UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGÃO DE CHAPECÓ
CURSO DE MATEMÁTICA
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
MEDIDAS DE DISPERSÃO VARIABILIDADE
Prof: Francisco Machado Jr.
Chapecó, dezembro de 2014
Em estatística
 Uma forma útil de descrever um grupo como um todo:
Encontrar um único número que represente o que é
MÉDIO ou TÍPICO neste conjunto de dados
Em estudos científicos, tal valor é conhecido como
MEDIDA DE TENDÊNCIA CENTRAL
MÉDIA, MEDIANA e a MODA
Entretanto:
Elas, por si sós, NEM SEMPRE SÃO SUFICIENTES para
caracterizar completa e adequadamente um conjunto
de dados.
Especialmente quando seus elementos apresentam grandes
disparidades.
Ou seja:
Pode ocorrer que 2 DISTRIBUIÇÕES, com a mesma média
aritmética, sejam de NATUREZA MUITO DIFERENTES
Vejamos:
 Suponhamos que se deseja comparar a performance de 2
grupos (2 distribuições) através das notas obtidas em um
determinado teste.
Com base em um teste básico, teríamos:
Grupo A: {70, 71, 69, 70, 70}
Grupo B: {55, 80, 70, 62, 83}
350
x
 70
7
350
x
 70
7
Diríamos que ambos os grupos apresentam a mesma
performance
 Mas, observando mais detalhadamente os dados, notamos
que as NOTAS A variam de 69 a 71, ao passo que as NOTAS B
variam de 55 a 83.
O que revela que:
Desempenho de A é mais uniforme do que B
Grupo A: { notas variam 69 a 71}
Grupo B: {notas variam 55 a 83}
+ uniforme
Para avaliar quantitativamente o grau de variabilidade ou
dispersão dos valores de um conjunto de nos em torno de médio,
Medidas de Dispersão
AMPLITUDE TOTAL, DESVIO MÉDIO E DESVIO-PADRÃO
AMPLITUDE TOTAL DOS DADOS (AT)
 Em um conjunto de dados, representa a diferença entre a
maior (T) e a menor (P) observação. Apresenta a mesma
unidade da medida em análise.
AT  T  P
Onde:
T (teto) – é o maior valor do conjunto de dados.
P (piso) – é o menor valor do conjunto de dados.
Exemplo:
Grupo A: {70, 71, 69, 70, 70}
AT  T  P
AT  71 69
AT = 2
Grupo B: {55, 80, 70, 62, 83}
AT  T  P
AT  83 55
AT = 28
Grupo C: {63, 35, 50, 60, 50 }
AT  T  P
AT  63 35
AT = 28
 Notamos que os Grupos B e C apresentam a mesma
amplitude, apesar dos conjuntos de valores serem BEM
DIFERENTES.
Assim:
Verificamos que AT tem um grave inconveniente de ser
influenciada pelos valores extremos, desprezando os valores
intermediários
Não fornece uma ideia precisa quanto à dispersão do
conjunto como um todo
Exercícios de aplicação:
1) Determine a amplitude total dos seguintes dados amostrais:
a) X=1,2,2,5
b)
c)
Classe (i)
fi
0 Ⱶ 10
4
xi
fi
10 Ⱶ 20
5
2
4
20 Ⱶ 30
9
3
6
30 Ⱶ 40
10
4
10
5
8
DESVIO MÉDIO (DM)
 Ao contrário da amplitude total, o desvio médio leva em
consideração todos os valores da distribuição.
Obtenção:
Pela média das diferenças absolutas entre cada elemento
do conjunto com a média aritmética dos dados.
Por quê??
Conceito de desvio:
Corresponde a distância entre qualquer valor e a média da
distribuição.
di  xi  x
Desvio médio para dados NÃO agrupados
di  xi  x
N
DM 
d
i 1
i
N
Onde:
N

d
i 1
i
- Significa que se deve somar os desvios desde o 1º até o
enésimo valor (N).
Exemplo:
1) Calcular o desvio médio para o seguinte conjunto de valores:
X=1, 2, 2, 3, 4, 20
di  xi  x
N
DM 
x
d
i
32
 5,33
6
d
i 1
i
N
 (1  5,33)  (2  5,33)  (2  5,33)  (3  5,33)  (4  5,33)  (20  5,33)  29,32
6
DM 
d
i 1
N
i

