que após a realização desse processo, será necessário
transferir cerca de 2900 kJ de calor do sistema para o meio para que seja
restabelecida a temperatura inicial do sistema. Do primeiro princípio
1
Q 2 = U 2 − U1 + 1W2
como, 1W2 = 0, e 1Q2 = - 2 900 kJ , concluímos que a energia interna do sistema
decresceu de 2 900 kJ durante o processo de troca de calor. Calculemos, agora, a
diminuição de massa durante o processo, utilizando a Eq. 4.6-1. A velocidade da
luz é 2,9979x108 m/s. Portanto
2 900 000 (J) = m (kg) . (2,9979x108(m/s))2 →
m = 3,23 x10 -11 kg
Portanto, quando a energia do sistema varia de 2 900 kJ a redução de massa do
sistema será de 2,23 x 10 -11 kg.
Uma variação de massa dessa ordem de grandeza não pode ser detectada
pela balança analítica de maior precisão. Certamente, uma variação relativa de
massa dessa ordem de grandeza está além da precisão requerida essencialmente
para todos os cálculos da engenharia. Portanto se usarmos as leis de conservação
de massa e energia como leis independentes não introduziremos erros significativos
na grande maioria dos problemas termodinâmicos, e nossa definição de sistema,
tendo uma massa fixa, pode ser usado mesmo que haja variação de energia do
sistema.
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 20
4.7 Conservação de Massa e o Volume de Controle
Volume de controle é um espaço que nos
interessa para um estudo ou análise particular,
igualmente como foi definido anteriormente para o
sistema termodinâmico. O espaço é demarcado
pela superfície de controle, sendo esta uma
superfície fechada. Como para o sistema, o volume
de controle pode ter uma superfície de controle real
ou imaginária, fixa ou móvel rígida ou flexível.
Entretanto a superfície deve ser determinada em
relação a algum sistema de coordenadas.
A massa bem como o calor e o trabalho Figura 4.7-1 diagrama esquemático
de um volume de controle
podem atravessar a superfície de controle, e a
massa contida no interior do volume de controle, bem como suas propriedades,
podem variar no tempo.
A Fig. 4.7-1 mostra o esquema de um volume de controle com transferência
de calor, trabalho de eixo, acumulação de massa dentro do volume de controle e
movimento de superfície.
O princípio de conservação de massa para o volume de controle é introduzido
usando-se a Fig. 4.7-2, a qual mostra um sistema (linha contínua) constituído de
uma quantidade fixa de matéria , m, que ocupa diferentes regiões no tempo " t " e
no tempo " t+dt ". No seu interior temos o volume de controle, (delimitado pelas
linhas tracejadas). No tempo " t " a quantidade de massa dentro do sistema, m, sob
consideração é a soma
m = mVC ( t ) + δ m e
(4.7-1)
onde mVC(t) é a massa contida dentro do volume de controle e δme é a massa
dentro da pequena região denominada " e " adjacente ao volume de controle como
mostrado na Fig. 4.7-2a . Analisemos, agora, o que ocorre com a quantidade fixa de
matéria " m " no decorrer do intervalo de tempo dt
Figura 4.7-2 - Ilustração usada para desenvolver o princípio da conservação de massa
para o volume de controle a) tempo " t "
b) tempo " t+dt "
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 21
No intervalo de tempo dt, toda massa na região " e " atravessa a superfície
do volume de controle, enquanto um pouco de massa , chamada de δms,
inicialmente contida dentro do volume de controle, sai para encher a região
denominada " s " adjacente ao volume de controle como mostra a Fig. 4.7-2b. No
instante de tempo t+dt a quantidade de matéria sob consideração no sistema pode
ser expressa pela equação:
m = mVC ( t + dt ) + δ m S
(4.7-2)
Observe que as quantidades de massa nas regiões " e " e " s " não são
necessariamente iguais e que, a quantidade de matéria dentro do volume de
controle pode ter variado. Embora o sistema sob consideração ocupe diferentes
regiões no espaço em tempos diferentes, ele contém a mesma quantidade de
massa. Assim,
mVC ( t ) + δ m e = mVC ( t + dt ) + δ m s
ou rearranjando,
mVC ( t + dt ) − mVC ( t ) = δ m e − δ m s
(4.7-3)
A Eq. 4.7-3 é uma " contabilidade " do balanço de massa, a qual afirma que
a variação de massa dentro do volume de controle durante o intervalo de tempo dt é
igual à quantidade de massa que entra menos a quantidade de massa que sai do
volume de controle. A Eq. 4.7-3 pode ser expressa na base de taxa. Primeiro
dividindo-a por dt para obter:
mVC ( t + dt ) − mVC ( t ) δ m e δ m s
=
−
dt
dt
dt
(4.7-4)
O lado esquerdo desta equação é a taxa média no tempo da variação de
massa dentro do volume de controle durante o intervalo de tempo dt. Os termos do
lado direito, envolvendo a massa que cruza a superfície de controle, são as taxas
médias no tempo do fluxo mássico durante o mesmo intervalo de tempo dt. A
equação para a taxa instantânea de massa é obtida tomando-se o limite de dt
tendendo para zero na Eq. 4.7-4. No limite o volume de controle e o sistema
coincidem. Assim, o limite do termo do lado esquerdo da Eq. 4.7-4 é:
 m ( t + dt ) − mVC ( t )  d mVC
lim  VC
=
dt → 0 
dt
dt

