Traçado da elipse através do traçado de duas circunferências
Para obter o traçado da elipse dada pela equação
x2
a2
raios a
+
y2
=1,
b2
b com centro
considere duas circunferências de
e
na origem O , que é o centro da
elipse. O desenho abaixo relaciona a posição dos pontos da elipse em relação aos pontos
das duas circunferências.
b
a
A semi-reta que sai da origem e faz um ângulo θ com o eixo OX fura a circunferência de
raio a num ponto A e fura a circunferência de raio b num ponto B . A reta horizontal que
passa por A intersecta a reta vertical que passa por B num ponto P = ( x , y) .
y = b sen θ
A
b
θ
P = (x , y)
B
a
x = a cos θ
É imediato verificar que as coordenadas de P são dadas pelas igualdades x = a cos θ e
y = b sen θ . Logo
x2
a
2
+
y2
b
2
Portanto o ponto P pertence à elipse.
=
(a cos θ) 2
a
2
+
(b sen θ) 2
b2
= 1.
Traçado da hipérbole através do traçado de uma circunferência
Para obter o traçado da hipérbole dada pela equação
x2
a2
a
−
y2
=1,
b2
considere uma circunferência de raio
com centro na origem O , que é o centro da
hipérbole, e a reta vertical x = b . O desenho abaixo indica o traçado da hipérbole.
b
a
A semi-reta que sai da origem e faz um ângulo θ com o eixo OX intersecta a circunferência
num ponto T e intersecta a reta vertical num ponto B . A reta tangente à circunferência no
ponto T intersecta ao eixo OX num ponto A . A reta vertical que passa por A intersecta a
reta horizontal que passa por B num ponto P = ( x , y) .
btgθ B
P = ( x , y)
T
θ
b
A
a
a sec θ
É imediato verificar que as coordenadas de P são dadas pelas igualdades x = a sec θ e
y = btgθ . Logo
x2
a2
−
y2
b2
=
(a sec θ) 2
a2
Portanto o ponto P = (x , y) pertence à hipérbole.
−
(btgθ) 2
b2
= 1.
Traçado da parábola através do traçado de duas circunferências
Para obter o traçado da elipse dada pela equação
y = a−
1 2
x ,
a
considere uma circunferência de raio a com centro na origem O e outra circunferência de
raio a / 2 e tangente internamente à primeira. O desenho abaixo relaciona a posição dos
pontos da elipse em relação aos pontos das duas circunferências.
a
A semi-reta que sai da origem e faz um ângulo θ com o eixo OX fura a circunferência
menor num ponto A e fura a circunferência maior num ponto B . A reta horizontal que
passa por A intersecta a reta vertical que passa por B num ponto P = ( x , y) .
B
2θ
A
θ
P = (x , y)
a
As coordenadas de P são dadas pelas igualdades y = OA sen θ = a sen 2 θ e x = a cos θ . Logo
y = a−
1 2
x . Portanto o ponto P pertence à elipse.
a
A elipse como a interseção de um plano e um cilindro
Seja Ε a interseção do cilindro de raio r e um plano Π. Para mostrar que Ε é uma
elipse, considere as duas esferas de raio r tangentes ao plano Π em pontos F e F' e seja P
um ponto de Ε. A geratriz do cilindro que passa pelo ponto P tangencia as esferas nos
pontos T e S . A distância ST é a distância entre os dois equadores das esferas. Logo não
depende do ponto P em Ε. Pela propriedade da tangência tem-se PF = PS e PF' = PT . Assim,
PF + PF' = PS + PT = ST é uma constante. Portanto o conjunto Ε é uma elipse cujos focos são
F e F' .
T
F’
F
P
S