29,32
 4,89
6
 O desvio médio para o conjunto de valores é 4,89.
Exercícios de aplicação:
1) Calcular o desvio médio para o seguinte conjunto de valores:
Grupo A: {70, 71, 69, 70, 70}
DM = 0,4
Grupo B: {55, 80, 70, 62, 83}
DM = 9,2
di  xi  x
N
DM 
d
i 1
N
i
Desvio médio para dados agrupados (com ou sem perda de
informação)
k
DM 
 d f
i
i 1
i
N
Onde:
k

d . f
i 1
i
i
- Significa que se deve somar os produtos realizados
entre os desvios e as frequências, desde o 1º até o número total
de classes ou grupamentos (k).
k
DM 
Exemplo:
 d f
i 1
i
N
1) Calcular o desvio médio para a seguinte distribuição de
frequência com perda de informação:
Classe
fi
Ponto médio
xi . fi
di
di. fi
0 Ⱶ 10
4
da classe
(xi)
5
4*5=20
5-23,57=-18,57
-18,57*4= -74,28
10 Ⱶ 20
5
15
75
-8,57
-42,85
20 Ⱶ 30
10
25
250
1,43
14,30
30 Ⱶ 40
9
35
315
11,43
102,87
TOTAIS
28
660
i
k
DM 
Exemplo:
 d f
i 1
i
N
1) Calcular o desvio médio para a seguinte distribuição de
frequência com perda de informação:
Classe
fi
Ponto médio
xi . fi
di
di. fi
0 Ⱶ 10
4
da classe
(xi)
5
4*5=20
5-23,57=-18,57
-18,57*4= -74,28
10 Ⱶ 20
5
15
75
-8,57
-42,85
20 Ⱶ 30
10
25
250
1,43
14,30
30 Ⱶ 40
9
35
315
11,43
102,87
TOTAIS
28
xi 
Li  Ls
2
Ponto médio da classe
660
i
k
DM 
Exemplo:
 d f
i 1
i
N
1) Calcular o desvio médio para a seguinte distribuição de
frequência com perda de informação:
Classe
fi
Ponto médio
xi . fi
di
di. fi
0 Ⱶ 10
4
da classe
(xi)
5
4*5=20
5-23,57=-18,57
-18,57*4= -74,28
10 Ⱶ 20
5
15
75
-8,57
-42,85
20 Ⱶ 30
10
25
250
1,43
14,30
30 Ⱶ 40
9
35
315
11,43
102,87
TOTAIS
28
xi 
Li  Ls
2
Ponto médio da classe
660
i
k
DM 
Exemplo:
 d f
i 1
i
i
N
1) Calcular o desvio médio para a seguinte distribuição de
di  xi  x
frequência com perda de informação:
Classe
fi
Ponto médio
xi . fi
di
di. fi
0 Ⱶ 10
4
da classe
(xi)
5
4*5=20
5-23,57=-18,57
-18,57*4= -74,28
10 Ⱶ 20
5
15
75
-8,57
-42,85
20 Ⱶ 30
10
25
250
1,43
14,30
30 Ⱶ 40
9
35
315
11,43
102,87
TOTAIS
28
xi 
Li  Ls
2
Ponto médio da classe
660
k
DM 
Exemplo:
 d f
i 1
i
i
N
1) Calcular o desvio médio para a seguinte distribuição de
di  xi  x
frequência com perda de informação:
Classe
fi
Ponto médio
xi . fi
di
di. fi
0 Ⱶ 10
4
da classe
(xi)
5
4*5=20
5-23,57=-18,57
-18,57*4= -74,28
10 Ⱶ 20
5
15
75
-8,57
-42,85
20 Ⱶ 30
10
25
250
1,43
14,30
30 Ⱶ 40
9
35
315
11,43
102,87
TOTAIS
28
xi 
Li  Ls
2
Ponto médio da classe
660
Σ em módulo: 234,3
k
DM 
Exemplo:
 d f
i 1
i
i
N
1) Calcular o desvio médio para a seguinte distribuição de
di  xi  x
frequência com perda de informação:
Classe
fi
Ponto médio
xi . fi
di
di. fi
0 Ⱶ 10
4
da classe
(xi)
5
4*5=20
5-23,57=-18,57
-18,57*4= -74,28
10 Ⱶ 20
5
15
75
-8,57
-42,85
20 Ⱶ 30
10
25
250
1,43
14,30
30 Ⱶ 40
9
35
315
11,43
102,87
TOTAIS
28
xi 
Σ em módulo: 234,3
660
Li  Ls
2
Ponto médio da classe
k
DM 
d
i 1
i
f
N
 O desvio médio para a distribuição é 8,37.
i