Onde, dmVC
dt
é a taxa de variação de massa dentro do volume de controle no
tempo t. No mesmo limite, quando dt tende para zero, os termos do lado direito
da Eq. 4.7-4 tornam-se respectivamente;
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
•
δ me
= me ,
dt → 0 dt
pág. - 22
•
δ ms
= ms
dt → 0 dt
lim
•
-
lim
•
Nesta expressão m e e m s , são as taxas instantâneas de escoamento de
massa na entrada e saída, respectivamente, no volume de controle. Em resumo a
Eq. 4.7-4 quando dt → 0 é,
•
•
d mVC
= me − m s
dt
(4.7-5)
Em geral podem existir várias localizações na superfície de controle através
das quais a massa pode entrar ou sair. Assim, a Eq. 4.7-5 é reescrita introduzindose o somatório nos termos do lado direito da equação, como na Eq. 4.7-6
•
d mVC
=
dt
•
∑ me − ∑ m s
e
( 4.7-6)
s
A Eq. 4.7-6 constitui a expressão geral do balanço de massa para um
volume de controle, admitindo-se a hipótese de escoamento uniforme dos fluxos de
massa na entrada e saída do volume de controle.
Vamos considerar um outro aspecto do escoamento de massa através de
uma superfície de controle. Para simplificar, admitamos que um fluido esteja
escoando uniformemente no interior de um tubo ou duto como mostrado na Fig. 4.73.
Desejamos examinar o escoamento em termos de quantidade de massa que
cruza a superfície, A durante o intervalo de tempo dt.
Conforme se observa na Fig. 4.7-3, o fluido se
move de uma distância dx durante esse intervalo, e
portanto o volume de fluido que cruza a superfície A é
Adx. Conseqüentemente a massa que atravessa a
superfície A é dada por
Figura 4.7-3 - escoamento
Adx
através de uma superfície
dm =
de controle estacionária
ν
onde ν, é o volume específico do fluido, se agora, dividirmos ambos os membros
dessa expressão por dt e tomarmos o limite para dt→
→ 0, o resultado será:
r
AV
m=
(4.7-7)
ν
r
onde V é a velocidade. Deve-se observar que este resultado, a Eq. 4.7-7, foi
desenvolvido para uma superfície de controle estacionária A, e que, tacitamente
admitimos que o escoamento era normal à superfície e uniforme através da
superfície. Deve-se também considerar que a Eq. 4.7-7 se aplica a qualquer uma
das várias correntes de escoamento que entra e sai do volume de controle , sujeito
às hipóteses mencionadas.
•
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 23
Exemplo 4.7-1
Ar está escoando no interior de um tubo de 0,2 m de diâmetro à velocidade
uniforme de 0,1 m/s. A temperatura e a pressão são 25 OC e 150 kPa.
Determinar o fluxo de massa .
Solução
r
AV
, e usando o modelo de gás ideal para o ar, temos:
Da equação m =
ν
•
ν=
ℜ T 8314 ( 25 + 27315
, )
=
M P 28,97 150000
a área da seção transversal do tubo é:
A=
→
ν = 0,5704
m3
kg
π d 2 π ( 0,2 ) 2
=
= 0,0314 m 2
4
4
portanto,
•
m=
0,0314 x 0,1
= 0,0055 kg / s
0,5704
4.8 - Primeira Lei da Termodinâmica para o Volume de Controle
Já consideramos a primeira lei da termodinâmica para um sistema, que
consiste numa quantidade fixa de massa e mostramos que para um processo ela
pode ser representada pela Eq. 4.2-3, isto é
∑
1
Q 2 = E 2 − E1 + ∑ 1W2
(4.2-3)
Vimos também que, dividindo por dt, ela pode ser escrita em termos de uma
equação de fluxo médio num intervalo de tempo dt, como na Eq. 4.8-1
∑
Q 2 E 2 − E1
W
=
+∑1 2
dt
dt
dt
1
(4.8-1)
A fim de escrever a primeira lei em termos de fluxo para um volume de
controle, procedemos de modo análogo ao usado para deduzir a equação da
conservação da massa em termos de fluxo. Na Fig. 4.8-1 vemos um sistema e um
volume de controle. O sistema é formado por toda a massa inicialmente contida no
volume de controle mais a massa δme.
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 24
Consideremos as mudanças que ocorrem no sistema e volume de controle
durante o intervalo de tempo dt. Durante esse intervalo de tempo, dt a massa δme
entra no volume de controle através da área discreta Ae e a massa δms sai através
da área discreta As. Em nossa análise admitiremos que o incremento de massa δme
tem propriedades uniformes, o mesmo ocorrendo com δms. O trabalho total
realizado pelo sistema durante o processo, δW, é o associado às massas δme e
δms cruzando a superfície de controle, que é
comumente chamado de trabalho de fluxo, e o
trabalho Wv.c que inclui todas as outras formas de
trabalho, tais como associadas com eixo que
atravessa a fronteira, forças de cisalhamento,
efeitos elétricos, magnéticos, ou superficiais,
expansão ou contração do volume de controle.
Uma quantidade de calor, δQ, atravessa a fronteira
do sistema durante dt.
Consideremos agora cada termo da
primeira lei da termodinâmica escrita para sistema
e transformemo-lo numa forma equivalente,
aplicável ao volume de controle. Consideremos
primeiramente o termo E2 - E1.
Seja Et = energia do volume de controle no
instante t
Figura 4.8-1 Diagrama esquemático
Et+ dt = a energia no volume de controle no para a análise de um volume de
instante t+dt
controle segundo a primeira lei mostrando calor, trabalho e massa atravessando a superfície d e controle
Então
E1 = Et + eeδme = a energia do sistema no instante t
E2 = Et+ dt + esδms = a energia do sistema no instante t+dt
Portanto,
E2 - E1 = Et+ δt + esδms - Et - eeδme = (Et +δδt - Et) + (esδms - eeδme)
(4-8-2)
O termo (esδms - eeδme) representa o fluxo de energia que atravessa a superfície de
controle durante o intervalo de tempo, dt, associado às massas δms e δme cruzando
a superfície de controle.
Consideremos com maior detalhe o trabalho associado às massas δme e δms
que cruzam a superfície de controle.
O trabalho é realizado pela força normal (normal à área A) que age sobre a
δme e δms quando estas massas atravessam a superfície de controle. Essa força
normal é igual ao produto da tensão normal - σn, pela área A. O trabalho realizado
é:
-σ
σn A dl = - σnδV = - σnν δm
(4.8-3)
Uma análise completa da natureza da tensão normal, σn, para fluidos reais,
envolve a pressão estática, e efeitos viscosos e está fora do objetivo deste texto.
Admitiremos, neste texto, que a tensão normal, σn, num ponto é igual à pressão
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 25
estática, P, e simplesmente notaremos que esta hipótese é bastante razoável na
maioria das aplicações e que conduz a resultados de boa precisão.
Com essa hipótese, o trabalho realizado sobre a massa δme para introduzi-la
no volume de controle é Peνeδme e o trabalho realizado pela massa δms ao sair do
volume de controle é Psνsδms. Chamaremos a esses termos TRABALHO DE
FLUXO. Na literatura encontramos muitos outros termos, como escoamento de
energia, trabalho de introdução e trabalho de expulsão.
Então, o trabalho total realizado pelo sistema durante, dt, será;
δW = δWv .c + ( Ps ν s δm s − Pe ν e δm e )
(4.8-4)
dividamos, agora, as Eq. 4.8-2 e 4.8-4 por dt e substituamos na primeira lei
Eq. 4.8-1. Combinando os termos e rearranjando,
− E t  δm s
δW v .c
δQ δm e
E
+
( ee + Pe ν e ) =  t + δt
( e s + Ps ν s ) +
+


dt
dt
dt
dt
dt
(4.8-5)
Cada um dos termos de fluxo mássico dessa expressão pode ser rescrito na forma:
e + Pν = u + Pν +
V2
V2
+ gZ = h +
+ gZ
2
2
(4.8-6)
usando a definição de entalpia específica dada pela Eq. 2.2-2.
Deve ser ressaltado que o aparecimento da combinação (u + Pν
ν) sempre
que há fluxo de massa através de uma superfície de controle é a principal razão
para se definir a propriedade entalpia. A sua introdução antecipada relacionada
com o processo a pressão constante, foi feita para facilitar o uso das tabelas de
propriedades termodinâmicas naquela altura.
Utilizando-se a Eq. 4.8-6 para as massas entrando e saindo do volume de
controle, a Eq. 4.8-5 torna-se
− E t  δm s
V2
V2
δW v .c
δQ δm e
E
+
( he + e + gZ e ) =  t + δt
( hs + s + gZ s ) +
(4.8-7)
+


