Introdução
Antes mesmo de Galileu, o homem, com o avanço do comércio e das técnicas de produção,
já havia sentido a necessidade de realizar medições, mas foi Galileu que trouxe a real importância das
medições para a Ciência. Ora, o que é medir? Quando medimos, o que realmente estamos fazendo? Medir
é comparar com padrões pré-determinados. Mas quando medimos, medimos o quê? Quais são as coisas que
podemos mensurar? Em Ciência, aquilo que se pode mensurar objetivamente é chamado de Grandeza física. Veja:
distância é uma grandeza; saudade não. Tempo é uma grandeza, felicidade não. Por mais que você se sinta mais
feliz hoje, por ter começado a estudar Física, do que você se sentia no ano passado, você não pode atribuir a esse
acréscimo de felicidade um valor, nem tampouco ele receberia uma unidade de medida. Leia as considerações
a seguir para entender melhor.
As grandezas físicas e suas unidades
Como já citamos em nossa introdução, não
podemos medir tudo no mundo, mas podemos medir
algumas coisas. A maior dificuldade para se
iniciar uma medida é estabelecer um padrão
com o qual se irá comparar aquela grandeza física.
Por exemplo, no século XII, o rei Henrique I da
Inglaterra fixou a jarda como a distância entre seu
nariz e o polegar de seu braço estendido. Este era o
padrão para se medir distâncias em seu reino. Quando
se dizia que um determinado campo tinha lado igual a
1000 jardas, estava-se comparando o comprimento do
campo a quantidades de distâncias iguais à distância
entre o nariz e a ponta do polegar do rei. No entanto, essa
naturalmente não é uma comparação tão boa assim...
Imagine que um comerciante desse reino precisasse
fazer uma venda a alguém de outro reinado e sua única
opção de medir comprimentos fosse a jarda. Como ficaria
essa negociação? E essa não é a única unidade de medida
que tem como padrão o corpo humano... temos o pé, o
palmo e outras tantas partes do nosso corpo que, embora mudem de tamanho de pessoa para pessoa, ainda são
muito utilizadas nos dias de hoje por mais engraçado e curioso que pareça.
Se você tem curiosidade de saber mais unidades de medida estranhas, basta
pesquisar na internet! Nosso ambiente virtual é repleto de exemplos dessas
peculiaridades.
Não é preciso pensar muito para concluir que os padrões de medidas para serem amplamente adotados
carecem de uma certa universalidade. A unidade de medida deve ser universal. Foi com esse objetivo que
surgiu o metro, por exemplo. Trata-se de uma barra de platina iridiada que ainda hoje é conservada no Escritório
Internacional de Pesos e Medidas, na França. Este é o padrão mais adotado para se medir comprimentos,
distâncias no mundo atual. É claro que, acompanhando o metro, temos também seus múltiplos e submúltiplos
como, o centímetro (0,01m) e o quilômetro (1000m) para fazer medições de maneira mais conveniente.
Bem, chegamos a um ponto em que já podemos definir o que é grandeza, o que é medir e o que são
as unidades de grandeza de maneira generalizada. Grandeza é tudo aquilo que se pode medir comparando a
um padrão conhecido. Grandezas são as coisas que podem ser quantificadas por meio de medições. Unidades
de medida, por sua vez, são os padrões que estamos utilizando para fazer a medida. Massa é uma grandeza,
quilograma é uma unidade de medida da grandeza massa. Tempo é uma grandeza, segundo é uma unidade
de medida da grandeza tempo. Cada grandeza possui algumas unidades de medida correspondentes e que
não podem ser confundidas. Que sentido real faria, se disséssemos que uma viagem de Brasília a Fortaleza
demorasse14 quilogramas? Nenhum. A informação poderia estar correta, no entanto, se no lugar de quilograma
utilizássemos a unidade hora. Em uma viagem de Brasília a Fortaleza leva-se 14 horas. Bem mais coerente,
não é?
Grandeza é o que se pode medir. Exemplos: tempo, distância, velocidade,
temperatura.
Unidade de medida é o padrão que se utiliza para fazer uma medição.
Exemplos: segundo, metro, grama.
