MOVIMENTO ONDULATÓRIO Ondas Tipos de ondas Pulso Onda mecânica Tipos de propagação de ondas Representação matemática da propagação de um pulso Onda sinusoidal Representação matemática do modelo de onda Velocidade de ondas transversais em cordas Reflexão e transmissão de ondas Ondas sonoras Intensidade e nível sonoro Efeito doppler Princípio da sobreposição Ondas estacionárias 1 MOVIMENTO ONDULATÓRIO ONDAS As perturbações num sistema em equilíbrio que provocam um movimento oscilatório podem propagar-se no espaço à sua volta sendo percebidas noutros pontos do espaço Animations courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University 2 Exemplos de movimento ondulatório 3 TIPOS DE ONDAS ONDAS MECÂNICAS precisam de um meio físico para se propagarem Exemplos: • ondas sonoras • ondas na água provocada por uma pedra que foi atirada na água • sísmicas • corda ONDAS ELETROMAGNÉTICAS não precisam de um meio físico para se propagarem Exemplos • ondas de rádio • luz • raios X • raios laser, • ondas de radar 4 PULSO DE UMA ONDA O pulso de uma onda é a propagação da pertubação através do meio ONDA MECÂNICA Caracterizamos as ondas mecânicas periódicas pela oscilação dos átomos e moléculas que compõe o meio, onde a onda se propaga. Fonte: http://www.if.ufrj.br/teaching/fis2/ondas1/ondulatorio.html 5 TIPOS DE PROPAGAÇÃO DE ONDAS Ondas Transversais a direção de propagação da onda é perpendicular a direção de oscilação das partículas: Ondas Longitudinais a direção de propagação da onda coincide com a direção de oscilação das partículas: Ondas mistas possuem partículas transversalmente, ao mesmo tempo. que oscilam longitudinalmente e 6 Exemplos: Ondas Transversais Ondas Longitudinais Ondas mistas 7 Outros exemplos Ondas Transversais Ondas eletromagnéticas Ondas Longitudinais 8 Somente as ondas transversais podem ser polarizadas 9 PROPAGAÇÃO DA ONDA ELETROMAGNÉTICA (FOTÃO) 10 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DA PROPAGAÇÃO DE UM PULSO Um pulso de onda unidimensional numa corda, se desloca para a direita com uma velocidade v O pulso move-se ao longo do eixo x e o deslocamento transversal (para cima e para baixo) da corda e é medido pela coordenada y y ( x) f ( x) (a) A forma do pulso em t = 0 pode ser representada por (b) Num momento posterior t, o pulso viajou uma distância vt. modificou. A forma do pulso não se y( x, t ) f ( x vt,0) E o deslocamento vertical de qualquer ponto P da corda é dado por y também é chamada função de onda: y( x, t ) y( x) f ( x vt ) 11 O MODELO DE ONDA: ONDA SINUSOIDAL Uma onda contínua é criada agitando-se a extremidade da corda num movimento harmónico simples ao fazermos isso a corda tomará a forma de uma onda sinusoidal 12 Características físicas principais na descrição de uma onda sinusoidal: comprimento de onda, frequência e velocidade v O comprimento de onda, idênticos numa onda. , é a distância mínima entre quaisquer dois pontos A frequência, f é o nº de oscilações que a partícula do meio executa por unidade de tempo (é a mesma definição do MHS). Unidade: hertz (Hz). As ondas se deslocam através do meio com velocidade de onda, depende das propriedades do meio que está sendo perturbado. v, específica, que 13 ONDAS SINUSOIDAIS A distância A é chamada amplitude da onda e corresponde ao deslocamento máximo de uma partícula do meio com relação à posição de equilíbrio. O período T é o tempo mínimo que uma partícula do meio leva para realizar uma oscilação completa (é a mesma definição do MHS). Unidade : segundo (s) O período é igual ao inverso da frequência: 1 T f 14 ONDAS TRANSVERSAIS EM CORDAS A extremidade de uma corda é ligada à uma lâmina que é colocada em vibração 15 Uma partícula P do meio move-se apenas na vertical 16 Uma partícula P do meio move-se apenas na vertical Animations courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University 17 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DO MODELO DE ONDA ONDA PROGRESSIVA A figura mostra uma onda sinusoidal se deslocando para a direita com uma velocidade v: A curva castanha representa um instantâneo duma onda sinusoidal em t=0 é descrita matematicamente como y A sin( O valor de y Como a onda se desloca para direita com uma velocidade tempo posterior t é 2 x) é o mesmo quando múltiplo inteiro de y A sin[ 2 v, x aumenta de um a função de onda