Estatística
5 - Variáveis Aleatórias Unidimensionais
Prof. Antonio Fernando Branco Costa
e-mail: [email protected]
Página da FEG: www.feg.unesp.br/~fbranco
Experimento do disco
4º quadrante
1º quadrante
3º quadrante
2º quadrante
EXPERIMENTO: Girar o ponteiro de um disco na horizontal
dividido em 4 quadrantes.
Resultados (V.A.discreta): quadrante em que o ponteiro para
Pr(x)
x
Pr(x)
1º quadrante
1/4
2º quadrante
1/4
3º quadrante
1/4
4º quadrante
1/4
1/4
x
1º
2º
3º
4º
Experimento do disco
EXPERIMENTO: Girar o ponteiro de um disco na horizontal
dividido em 8 segmentos.
Resultados (V.A.discreta): segmento em que o ponteiro para
Pr(x)
1/8
1
2
3
4
5
6
7
8
x
Experimento do disco
EXPERIMENTO: ponteiro girando num disco na horizontal
(com uma marca de referência) .
X
(3/2)
(1/2)

Resultados (V.A.contínua): ângulo X de parada do ponteiro em
relação a marca de referência.
(1 / 2)
0
f(x)
1/2
f(x)
0
2
2 dx = 1/ 4
f(x)
0 f(x)  dx = 1
x
x
0 (1/2)
f(x): função densidade de probabilidade
0

f(x) =  1 2
0

,
,
,
x< 0
0  x  2
x > 2
Propriedades de uma v.a.c.
0

f(x) =  1 2
0

,
,
,
x< 0
0  x  2
x > 2
f(x)
2
f(x)  dx = 1
0

1/2
0
2
+
2 1
1
f(x)  dx 
dx  
 2
-
0 2


1
Área 
2  1
2
x
2 2

x

1
2
0
Probabilidades
0

f(x) =  1 2
0

,
,
,
x< 0
0  x  2
x > 2
Pr ( X  x)  0
(1 / 2)
0
f(x)
f(x)  dx = 1 / 4
1/2
0
2
Pr ( a  X  b ) 
 2
Pr ( 0  X   2 ) 

0
b
a f ( x)  dx
 1
1
 dx  
 2
2
x
,b>a
 2

x
0

 2 1

2 4
Função Distribuição Acumulada
0

f(x) =  1 2
0

,
,
,
x< 0
0  x  2
x > 2

f(x)
x
f(x) dx

1/2
0
2
x
F ( x )  Pr[0  X  x] 

x
0
x
 1
1
 dx   2
2
x
x

x 
2
0
F(x)
1,0
0

F(x) =  x 2

1
x/2
0
x
2
x
,
,
,
x < 0
0  x  2
x > 2
Parâmetro de posição - Média
 = E(X) =

x i  P( xi )
(v.a.d.)
i
+
 = E(X) =

x  f(x)dx
(v.a.c.)
-
0

f(x) =  1 2
0

 

2
0
,
,
,
x< 0
0  x  2
x > 2
2
1
 1 2
4 2
x dx  
x  

2
4
 4  0
f(x)
1/2
0
2
x
Parâmetro de dispersão - Variância
0

f(x) =  1 2
0

,
,
x< 0
0  x  2
x > 2
,
 
 2 E
 E2X 
  ( x   ) f ( x)dx
2

X
2


 
EX
2


2
  E( X )  

2
2
3  2
x
1
8 3
 x f x dx  x
dx    
6 
6
2



0

0
2
8 3
4 2
2
2
2
 
 
 
6
3
3
2

2
3


3
Experimento do disco
EXPERIMENTO: ponteiro girando num disco inclinado (com
uma marca de referência) .
Resultados (V.A.contínua): ângulo de parada do ponteiro
com relação a marca de referência.
f(x)
k
0 /2 
2
x
f(x)
k
0 /2 
2
x
Experimento do disco
EXPERIMENTO: ponteiro girando num disco inclinado (com
uma marca de referência) .
Resultados (V.A.contínua): ângulo de parada do ponteiro
com relação a marca de referência.
k=1/
f(x)
k
0 /2 
2
x
Experimento do disco
EXPERIMENTO: ponteiro girando num disco inclinado (com
uma marca de referência) .
Resultados (V.A.contínua): ângulo de parada do ponteiro
com relação a marca de referência.
f(x)
1/
0 /2 
X=0 => f(x)=0
X= > f(x)=1/ 
X= > f(x)=1/ 
X=2 > f(x)=0
2
x
f(x)=x/2
f(x)=(2-x)/2
Probabilidade
f(x)=x/2
f(x)
1/
f(x)=(2-x)/2
0 /2 
2
Pr ( /2  X  3/2 ) 

x
3 / 2
f ( x)  dx ,
 /2



x

2
2
2
3 / 2
 /2


3 / 2
x /  2  dx 


 /2
(2  x) /  2  dx
2x



x
2
2
2
3 / 2
 6/8

Função Distribuição Acumulada
f(x)=x/2
f(x)
1/
f(x)=(2-x)/2
0 /2 
2

x
x
x
1
F(x)  P r (  X  x )   (2  x) /  2  dx
F(x)  Pr (0  X  x 2)  f ( x)  dx ,

0
x
x
1 2x
x2
1
1 2x x2
 

 2 

2
2 
2
2  2 2
2


F(X)  0


se x  0
x2
2
2
1
1
0 x 
se

2x


x2
2
se
2
se   x  2
x > 2
Função Distribuição Acumulada
F(X)  0

se x  0
x2
2
2
 1 
1
se
2x


0 x 
x2
se   x  2
2
se
2
x > 2
F(X)
1
1/2
0

2
Propriedades da média e da variância
Propriedades da média:
(a) E(k) = k , k = constante
(b) E(kX) = kE(X)
(c) E(X  Y) = E(X)  E(Y)
(d) E(X  k) = E(X)  k
(e) E(XY) = E(X) . E(Y) caso X , Y independentes
Propriedades da variância:
(a )  2 ( k )  0
, k = constante
(b)  2 ( kX)  k 2   2 ( X)
(c)  2 ( X  Y)   2 ( X)   2 (Y) , X ,Y independentes
(d)  2 ( X  k )   2 ( x)