Faça hoje! Antes de dormir
1. Nos parênteses abaixo, escreva 1 quando a palavra relacionada se tratar de uma grandeza e 2 quando
se tratar de uma unidade de medida.
a) ( ) tempo
b) ( ) distância
c) ( ) segundo
d) ( ) massa
e) ( ) quilômetro f ) ( ) temperatura
g) ( ) hora
h) ( ) metro
i) ( ) comprimento
j) ( ) grama
k) ( ) quilograma
l) ( ) pressão
m) ( ) centímetro
n) ( ) minuto
o) ( ) velocidade
p) ( ) altura
q) ( ) quilômetro por hora
r) ( ) força
2. Cite pelo menos três unidades de medida possíveis para as grandezas relacionadas abaixo. Pesquise!
a) Tempo
b) Distância
c) Massa
d) Temperatura
e) Velocidade
Conversão de unidades
Agora que já sabemos algumas unidades possíveis para cada grandeza, é interessante que saibamos como
fazer conversões (trocas de unidades) sem que o valor real, a quantidade real da grandeza física seja alterada. Isso
pode ser feito da seguinte maneira:
“Sabendo que cada metro é composto de 100 cm, se uma determinada porta possui 2 m de altura, pode-se
dizer corretamente que sua altura corresponde a 200 cm.“
Mas como chegamos a essa correspondência? É fundamental que saibamos como se relacionam as
unidades. A partir daí, basta fazer uma regra de três simples. Segue abaixo uma tabela com algumas unidades
que serão muito utilizadas, a correspondência entre elas e um exemplo de conversão.
Grandeza
Distância
Tempo
Unidade 1
1 m (metro)
1h (hora)
Unidade 2
100 cm (centímetros)
60 min (minutos)
Unidade 3
1000 mm (milímetros)
3600 s (segundos)
Exemplo:
Suponha que você deseje saber a quantos segundos correspondem 4,5h. Basta que se faça a regra de três a seguir:
1h_______________3600s
4,5h______________x
1. x = 4,5. 3600
x = 16200s
O mesmo pode ser feito para qualquer outra unidade. Em caso de unidades mistas (formadas por mais de
uma unidade), como a unidade de velocidade, que é medida em km/h, m/s, m/min, cm/s entre outras, pode-se
converter cada uma das unidades separadamente, ou encontrar uma regra de conversão para a unidade como
um todo. A seguir, encontraremos a regra de conversão para as duas unidades de velocidade mais utilizadas
(km/h → m/s).
1
km km = 1000 m = 1 m
1 –––
= ––– ———– —— 1 km/h = —– m/s ou, simplesmente 1 m/s = 3,6 km/h
3,6
3600 s
h
1h
3,6 s
Grandeza
Velocidade
Unidade 1
1 km/h
Unidade 2
3,6 m/s
Sabendo da conversão acima, podemos agora fazer simplesmente a regra de três anterior para converter
o valor de uma velocidade originalmente em metros por segundo para quilômetros por hora, ou vice-versa. Veja:
Exemplo:
Suponha um carro que se move a 72km/h. Para saber qual seria a velocidade desse carro em metros por
segundo, fazemos:
1m/s _________ 3,6km/h
x ____________ 72km/h
1 . 72 = 3,6 . x
72/3,6 = x
20 = x
x = 20m/s
Faça hoje! Antes de dormir
1. Faça as conversões a seguir:
a) 12km = _________ m
b) 5km = _________cm
c) 127cm = ________m
d) 1mm = _______cm
e) 30s = ______min
f ) 2h = ________s
g) 15min = _______h
h) 1,5h = _______s
i) 180km/h = ________m/s
j) 20m/s = __________km/h
k) 60km/h = _______km/min
l) 1m/s =________km/h
Unidades do sistema internacional
O progresso da Ciência é diretamente relacionado à velocidade com que as informações circulam entre os
grupos de cientistas e à facilidade com que são interpretadas. Um sistema de unidades de medidas único seria
uma forma de facilitar as trocas de informações. Diante dessa necessidade, criou-se o Sistema Internacional de
Unidades, conhecido por SI. Segue uma tabela com algumas das unidades de medida do SI.
Grandeza
Comprimento
Massa
Tempo
Temperatura
Unidade
Metro
Quilograma
Segundo
Kelvin
Símbolo
m
kg
s
K
As unidades compostas, no SI, devem ser compostas por unidades simples do
Sistema. Ex.: velocidade em m/s.
Faça hoje! Antes de dormir
1. Escreva as seguintes medidas em unidades do Sistema Internacional de Unidades.
a) 32 km = __________
b) 12h = __________
c) 4 km/h = ___________
d) 10 cm =__________
e) 1,5 mm = ___________
f ) 0,25h = ____________
g) 1200 km =_______________
h) 2 dias =________________
i) 1 ano =________________
Notação científica e ordem de grandeza
Na seção anterior, você deve ter percebido que da necessidade de se trabalhar com unidades convencionadas
pelo SI surgem números ora muito grandes, ora muito pequenos. Números fracionários, números com vírgulas.