num ( x vt)] A onda sinusoidal se desloca de uma distância instantâneo duma onda sinusoidal num t≠0 vt a curva azul representa um 18 Num período T a onda desloca de v T Substituíndo na função y y A sin[ 2 (x T t )] x t y A sin[ 2 ( )] T Podemos expressar a função de onda utilizando as grandezas numero de onda angular (ou número de onda) 2 frequência angular 2f T 2x 2t Assim: y A sin[( )] T 2 f Podemos escrever: v k ou v 2 Expressão geral da função de onda onde é denominada de constante de fase k 2 yx, t A sin kx t v f yx, t A sin kx t 19 A EQUAÇÃO DA ONDA LINEAR O ponto P (ou qualquer outro ponto da corda) move-se apenas verticalmente e assim a coordenada x permanece constante yx, t A sinkx t Velocidade transversal do ponto P dy vy A coskx t dt Aceleração transversal do ponto P ay dv 2 A sin kx t dt Estas equações serão derivadas em relação a “x” e a “t 2 y 1 2 y 2 2 2 x v t “ obtemos a equação de onda linear Essa equação descreve com sucesso ondas em cordas, ondas sonoras, e ondas electromagnéticas (y E ou B) 20 VELOCIDADE DE ONDAS TRANSVERSAIS EM CORDAS A velocidade da onda depende das características físicas da corda e da tensão a que a corda está sujeita Força resultante na direcção x é zero, porque T cos T cos 0 Força resultante na direção y é s T F 2T sin T 2 T F na aproximação de ângulo pequeno sin a altura do pulso « comprimento da corda m s R2 T T y é a massa por unidade de comprimento m/L mv 2 F R x assim T v 2 s 2R força centrípeta mv 2 2T R v T R 2v 2 R 2T Aplicável a um pulso que tenha qualquer forma 21 Exemplo 1 Onda sinusoidal Uma onda que se desloca ao longo de uma corda é descrita pela equação: yx, t 0.00327 sin 72.1x 7.1t em que todos os valores se encontram em unidades SI. 1. Qual é a amplitude, comprimento de onda, o período e velocidade de propagação desta onda? yx, t A sin kx t k Comprimento de onda: Período: Amplitude: 2 72.1 A 0.00327 m 2 0.0871 m k 2 2 7.1 T 0.885 s T Velocidade de propagação: v T k 0.0985 ms -1 22 Exemplo 1 Onda sinusoidal (continuação) 2. Qual será a força de tensão aplicada na corda se esta tiver uma massa de 0.500 kg e um comprimento de 0.5 m? v T T T v 2 m 2 v L v 0.0985 ms -1 0.500 0.09852 0.0097 N 0.5 23 REFLEXÃO DE ONDAS Reflexão dum pulso na extremidade fixa de uma corda esticada Reflexão dum pulso na extremidade livre de uma corda esticada 24 Animations courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University REFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ONDAS Pulso deslocando-se para a direita numa corda leve ligada a uma corda mais pesada Pulso deslocando-se para a direita numa corda pesada ligada a uma corda mais leve 25 http://paws.kettering.edu/~drussell/demos.html ONDAS SONORAS São ondas longitudinais as partículas do meio realizam deslocamentos paralelos ao sentido do movimento da onda. As ondas sonoras no ar são os exemplos mais importantes de ondas longitudinais Pulso Onda longitudinal http://paws.kettering.edu/~drussell/demos.html A onda sonora pode ser considerada uma onda deslocamento A vibração provoca uma série periódica de sucessivas compressões e rarefações sx, t smáx sinkx t ou uma onda de pressão px, t pmáx coskx t pmáx vsmáx 26 27 28 ESPECTRO SONORO 29 INTENSIDADE E NÍVEL SONORO A intensidade do som, I está relacionada com a energia transportada pela onda sonora indica o fluxo da potência acústica sobre uma dada área No SI, a unidade para a medida de I é dada por : W/m2 (watt por metro quadrado) Para medirmos o nível de intensidade sonora usamos uma escala logarítmica chamada de decibel, dB o decibel (dB), que corresponde a um décimo de bel (B) Esta a unidade é definida em termos de uma escala logarítimica, porque a intensidade absoluta dos sons varia numa escala muito grande . A equação para decibel é dada por : 10 log onde I 0 I dB I0 é a intensidade do som no limiar da audibilidade ( o som audível mais baixo): I 0 10 12 W/m2 valor de referencia 3030 NÍVEIS SONOROS DE ALGUMAS FONTES Fonte I/Io dB Descrição Respiração normal 100 0 Limite de audição Biblioteca 103 30 Muito silencioso Conversação normal 105 50 Calmo Camião pesado 109 90 Exposição prolongada provoca danos no ouvido Concerto rock (a 2 m) 1012 120 Limite de dor Jato na descolagem 1015 150 Motor de foguetão 1018 180 31 Reverberação Eco 32 O som propaga-se em diversos meios sólidos, líquidos ou