dt
dt
2
dt
dt
2
dt
Para reduzir essa expressão a uma equação em termos de fluxo,
consideremos o que acontece a cada um dos termos da Eq. 4.8-7 quando dt tende
para zero. Os termos de calor trocado e do trabalho tornam-se quantidades
associadas à taxa de transferência, como no caso visto na seção 4.3. Analogamente
as duas quantidades de massa tornam-se fluxos de massa, como na seção 4.7 e o
termo de energia torna-se a taxa de variação de energia com o tempo, no volume de
controle, de maneira análoga ao termo de massa na equação da conservação de
massa. Adicionalmente admitimos originalmente propriedades uniformes de massa
δme, que entra no volume de controle através da área Ae e fizemos uma hipótese
análoga relativamente a δms, que sai do volume de controle através da área As.
Em conseqüência, ao tomarmos os limites acima mencionados as hipótese se
reduzem à restrição de propriedades uniformes ao longo das áreas Ae e As num
dado instante. Naturalmente as propriedades podem depender do tempo.
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 26
Ao se utilizar os valores limites para exprimir a equação do primeiro princípio
para um volume de controle em termos de fluxo, novamente incluímos os sinais de
somatório nos termos de escoamento para considera a possibilidade de haver
correntes de fluxo adicionais entrando ou saindo do volume de controle e diversos
pontos onde calor e trabalho são acrescidos ao volume de controle. Portanto o
resultado é:
•
∑Q
•
v .c
+ ∑ m e (he +
Ve2
2
+ gZ e ) =
•
d E v.c
+ ∑ m s (hs +
dt
Vs2
2
•
+ gZ s ) + ∑ W v.c
(4.8-8)
que é, para nossa finalidade, a expressão geral da primeira lei da termodinâmica.
Em outras palavras essa equação diz que a taxa líquida de transferência de calor
para o volume de controle, mais a taxa de energia que entra no mesmo como
resultado da transferência de massa, é igual à taxa de variação da energia dentro do
volume de controle mais a taxa de energia que sai deste como resultado da
transferência de massa, e mais a potência líquida associada a eixo, cisalhamento,
efeitos elétricos e outros fatores que já foram mencionados.
A Eq. 4.8-8 pode ser integrada ao longo do tempo total de um processo para
se obter a variação total de energia que ocorre naquele período. Entretanto para se
fazer isto é necessário o conhecimento da dependência com o tempo dos vários
fluxos de massa e dos estados das massas que entram e saem do volume de
controle.
Um outro ponto que deve ser observado é que se não houver fluxo de massa
entrando ou saindo do volume de controle, aqueles termos da Eq, 4.8-8
simplesmente desaparecem da Eq. 4.8-8, que então se reduz à equação da primeira
lei para sistema fechado, em termos de fluxo, já discutida na seção 4.3, ou seja,
•
∑Q =
•
dE
+∑W
dt
(4.3-3)
Como a abordagem pelo volume de controle é mais geral, e se reduz à expressão
usual da primeira lei para um sistema quando não há fluxo de massa através da
superfície de controle, usaremos como expressão geral da 1a lei, a Eq, 4.8-8.
4.9 - O processo em Regime Permanente
Nossa primeira aplicação das equações de volume de controle será no
desenvolvimento de um modelo analítico adequado para operações em regime
permanente de dispositivos como: Turbinas, Compressores, Bocais, Caldeiras,
Trocadores Calor etc. , ou seja, um grupo muito grande de problemas de interesse
na engenharia. Esse modelo não incluirá as fases transitória de entrada em
operação e parada de tais dispositivos, abordando apenas o período de tempo de
operação estável.
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 27
Consideremos um certo conjunto de hipóteses (além daquelas que levaram à
equação da 1a lei) que conduzem a um modelo razoável para esse tipo de
processo, ao qual nos referimos como processo em regime permanente.
1 - O volume de controle não se move em relação ao sistema de
coordenadas.
- Esta hipótese significa que todas as velocidades medidas em relação
aquele sistema são também velocidades relativas à superfície de controle, e não há
trabalho associado com a aceleração do volume de controle.
2 - Quanto à massa no volume de controle, o estado da mesma em cada
ponto do volume de controle não varia com o tempo.
- Esta hipótese requer que
d m v .c
= 0,
dt
d E v .c
=0
dt
e também,
portanto, concluímos para o processo em regime permanente, que podemos
escrever a equação da continuidade, Eq. 4.7-4 como:
•
∑m
•
s
= ∑ me
(4.9-1)
e a primeira lei da termodinâmica como:
•
∑Q
•
v .c
+ ∑ m e (he +
Ve2
2
•
+ gZ e ) = ∑ m s ( h s +
Vs2
2
•
+ gZ s ) + ∑ W V .c
(4.9-2)
3 - Quanto à massa que escoa através da superfície de controle, o fluxo de
massa e o estado dessa massa em cada área discreta de escoamento na superfície
de controle não varia com o tempo. As taxas na qual o calor e o trabalho cruzam a
superfície de controle permanecem constantes. Isto requer que cada quantidade nas
Eq. 4.9-1 e Eq. 4.9-2 sejam invariáveis com o tempo, isto significa que a aplicação
das Eq. 4.9-1 e 4.9-2 à operação de tais dispositivos é independente do tempo.
Exemplo 4.9-1
O
Vapor de água a 0,5 MPa e 200 C entra em um bocal termicamente isolado com uma
velocidade de 50 m/s, e sai à pressão de 0,15 MPa e à velocidade de 600 m/s. Determinar a
temperatura final do vapor se ele estiver superaquecido e o título se for saturado.
Solução
Hipóteses:
processo em regime permanente,
d E v.c
=0
dt
volume de controle termicamente isolado, → não há transferência de calor pela superfície
de controle, Qv.c = 0, e do problema físico, Wv.c= 0,
do esquema para o problema podemos adotar para os fluxos mássicos que (EP)e ≅ (EP)s
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 28
a
Da 1 lei da termodinâmica, regime permanente resulta
he +
Ve2
2
= hs +
Vs2
2
as velocidades de entrada e saída são conhecidas, a entalpia
de entrada pode ser determinada da tabela de propriedades superaquecidas para o
a
vapor de água, → he = 2 855,4 kJ/kg. Assim substituindo os valores na 1 lei, temos
 Ve2 − Vs2 
hs = he + 

2


→
 50 2 − 600 2  2
1 kJ
 (m 2 )
hS = 2855,4 kJ kg + 
( J ) = 2855,4 kJ kg + ( −178,75) kJ kg
s
2
1000