Nesses casos, fica muito mais fácil e lógico utilizar potências de dez. É disso que trata a notação científica. Com
base nessa notação, todas as medidas devem ser escritas na forma x .10y u, onde x será chamado de mantissa
(deve ser um valor maior ou igual a 1 e menor que 10 com um número finito de casas decimais), 10y será a ordem
de grandeza da medida e u será sua unidade (se houver). Da seguinte maneira: suponha que um cientista tenha
medido a massa de uma pequena porção de cobre com uma balança muito precisa e chegado ao valor de 0,0053g.
Caso este cientista fosse trocar essa informação com um grupo de colegas em um congresso, seria interessante
que o valor fosse apresentado em notação científica e em unidades do SI. Isto é, a informação deveria estar na
forma citada anteriormente, 5,3.10-6kg. Note que a ordem de grandeza desta medida é 10-6 e que o valor 5,3 está
compreendido no intervalo adequado. Mas como chegamos a essa forma?
A primeira pergunta que temos de responder é qual a unidade adequada para essa medida. No caso, tratase de uma certa massa, e massa no SI deve ser medida em quilogramas. O próximo passo será fazer a conversão.
0,0053 g = 0,0000053 kg.
Um pouco de matemática: trabalhando com potências de dez
O expoente de uma potência de dez é a quantidade de zeros que essa potência representa. Por exemplo,
103 é 1000, 104 é 10000.
Para operarmos com potências de dez, é necessário relembrar como se multiplicam e como se dividem
potências de mesma base. Veja:
multiplicação de potências de mesma base: conserva-se a base e soma-se o expoente. Exemplo: 103 x
105 = 108;
divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e subtrai-se o expoente. Exemplo:
105
––––
= 103 .
102
Note que o primeiro valor diferente de zero (da esquerda para a direita) é o 5. Esse deverá ser o único valor
numérico antes da vírgula na mantissa da notação científica. Deveremos então deslocar a vírgula 6 casas para a
direita. Todo deslocamento da vírgula para a direita fará o expoente da potência de dez (a ordem de grandeza)
diminuir, e todo deslocamento da vírgula para a esquerda fará a ordem de grandeza crescer. Veja os exemplos a
seguir.
Exemplo:
As medidas foram transformadas em unidades do SI na notação científica.
0,0246cm = 2,46.10-4m
1h = 3,6. 103s
12km = 1,2.104m1500g = 1,5.103kg
2300km = 2,3.105m
7200km/h = 2.103m/s
1km = 1.103m
1m = 1.100m
1 dia = 86,4.103s
Para saber a ordem de grandeza de cada uma dessas medidas, basta que tomemos o expoente da
potência de 10 em cada uma delas. Assim, para 2.103m/s, a ordem de grandeza é 103; para 1.100m, a ordem
de grandeza é 100.
Escrever uma medida em notação científica significa escrevê-la na forma x .10y
u, onde x é um número maior ou igual a 1 e menor que 10 com quantidade finita
de casas decimais e chama-se mantissa; 10y é a ordem de grandeza da medida e
u é a sua unidade (caso exista).
Observação importante: Nunca se deve acrescentar zeros à direita dos valores. Note que uma medida 3,0
cm é mais precisa que simplesmente 3cm. Já 3,00cm, por sua vez, é uma medida bem mais precisa que as
duas anteriores. Caso desejemos transformar a medida 3cm em uma medida no Sistema Internacional e em
notação científica, ela seria 3 . 10-2 cm, isto é, a mantissa seria formada por um número sem casas decimais.
Arredondamentos
Na seção anterior, ressaltamos que o número de casas decimais da
mantissa deve ser finito. No entanto, em análises científicas, não é raro que
encontremos números irracionais (como o pi) ou dízimas periódicas. Como
proceder nesses casos? Deveremos aplicar técnicas de arredondamento.
Para arredondar um valor afetando minimamente sua correspondência com
a realidade, devemos primeiramente, determinar a quantidade de casas à
direita da vírgula que desejamos apresentar no resultado final. Essa análise
está relacionada à precisão da medida e do problema como um todo. Bem,
suponha que tenhamos calculado o comprimento de uma circunferência e que o
resultado tenha sido um valor com infinitas casas à direita da vírgula. Suponha ainda
que o problema exija uma resposta no SI, em notação científica e com apenas dois
algarismos depois da vírgula. Nesse caso, como tratar um valor como 9,424777962 cm?