gasosos, mas a sua velocidade de propagação varia de meio para meio e até com a temperatura Velocidade de propagação do som: no ar é de 340 m/s (à temperatura ambiente) na água é de 1 500 m/s no granito é de 6 000 m/s. A velocidade de uma onda sonora no ar para temperaturas em torno da temperatura ambiente v 331 m/s (0.6 m/s O C)TC TC é a temperatura em graus celsius 331m/s é a velocidade do som a 0 C 33 EFEITO DOPPLER Emissor e recetor de ondas sonoras imóveis frequência f’ do recetor = frequência f f ' f do emissor v Quando um veículo tem a sirene ligada durante o seu deslocamento numa estrada, a frequência do som que se ouve por um observador parado é mais elevada quando o veículo se aproxima do que quando o veículo se afasta efeito Doppler vF v v v ' x F f f f ' f’ → frequência aparente f → frequência real v → velocidade do som v F → velocidade da fonte v v f ' v vF v v ' x F f f f ' v v f ' v vF 34 EFEITO DOPPLER quando o observador (ou o detetor) se aproxima ou se afasta da fonte emissora que está parada Em a o detetor se aproxima da fonte f vrel v vD f v Em b o detetor se afasta da fonte Quando o detetor se afasta da fonte vrel v vD f f v Quando o detetor e o emissor estiverem em movimento f f v vD v vF 35 ONDAS DE CHOQUE Na equação f ' f v v vF quando vF v f ' vF v http://paws.kettering.edu/~drussell/demos.html 36 VELOCIDADE SUPERSÓNICA vF v No momento em que um avião atravessa a barreira do som, forma-se uma enorme nuvem à sua volta. A grande variação de pressão na onda de choque faz com que a água presente no ar se condense sob a forma de gotículas. Chama-se "cone de Mach". Ao voar, a uma velocidade supersónica, um avião cria, no seu rasto, um fenómeno chamado «estampido sónico»? Ou seja, um barulho parecido com o ribombar de um trovão Se o avião voar bem baixo, o barulho pode até partir os vidros das janelas das habitações! No entanto, ao contrário do que se possa pensar, quando um avião ultrapassa a velocidade supersónica, o voo passa a ser suave, porque se passa a voar 37 mais rápido do que as ondas de pressão http://paws.kettering.edu/~drussell/demos.html PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO Dois pulsos ondulatórios, vindo de direções opostas, que se propagam numa corda esticada e se combinam num dado ponto. O deslocamento resultante é a soma dos deslocamentos individuais. A sobreposição de ondas não afeta de nenhum modo a progressão de cada uma 38 http://paws.kettering.edu/~drussell/demos.html INTERFERÊNCIA CONSTRUTIVA E INTERFERÊNCIA DESTRUTIVA Interferência construtiva As cristas das ondas individuais ocorrem nas mesmas posições Interferência destrutiva O máximo de uma onda coincide com o mínimo da outra Para duas ondas com a mesma amplitude e a mesma frequência angular yx, t A sinkx t Ondas que se propagam na mesma direção Ondas que se propagam em direções opostas nodo antinodo 2 ondas estacionárias yx, t 2 ym sin kxcos t 39 http://paws.kettering.edu/~drussell/demos.html ONDAS ESTACIONÁRIAS é um padrão de oscilação que resulta de duas ondas que se propagam em sentidos opostos matematicamente esta equação se parece mais como um oscilador harmónico simples do que y x, t 2 A sin kx cost com o movimento ondulatório para ondas progressivas amplitude Cada partícula oscila com frequência A amplitude máxima do MHS tem valor 2A como 2 k x 2 2 2 kx 3 5 2 , 2 , 2 ,... as posições de máxima amplitude (antinodos) são 3 5 , amplitude da onda estacionária sin kx 1 A amplitude máxima ocorre quando , 2 ,... x 3 5 4 , A amplitude mínima ocorre quando 4 , 4 ,... n 4 onde sin kx 0 n 1, 3, ... kx , 2 , 3 ,... Da mesma forma as posições de mínima amplitude (nodos) são 2 x , 2 , 3 ,... x 2 , , 3 n ,... 2 2 onde n 1, 2, 3, ... 40 ONDAS ESTACIONÁRIAS EM CORDAS Uma corda é esticada entre dois suportes rígidos V Onda incidente V Onda refletida V Onda estacionária V 41 ONDAS ESTACIONÁRIAS EM CORDAS Numa corda presa por ambas as extremidades para certas frequências formam-se ondas estacionárias transversais L A corda tem vários padrões naturais de vibração modos normais 42 L MODOS NORMAIS Modo fundamental ou primeiro harmónico 2L v f1 1 1 2L v lembrar que v f f n 1 1 2 L Segundo harmónico n 2 2 L 2L v f2 2 2 2L Terceiro harmónico n 3 3 No geral temos n 2 L n e fn n v n T nf1 ou f n 2L 2L 2L v f3 3 3 2L onde n 1, 2, 3, ... 43 EXEMPLOS 44 45