h s = 2 676,65 kJ / kg
Do diagrama de mollier para a água a Ps = 0,15 MPa e com hs = 2 676,65 kJ,
vemos que o estado 2 é de vapor úmido (hvs = 2693,6 kJ/kg,
hls = 467,11kJ/kg )
assim,
X2 =
hs − he
( 2676,65 − 467,11) 2209,54
=
=
= 0,992 ou
h vs − h ls
( 2693,6 − 467,11)
2226,49
X 2 = 99,2 %
A temperatura é obtida da tabela de propriedades saturadas, para Ps = 0,15 MPa
O
a temperatura é, Ts = 111,4 C
Exemplo 4.9-2
O fluxo de massa que entra em uma
turbina a vapor d'água é de 1,5 kg/s e o calor
transferido da turbina para o meio é de 8,5 kW.
São conhecidos os seguintes dados para o
vapor de água que entra e sai da turbina:
Determinar a potência fornecida pela turbina.
Condições
Condições
de Entrada
de Saída
Pressão
2,0 MPa
0,1 MPa
Temperatura
350 OC
----------Título
--------100 %
Velocidade
50 m/s
200 m/s
Plano de referência
6m
3m
aceleração da gravidade g= 9,8066 m/s2
hipóteses:
O volume de controle é como na figura ao lado
•
•
•
dE v .c
Regime permanente,
Σ me = Σ ms = m
= 0,
dt
Modelo: Tabelas de Vapor d'água ou diagrama de Mollier
Análise: Primeira lei da termodinâmica
Solução
Capítulo - 4
•
•
Q v.c + m( h e +
-
Ve2
2
Fundamentos da Termodinâmica
•
+ gZ e ) = m( h s +
Dos dados do problema,
Vs2
2
•
+ gZ s ) + W v. c
-
pág. - 29
(1)
•
Q v . c = −8 ,5 kW
Do diagrama de Mollier podemos ler os dados para
as condições de entrada e saída da turbina
he = 3137,0 kJ/kg,
hs = 2675,5 kJ/kg,
Se = 6,95 kJ/kg-K
Ss = 7,36 kJ/kg-k
Calculo dos termos de energia cinética e potencial dos fluxos mássicos
Ve2 50 x 50 1 ( kJ )
x
=
= 1,25 kJ / kg ;
2
2
1000 ( J )
gZ e = 9,8066 x 6 x
Vs2 200 x 200 1( kJ )
x
=
= 20,0 kJ / kg ;
2
2
1000 ( J )
gZ s = 9,8066 x 3 x
1( kJ )
= 0,059 kJ / kg
1000 ( J )
1( kJ )
= 0,029 kJ / kg
1000 ( J )
Substituindo os valores numéricos na equação (1) temos
•
− 8,5 + 1,5( 3137 + 1,25 + 0,059) = 1,5( 2675,5 + 20,0 + 0,029) + W v .c
•
portanto,
•
W v .c = W T = − 8 ,5 + 4707 ,5 − 4043 ,3 = 655 ,7 kW
Pode-se fazer mais duas observações em relação a esse exemplo. Primeiro, em muitos
problemas de engenharia as variações de energia potencial (∆EP), são insignificantes, quando
comparadas com as outras formas de energia. No exemplo acima a variação de energia potencial não
afetou o resultado de modo significativo. Na maioria dos problemas onde a variação de altura é
pequena, os termos de energia potencial podem ser desprezados
Segundo, se as velocidades são pequenas, inferiores a cerca de 20m/s, em muitos casos a variação
de energia cinética, (∆EC), também é insignificante quando comparado com os demais termos de
a
energia. Como é a variação de energia cinética que é importante na equação da 1 lei os termos de
energia cinética podem ser comumente desprezados quando não houver grandes diferenças
entre a velocidade de entrada e saída do fluxo mássico no volume de controle. Assim em muitas
a
aplicações da 1 lei deve-se julgar quais valores podem ser desprezados.
Exemplo 4.9-3
Considere uma instalação motora a vapor simples como mostrada na figura abaixo.
Os dados na tabela referem-se a essa instalação.
Localização
Saída do gerador de vapor
Entrada da turbina
Saída da turbina, entrada
do condensador
Saída do condensador,
entrada da bomba
Pressão
2,0 MPa
1,9 MPa
Temperatura
ou Título
o
300 C
o
290 C
15 kPa
90 %
14 kPa
45 C
o
Trabalho da bomba = 4,0 kJ/ kg
Figura para o exemplo 5.5-4
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 30
Determinar as seguintes quantidades , por kg de fluido que escoa através da
unidade.
1 - Calor trocado na linha de vapor entre o gerador de vapor e a turbina
2 - Trabalho da turbina
3 - Calor trocado no condensador
4 - Calor trocado no gerador de vapor.
Existe evidente vantagem em indicar um número para os diversos pontos do ciclo. Por
esse motivo os índices e e s na equação da energia para um processo em regime
permanente, são freqüentemente substituídos por números apropriados, como na figura deste
exemplo.
Como existem diversos volumes de controle a serem considerados na resolução deste
problema, consolidemos até um certo grau, o nosso procedimento neste exemplo.
Todos os processos: em regime permanente
Modelo: Tabelas de vapor e/ou diagrama de Mollier para se obter as
propriedades de todos os estados numerados na figura
Como nada foi dito sobre as velocidades dos fluxos mássicos e suas posições,
as variações de energia cinética e potencial, são desprezadas, pelos
critérios discutidos no exemplo 5.5-2
As propriedades dos estados 1,2 e 3 podem ser lidos no diagrama de Mollier, assim:
h1 = 3023,5 kJ/kg
h2 = 3002,5 kJ/kg
h3 =2361,8 kJ/kg
S1 = 6,7664 kJ/kg-K
S2 = 6,7508 kJ/kg-K
S3 = 7,2831 kJ/kg-K
exemplo para interpolação linear de valores na tabela de propriedades (valor de S3 )
Da tabela de propriedades superaquecidas
o
S P= 1,9, e T= 250 C
S P=1,9, e
o
o
T=250 C
S
6,6066
S1,9
6,5453
→
→
→
o
T = 300 C
T=300 C
P
1,8
1,9
2,0
S
6,8226 →
S1,9 →
6,7664 →
2,0
P
1,8
1,9
interpolando
S1,9 − 6,6066
6,6066 − 6,5453
S1,9 = 6,6066 +
=
S1,9 − 6,8226
1,9 − 1,8
1,8 − 2,0
6,8226 − 6, 7664
(1,9 − 1,8)
( 6,6066 − 6,5453)
(1,8 − 2,0)
S1,9 = 6,57595
S1,9 = 6,8226 +
P = 1,9 Mpa
1,9 − 1,8
1,8 − 2,0
(1,9 − 1,8 )
( 6,8226 − 6,7664 )
(1,8 − 2,0 )
S 1, 9 = 6,79450
ST=290 oC e
=
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
S
-
pág. - 31
T
6,57595
S290
6,79450
250 (valor obtido na interpolação acima)
290
300 (valor obtido na interpolação acima)
S 290 − 6,57595
290 − 250
 290 − 250 
=
→ S 290 = 6,57595 + ( 6,79450 − 6,57595)
= 6,7508
6,79450 − 6,57595 300 − 290
