Laboratório de Mecânica Aplicada I
Determinação de Centros de Gravidade
1
Introdução
Em muitos problemas de mecânica o efeito do peso dos corpos é representado por um único vector, aplicado
num ponto denominado centro de gravidade. Esta situação é tão comum que muitas vezes o neófito nestes
assuntos não se apercebe que esta representação não é fundamental mas sim uma consequência das leis físicas e
válida apenas em determinadas circunstâncias, embora muito comuns. De facto, a força da gravidade faz-se
sentir (no contexto da mecânica clássica onde os corpos são considerados contínuos) em cada elemento
infinitesimal de volume dos corpos, com intensidade proporcional à massa deste. Também é comum os conceitos
de centro de gravidade, centro de massa – conceito associado com a dinâmica de partículas e de corpos extensos
– e centróide – conceito puramente geométrico – sejam confundidos entre si devido a muitas vezes serem
coincidentes. Determinar o centro de gravidade é importante em muitas situações. Por exemplo, em problemas
de mecânica de corpos rígidos, quando as forças internas não são importantes, permite simplificar bastante os
cálculos por redução do peso, uma força distribuída, a uma única força resultante. é importante contudo que se
tenha consciência que este conceito nem sempre é aplicável: por exemplo em estruturas “pesadas”, onde grande
parte da carga suportada é devida ao peso, a utilização do conceito de centro de gravidade pode originar
resultados completamente diferentes dos reais. O centro de massa é importante em problemas de dinâmica pois
do ponto de vista da translação um corpo rígido pode ser reduzido a uma partícula pontual situada nesse ponto e
a sua localização, por exemplo numa peça móvel de uma máquina, pode influir bastante no comportamento e
durabilidade desta. Os procedimentos experimentais e os cálculos propostos neste guia permitem que o aluno
ganhe experiência e sensibilidade em relação a estes conceitos.
Fundamentos Teóricos (Sinopse)
Centro de Gravidade. A atracção que a Terra exerce num corpo – a força da gravidade ou peso do corpo – é na
realidade aplicada em cada uma das partículas que constituem o corpo pois esta força faz-se sentir em tudo o que
tem massa e a massa de um corpo é originada pela massa das suas partículas constituintes. No contexto da
mecânica clássica, onde se considera que os corpos são extensos i. e. que as partículas constituintes são
suficientemente pequenas e estão suficientemente próximas entre si para que se possa considerar os corpos como
distribuições contínuas de matéria, a força total que a Terra exerce num corpo deve ser representada por uma
miríade de pequenas forças, cada uma delas aplicada em cada elemento infinitesimal de volume do corpo e
proporcional à sua massa. Ou seja, cada elemento de volume dV tem um peso infinitesimal dP dado por
dP = g dm = g ρ dV
(1)
onde g é a aceleração da gravidade, que se faz sentir na posição em que o elemento de volume se encontra, e a
densidade de massa que relaciona o volume do elemento com a sua massa.
Se o corpo em questão pode ser considerado como sendo rígido i. e. que a distância relativa entre todas as suas
partículas constituintes se mantém inalterada, os princípios da mecânica estabelecem que um sistema de forças
aplicadas (como este dos pesos de todos os elementos que constituem o corpo) pode ser reduzido a uma única
força resultante P (o peso do corpo) aplicada num ponto qualquer O mais um binário de momento M O
determinados por
P = dP
(2)
M O = r × dP
(3)
onde r é o vector posição de cada elemento de volume em relação a O (o domínio de integração, a não ser
quando explicitado em contrário, é sobre todos os pontos do corpo). A redução do sistema de forças original a
resultante P aplicada num outro ponto G mais binário de momento M G pode ser obtida a partir dos cálculos
utilizados no ponto O. A resultante é idêntica, uma vez que é sempre a soma de todas as forças que constituem o
sistema enquanto que M G se relaciona com M O através da expressão
M G = M O + rGO × P
(4)
Em determinadas circunstâncias é possível descobrir um ponto G onde o binário se anula ou seja
MG = 0
(5)
Tal é possível por exemplo no caso de sistemas de forças paralelas que é o caso do peso de corpos de dimensões
“razoáveis” à superfície da Terra. O raio da Terra é muito grande para sistemas de dimensões humanas e para
todos os efeitos práticos o campo gravitacional pode ser considerado um sistema de forças paralelas. É possível
então reduzir os efeitos da gravidade num corpo rígido a uma única força resultante (sem binário) aplicada no
ponto G que verifique a equação (5). Este ponto é denominado Centro de Gravidade do corpo e é uma escolha
lógica para situar a resultante dos efeitos da gravidade uma vez que a ausência do binário (ou mais exactamente
um binário desprezável) torna mais simples a descrição do sistema.