Antes de qualquer coisa, como sempre, devemos transformar este valor em centímetros em
seu
correspondente valor em metros (que é a unidade do Sistema Internacional para comprimentos). Façamos
uma regra de três simples:
1m ___________100cm
x______________9,424777962cm
100 . x = 9,424777962 . 1
x = 0,009424777692m.
Devemos, agora, colocar o valor na notação científica. Como sabemos, a mantissa deve ter apenas um
valor numérico à esquerda da vírgula, e esse valor não pode ser um zero. Deve-se então trabalhar para que o 9
(que é o primeiro valor diferente de zero, da esquerda para a direita) seja esse valor. Para tanto, devemos levar
a vírgula três casas para a direita, o que fará surgir uma potência de 10 de expoente -3 (essa será justamente a
ordem de grandeza do número). O resultado disso será um número na forma 9,424777962 × 10-3m. Chegou a
hora de trabalhar o valor para que ele termine na casa centesimal. Para tanto, devemos proceder da seguinte
maneira: caso a primeira casa a ser retirada seja menor que 5, o número anterior permanece como está e a parte
seguinte é simplesmente retirada. Caso a primeira casa a ser removida seja igual ou maior que 5, o primeiro
número à sua esquerda deverá ser acrescido de uma unidade e a parte seguinte deve ser retirada. Assim, como
precisamos de uma resposta final até a casa centesimal, deve-se analisar o número que ocupa a terceira casa
à direita da vírgula. Em nosso exemplo, esse número é um 4, e portanto o arredondamento trataria de apenas
retirar os valores à direita da casa desejada. Assim:
9,424777962 o primeiro valor a ser retirado seria o 4;
9,42 [4777962 simplesmente retira-se a parte remanescente do número, já que o primeiro valor a ser
removido é menor que 5;
A resposta final do problema será 9,42 × 10-3m.
Seria diferente caso a questão exigisse uma resposta até o terceiro algarismo à direita da vírgula. Veja
que, neste caso, o primeiro valor a ser retirado seria um 7:
9,424 [777962 como o primeiro valor a ser retirado é um 7 – ou seja, um valor superior a 5. Deve-se, então,
adicionar 1 ao valor anterior e a resposta final do problema fica 9,425 × 10-3m.
Não se deve arredondar medidas, sob pena de alterar a precisão atribuída à
medição pelo equipamento de medida utilizado. Só podem ser arredondados
valores que surgiram como resultado de operações matemáticas.
Para se arredondar um valor, deve-se saber a quantidade de casas à direita da
vírgula necessárias na resposta final e analisar a parte a ser retirada do número.
Caso a primeira casa a ser retirada seja menor que 5, o número remanescente
permanece como estava; caso a primeira casa a ser retirada seja maior ou igual a
5, a casa anterior deve ser acrescida de uma unidade.
Faça hoje! Antes de dormir
1. Coloque as seguintes medidas em unidades do Sistema Internacional, na notação científica, com
apenas uma, ou nenhuma, casa à direita da vírgula, e determine sua ordem de grandeza:
a) 1,25hf ) 10kmk) 763,41kmp) 32kgu) 250m/s
b) 2,465km
g) 200cm
l) 2s q) 4,25g
c) 15minh) 1,489mmm) 46gr) 0,0186g
d) 25min
i) 2,76dm
n) 65,2kg
s) 7,2km/h
e) 1 ano
j) 1258cm
o)125m/s
t) 180km/h
Exercícios
Leia atentamente o quadrinho abaixo.
de grandeza do número de feijões contido no
volume de um litro?
a) 10
b) 102
c) 103
d) 104
e) 105
1. (UFRRJ) Com base no relatório do gari, calcule
6. (UFPE) Em um bairro com 2500 casas, o consumo
a ordem de grandeza do somatório do número
de folhas de árvores e de pontas de cigarros que
ele recolheu.
2. (UNIRIO/RJ) Cada exemplar de um jornal é lido,
em média, por três pessoas. Num grupo de 7500
leitores, a ordem de grandeza da quantidade de
exemplares necessários corresponderá a:
a) 100
b) 10
c) 102
d) 103
e) 104
3. (CEFET/PR) A bula de um determinado remédio
informa que uma drágea do medicamento contém
30mg de cafeína anidra. Essa quantidade escrita em
notação científica, na unidade de massa do Sistema
Internacional de Unidades (SI), é corretamente
expressa na sua parte numérica por:
a) 3,0.10–3
b) 3,0.10–4
c) 3,0.10–6
d) 3,0.10–5
e) 3,0.10–2
4. (FEI/SP) Uma nova variedade de grama trans-
gênica com alta produtividade foi desenvolvida e
consegue-se até 2 mudas por cm2. Quantas mudas
possui um campo retangular de 100m x 200m?