 300 − 250 
S 290 = 6,7508 kJ / kg − K
As propriedades do estado 4 devem ser lidas da tabela de propriedades comprimidas
ou de forma aproximada, da tabela de propriedades saturadas para a temperatura dada.
Assim
h4 = 188,5 kJ/kg
S4 = 0,6387 kJ/kg-K
Procedimento para obter os resultados específicos perguntados no problema:
1 - Calor trocado na linha de vapor entre o gerador de vapor e a turbina
a
Aplicando-se a 1 lei por unidade de fluxo de massa temos
•
1
•
•
Q 2 = m( h2 − h1 )
→
1
Q2
•
=
1
q 2 = ( h2 − h1 ) = 3002 ,5 − 3023 ,5 = − 21,0 kJ / kg
m
2 - Trabalho da turbina
Aplicando-se a primeira lei à turbina para fluxo unitário, temos
•
•
•
•
Q V .c + m h 2 = m h 3 + W V .c
Uma turbina é essencialmente uma máquina adiabática.
Por tanto é razoável desprezar o calor trocado com o meio ambiente. Assim,
•
2
w3 =
W V .C
•
= ( h 2 − h 3 ) = ( 3002 ,5 − 2361 ,8 ) = 640 ,7 kJ / kg
m
3 - Calor trocado no condensador
Neste caso, não há trabalho, assim,
•
•
•
•
Q V .c + m h 3 = m h 4 → 3 q 4 =
Q V .C
•
= ( h 4 − h 3 ) = ( 188 ,5 − 2361 ,8 )
m
3
q 4 = − 2 173 ,3
kJ / kg
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 32
4 - Calor trocado no gerador de vapor.
Neste caso não há realização de trabalho, e a primeira lei fica
•
•
•
Q V .C + m h 5 = m h1 → 5 q1 =
•
Q V .C
•
= ( h1 − h 5 )
m
Na resolução, necessitamos do valor de h5, que pode ser obtido considerando um
volume de controle na bomba do sistema
A primeira lei aplicada à bomba, com a hipótese de que o processo é adiabático, (Q=0 ),
não há transferência de calor da bomba para o meio ou vice-versa, resulta
h4 = h5 + 4w5 , portanto, h5 = h4 - 4W5 → h5 = 188,5 - (- 4,0)
h5 = 192,5 kJ/kg
Assim para o gerador, obtemos:
5
q1 = (3023,5 − 192,5) = 2 831 kJ / kg
A solução gráfica no diagrama de Mollier fica mais rápida, como mostrado na
figura abaixo
Exercícios
4-7) - Um chuveiro elétrico, cuja potência elétrica é de 4400 W , aquece a
água da temperatura de 20 OC até 35 OC. Determina o fluxo mássico de água que
está sendo aquecido.
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 33
4-8) - Em um secador de cabelo, funcionando em regime permanente, a
temperatura do ar saindo é de 83 OC, a velocidade é de 9,1 m/s e a área da saída
do ar é de 18,7 cm2. O ar entra no secador à temperatura de 25 OC, pressão de 1,0
bar e com velocidade de 3,7 m/s.
a) - Admitindo-se que o ar se comporta como gás ideal determinar a potência
elétrica do secador.
b) - Usando dados tabelados de entalpia para o ar determine a potência
elétrica e comente os dois resultados comparativamente (para T=295 K → h = 295,2
kJ/kg para T = 356 K → h = 356,5 kJ/kg )
4-9) - Na Fig. 4-9 temos um coletor solar no qual está
escoando 100 kg/h de água no estado líquido. A temperatura
de entrada da água no coletor é de 30 °C. Se o fluxo de
radiação solar que incide no coletor for de 500 kcal/h e o
rendimento térmico do coletor, η = 40% determine a temperatura
da água na saída do coletor. Admita que a pressão é constante Fig. 4-9 Coletor solar
e igual a 1,01325 bar.
plano residencial
4-10) - Na Fig. 4-10 está esquematizado um
compressor aspirando refrigerante, R-12, cujo título, X = 1.0
e a pressão é de 3,817 kgf/cm2. Admitindo-se um processo
isoentrópico e sendo a pressão de descarga do compressor
de 9,80 kgf/cm2 determine a potência (taxa de trabalho),
que deve ser fornecida ao compressor se ele deslocar uma Fig. 4-10 - Compressor
Alternativo
massa de 500 kg/h de refrigerante -12.
4-11) - Na Fig. 4-11 está esquematizado um tubo de
um trocador de calor de uma caldeira. Determinar o estado
termodinâmico 2 quando for fornecido 1000 kcal/h de
calor à água que escoa no tubo entre o ponto 1 e 2.
Considere que o fluxo de água no tubo é de 100 kg/h e
que está escoando à pressão constante. As propriedades
termodinâmicas no estado 1 são T=100 °C e o título, X=0. Fig. 4-11 - Tubo de caldeira
recebendo calor
4-12)- Uma turbina a vapor pode ser operada em condições de carga parcial
através do estrangulamento do vapor que entra na turbina para uma pressão mais
baixa, como mostra a Fig. 4-12, (Em um processo de estrangulamento a entalpia de
saída é igual a entalpia de entrada). As condições do
vapor de água na linha de alimentação são: P1 = 7,0
kgf/cm2 e 320 °C. Na saída da turbina, P3 = 0,07
kgf/cm2. Supondo que o processo na turbina seja
adiabático reversível, calcular o trabalho produzido pela
turbina quando em plena carga, por kg de vapor
Fig. 4-12 - Turbina a vapor com
controle de capacidade
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 34
passando na turbina, e a pressão para a qual o vapor deverá ser estrangulado para
produzir 75% do trabalho de plena carga.
4-13) - Um tanque contém 45 kg de água na fase líquida inicialmente a 45 oC
com uma entrada e uma saída com igual fluxo de massa como mostra a Fig.4-13. O
fluxo mássico de água na entrada e saída é de
270 kg/h. A temperatura da água entrando no
tanque é de 45 oC. Uma serpentina imersa
dentro da água no tanque remove da água 7,6
kW de calor. A água é bem mistura por uma
hélice de forma que podemos considerar que a
temperatura da água dentro do tanque é
uniforme. A potência introduzida na água pela
hélice é de 0,6 kW. A pressão da água
entrando e saindo pode ser considerada igual e
Figura. 4-13 Tanque com água no
constante. A variação de energia cinética e estado líquido mostrando os dados
potencial pode ser desprezada. Mostrar que a necessários ao exercício 4-13
temperatura da água no tanque é dada por:

 •

 Q − W•
he ′lice 
serp.
 1− e−

TT = T1 +


•


m c PH 2 O


•
m
t
MT




construir o gráfico TT (temperatura da água no tanque) função do tempo
•
t, e
•
calcular a temperatura mínima da água no tanque. (sendo m = m agua ,
de água no tanque)
MT a massa
4.10 - Coeficiente de Joule - Thomson e o Processo de Estrangulamento
O coeficiente de Joule - Thomson , µJ, é definido pela relação
 ∂ T
µJ ≡ 

 ∂ P  h = cons tan te
( 4.10-1)
Análogo à definição dos calores específicos, na seção anterior, essa
quantidade é definida em termos de propriedades termodinâmicas e portando ela
própria é uma propriedade de uma substância.
A importância dessa propriedade pode ser demonstrada considerando-se um
processo de estrangulamento como o da Fig. 4.10-1.
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 35
Considerando-se um balanço de energia, em regime permanente, por
unidade de massa, para o volume de controle detalhado
na
Fig.4.10-1., tem-se:
v12
v 22
+ Z 1g ) = ( h 2 +
+ Z 2g ) + 1w 2
1 q 2 + ( h1 +
2
2
(4.10-1)
Na Eq. 4.10-1 podem ser feitas algumas simplificações:
1. Não há interação de energia, com a vizinhança,
sob as formas de calor ou de trabalho:
1q2 =
0
e
1w 2
Fig.4.10-1 Substância escoando
através de uma Restrição
= 0;
então
( h1 +
v12
v2
+ Z 1g ) = ( h 2 + 2 + Z 2g )
2
2
(4.10-2)
2. Desprezando-se a diferença em relação ao nível de referência: Z1=Z2 a
Eq. 4.10-2 pode ser escrita como
v 22
v12
h2 +
= h1 +
2
2
(4.10-3)
em geral, as parcelas relativas à energia cinética, representam uma parte muito
pequena da energia envolvida no processo de estrangulamento, e desta forma, a
Eq. 4.10-3 toma a forma final:
h1 = h2
(4.10-4)
A perda de carga envolvida na passagem do escoamento pelo ponto de
estrangulamento, acarreta uma queda na pressão à jusante, e desta forma P2< P1.
Se o fluido for um gás, com essa redução de pressão a vazão terá seu valor
aumentado (se o duto for de diâmetro constante) e a energia cinética também se
elevará. Porém, esse aumento não é significativo, na maioria dos casos de
interesse, face à energia envolvida no processo como um todo.
Portanto, a importância do coeficiente de Joule - Thomson para os processos
de escoamento, em especial o de
estrangulamento, está na indicação do
comportamento da temperatura durante
o processo. Quando µj tem valor
positivo, a temperatura sofrerá uma
redução ao passar pela obstrução.
Entretanto um valor negativo de µj
significa que haverá uma elevação de
temperatura no escoamento. Para um
valor nulo do coeficiente de Joule Thomson, temos o denominado ponto
de inversão. A Fig. 4.10-2 ilustra essas
Fig. 4.10-2. Gráfico T x P, mostrando o Comportaobservações, onde nota-se que o lugar
mento do Coef. de Joule-Thomson
geométrico definido por todos os
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 36
pontos de inversão constitui a curva de inversão.
Freqüentemente, um processo de estrangulamento envolve um processo de
mudança de fase do fluido escoando. Um exemplo típico é o escoamento através de
uma válvula de expansão no sistema de refrigeração, na expansão do vapor.
Um Exemplo da Utilidade das Informações contidas no Coeficiente de Joule Thomson.
Na indústria de petróleo, durante a produção de gás natural ou associado
(que é o gás que vem com o óleo, quando este último está sendo extraído), devido a
estes serem uma mistura de vários hidrocarbonetos e mais o vapor de água, pode
vir a ocorrer um fenômeno conhecido como a formação de hidratos. Isto pode
ocorrer nas unidades de separação e também diretamente no local de produção do
poço ("wellhead"), provocado por uma queda na temperatura do gás. Esses hidratos
são compostos sólidos que podem obstruir uma tubulação, causando prejuízos de
milhares de dólares à produção e, não raro, a necessidade de troca dos
equipamentos bloqueados.
Como o coeficiente de Joule - Thomson reflete o comportamento do gás em
relação à temperatura e pressão, pode-se inferir para uma dada mistura gasosa, se
ela terá tendência a se deslocar para a região de formação de hidratos e tentar
prevenir esse problema com antecedência.
Dado um gás em condições iniciais de pressão e temperatura e que sofrerá
um processo de expansão até um estado de pressão mais baixa, freqüentemente
deseja-se inferir se a expansão causará a obstrução da tubulação ou não. Uma
curva P x T de formação de hidratos pode ser colocada sobre um diagrama como o
da Fig. 4.10-2 para determinar onde há a interseção com a curva de resfriamento
de Joule - Thomson, para as condições iniciais do gás. O ponto onde ocorre a
interseção dá a máxima expansão que o gás pode sofrer, sem riscos de formar
hidratos.
A seguir, estão colocados alguns valores do coeficiente de Joule - Thomson,
para o ar, em função da temperatura e da Pressão (Tabela 4.10-1.)
Tabela 4.10-1. O Coeficiente de Joule - Thomson para o ar, em função da
Temperatura e da Pressão.
Pressão
(atm)
T = -25oC
T = 0 oC
T = 25oC
T = 50oC
T = 75oC
T = 100oC
T= 150oC
1
20
60
100
0,3225
0,3020
0,2610
0,2130
0,2745
0,2580
0,2200
0,1820
0,2320
0,2173
0,1852
0,1550
0,1956
0,1830
0,1571
0,1310
0,1614
0,1508
0,1293
0,1087
0,1355
0,1258
0,1062
0,0884
0,0961
0,0883
0,0732
0,0600
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 37
Exemplo 4.10-1
Consideremos um processo der estrangulamento através de uma válvula de expansão,
ou através de um tubo capilar, num ciclo de refrigeração por compressão de vapor. Nesse
processo a pressão do refrigerante cai da alta pressão no condensador para a baixa pressão
no evaporador e, durante este processo, uma parte do líquido se vaporiza. Se considerarmos o
processo como adiabático, o título do refrigerante ao entrar no evaporador pode ser calculado.
Seja considerado o seguinte processo, no qual a amônia é o fluido refrigerante. A
2
O
amônia entra na válvula de expansão à pressão de 12,617 kgf/cm e à temperatura de 32 C.
2
Sua pressão ao deixar a válvula é de 1,342 kgf/cm Calcular o título da amônia na saída da
válvula de expansão.
Solução
Para o processo de estrangulamento de um escoamento através de uma válvula, como
sabemos as hipóteses leva a primeira lei da termodinâmica a ser escrita como:
he = hs
Das tabelas de saturação para a amônia a 32 OC ou diagrama de propriedades,
hs=he ≅ hls= 136,18 kcal/kg.
Para a pressão de 1,342 kgf/cm2 as condições de saturação são T= -28 OC, e
hls = 69,56 kcal/kg e hvs = 392,95 kcal/kg
Da relação entre título e uma propriedade na região de vapor úmido,
X2 =
h 2 − h ls
→
h vs − h ls
X2 =
136,18 − 69,56 66,62
=
392,95 − 69,56 323,39
=
0,206 ou 20,6 %
Exemplo 4.10-2
Em um sistema de refrigeração, onde o fluido de trabalho é o refrigerante, R-134a, este
o
o
entra no compressor a 144,54 kPa e -10 C e sai com 1 000 kPa e 90 C. A vazão de
refrigerante no sistema é de 0,013 kg/s, e a potência consumida pelo compressor é de 1,2 kW.
O refrigerante após sair do compressor entra em um condensador, resfriado com água, com
o
o
aproximadamente 1000 kPa e 80 C e sai como líquido a 964,14 kPa e 34 C. A água entra no
o
o
condensador em contra corrente com o refrigerante, a 28 C e sai com 33 C . Determinar:
1 - A taxa de calor transferido para o meio pelo compressor.
2 - A vazão de água de resfriamento através do condensador.
Hipótese:
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 38
1 - O sistema de refrigeração opera em regime
permanente, (figura ao lado)
2 - A variação de energia cinética e potencial em
cada equipamento do sistema é desprezível
3 - As propriedades do sistema são as do refrigerante 134a - no estado indicado - tabelas e diagrama
4 -Os volumes de controle são os indicados na figura,
Volume de controle 1 e volume de controle 2
Análise:
Primeira lei da termodinâmica para cada um dos
equipamentos sob análise
1 - considerando o compressor, o volume de controle
1,
sendo regime permanente e ∆(EC)=∆(EP) = 0,
das tabelas ou diagrama para o R-134a, obtemos
h2 = 473,1 kJ/kg ,
h1 = 395,0 kJ/kg
•
a
•
•
•
A 1 lei, resulta:
Q v.c + m h1 = m h 2 + W v.c
substituindo os valores, temos,
•
Q comp = 0,013 ( 4731
, − 395,0) + ( −1,2) = − 0,185 kW
2- considerando o condensador como volume de controle 2, para regime permanente
e ∆(EC)=∆(EP) = 0, admitindo-se processo adiabático (Qv.c = 0),
o
das tabelas ou diagrama para o R -134a, obtemos, para P=1000 kPa e T=80 C,
h2'= 462,7 kJ/kg. O estado 3 é de líquido comprimido. O valor de h3 pode ser lido de uma
tabela de líquido comprimido, ou do diagrama de propriedades, ou ainda, de forma aproxio
mada, da tabela de propriedades saturadas para a temperatura de 34 C, h3 = 247,7 kJ/kg
a
aplicando-se a 1 lei para este volume de controle, ela se reduz, com as hipóteses a;
•
•
Σ m e he = Σ ms hs
onde o somatório considera todos os fluxos entrando e saído do volume de controle, que neste
caso é a água e o refrigerante R-134a..
•
Assim,
•
•
•
m agua h e , agua + m R134 a h e , R134 a = m agua h s, agua + m R134 a h s, R134 a
Uma hipótese bastante interessante, mas não obrigatória, é adotar o modelo de escoamento
o
incompressível para a água. Um valor adequado para o calor específico é, Cp = 4,184 kJ/kg C.
A água entra no estado líquido e sai no estado líquido. Separando os termos, temos
•
m agua
•
m R134 a ( h 2 ' = h 3 ) R134 a
=
C agua ( Ts − Te ) agua
=
0,013 ( 462,7 − 247,7)
4,184( 33,0 − 28,0)
=
0,134 kg / s =
481 kg / h
Este problema pode, também, ser resolvido considerando-se dois volumes de controle
separados, um dos quais tem o fluxo do refrigerante R-134a através de sua superfície de controle ,
enquanto o outro tem o fluxo de água. O calor de um dos volumes de controle é transferido ao outro
volume de controle. Como sabemos o calor é transferido do corpo de maior temperatura para o de
menor temperatura.
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 39
Neste caso, o volume de controle de maior temperatura é, sem dúvida, o volume de controle
onde escoa o refrigerante R - 134a. Assim o calor deste volume de controle será negativo enquanto
o volume de controle onde ocorre o fluxo de água receberá o calor que é positivo. A figura ao lado
mostra o esquema para esta solução.
a
Aplicando-se a 1 lei para o volume de controle
do R-134a temos
•
•
•
Q V .C + m R −134 a h e = m R −134 h s
ou
•
•
(Q V .C ) R −1234a = m R 134a ( h s − h e ) R 134a = 0,013 ( 247,7 − 462,7)
•
(Q V.C ) R −134a = − 2,795 kJ
a
Aplicando-se, agora, a 1 lei para o volume de controle da água, temos
•
•
•
Q V.C + m agua h e = m agua h s
•
m agua ,
separando as variáveis e explicitando
incompressível, obtemos
•
•
m agua =
(Q V .C ) Agua
( h s − h e ) agua
com o modelo de escoamento
•
=
(Q V .c ) Agua
C agua ( Ts − Te )
=
2,795
= 0,134 kg / s
4,184(33 − 28)
4.11 - Processo em Regime Uniforme
Na seção 4.9 consideramos o processo em regime permanente e vários
exemplos de sua aplicação. Muitos processos de interesse em engenharia
envolvem o escoamento transitório, que não se enquadram naquela categoria. Um
certo grupo desses processos transitórios — por exemplo, o enchimento de tanques
fechados com um gás ou líquido, ou a descarga de tanques fechados — podem ser
razoavelmente representados por um outro modelo simplificado, chamado de
processo em regime uniforme. As hipótese básicas desse processo são:
1- O volume de controle permanece fixo em relação ao sistema de coordenadas.
2- O estado da massa interna ao volume de controle pode variar com o tempo,
porém em qualquer instante o estado é uniforme em todo o volume de controle (ou
sobre várias regiões identificáveis que compõem o volume de controle total.)
3 - O estado da massa que atravessa cada uma das áreas de fluxo na superfície
de controle é constante com o tempo, embora as vazões possam variar com o
tempo.
Examinemos as conseqüências dessas hipótese e deduzamos uma
expressão para a primeira lei que se aplique a esse processo. A hipótese que o
volume de controle permanece estacionário já foi discutida na seção 5.9 as demais
hipóteses levam às seguintes simplificações da conservação de massa e da primeira
lei.
Todo o processo ocorre durante o tempo, t. Em qualquer instante, durante o
processo, a equação da continuidade é:
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 40
•
•
d m V .C
= Σ ms − Σ m e
dt
Integrando-se essa expressão em relação ao tempo t obtém-se a variação
de massa no volume de controle durante todo o processo
 dm V.C 