234,4
 8,37
28
Exercícios de aplicação:
1) Calcular o desvio médio para as seguintes distribuições de
frequência:
a) X=32,37,41,48,56,68,73
DM = 12,82
b)
xi
fi
5
2
7
3
8
5
9
4
11
2
DM = 1,20
c)
Classe (i)
fi
2Ⱶ4
2
4Ⱶ6
4
6Ⱶ8
7
8 Ⱶ 10
4
10 Ⱶ 12
3
DM = 1,86
DESVIO-PADRÃO
 O desvio-padrão é a medida de dispersão mais utilizada,
tendo em comum com o desvio médio o fato de em ambos
serem considerados os desvios com relação a média, só que
neste caso, calculam-se os quadrados desses valores.
Isso faz com que o Desvio Padrão tenha uma SENSIBILIDADE
MAIOR E CAPTE MELHOR A VARIAÇÃO dos nos em relação a sua
média
Obtenção:
É a raiz da variância
O uso da variância muitas vezes se torna inconveniente visto que é
expressa pelo quadrado da variável em estudo
1) Para variáveis populacionais ():
a) Cálculo do desvio-padrão para valores não agrupados:

d i
di

2
 
N
2
N
2
Variância
b) Cálculo do desvio-padrão para valores agrupados:
(d i  f i )


N
2
(d i  f i )

2
 
N
2
Variância
2) Para variáveis amostrais (S):
a) Cálculo do desvio-padrão para valores não agrupados:
di

2
S 
N 1
di

S
N 1
2
2
Variância
b) Cálculo do desvio-padrão para valores agrupados:
(d i  f i )

S
N 1
2
(d i  f i )

2
S 
N 1
2
Variância
Exemplo 1: valores não agrupados
Dado o índice pluviométrico mensal de certa região e considerando
tais valores como provenientes de uma POPULAÇÃO, determinar:
a) A média; b) O Desvio Médio; c) O Desvio-Padrão;
ÍNDICE PLUVIOMÉTRICO MENSAL DE CERTA REGIÃO
Mês
di
di2
Índice (mm) xi
JANEIRO
69
69 – 45,67 = 23,33
(23,33)2 = 544,28
FEVEREIRO
MARÇO
ABRIL
MAIO
JUNHO
JULHO
AGOSTO
SETEMBRO
OUTUBRO
NOVEMBRO
DEZEMBRO
53
41
46
50
40
41
40
42
38
42
46
53 – 45,67 = 7,33
41 – 45,67 = - 4,67
46 – 45,67 = 0,33
50 – 45,67 = 4,33
40 – 45,67 = - 5,67
41 – 45,67 = -4,67
40 – 45,67 = - 5,67
42 – 45,67 = - 3,67
38 – 45,67 = - 7,67
42 – 45,67 = - 3,67
46 – 45,67 = 0,33
53,73
21,81
0,11
18,75
32,15
21,81
32,15
13,47
58,83
13,47
0,108
a) A média; b) O Desvio Médio; c) O Desvio-Padrão;
ÍNDICE PLUVIOMÉTRICO MENSAL DE CERTA REGIÃO
Mês
di
di2
Índice (mm) xi
JANEIRO
69
69 – 45,67 = 23,33
(23,33)2 = 544,28
FEVEREIRO
MARÇO
ABRIL
MAIO
JUNHO
JULHO
AGOSTO
SETEMBRO
OUTUBRO
NOVEMBRO
DEZEMBRO
53
41
46
50
40
41
40
42
38
42
46
53 – 45,67 = 7,33
41 – 45,67 = - 4,67
46 – 45,67 = 0,33
50 – 45,67 = 4,33
40 – 45,67 = - 5,67
41 – 45,67 = -4,67
40 – 45,67 = - 5,67
42 – 45,67 = - 3,67
38 – 45,67 = - 7,67
42 – 45,67 = - 3,67
46 – 45,67 = 0,33
53,73
21,81
0,11
18,75
32,15
21,81
32,15
13,47
58,83
13,47
0,108
548

