Teorema de Tales
MA13 - Unidade 16
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:
A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT
Teorema de Tales para planos paralelos
Um feixe de planos paralelos determina sobre duas secantes quaisquer
segmentos proporcionais.
r
r′
b
A
b
b
B1
B
b
b
b
C1
b
A′
B′
C
b
C′
Na figura ao lado, r e r 0 são secantes
aos planos paralelos α, β e γ.
α
Uma reta vermelha, paralela a r 0 , e
passando por A, corta β e γ nos pontos B1 e C1 , respectivamente.
β Observe que AA0 B 0 B1 e B1 B 0 C 0 C1
são paralelogramos.
Assim, AB1 = A0 B 0 e B1 C1 = B 0 C 0 .
AB
1
= BAB
.
No triângulo ACC1 temos BC
1 C1
γ Logo,
AB
A0 B 0
= 0 0.
BC
BC
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Construção do prisma
Seja A1 A2 A3 . . . An um polı́gono contido no plano α e seja B1 um
ponto não pertencente a α. Trace o segmento A1 B1 e os
segmentos A2 B2 , A3 B3 , . . . An Bn , todos congruentes e paralelos a
A1 B1 . O polı́gono B1 B2 B3 . . . Bn está contido em um plano
paralelo a α e é congruente com A1 A2 A3 . . . An . Os quadriláteros
A1 A2 B2 B1 , A2 A3 B3 B2 , . . . An A1 B1 Bn são paralelogramos.
B1
b
b
B3
B2
b
b
b
b
A1
b
b
b
A2
A reunião dos dois polı́gonos e dos
n paralelogramos consecutivos é um
prisma de gênero n. Os segmentos
são as arestas do prisma, os polı́gonos
são as bases e os paralelogramos são
as faces laterais do prisma.
b
A3
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Construção da pirâmide
Seja A1 A2 A3 . . . An um polı́gono contido no plano α e seja V um
ponto não pertencente a α. Trace os segmentos
VA1 , VA2 , VA3 , . . . , VAn .
V
b
b
A1
b
b
b
A2
b
A3
A reunião do polı́gono A1 A2 A3 . . . An com os n triângulos
VA1 A2 , VA2 A3 , . . . , VAn A1 é uma pirâmide de gênero n. Os
segmentos são as arestas da pirâmide, o polı́gono é a base e os
triângulos são as faces laterais da pirâmide.
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O paralelepı́pedo
Paralelepı́pedo é o prisma cuja base é um paralelogramo
b
b
b
b
b
b
b
b
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Exemplo 1
ABCD-EFGH é um paralelepı́pedo. Qual é a interseção dos planos
(ACG ) e (BFH)?
H
b
P
E
b
G
b
b
b
F
D
b
b
C
b
A
b
Q
b
B
O vértice E pertence ao plano (ACG ) porque ACGE é um paralelogramo.
O vértice D pertence ao plano (BFH) porque BFHD é um paralelogramo.
O ponto P, interseção dos segmentos EG e HF , pertence a ambos os planos.
O ponto Q, interseção dos segmentos AC e DB, pertence a ambos os planos.
A interseção dos planos (ACG ) e (BFH) é a reta PQ que passa nos centros
dos paralelogramos ACGE e BFHD.
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Exemplo 2
ABCD-EFGH é um paralelepı́pedo. Mostre que os planos (AFH) e
(GDB) são paralelos.
H
b
b
E
G
b
b
D
F
b
b
C
b
A
b
B
Os segmentos DH e BF são congruentes e paralelos. Logo, BFHD é um paralelogramo e, portanto, FH é paralelo a BD. Então FH é paralela ao plano
(GDB), pois é paralela a uma reta desse plano.
Os segmentos AD e FG são congruentes e paralelos (pois ambos são congruentes e paralelos a EH). Logo, AFGD é um paralelogramo e, portanto, AF é
paralelo a DG . Então AF é paralela ao plano (GDB), pois é paralela a uma
reta desse plano.
Como AF e FH são paralelas ao plano (GDB) então os planos (AFH) e (GDB)
são paralelos.
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Exemplo 3
A figura a seguir mostra um paralelepı́pedo e os pontos M, N e P,
cada um em uma aresta. Desenhar a seção no paralelepı́pedo
produzida pelo plano MNP.
b
b
b
b
P
b
b
b
b
b
b
M
b
N
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Solução:
b
b
Q
b
b
b
P
R
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Y
M
N
b
X
No plano da base a reta MN determinou os pontos X e Y nos
prolongamentos das duas outras arestas da base.
No plano da face lateral esquerda a reta XP determinou o ponto Q
na aresta do fundo.
No plano da face lateral do fundo, a reta QY determinou o ponto
R na aresta lateral direita.
A seção é o pentágono MNPQR.
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