 dt = ( m 2 − m 1 ) v.c
0
dt 
∫
t
A massa total que deixa o volume de controle durante o tempo, t é:
•
 Σ m

∫0  s  dt = Σm s
t
e a massa total que entra no volume de controle durante o tempo, t é
•
 Σ m

∫0  e  dt = Σm e
t
Portanto para esse período de tempo , t podemos escrever a equação da
continuidade para o processo em regime uniforme como
( m2 - m1)v.c + Σ ms - Σ me = 0
(4.11-1)
Como em qualquer instante o estado no interior do volume de controle é
uniforme, a primeira lei torna-se:
•
∑Q
V .C
• 
• 
•
 d  


V2
V2
v2
+ ∑ m e  h e + e + gZ e  =
+ gZ  
+ ∑ m s  h s + s + gZ s  + ∑ W V.C
m u +
2
2
2
  V.C

 dt  


cuja integração em relação ao tempo t, resulta
∫
t
0
•
ΣQ
V .C
dt = Σ Q V .C.
• 




v 2e
v 2e



m
h
+
+
gZ
d
t
=
m
h
+
+
gZ

e

∑
∑
e
e
e
e
e
∫0 
2
2

 



t
• 


 v 2s

v 2s
m
h
gZ
d
t
m
h
gZ
+
+
=
+
s





s
s
∑ s s 2
∫0  ∑  e 2





t
•
∫ ∑W
t
0
V .C
dt = ∑ WV .C
(4.11-2)
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
∫
t
0

v2
d 
m  u +
+ gZ 
2
dt  
 
-
pág. - 41
=
V .C
 



v 22
v12
= m 2  u2 +
+ gZ 2  − m1  u1 +
+ gZ1 
2
2


  V .C
 
resultando, então:


v 2e

Q
+
m
h
+
∑ V.C ∑ e  e 2 + gZ e  =
 



v 22
v 12



m
u
gZ
m
u
+
+
−
+
+ gZ 1  
+
 2 2
2
1
1
2
2


  V .C.
 


v s2

m
h
+
∑ s  s 2 + gZ s  +
∑W
V .C
(4.11-3)
Passando a ser esta a equação para o caso onde o modelo de escoamento
uniforme seja aplicável
Exemplo 4.11-1
Vapor d'água à pressão de 1,4 MPa e 300 OC escoa em um tubo , conforme
mostra a figura. Um tanque em vácuo está ligado a este tubo
através de uma válvula. Abre-se a válvula e o vapor enche o
tanque até que a pressão seja de 1,4 MPa, quando então a
válvula é fechada. O processo é adiabático e as variações de
energia cinética e potencial são desprezíveis. Determinar a
temperatura final do vapor no tanque.
Volume de controle : Tanque como mostrado na figura
Estado inicial do tanque : em vácuo → massa m1 = 0
Estado final: conhecido P2
Estado de entrada: conhecidos Pe e Te
Processo de enchimento : hipótese — processo uniforme
Modelo para as propriedades do sistema - Tabelas ou diagrama
Análise: Primeira lei da termodinâmica
∑Q
V .C
-
Solução


v2
+ ∑ m e  h e + e + gZ e  =
2


 



v 22
v 12
+ gZ 2  − m 1  u 1 +
+ gZ 1  
+
m 2  u 2 +
2
2


  V .C.
 