 45,67 mm
12
a) A média; b) O Desvio Médio; c) O Desvio-Padrão;
ÍNDICE PLUVIOMÉTRICO MENSAL DE CERTA REGIÃO
Mês
di
di2
Índice (mm) xi
JANEIRO
69
69 – 45,67 = 23,33
(23,33)2 = 544,28
FEVEREIRO
MARÇO
ABRIL
MAIO
JUNHO
JULHO
AGOSTO
SETEMBRO
OUTUBRO
NOVEMBRO
DEZEMBRO
53
41
46
50
40
41
40
42
38
42
46
53 – 45,67 = 7,33
41 – 45,67 = - 4,67
46 – 45,67 = 0,33
50 – 45,67 = 4,33
40 – 45,67 = - 5,67
41 – 45,67 = -4,67
40 – 45,67 = - 5,67
42 – 45,67 = - 3,67
38 – 45,67 = - 7,67
42 – 45,67 = - 3,67
46 – 45,67 = 0,33
53,73
21,81
0,11
18,75
32,15
21,81
32,15
13,47
58,83
13,47
0,108
di  xi  x
N
DM 
d
i 1
N
i
a) A média; b) O Desvio Médio; c) O Desvio-Padrão;
ÍNDICE PLUVIOMÉTRICO MENSAL DE CERTA REGIÃO
Mês
di
di2
Índice (mm) xi
JANEIRO
69
69 – 45,67 = 23,33
(23,33)2 = 544,28
FEVEREIRO
MARÇO
ABRIL
MAIO
JUNHO
JULHO
AGOSTO
SETEMBRO
OUTUBRO
NOVEMBRO
DEZEMBRO
53
41
46
50
40
41
40
42
38
42
46
53 – 45,67 = 7,33
41 – 45,67 = - 4,67
46 – 45,67 = 0,33
50 – 45,67 = 4,33
40 – 45,67 = - 5,67
41 – 45,67 = -4,67
40 – 45,67 = - 5,67
42 – 45,67 = - 3,67
38 – 45,67 = - 7,67
42 – 45,67 = - 3,67
46 – 45,67 = 0,33
53,73
21,81
0,11
18,75
32,15
21,81
32,15
13,47
58,83
13,47
0,108
di  xi  x
N
DM 
d
i 1
N
i
71,34
DM 
 5,95 mm
12
a) A média; b) O Desvio Médio; c) O Desvio-Padrão;
ÍNDICE PLUVIOMÉTRICO MENSAL DE CERTA REGIÃO
Mês
di
di2
Índice (mm) xi

JANEIRO
69
69 – 45,67 = 23,33
(23,33)2 = 544,28
FEVEREIRO
MARÇO
ABRIL
MAIO
JUNHO
JULHO
AGOSTO
SETEMBRO
OUTUBRO
NOVEMBRO
DEZEMBRO
53
41
46
50
40
41
40
42
38
42
46
53 – 45,67 = 7,33
41 – 45,67 = - 4,67
46 – 45,67 = 0,33
50 – 45,67 = 4,33
40 – 45,67 = - 5,67
41 – 45,67 = -4,67
40 – 45,67 = - 5,67
42 – 45,67 = - 3,67
38 – 45,67 = - 7,67
42 – 45,67 = - 3,67
46 – 45,67 = 0,33
53,73
21,81
0,11
18,75
32,15
21,81
32,15
13,47
58,83
13,47
0,108
d
N
2
i
a) A média; b) O Desvio Médio; c) O Desvio-Padrão;
ÍNDICE PLUVIOMÉTRICO MENSAL DE CERTA REGIÃO
Mês
di
di2
Índice (mm) xi

JANEIRO
69
69 – 45,67 = 23,33
(23,33)2 = 544,28
FEVEREIRO
MARÇO
ABRIL
MAIO
JUNHO
JULHO
AGOSTO
SETEMBRO
OUTUBRO
NOVEMBRO
DEZEMBRO
53
41
46
50
40
41
40
42
38
42
46
53 – 45,67 = 7,33
41 – 45,67 = - 4,67
46 – 45,67 = 0,33
50 – 45,67 = 4,33
40 – 45,67 = - 5,67
41 – 45,67 = -4,67
40 – 45,67 = - 5,67
42 – 45,67 = - 3,67
38 – 45,67 = - 7,67
42 – 45,67 = - 3,67
46 – 45,67 = 0,33
53,73
21,81
0,11
18,75
32,15
21,81
32,15
13,47
58,83
13,47
0,108
d
N
2
i