É fácil verificar que, se a resultante do peso for colocada no centro de gravidade, a soma dos momentos dos
pesos dos elementos infinitesimais em relação a um ponto O qualquer iguala o momento do peso total do corpo
(a resultante) em relação a esse mesmo ponto O i. e.
(6)
rOG × P = r × dP
Determinação Experimental do Centro de Gravidade. Para determinar o centro de gravidade experimentalmente podemos utilizar as leis da estática que estabelecem que um corpo rígido estará em equilíbrio se a soma de
todas as forças externas aplicadas e a soma dos momentos de todas as forças externas em relação a um ponto O
forem zero:
Fiext = 0
(7a)
i
i
ext
M iO
=0
(7b)
Suspendendo um corpo rígido num único ponto através de um fio, as únicas forças externas aplicadas no corpo
serão a tensão do fio e o peso. As equações (7a,b) determinam então que se o corpo está em equilíbrio a tensão
do fio deve igualar o peso do corpo e que as duas forças – tensão e peso – são colineares. deste modo fica
determinada a linha de acção do peso. Suspendendo o corpo num segundo ponto localizado fora dessa linha de
acção, o corpo em equilíbrio tomará outra orientação e obter-se-á uma nova linha de acção do peso. O centro de
gravidade estará localizado na intersecção das duas linhas de acção uma vez que a localização de centro de
gravidade não depende da orientação do corpo em relação ao campo gravítico.
Centro de Massa. O conceito de Centro de Massa aparece na dinâmica associado ao movimento dos sistemas
como um todo. No caso dos corpos rígidos, o movimento individual das suas partículas constituintes é limitado
pelo facto de terem de manter uma distância constante entre si – um corpo rígido tem que se mover como um
todo. Movimento de um corpo rígido no qual um ou dois pontos são mantidos fixos é conhecido por movimento
de rotação i. e. alteração da orientação do corpo. Por outro lado, um caso especial é o caso em que todos os
pontos de um corpo rígido se movem na mesma direcção em qualquer instante com a mesma velocidade e
aceleração – este tipo de movimento é denominado movimento de translação. é possível demonstrar que o
movimento mais geral possível de um corpo rígido tem apenas 6 graus de liberdade e fica completamente
determinado conhecendo o movimento de um qualquer dos seus pontos (3 graus de liberdade – translação de um
ponto) e o movimento dos outros pontos relativamente a este (3 graus de liberdade – rotação i. e. alteração da
orientação do corpo no espaço).
É possível provar que o centro de massa, definido no caso de corpos extensos por
1
1
rCM =
r dm =
r ρ dV
m
m
(8)
onde m é a massa total do corpo, se move de acordo com a segunda lei de Newton como se o corpo fosse uma
partícula pontual com a massa total do corpo localizada nesse ponto e com todas as forças externas aí aplicadas i.
e.
Fiext = mrCM
(9)
i
é portanto fácil determinar o movimento do centro de massa sendo uma escolha lógica para estudar o movimento
de translação dos corpos rígidos. Estudar o movimento de rotação é bastante mais complicado mas vale a pena
afirmar que o conceito de centro de massa permite também simplificar a sua análise. Apresenta-se apenas a
condição de ausência de rotação i. e. movimento de translação puro: um corpo rígido inicialmente sem
movimento de rotação apresentará apenas movimento de translação se a soma dos momentos de todas as forças
externas aplicadas em relação ao centro de massa for zero
tot
M CM
= ri × Fiext = 0
(10)
i
Determinação Experimental do Centro de Massa. A condição de translação pura permite divisar um princípio
que pode ser útil num método para determinar experimentalmente o centro de massa: se um corpo rígido estiver
em movimento por acção de uma única força, se o seu movimento for de translação pura então o centro de massa
encontra-se na sua linha de acção.
