E o Triângulo de Pascal
“artigo já aceito para publicação na RPM
SET/2013”
Prof Rogério César
Prof Eduardo Castilho
UnB – Campus Planaltina
Introdução
Caminhando para cima ou para a direita, sobre pontos
que possuem pelo menos uma coordenada inteira,
quantos caminhos existem, partindo da origem (0,0), e
chegando em (3,3)?
São 3 passos para a
direita, e 3 para
cima.
Logo, o total de caminhos
é a permutação com
elementos repetidos, do
anagrama
CCCDDD:
6!
6∙5∙4
=
= 20
3! 3!
6
A nossa pergunta
Por qual ponto, de coordenadas inteiras, passam mais
caminhos, da origem até (3,3) (exceto os pontos de
chegada e partida)?
Atividade a ser desenvolvida
para estimular o assunto de
permutações, ou então para
aprofundar no mesmo.
Vamos nos perguntar,
primeiro, quantos
caminhos chegam em
cada ponto, saindo de
(0,0).
1
1

1

1
4 10 20

3 6 10 
2 3 4

1 1 1
Agora, quantos caminhos saem
de cada ponto, e chegam em
(3,3)?
Basta olhar para os caminhos
que saem de (3,3) e chegam em
(0,0), como no caso anterior.
1 1
4 3

10 6

20 10
1
2
3
4
1

1
1

1
Chegam em cada ponto,
saindo da origem
Saem de cada ponto e
chegam em (3,3)
= saem de (3,3) e chegam
em cada ponto
1
1

1

1
4 10 20

3 6 10 
2 3 4

1 1 1
“x”
1 1
4 3

10 6

20 10
 1 4 10 20
 4 9 12 10 


10 12 9 4 


20 10 4 1 
1
2
3
4
1
1
1

1
Quantos
caminhos passam
por cada ponto.
Chegam em cada ponto,
saindo da origem
1
1

1

1
4 10 20

3 6 10 
2 3 4

1 1 1
Saem de cada ponto e
chegam em (3,3)
1 1
4 3

10 6

20 10
“x”
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1

1
1

1
Chegam em cada ponto,
saindo da origem
1
1

1

1
4 10 20
3 6 10 
2 3 4

1 1 1
C3,0
1
“x”
1
C1,0
1
C1,1
1
C2,0
1
C2,1
2
C2,2
1
1
C3,1
3
C3,2
3
C3,3
4
5
6
7
1 1
4 3

10 6

20 10
C0,0
1
1
Saem de cada ponto e
chegam em (3,3)
6
10
15
21
20
35
1
4
10
1
5
15
35
1
2
3
4
1
6
21
1
7
1
1
1

1
•Catalan
1/1=1
2/2=1
6/3=2
20/4=5
70/5=14
Propriedades:
•Simetria em cada linha;
•Stifel: C n-1,p-1+ C n-1,p=Cn,p;
•Soma na linha=2^n;
•Soma na diagonal= inferior esquerdo;11^n;
•(x+y)^3=1 x^3 + 3 x^2 y + 3 x y^2 + 1 y^3
C3,0
C0,0
1
C1,0
1
C1,1
1
C2,0
1
C2,1
2
C2,2
1
1
C3,1
3
C3,2
3
C3,3
1
1
1
5
6
7
8
4
10
15
21
28
6
56
4
10
20
35
1
5
15
35
70
1
1
6
21
56
1
7
28
8
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/
icm99/icm48/pgi.htm
Chegam em cada ponto, Saem de cada ponto e
saindo da origem
chegam em (3,3)
1
1

1

1
4 10 20
3 6 10  “x”
2 3 4

1 1 1
1 1
4 3

10 6

20 10
a m,n x
a n,m
1
2
3
4
1  1 4 10 20
1  4 9 12 10 

1 10 12 9 4 

 
1 20 10 4 1 
1
1
1
1
1
1
1
7
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
1
5
15
35
1
6
21
1
7
1
1

1

1
1
1
5

15

35
70
5 15 35 70

4 10 20 35
3 6 10 15 

2 3 4 5
1 1 1 1 
5
16
30
40
35
15 35 70

30 40 35
36 30 15 

30 16 5 
15 5 1 
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
9
10
11
36
55
165
21
126
1
7
28
84
210
462
1
6
56
252
462
5
35
126
1
15
70
210
330
10
35
84
1
4
20
56
120
3
10
21
1
6
15
28
45
3
5
7
2
4
6
1
8
36
120
330
1
1
9
45
165
1
10
55
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
1
1
1
1
1
1
1
1
16
11
13
15
66
91
220
364
495
1001
2002
3003
4368
792
3003
5005
8008
3432
11440
12870
66
1001
1
12
78
364
1365
4368
1
11
286
3003
8008
10
220
2002
1
55
715
5005
11440
45
495
3003
1
9
165
1287
6435
8
120
792
1
36
330
1716
6435
28
210
924
1
7
84
462
1716
6
56
252
1
21
126
462
1287
15
70
210
1
5
35
126
330
715
1365
1820
120
4
20
56
1
10
35
84
165
286
455
560
45
6
15
28
1
3
10
21
36
55
78
105
120
10
12
14
9
3
5
7
2
4
6
1
13
91
455
1820
1
1
14
105
560
1
15
120
1
16
1