810,667
12
  67,56
  8,22 mm
Exemplo 2: valores agrupados
Com os dados AMOSTRAIS referentes aos dias chuvosos ocorridos
em um município, sendo estes pesquisados durante 60 meses consecutivos,
determinar:
a) A média; b) O Desvio Médio; c) O Desvio-Padrão;
NÚMERO DE DIAS EM QUE OCORREU PRECIPITAÇÃO EM UM MUNICÍPIO
Dias
chuvosos
5Ⱶ8
8 Ⱶ 11
11 Ⱶ 14
14 Ⱶ 17
17 Ⱶ 20
20 Ⱶ 23
Meses
(fi)
18
16
22
2
2
0
Ponto médio
da classe (xi)
6,5
9,5
12,5
15,5
18,5
21,5
xi . fi
di
di. fi
di2
di2. fi
117
152
275
31
37
0
-3,7
-0,7
2,3
5,3
8,3
11,3
-66,6
-11,2
50,6
10,6
16,6
0
13,69
0,49
5,29
28,09
68,89
127,69
246,42
7,84
116,38
56,18
137,78
0
a) A média; b) O Desvio Médio; c) O Desvio-Padrão;
NÚMERO DE DIAS EM QUE OCORREU PRECIPITAÇÃO EM UM MUNICÍPIO
Dias
chuvosos
5Ⱶ8
8 Ⱶ 11
11 Ⱶ 14
14 Ⱶ 17
17 Ⱶ 20
20 Ⱶ 23
x
Meses
(fi)
18
16
22
2
2
0
x
i
f
 fi
i
Ponto médio
da classe (xi)
6,5
9,5
12,5
15,5
18,5
21,5
xi . fi
di
di. fi
di2
di2. fi
117
152
275
31
37
0
-3,7
-0,7
2,3
5,3
8,3
11,3
-66,6
-11,2
50,6
10,6
16,6
0
13,69
0,49
5,29
28,09
68,89
127,69
246,42
7,84
116,38
56,18
137,78
0
a) A média; b) O Desvio Médio; c) O Desvio-Padrão;
NÚMERO DE DIAS EM QUE OCORREU PRECIPITAÇÃO EM UM MUNICÍPIO
Dias
chuvosos
5Ⱶ8
8 Ⱶ 11
11 Ⱶ 14
14 Ⱶ 17
17 Ⱶ 20
20 Ⱶ 23
x
Meses
(fi)
18
16
22
2
2
0
x
i
f
 fi
i
Ponto médio
da classe (xi)
6,5
9,5
12,5
15,5
18,5
21,5
xi . fi
di
di. fi
di2
di2. fi
117
152
275
31
37
0
-3,7
-0,7
2,3
5,3
8,3
11,3
-66,6
-11,2
50,6
10,6
16,6
0
13,69
0,49
5,29
28,09
68,89
127,69
246,42
7,84
116,38
56,18
137,78
0
a) A média; b) O Desvio Médio; c) O Desvio-Padrão;
NÚMERO DE DIAS EM QUE OCORREU PRECIPITAÇÃO EM UM MUNICÍPIO
Dias
chuvosos
5Ⱶ8
8 Ⱶ 11
11 Ⱶ 14
14 Ⱶ 17
17 Ⱶ 20
20 Ⱶ 23
x
Meses
(fi)
18
16
22
2
2
0
x
i
f
 fi
i
Ponto médio
da classe (xi)
6,5
9,5
12,5
15,5
18,5
21,5
xi . fi
di
di. fi
di2
di2. fi
117
152
275
31
37
0
-3,7
-0,7
2,3
5,3
8,3
11,3
-66,6
-11,2
50,6
10,6
16,6
0
13,69
0,49
5,29
28,09
68,89
127,69
246,42
7,84
116,38
56,18
137,78
0
a) A média; b) O Desvio Médio; c) O Desvio-Padrão;
