8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Parte 2
8.1 – INTRODUÇÃO – PVI’s
8.2 – MÉTODOS DE PASSO SIMPLES
8.2.1 – MÉTODO DE EULER
8.2.2 – MÉTODOS DE TAYLOR
hoje
8.2.3 – MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA
8.3 – MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO
8.4 – MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR
8.5 – EDO’s DE ORDEM SUPERIOR E SISTEMAS DE EDO’s
8.6 - PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
8. EDO’s
8.2.2 – Métodos de Taylor
 Dado o PVI y   f x, y  com yx0   y 0
construiremos x1 , x 2 , x3 , ....., x n ,
para simplificar igualmente espaçados, ou seja,
xi 1  xi  h para i  0,1,2,.....,n  1
e calculamos yi  yxi  neste pontos
através de resultados já obtidos.
8. EDO’s
8.2.2 – Métodos de Taylor
 Os métodos que utilizam o
desenvolvimento de Taylor são
considerados de alto custo
computacional, conforme aumentase a ordem da aproximação, pois em
tais situações devemos calcular não
somente o valor da função f, mas de
suas derivadas também.
8. EDO’s
8.2.2 – Métodos de Taylor
 A série de Taylor de y(x) em torno
de x=xn é dada por:
y ( x)  y ( x n )  y ( x n ) x  x n   y ( x n )
y
k 
( xn )
x  x n 
onde  x  x n , x 
k!
k
y
k 1
 x  x n 2
2!
 .....
x  x n 
( x )
k  1!
k 1
8. EDO’s
8.2.2 – Métodos de Taylor
 A série de Taylor de y(x) em x=xn+1 é
k
h2
h
y ( x n 1 )  y ( x n )  y ( x n ) h  y ( x n )
 ..... y k  ( x n )
2!
k!
k
h2
k  h
 y n 1  y n  y n h  y n
 ..... y n
2!
k!
onde h  x n 1  x n  é o tamanho do passo e
y k 1 ( x ) k 1
e x n  
h
é o erro de truncamento.
k  1!
O Método de Taylor é dito de ordem k
8. EDO’s
8.2.2 – Método de Taylor de 2ª Ordem
 Calculemos a fórmula de Taylor de 2ª ordem.
Note que
y x   f x, y ( x) 
dy
d
y x  
f  x , y ( x )   f x  x, y ( x )   f y  x, y ( x )   f x  f f y
dx
dx
h2
 y n 1  y n  h f x n , y n  
f x x n , y n   f y x n , y n  f x n , y n  
2
onde n  0,1,2...


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8.2.2 – Método de Taylor de 3ª Ordem
 Analogamente, a fórmula de Taylor de 3ª
ordem é dada por
y n 1


h2
 y n  h f x n , y n  
f x x n , y n   f y x n , y n  f x n , y n 
2!
h3

[ f xx x n , y n   2 f xy x n , y n  f x n , y n   f yy x n , y n  f
3!

2
x n , y n 

 f x x n , y n  f y x n , y n   f y x n , y n  f x n , y n ]
onde n  0,1,2... e
2
y x   f xx  2 f xy f  f yy f
2
 
 fx fy  fy
2
f
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8.2.2 – Método de Taylor de nª Ordem
 Note o aumento do gasto computacional em calcular os valores de f e
suas derivadas em vários pontos.
 O cálculo da fórmula de Taylor de
ordem n é muito trabalhoso.
 O Método de Euler é o Método de
Taylor de ordem 1
8. EDO’s
8.2.2 Métodos de Taylor - Aplicação
Exemplo 1: Considere o problema de valor inicial
x y   x  y com y(2)  2
 Utilizando a fórmula de Taylor de 2ª ordem
calcule y (2.1) .
 Solução: Temos que
x y
y
2
y 
1como y(2)  2  y (2)  1   0
x
x
2
0 2 1
 y y 


e y (2)     2     2 
2 2
2
 x x  x 2
8. EDO’s
8.2.2 Métodos de Taylor - Aplicação
Da fórmula de Taylor, em torno de x  2
( x  2) 2
( x  2) 3
y ( x)  y (2)  ( x  2) y (2) 
y (2) 
y ()
2!
3!
( x  2) 2 ( x  2) 3
y ( x)  2 

y ()
4!
6!
(0.1) 2
 y (2.1)  2 
 2.00238
4
 y  2 y  2 y
 2  3 ?
Quanto ao erro cometido: y ( x) 
x
x
x
8. EDO’s
8.2.2 Métodos de Taylor - Aplicação
Exemplo 2: Considere o problema de valor inicial
y   x  y  2 com y(0)  2
 Utilizando a fórmula de Taylor de 1ª ordem
(Método de Euler) calcule y( x) para x  0,1 .
 Solução: Escolhendo uma partição em 5
subintervalos, segue h  0.2 e
y n 1  y n  h f x n , y n   y n  h x n  y n  2 
para n  0,1,2,3,4
 y1  2.0000 , y 2  2.0400 , y 3  2.1120
y 4  2.2096 , y 5  2.3277
8. EDO’s
8.2.2 Métodos de Taylor - Aplicação
Exemplo 3: Considere o problema de valor inicial
y   x  y  2 com y(0)  2
 Utilizando a fórmula de Taylor de 2ª ordem
calcule y( x) para x  0,1 .
 Solução: Escolhendo uma partição em 5
subintervalos, segue h  0.2 e
2
h


y n 1  y n  h y n 
yn
para n  0,1,2,3,4,5
2

onde y n  x n  y n  2

y n  f x x n , y n   f y x n , y n  f x n , y n    x n  y n  1
8. EDO’s
8.2.2 Métodos de Taylor - Aplicação
Substituindo
y n 1
h2
 x n  y n  1
 y n  h x n  y n  2 
2
para n  0,1,2,3,4,5
 y1  2.0200 , y 2  2.0724 , y 3  2.1514
y 4  2.2521 , y1  2.3707
8. EDO’s
8.2.2 Métodos de Taylor - Aplicação
Exemplo 2: Para o problema de valor inicial
y   x  y  2 com y(0)  2
xi
0.0
0.2
0.4
Euler
2.0
2.0
2.04
Taylor p=2
2.0
2.02
2.0724
Exato
2.0
2.0187
2.0703
0.6
0.8
1.0
2.1120
2.2096
2.3277
2.1514
2.2521
2.3707
2..1488
2.2493
2.3679
8. EDO’s
8.2.2 Métodos de Taylor
Exercícios: Resolva o problema de valor inicial
y   20 y com
y(0)  1
considerando h  0.5 , h  0.25 , h  0.1
Calcule
y( x) para
y  (0,1)
por meio do
a) Método de Euler Aprimorado
b) Taylor de 2ª ordem
c) Compare os resultados