Relação entre Centro de Massa e Centro de Gravidade. Já foi discutido que para todos os efeitos práticos o
campo gravítico à superfície da Terra pode ser considerado paralelo. Para além disso, pode também ser
considerado constante: para sistemas de dimensões comparáveis às humanas a variação da aceleração da
gravidade é evidente desprezável. Nestas condições g é independente do integral em (2) e (6) obtendo-se
P = dP = g dm = g dm = mg
rOG × P = rOG × mg = r × g dm =
( r dm )× g = m rCM × g = rCM × m g
(11)
(12)
ou seja os centros de gravidade e de massa coincidem.
Centro de Massa e Centróide. A massa e o volume por ela ocupado estão relacionados através da densidade
(cf. eq. 1). Se a densidade do corpo rígido considerado for constante (corpo homogéneo) então ela não depende
do integral e (8) pode escrever-se
1
1
1
rCM =
r ρdV =
ρ r dV =
r dV
(13)
m
υV
V
onde V é o volume total do corpo. O centro de massa passa a depender unicamente da distribuição do corpo no
espaço e não da massa (nem da densidade) i. e. passa a ser um conceito puramente geométrico. Note-se que a
expressão
1
rC ≡
r dV
(14)
V
pode ser sempre calculada, mesmo que o corpo não seja homogéneo, caso em que já não coincidirá com o centro
de massa. Este conceito denomina-se Centróide do corpo.
Decomposição de Corpos Rígidos. Considere-se um corpo rígido conceptualmente dividido em duas partes.
Cada uma dessas partes também é um corpo rígido: basta cortar o corpo inicial pela divisão imaginada. Então
cada uma dessas partes também tem um centro de massa/gravidade. Já se observou que os corpos rígidos podem
ser considerados em determinadas circunstâncias como partículas concentradas no centro de massa. Então deve
ser possível calcular o centro de massa do corpo total à custa dos centros de massa das suas partes constituintes
de modo análogo ao cálculo do centro de massa de um sistema de partículas. Pode-se demonstrar isso mesmo
com o exemplo da divisão do corpo em duas partes (para n partes é similar):
Seja então um corpo de volume V e massa m constituído por duas partes de volumes e massas, respectivamente,
V1, m1 e V2, m2. Então
V = V1 + V2,
(15)
m = m1 + m2 .
(16)
Os centros de massa das duas partes são por definição respectivamente
1
1
(1)
rCM
=
r dm =
r ρdV
(17)
m1 V
ρV1 V
1
( 2)
rCM
=
1
1
1
r dm =
r ρdV
m2 V
ρV2 V
2
(18)
2
Utilizando a definição de centro de massa (8), as equações anteriores e o facto de a operação de integração num
domínio se poder decompor em soma de integrações em sub-domínios (aditividade relativamente aos domínios
de integração) obtém-se
(1)
(2)
mrCM = (m1 + m2 )rCM = r dm = r dm + r dm = m1rCM
+ m2 rCM
(19)
V
ou seja
V1
(
V2
)
1
(1)
( 2)
m1rCM
+ m2 rCM
(20)
m1 + m2
É possível então obter o centro de massa de um corpo rígido à custa do cálculo dos centros de massa das suas
partes constituintes o que pode ser uma vantagem se for possível decompor o corpo original em partes
geometricamente simples onde seja fácil determinar o centro de massa.
rCM =
Comentários sobre Simetria e Corpos não tridimensionais. A determinação do centro de massa é bastante
simples no caso de corpos simétricos. Eixo de simetria significa que para cada elemento de massa a uma certa
distância do eixo existe um outro, igual e à mesma distância, do lado oposto. é muito fácil verificar que o centro
de massa do conjunto dos dois elementos se encontra sobre o eixo. Calculando o centro de massa de todos os
pares de elementos de massa correspondentes obtém-se sempre um resultado sobre o eixo de simetria. Também é
fácil verificar que se só se tem centros de massa parciais sobre um eixo então o centro de massa global ainda está
sobre o eixo o que significa que o centro de massa está sempre sobre os eixos de simetria que existam. é
importante notar que é requerida simetria de massa i. e. a densidade de massa para cada dois pontos
correspondentes tem que ser igual (caso contrário é o centróide que está a ser determinado, num caso em que não
coincide com o centro de massa).
Se o corpo é uma placa fina (como vai ser o caso do corpo de teste das experiências propostas abaixo) é muitas
vezes possível tratar o problema como sendo bidimensional – desprezando na prática a espessura da placa. Nesse
caso, a densidade passa a ser massa por unidade de área e não massa por unidade de volume. Isso corresponde a
aglutinar a espessura com a densidade. Se (3d) for a densidade tridimensional e e a espessura em cada ponto
(com um valor pequeno) então a densidade bidimensional escreve-se simplesmente
(2d)
= e (3d)
(21)
Pode-se fazer um raciocínio similar para corpos “unidimensionais” i. e. corpos em que a secção seja muito
pequena.