NÚMERO DE DIAS EM QUE OCORREU PRECIPITAÇÃO EM UM MUNICÍPIO
Dias
chuvosos
5Ⱶ8
8 Ⱶ 11
11 Ⱶ 14
14 Ⱶ 17
17 Ⱶ 20
20 Ⱶ 23
x
Meses
(fi)
18
16
22
2
2
0
x
i
f
Ponto médio
da classe (xi)
6,5
9,5
12,5
15,5
18,5
21,5
 fi
x
i
xi . fi
di
di. fi
di2
di2. fi
117
152
275
31
37
0
-3,7
-0,7
2,3
5,3
8,3
11,3
-66,6
-11,2
50,6
10,6
16,6
0
13,69
0,49
5,29
28,09
68,89
127,69
246,42
7,84
116,38
56,18
137,78
0
612
 10,2 dias
60
a) A média; b) O Desvio Médio; c) O Desvio-Padrão;
NÚMERO DE DIAS EM QUE OCORREU PRECIPITAÇÃO EM UM MUNICÍPIO
Dias
chuvosos
5Ⱶ8
8 Ⱶ 11
11 Ⱶ 14
14 Ⱶ 17
17 Ⱶ 20
20 Ⱶ 23
Meses
(fi)
18
16
22
2
2
0
Ponto médio
da classe (xi)
6,5
9,5
12,5
15,5
18,5
21,5
di  xi  x
k
DM 
 d f
i 1
i
N
i
xi . fi
di
di. fi
di2
di2. fi
117
152
275
31
37
0
-3,7
-0,7
2,3
5,3
8,3
11,3
-66,6
-11,2
50,6
10,6
16,6
0
13,69
0,49
5,29
28,09
68,89
127,69
246,42
7,84
116,38
56,18
137,78
0
a) A média; b) O Desvio Médio; c) O Desvio-Padrão;
NÚMERO DE DIAS EM QUE OCORREU PRECIPITAÇÃO EM UM MUNICÍPIO
Dias
chuvosos
5Ⱶ8
8 Ⱶ 11
11 Ⱶ 14
14 Ⱶ 17
17 Ⱶ 20
20 Ⱶ 23
Meses
(fi)
18
16
22
2
2
0
Ponto médio
da classe (xi)
6,5
9,5
12,5
15,5
18,5
21,5
di  xi  x
k
DM 
 d f
i 1
i
N
i
xi . fi
di
di. fi
di2
di2. fi
117
152
275
31
37
0
-3,7
-0,7
2,3
5,3
8,3
11,3
-66,6
-11,2
50,6
10,6
16,6
0
13,69
0,49
5,29
28,09
68,89
127,69
246,42
7,84
116,38
56,18
137,78
0
a) A média; b) O Desvio Médio; c) O Desvio-Padrão;
NÚMERO DE DIAS EM QUE OCORREU PRECIPITAÇÃO EM UM MUNICÍPIO
Dias
chuvosos
5Ⱶ8
8 Ⱶ 11
11 Ⱶ 14
14 Ⱶ 17
17 Ⱶ 20
20 Ⱶ 23
Meses
(fi)
18
16
22
2
2
0
Ponto médio
da classe (xi)
6,5
9,5
12,5
15,5
18,5
21,5
xi . fi
di
di. fi
di2
di2. fi
117
152
275
31
37
0
-3,7
-0,7
2,3
5,3
8,3
11,3
-66,6
-11,2
50,6
10,6
16,6
0
13,69
0,49
5,29
28,09
68,89
127,69
246,42
7,84
116,38
56,18
137,78
0
di  xi  x
k
DM 
 d f
i 1
i
N
i
155,6
DM 
 2,59 dias
60
a) A média; b) O Desvio Médio; c) O Desvio-Padrão;
NÚMERO DE DIAS EM QUE OCORREU PRECIPITAÇÃO EM UM MUNICÍPIO
Dias
chuvosos
5Ⱶ8
8 Ⱶ 11
11 Ⱶ 14
14 Ⱶ 17
17 Ⱶ 20
20 Ⱶ 23
Meses
(fi)
18
16
22
2
2
0
(d i  f i )

