Elementos de Cálculo I - Notas de aula 6
Prof Carlos Alberto Santana Soares
Definição 1 Seja l uma reta e F um ponto fora desta. Chamamos parábola de diretriz l e foco
F o conjunto dos pontos P(x,y) tais que a distância de P a F é igual à distância de P a l.
Na figura cima temos os elementos:
eixo = reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz
vértice ( V ) = ponto do eixo que pertence à parábola, isto é, ponto médio entre o segmento
determinado pelo foco e o ponto de interseção entre a diretriz e o eixo
parâmetro (p) = distância entre o vértice e o foco.
Bem entendido: Um ponto 𝑃 (𝑥, 𝑦) pertencerà à parábola de diretriz l e foco F
se, e somente se, suas distâncias entre a reta l e o ponto F são iguais.
Exemplo 2 Determine a equação da parábola de foco F(3,2) e diretriz 𝑙 : 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0.
Solução: Um ponto (x,y) estará na parábola se a distância entre (x,y) e (3,2) for igual à
distância entre (x,y) e a reta 𝑙. Portanto devemos ter
√
∣𝑥 + 2𝑦 − 4∣
√
(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 =
5
. Elevando ao quadrado teremos
(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 =
(𝑥 + 2𝑦 − 4)2
.
5
Lembre-se que ∣𝑥∣2 = 𝑥2 . Fazendo as contas encontramos
4𝑥2 + 𝑦 2 − 4𝑥𝑦 − 22𝑥 − 4𝑦 + 49 = 0.
1
Tendo dúvidas, faça as contas!!!
Na figura abaixo, estão representadas a parábola, o eixo e o foco.
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𝐹 𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎6.2
4
𝑦
3
2
𝐹
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
𝑥
5
−2
−3
−4
Exemplo 3 Qual a equação do eixo e do vértice da parábola acima?
Para encontrar a equação do eixo, basta determinar a reta que passa por (3,2) e é perpendicular a reta 𝑥 + 2𝑦 − 4 =. Encontraremos, 2𝑥 − 𝑦 − 4 = 0. Tendo dúvida faça as
contas!!!
Observe a figura abaixo.
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𝐹 𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎6.3
4
𝑦
3
2
𝐹
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
𝑥
5
−2
−3
−4
Para determinarmos o vértice terı́amos duas opções. A primeira seria determinar a interseção da parábola com a eixo, resolvendo o sistema formado pela equação da parábola e
do eixo. A segunda, que neste caso é a maisa simples é determinar a interseção do eixo com
a diretriz, ponto A representado na figura a abaixo e a seguir encontrar o ponto médio do
segmento AF. A interseção do eico e a diretriz é encontrada resolvendo o sistema
{
𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0
2𝑥 − 𝑦 − 4 = 0
2
Encontraremos o ponto 𝐴(12/5.4/5).
Recordemos que o ponto médio de um segmento definido pelos pontos (𝑥0 , 𝑦0 ) e (𝑥1 , 𝑦1 ) é
1 𝑦0 +𝑦1
dado por ( 𝑥0 +𝑥
, 2 e portanto o vértice será o ponto 𝑉 (27/10, 7/5).
2
Abaixo temos a representação.
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𝐹 𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎6.4
4
𝑦
3
2
𝑉 𝐹
1
𝐴
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
𝑥
5
−2
−3
−4
Observação 4 Se você estiver estudando em algum livro, saiba que alguns autores chamam
parâmetro a distância entre o foco e a diretriz! CUIDADO!
Você deve ter observado no exemplo acima que as contas podem ser muito complicadas para
se obter a equação de uma parábola. PAra simplificarmos um pouco, neste curso, estaremos
particulamente interessados em estudar parábolas cuja diretriz é paralela ao eixo x ou ao eixo
y. Note que no primeiro caso ( diretriz paralela ao eixo x ) o teorema abaixo só confirma o que
você já conhece.
Teorema 5 Uma parábola possui diretriz paralela ao eixo x ( diretriz horizontal ), se e somente
se, sua equação pode ser escrita na forma
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números reais com 𝑎 ∕= 0. Além disso, teremos:
𝑎 > 0 ⇐⇒ 𝑐oncavidade para cima
𝑎 < 0 ⇐⇒ concavidade para baixo
distância entre foco e vértice = 𝑝 =
1
4∣𝑎∣
As coordenadas do vértice serão dadas por 𝑥𝑣 =
−𝑏
,
2𝑎
𝑦𝑣 =
−(𝑏2 −4𝑎𝑐)
4𝑎
=
−Δ
4𝑎
De maneira análoga teremos
Teorema 6 Uma parábola possui diretriz paralela ao eixo y ( diretriz vertical ), se e somente
se, sua equação pode ser escrita na forma
𝑥 = 𝑎𝑦 2 + 𝑏𝑦 + 𝑐
3
onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números reais com 𝑎 ∕= 0. Além disso, teremos:
𝑎 > 0 ⇐⇒ 𝑐oncavidade para direita
𝑎 < 0 ⇐⇒ concavidade para esquerda
distância entre foco e vértice = 𝑝 =
1
4∣𝑎∣
As coordenadas do vértice serão dadas por 𝑥𝑣 =
−(𝑏2 −4𝑎𝑐)
4𝑎
=
−Δ
,
4𝑎
𝑦𝑣 =
−𝑏
2𝑎
Exemplo 7 1) Consideremos a parábola de equação
𝑥2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 40 = 0.
Determine:
(a) as coordenadas do vértice
(b) as coordenadas do foco
(c) a equação da diretriz
(d) a equação do eixo
2) Consideremos a parábola de equação
1
𝑥 = 𝑦 2 − 𝑦 + 5.
8
Determine:
(a) as coordenadas do vértice
(b) as coordenadas do foco
(c) a equação da diretriz
(d) a equação do eixo
3) Uma parábola cuja diretriz é horizontal, passa pelos pontos (1,2), (2,3) e (3,6). Determine sua equação. Determine seus elementos, isto é, foco, diretriz, eixo, vértice e parâmetro.
Solução em sala de aula!
Tente representar as paráabolas acima, juntamente com seus elementos, no
plano cartesiano. Use o winplot para conferir suas figuras!!!
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