Laboratório de Mecânica Aplicada I
Determinação de Centros de Gravidade
Procedimentos Experimentais
2
Objectivo
Com esta experiência pretende-se a determinação do centro de gravidade de um corpo rígido experimentalmente
e a sua comparação com os cálculos teóricos.
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Lista Geral de Equipamento
Na realização desta experiência serão utilizados os seguintes equipamentos e materiais
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Nónio
Corpo Rígido (placa de teste) “bidimensional”
Folha de papel milimétrico
Mandril (com Base e Suporte)
Dinamómetro
Fio-de-prumo
Alfinetes ou fita-cola
Ímans (2)
Régua
Massas de 25 e 50g
Nota: Utilizar os ímans com os respectivos suportes magnéticos
4
Preparação do material para efectuar medições e cálculos
Colocar a placa de teste bidimensional sobre a folha de papel milimétrico com as marcações voltadas para cima
tendo o cuidado de acertar dois dos lados da placa com linhas principais do papel milimétrico. Prender a placa à
folha utilizando fita-cola, mantendo-a assim numa posição fixa no papel. Transferir os contornos da placa para o
papel incluindo o do buraco da placa. Verificar se o papel está esticado e que os contornos da placa desenhados
no papel estejam acertados com esta.
5
Determinação das características da placa
5.1 Calibração do dinamómetro
Para a determinação da massa da placa é necessário utilizar o dinamómetro. Para confirmar o correcto
funcionamento (respeitando a lei de Hooke) do mesmo é necessário proceder a sua calibração. O zero é definido
como sendo a posição indeformada da mola do dinamómetro. O dinamómetro é pendurado no mandril e é
colocada uma massa de 50g. Mede-se o alongamento da mola a partir do zero marcado. Repetir o procedimento
para outros valores de massas. Os valores das massas e os alongamentos obtidos deverão estar indicados na folha
de resultados.
5.2 Determinação da Massa, Volume e Densidade da Placa
Para a determinação da massa da placa esta será pesada utilizando o dinamómetro. Para tal colocar a placa no
gancho do dinamómetro e medir o elongamento na mola. Depois de retirar a placa, medir a sua espessura,
utilizando o nónio, em vários pontos.
6
Determinação Experimental do Centro de Gravidade #1
Utilizando um dos pequenos furos da placa, localizados longe do meio da mesa, suspender a placa no mandril
utilizando o gancho que estava suspenso no mandril. Utilizando o fio-de-prumo suspenso no referido gancho
desenhar uma linha no papel milimétrico assinalando-se a posição do furo utilizado. Utilizar o procedimento
anterior para mais dois furos similares. Repetir todos os passos anteriores para mais um conjunto de 3 furos
similares. Ter o cuidado de marcar com cores diferentes as linhas correspondentes a cada um dos conjuntos.
7
Determinação Experimental do Centro de Gravidade #2
Neste passo o centro de gravidade da placa será alterado colocando-se dois ímans na placa. Pesar previamente os
ímans utilizando o dinamómetro calibrado e colocá-los na placa fixando-os com fita-cola para garantir a sua
posição ao longo da experiência. Utilizar o procedimento descrito no ponto 6.
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Determinação de Centros de Gravidade
Anexo ao Relatório
Resultados experimentais
Nota 1: Todos os erros apresentados são erros de leitura e correspondem a metade da menor divisão da escala utilizada para a
respectiva medição
Nota 2: Este anexo é para ser preenchido pelos alunos durante a realização do laboratório e anexado ao relatório a entregar
Grupo
Nome do Aluno
Data:
Nº
Docente:
Ano Lectivo:
5.1 Calibração do dinamómetro
Massa
Erro da massa
Erro total da massa
Elongamento da mola
Erro do elongamento
5.2 Determinação da Massa, Volume e Densidade da Placa
Elongamento no dinamómetro
Posição
Peso
Espessura
Medida
Erro do elongamento
Erro na medida
Indicar na folha de papel milimétrico onde é que as medidas da espessura foram feitas
7 Medições feitas nos ímans
Elongamento no dinamómetro
Peso
Erro do elongamento