∑m


v s2

h
+
+ gZ s  +
s
s
2


∑W
V .C
Do problema: não há trabalho, Wv.c = 0, O processo de enchimento do tanque pode
ser admitido adiabático, então Qv.c = 0 , tanque inicialmente em vácuo, (m1 = 0)v.c, sem dúvida,
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 42
ms= 0. Como foi admitido que as variações de energia cinética e potencial são desprezível a
a
equação da 1 lei resulta:
mehe = m2u2
pela equação da conservação de massa, (m2 - m1)v.c + Σ ms - Σ me = 0 , → m2 = me
Assim combinando a equação da continuidade com a primeira lei, resulta:
he = u2
Isto é, a energia interna no tanque após o processo é igual à entalpia de entrada do vapor no
tanque.
o
Do diagrama de Mollier para P= 14 bar e T= 300 c
superaquecido. O correspondente valor da entalpia é
vemos que o vapor está
he = 3 040,4 kJ/kg, logo, u2 = 3040,4 kJ/kg
O
A temperatura correspondente, obtida por interpolação é, T= 452 C
Como temos duas propriedades, P, e U então o estado está determinado, a temperatura
não seria necessária para determinar o estado da substância dentro do volume de controle
Se este problema tivesse envolvido uma substância para a qual a energia interna
não consta das tabelas termodinâmicas, seria necessário calcular alguns poucos
valores para u para se poder fazer a interpolação de forma a conseguirmos
determinar a temperatura final.
Exemplo 4.11-2
3
Admitamos que o tanque do exemplo anterior tenha um volume de 0,4 m e contenha
inicialmente vapor saturado seco 350 KPa. Abre-se a válvula e o vapor de água na linha , a 1,4
O
MPa e 300 C escoa para o tanque até que a pressão atinja 1,4 MPa. Calcular a massa de vapor
d'água que escoa para o tanque.
Volume de controle: Tanque como mostra a figura do exemplo anterior
Estado inicial: P1, vapor estado conhecido
Estado de entrada : Conhecido, Pe Te
Processo: Modelo de regime uniforme
Análise: A mesma do exemplo anterior, com exceção do fato que o tanque não está
a
inicialmente em vácuo. Assim a 1 lei para este problema é
mehe = m2u2 - m1u1
m2 - m1 = me
a equação da continuidade se reduz a
a
Portanto combinando a equação da continuidade com a equação da 1 lei, temos
(m2 - m1)he = m2u2 -m1u2
→
m2(he - u2) = m1(he - u1)
(a)
há duas incógnitas nessa equação m2 e u2, entretanto temos uma equação adicional que é
V= m.ν
ν2 = 0,4 m3
(b)
assim, substituindo a eq." b " na eq. "a" e rearranjando, temos
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
V
ν2
-
pág. - 43
( h e − u 2 ) − m 1 ( h1 − u1 ) = 0 (c)
na qual as únicas incógnitas são ν2 e u2 , ambas função de P2 e T2. Como T2 é desconhecido
isto significa que existe um único valor de T2 para a qual a equação "c" será satisfeita;
devemos obter esse valor através do método de tentativa e erro
Solução
3
v1 = 0,5243 m /kg,
he = 3040,4 kJ/kg
m1 = (0,4 / 0,5243) = 0,763 kg
u1 = 2548,9 kJ/kg
a
Admitamos para 1 tentativa que
T2= 342 OC
O
para esta temperatura, T2= 342 C e para a pressão P2=1,4 MPa, temos
3
v2=0,1974 m /kg
u2 = 2855,8 kJ/kg
Substituindo na equação " c "
0,4
(3040,4 − 2855,8 ) − 0,763( 3040,4 − 2548,9 ) = − 0,9517 ≅ 0
0,1974
O
e concluímos que a temperatura admitida para T2 = 342 C está correta.
A massa final do tanque é:
m2 = (0,4 / 0,1974) = 2,026 kg
e a massa de vapor de água que escoa para o tanque é
me = m2 - m1 = 2,026 - 0,763 = 1,2673 kg
Exemplo 4.11-3
3
O
Um tanque de volume 1,4 m contém amônia à temperatura de 36 C. Inicialmente o
tanque contem 50 % de líquido e 50% de vapor em volume. Vapor é retirado
através do topo do tanque até que a temperatura no interior do tanque seja
O
de 15 C. Admitindo-se que somente vapor (ou seja nenhum líquido) saia e
que o processo é adiabático, Estimar a massa de amônia que foi retirada.
Volume de controle: Tanque como mostrado na figura
Estado inicial: T1, Vliq, Vvap - estado conhecido
Estado de saída: Vapor saturado seco (temperatura variando)
Modelo: tabelas e diagramas de amônia
Análise: Com as hipótese acima Qv.c = 0, Wv.c =0 e me= 0 e que ∆EC = ∆EP =
(∆
∆EC) v.c e (∆
∆EP) v.c = 0. Entretanto, a entalpia do vapor saturado de amônia varia com a
temperatura , que varia durante o processo. Assim não poderemos utilizar o modelo de
processo uniforme para este volume de controle. No entanto, como a variação no valor de
entalpia em todo o processo é pequena, podemos adotar a hipótese de um valor médio e
constante para o processo. (isto resulta em uma solução aproximada). Assim
hv 36
o
C=
1 708,34 kJ/kg (408,03 kcal/kg),
hv 15
o
C
= 1695,19 kJ/kg (404,89 kcal/kg).
hs,médio = (1708,34 + 1695,19)/2 = 1 701,77 kJ/kg
a
Assim a equação da 1 lei da termodinâmica para este processo uniforme reduz-se a
mshs,médio + m2u2 - m1u1 = 0
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
e a equação da continuidade, fica:
-
pág. - 44
(m2-m1)+ms = 0
combinando as duas equações temos,
(m1 - m2)hs, média + m2u2 - m1u1 = 0
0u
m2(hs,médio- u2) = m1hsmédio - m1u1 (1 )
Solução:
A seguir os valores obtidos da tabela de amônia
3
3
Vls1 = 0,0017068 m /kg
hls1 = 140,44 kcal/kg (589,67 kJ/kg)
Vvs1 = 0,0931 m /kg
hvs1 = 408,03 kcal/kg (1708,34 kJ/kg )
3
3
Vls 2= 0,0016193 m /kg
hls2 = 116,73 kcal/kg ( 488,73 kJ/kg)
Vvs2 = 0,1748 m /kg
hvs2 = 404,89 kcal/kg (1 695,19 kJ/kg)
2 (
2
P1 = 14,165 kgf/cm 1389,6 kPa)
P2 = 7,427 kgf/cm ( 728,6 kPa )
Calculo dos valores de energia interna, uma vez que não temos os valores tabelados
uls1 = hls1 - (P1v1)ls → uls1 = 589,67 - (1389,6 x 0,0017068) = 589,67 - 2,37 = 587,30 kJ/kg
uvs1 = hvs1 - (P1v1)vs → uvs1 = 1708,34 - (1389,6 x 0,0931) = 1708,34 - 129,37 = 1578,97 kJ/kg
uls2 = hls2 - (P2v2))ls→ uls2 = 488,73 - ( 728,6 x 0,0016193) = 488,73 - 1,18 = 487,55 kJ/kg
uvs2 = hvs2- (P2v2)vs → uvs2 = 1695,19 - (728,6x 0,1748) = 1695,19 - 127,37 = 1567,83 kJ/kg
Cálculo das massa iniciais de líquido e vapor no tanque:
ml1 = (Vl1 / vls1) = 0,7 / 0,0017068 = 410,12 kg
mv1 = (Vv1/vvs1) = 0,7/ 0,0931 = 7,52 kg
m1 = ml1 + mv1 = 410,12+7,52 = 417,64 kg
Assim o valor do produto
m1 hsmédio = 417,64 x 1701,77 = 710 727,22 kJ
m1u1= ml1 x ul1 + mv1 x uv1= (410,12 x 587,30)+(7,52 x 1578,97) = 240 863,48 + 11 873,85 →
m1u1 = 252 737,33
a
substituindo estes valores na 1 lei da termodinâmica, eq. (1 )
m2(hsmédio - u2) = m1hsmédio - m1u1 (1 )
m2(hsmédio - u2) = 710 727,22 - 252 737,33 = 457 989,89 kJ
Existem duas incógnitas nesta equação m2 e u2 entretanto temos ainda a equação do
volume, isto é,
V 1, 4 , (2 )
m =
=
2
ν2
ν2
entretanto o volume específico no estado 2 pode ser determinado através do título , isto é
ν 2 = ν 2 ls + X 2 ( ν 2 vs − ν 2 ls ) → ν 2 = 0,0016193 + X 2 ( 0,1748 − 0,0016193)
substituindo na equação para (2 ), para m2 temos
m2 =
1,4
0,0016193 + X 2 ( 0,17318)
Capítulo - 4
-
Fundamentos da Termodinâmica
-
pág. - 45
substituindo na equação (1), para u2 obtemos
u2 = 1 172,04 - 56 653,35 X2 (3 )
mas u2 é função do título, como sabemos assim,
→
u2 = uls2 + X2( uvs2 - uls2)
u2 = 487,55 + 1080,28 X2
substituindo o valor de u função de X2 na equação (3 ), obtemos:
487,55 + 1 080,28 X2 = 1 172,04 - 56 653,54 X2
X2 =
684 , 49
= 0 , 011856 ou
57733,82
portanto
X 2 = 1186
,
%
3
v2 = 0,0016193 + 0,011856 x 0,17318 = 0,0036725 m /kg
logo
m2 = 1,4 / 0,0036725 = 381,21 kg
assim a massa ms que saiu será, pela continuidade
ms = m1 - m2
→
ms = 417,64 - 381,21
→ ms = 36,43 kg
Exercícios
4-14) - Ar a 500 kPa e 20 oC escoa por uma tubulação. A linha é ligada
através de uma válvula a um recipiente em vácuo. A válvula é então aberta e o ar
escoa para o recipiente até que a pressão interna atinja 500 kPa.
a) Se o processo ocorre adiabaticamente, qual é a temperatura final do ar no
interior do recipiente?
b) Desenvolver uma expressão para a relação entre a temperatura na linha e
a temperatura final do recipiente
4-15)- Um tanque isolado de 2 m3, que contém amônia a -20 oC e título de
80% é ligado , através de uma válvula, a uma linha onde escoa amônia a 2 MPa e
60 oC. A válvula é aberta, permitindo à amônia escoar para o tanque. Determinar a
pressão final interna na qual a válvula deve ser fechada para que se tenha 15 kg de
amônia no tanque no estado final.
4-16)- Um tanque que tem um volume de 5 m3 contém vapor d'água
saturado à pressão de 200 kPa. Ligado a esse tanque existe uma linha onde o vapor
d 'água escoa a 800 kPa e 300 oC. A válvula é aberta e o vapor escoa para o
tanque até que a pressão interna atinja 800 KPa, quando então a válvula é fechada.
Sabendo-se que não há troca de calor entre o tanque e o meio durante o processo,
determinar a massa de vapor que entra no tanque.