S
N 1
2
Ponto médio
da classe (xi)
6,5
9,5
12,5
15,5
18,5
21,5
xi . fi
di
di. fi
di2
di2. fi
117
152
275
31
37
0
-3,7
-0,7
2,3
5,3
8,3
11,3
-66,6
-11,2
50,6
10,6
16,6
0
13,69
0,49
5,29
28,09
68,89
127,69
246,42
7,84
116,38
56,18
137,78
0
a) A média; b) O Desvio Médio; c) O Desvio-Padrão;
NÚMERO DE DIAS EM QUE OCORREU PRECIPITAÇÃO EM UM MUNICÍPIO
Dias
chuvosos
5Ⱶ8
8 Ⱶ 11
11 Ⱶ 14
14 Ⱶ 17
17 Ⱶ 20
20 Ⱶ 23
Meses
(fi)
18
16
22
2
2
0
(d i  f i )

S
N 1
2
Ponto médio
da classe (xi)
6,5
9,5
12,5
15,5
18,5
21,5
xi . fi
di
di. fi
di2
di2. fi
117
152
275
31
37
0
-3,7
-0,7
2,3
5,3
8,3
11,3
-66,6
-11,2
50,6
10,6
16,6
0
13,69
0,49
5,29
28,09
68,89
127,69
246,42
7,84
116,38
56,18
137,78
0
a) A média; b) O Desvio Médio; c) O Desvio-Padrão;
NÚMERO DE DIAS EM QUE OCORREU PRECIPITAÇÃO EM UM MUNICÍPIO
Dias
chuvosos
5Ⱶ8
8 Ⱶ 11
11 Ⱶ 14
14 Ⱶ 17
17 Ⱶ 20
20 Ⱶ 23
Meses
(fi)
18
16
22
2
2
0
(d i  f i )

S
N 1
2
Ponto médio
da classe (xi)
6,5
9,5
12,5
15,5
18,5
21,5
xi . fi
di
di. fi
di2
di2. fi
117
152
275
31
37
0
-3,7
-0,7
2,3
5,3
8,3
11,3
-66,6
-11,2
50,6
10,6
16,6
0
13,69
0,49
5,29
28,09
68,89
127,69
246,42
7,84
116,38
56,18
137,78
0
a) A média; b) O Desvio Médio; c) O Desvio-Padrão;
NÚMERO DE DIAS EM QUE OCORREU PRECIPITAÇÃO EM UM MUNICÍPIO
Dias
chuvosos
5Ⱶ8
8 Ⱶ 11
11 Ⱶ 14
14 Ⱶ 17
17 Ⱶ 20
20 Ⱶ 23
Meses
(fi)
18
16
22
2
2
0
(d i  f i )

S
N 1
2
Ponto médio
da classe (xi)
6,5
9,5
12,5
15,5
18,5
21,5
564,6
S
60  1
xi . fi
di
di. fi
di2
di2. fi
117
152
275
31
37
0
-3,7
-0,7
2,3
5,3
8,3
11,3
-66,6
-11,2
50,6
10,6
16,6
0
13,69
0,49
5,29
28,09
68,89
127,69
246,42
7,84
116,38
56,18
137,78
0
S  9,569
S = 3,09dias
Exercícios de aplicação:
1) Um fabricante de materiais para a indústria civil registrou os
dados dos funcionários relacionando ao tempo de serviço na
empresa. Calcular a média, moda, mediana, desvio médio, desviopadrão, considerando tais registros como dados populacionais.
Tempo de serviço (anos)
Funcionários (fi)
0Ⱶ5
5 Ⱶ 10
10 Ⱶ 15
15 Ⱶ 20
20 Ⱶ 25
105
83
60
20
12
R:
µ = 8,05 anos
Mo = 2,05 anos
Md = 7,11 anos
DM = 4,49 anos
 = 5,59 anos
2) A distribuição de frequência abaixo se refere ao índice
pluviométrico (mm), pesquisado durante 60 meses consecutivos,
em determinado município brasileiro. Calcular: a média, a moda, a
mediana, o desvio médio, o desvio-padrão desta distribuição,
considerando os dados como provenientes de uma população.
ÍNDICE PLUVIOMÉTRICO DE UM
MUNICÍPIO
Índice (mm)
Meses (fi)
0 Ⱶ 35
0
35 Ⱶ 70
2
70 Ⱶ 105
6
105 Ⱶ 140
18
140 Ⱶ 175
25
175 Ⱶ 210
9
R: µ = 141,75 mm
 = 34,07 mm
Mo = 157,5 mm
Md = 145,6 mm
DM = 28,35 mm
3) A tabela apresenta os dados relativos as retiradas (saques em
reais) realizados em um caixa automático de uma agência bancária,
em dia comercial, durante o período de 1 hora. Com base nestes
dados populacionais, calcular: a) a média; b) desvio médio; c)
desvio-padrão; d) moda; e) mediana.
R:
µ = 134,72 reais
 = 62,39 reais
Saques (R$)
Número de
clientes (fi)
5 Ⱶ 55
7
55 Ⱶ 105
12
105 Ⱶ 155
8
155 Ⱶ 205
22
205 Ⱶ 255
3
255 Ⱶ 305
1
Mo = 180 reais
Md = 151,88 reais
DM = 53,86 reais