Adotar g=10m/s2
médio diário de água por casa é de 1000 litros. Qual
a ordem de grandeza do volume que a caixa d’água
do bairro deve ter, em m3, para abastecer todas as
casas por um dia, sem faltar água?
a) 103
b) 104
c) 105
d) 106
e) 107
7. (UFAL) O número de segundos contido nos 120
anos de existência de Arapiraca tem ordem de
grandeza
a) 1011
b) 109
c) 107
d) 105
e) 103
8. (URCA/CE) São unidades de medida do Sistema
Internacional (SI):
a) metro, segundo, grama;
b) quilograma, metro, segundo;
c) minuto, quilograma, metro;
d) centímetro, segundo, quilograma;
e) metro, quilograma, hora.
9. (UNICISAL) A distância aproximada entre Maceió
e Recife é melhor expressa, em notação científica,
por
a) 4.108 mudas
b) 1.104 mudas
c) 4.106 mudas
d) 4.104 mudas
e) 4.1010 mudas
a) 3,0 × 108 mm.
b) 3,0 × 107 dm.
c) 0,3 × 105 km.
d) 3 000 000 m.
e) 3,0 × 106 m.
5. (UFJF/MG) Supondo-se que um grão de feijão
10. Segundo matéria publicada na “Folha
ocupe o espaço equivalente a um paralelepípedo
de arestas 0,5 cm × 0,5 cm × 1,0 cm, qual das
alternativas abaixo melhor estima a ordem
Online Ciência”, de 19 de setembro passado,
foram registrados, pela primeira vez, perigos
da Nanotecnologia para os seres humanos.
Trabalhadoras chinesas teriam sofrido danos
pulmonares permanentes por exposição por longo
tempo, sem proteção adequada, a nanopartículas,
em uma fábrica de tintas. Como se sabe, a
Nanotecnologia é largamente utilizada na indústria,
com emprego, por exemplo, em artigos esportivos,
eletrônicos, cosméticos, roupas, desinfetantes,
utensílios domésticos, revestimento de superfícies,
tintas e vernizes e também na medicina. Pelo seu
minúsculo diâmetro, entre 1 e 100 nanômetros,
as nanopartículas podem ultrapassar as barreiras
naturais do corpo humano por meio de contato com
a pele com problemas ou pela ingestão ou inalação.
(UCS/RS) Sendo um bilionésimo de um metro, um
nanômetro corresponde a
a) 1 × 10–6 metros.
b) 1 × 10–9 metros.
c) 1 × 10–12 metros.
d) 1 × 109 metros.
e) 1 × 106 metros.
11. (UESPI) O módulo da aceleração da gravidade
(g) na superfície terrestre é aproximadamente igual
a 10 m/s2. Quando expresso em km/h2, o módulo de
g possui ordem de grandeza igual a:
a) 101
b) 103
c) 105
d) 107
e) 109
12. (UNEMAT/MT) O sistema internacional de
unidades e medidas (SI) utiliza vários prefixos
associados à unidade-base. Esses prefixos indicam
os múltiplos decimais que são maiores ou menores
do que a unidade-base.
Marque a alternativa que contém a representação
numérica dos prefixos micro, nano, deci e centi,
nessa mesma ordem de apresentação.
a) 10-9, 10-12, 10-1, 10-2
b) 106, 10-9, 10, 102
c) 10-6, 10-12, 10-1, 10-2
d) 10-3, 10-12, 10-1, 10-2
e) 10-6, 10-9, 10-1, 10-2
13. (UFPE) Um estudante de Física aceita o desafio
de determinar a ordem de grandeza do número
de feijões em 5 kg de feijão, sem utilizar qualquer
instrumento de medição. Ele simplesmente despeja
os feijões em um recipiente com um formato de
paralelepípedo e conta quantos feijões há na
aresta de menor comprimento c, como mostrado
na figura. Ele verifica que a aresta c comporta 10
feijões. Calcule a potência da ordem de grandeza
do número de feijões no recipiente, sabendo-se
que a relação entre os comprimentos das arestas é:
a/4 = b/3 = c/1.