Alguns processos e procedimentos matemáticos pertinentes a atividade:
• Pensamento Espacial;
• Demonstrações;
• Argumentação;
• Encadeamento lógico dos argumentos;
• Modelos matemáticos;
• Interpretação da linguagem simbólica;
• Cálculos.
Objetivos:
• Compreender a pavimentação do plano e sua relação com
bidimensionalidade;
• Analisar figuras geométricas a partir de uma composição de figuras.
a
1) Utilize o par de formas (anexo – material de apoio: modelo) e crie uma
pavimentação do plano, sem espaços e sobreposições. Respeite a
coincidência dos arcos de circunferência. Você deve colorir a sua
pavimentação, transformando-a num mosaico.
Papagaio
Flecha
2) Após a elaboração da pavimentação (mosaico), faça uma análise
geométrica e numérica de cada uma das figuras. Utilize os conceitos
geométricos, as propriedades das figuras planas, as medidas, especialmente,
a medida angular, a composição e a decomposição de figuras planas, o
cálculo numérico, assim como, instrumentos, tais como, régua, transferidor e
compasso, como suporte para a geometria.
Texto 01
Podemos cobrir um chão com ladrilhos de uma forma qualquer,
sem espaços nem sobreposições?
Muitas formas geométricas ou figurativas permitem realizar uma pavimentação
do plano, mas não todas como, por exemplo, o pentágono regular. As
pavimentações regulares do plano repetem-se periodicamente por
translações, em duas direções. Algumas destas pavimentações conservam-se
por rotação ou por simetrias axiais.
Texto 02
Pavimentação de Penrose
Roger Penrose, professor na Universidade de Oxford e especialista
mundial em relatividade e teoria quântica, descobriu um belíssimo tipo de
pavimentação aperiódica constituída apenas por 2 tipos de ladrilhos! Foram
baptizados de “flechas” e “papagaios” por John Conway (outro entusiasta de
diversões matemáticas, à semelhança de Penrose) pelos seus aspectos, como
mostra a figura.
Figura I
A sua construção não é difícil: O comprimento  é o número de ouro,
.
Ambos os ladrilhos devem estar construídos de acordo com as medidas
assinaladas nas figuras: a “flecha” deve ter 2 ângulos internos iguais a 36º,
1 igual a 72º e o outro igual a 216º . Os lados de “trás” da flecha devem ter
comprimento 1 bem como a distância do vértice que corresponde ao
sentido da flecha ao vértice oposto; o “papagaio” deve ter 3 ângulos
internos iguais a 72º e 1 igual a 144º. Os lados do “papagaio” adjacentes
ao ângulo de 144º terão comprimento 1. Os outros terão comprimento 
bem como a distância do vértice cujo ângulo interno é 144º ao vértice
oposto.
A forma de “encaixar” os ladrilhos também obedece a certas regras:
se assinalarmos os vértices de cada um dos ladrilhos com as letras A e B
como na figura, temos que vértices A da “flecha” só podem estar em contacto
com vértices A ( da “flecha” ou do “papagaio”) e vértices B da “flecha” também
só podem “tocar” vértices B (da “flecha” ou do “papagaio”) e vice-versa.
Respeitando estas regras, tanto na construção dos ladrilhos como na
construção da pavimentação, temos assim uma pavimentação como a aquela
que é mostrada na figura:
Uma alteração proposta por Conway, de modo a obter um novo efeito com
esta pavimentação é aquela que a figura mostra: marcando os ladrilhos com 2
arcos de circunferência tangentes, cada um em torno de vértices opostos
cujos ângulos internos não têm igual amplitude.
Cada arco de circunferência de um ladrilho deve “encaixar” no arco de
circunferência de um ladrilho adjacente (esta correspondência pode-se dar
pelos 2 lados do arco ou só por 1). A figura mostra como fica a pavimentação
com o efeito introduzido.
Problematizando o texto “Pavimentação de Penrose”.
3) Utilize as medidas indicadas na pavimentação de Penrose, cujos
comprimentos são 1 e  (figura I) para calcular a área do polígono estrelado
ABCDE.
B
C
A
E
D
4) Calcule o perímetro do “papagaio”.
5) Qual é a diferença entre a área de uma “fecha” e de um “papagaio”?