Sistemas Dinâmicos com Campo de
Direções Parcialmente Conhecido
Laécio Carvalho de Barros
([email protected])
IMECC - Unicamp
Um Esquema de Modelagem
Fenômeno
Lógica p/
Regras
EDO
função
EDIF
Regras
?
Metodologia
Metodologia
Controladores fuzzy e métodos numéricos para equações
diferenciais (Runge-Kutta) foram usados para realizar as
simulações.
Sn, In
Controle
fuzzy
1/S dS/dt
1/I dI/dt
Runge-kutta
Sn+1,In+1
Princípio bem aceito Ecologia
“Uma população varia a uma taxa
proporcional a própria população em
cada instante t.”
Modelo Clássico de Malthus
Característica do Modelo:
A variação é dada pela derivada.
Nesse caso tem-se o seguinte PVI:

 dx
 ax

 dt

 x (0)  x0
Obs. : crescimento específico (dx/dt) constante.
Modelo Clássico de Malthus

Solução do Modelo
Lógica Fuzzy: o começo
Lofti Zadeh publica (1965) o artigo com as primeiras
Idéias sobre conjuntos fuzzy.
Principal interesse era armazenar conceitos como
“aproximadamente”, “em torno de” etc.
Conj. Clássico e conj. Fuzzy
Função de pertinência
Um subconjunto fuzzy F de U é definido por uma
função µ : U  [0, 1], chamada função de pertinência
de F .
µ (x) indica o grau com que “x” é um elemento de F.
Ex.: “em torno de 100”
 x  90
se 90  x  100
 10
110  x
µ(x) = 
se 100  x  110
10

caso contrário
 0

Malthus com regras

Uma primeira tentativa de modelagem para tal princípio
poderia nos levar às seguintes regras
-Se a população(X) é baixa(B) então a variação é baixa(B);
-Se a população(X) é média(M) então a variação é média(M);
-Se a população(X) é alta(A) então a variação é alta(A).
Conjuntos fuzzy para os antecedentes
e conseqüentes das regras de Malthus
Método de Mamdani
Solução p-fuzzy
Modelo presa-predador de LotkaVolterra
O modelo presa-predador clássico de Lotka-Volterra, que se tornou um
paradigma da Biomatemática, pressupõe que:
 1- Tanto as presas como os predadores estão distribuídos uniformemente
num mesmo habitat, ou seja, todos os predadores têm a mesma chance
de encontrar cada presa;
 2- O encontro entre os indivíduos das duas espécies seja ao acaso, a
uma taxa proporcional ao tamanho das duas populações;
 3- A população de presas x(t) cresce exponencialmente na ausência de
predadores (crescimento ilimitado por escassez de predadores);
 4- A população de predadores y(t) decresce exponencialmente na
ausência de presas (decrescimento por escassez de alimento);
 5- A população de predadores é favorecida pela abundância de presas;
 6- A população de presas é desfavorecida pelo aumento de predadores.
Modelo Clássico do tipo Presa-Predador
de Lotka-Volterra

Estas seis hipóteses são resumidas nas
equações abaixo, denominadas Modelo de
Lotka-Volterra:
 dx
 ax  xy

 dt

 dy  bx   xy

 dt
Interpretação para parâmetros

a: taxa de crescimento da população de presas na ausência de
predadores;

(α/β): a eficiência de predação, isto é, a eficiência de
conversão de uma unidade de massa de presas em uma
unidade de massa de predadores, já que α representa a
proporção de sucesso dos ataques dos predadores e β a taxa
de conversão de biomassa das presas em predadores;

b : taxa de mortalidade de predadores na ausência de presas;
Obs.:Os pontos críticos do sistema são: (0,0), um ponto de sela
instável, e ((b/β),(a/α)) que é um centro estável.
Plano de fase do modelo clássico de
Lotka-Volterra

Ciclos Ecológicos
Re-interpretando as seis hipóteses
comentadas acima:
A hipótese
"1" significa apenas que, dentro de cada espécie, o ambiente não privilegia
nenhum indivíduo. Portanto é natural que as variáveis de estado sejam apenas
quantidades;
"2" significa apenas que há interação entre as espécies;
"3" indica que não há auto-inibição nas presas, isto é, para um dado número de
predadores, o crescimento específico das presas é constante, podendo ser
positivo ou negativo;
"4" como em "3", espera-se que, para um dado número de presas, o crescimento
específico dos predadores seja constante, podendo ser positivo ou negativo;
"5" apenas indica que o crescimento específico dos predadores aumenta com o
número de presas;
"6" significa que o crescimento específico das presas diminui com o aumento dos
predadores.
Resumidamente, as hipótese de 3 a 6 indicam que, dada uma certa
quantidade de uma espécie, a outra tem crescimento (decrescimento)
malthusiano.
Arquitetura para modelo p-fuzzy de
Lotka-Volterra
Representação gráfica da regras
Base de Regras para Lotka-Volterra
















Se X é A1 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2
Se X é A2 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1
Se X é A3 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1
Se X é A4 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2
Se X é A1 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2
Se X é A2 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1
Se X é A3 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1
Se X é A4 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2
Se X é A1 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2
Se X é A2 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1
Se X é A3 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1
Se X é A4 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2
Se X é A1 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2
Se X é A2 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1
Se X é A3 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1
Se X é A4 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2
Soluções para o p-fuzzy Lotka-Volterra

Em cada instante t, o número de presas e de
predadores é dado pelas fórmulas
t dx

x (t )  x (t0 )  
( s ) ds

t 0 dt


 y (t )  y (t )  t dy ( s ) ds
0
t0 dt


Estimativas

Assim, os valores de x(t) e y(t) são estimados pelas
fórmulas
'

 x(ti )  x(ti 1 )  hx (ti 1 )

'

 y (ti )  y (ti 1 )  hy (ti 1 )
onde x' (ti1 ) e y ' (ti1 ) são as saídas do controlador
correspondentes às entradas x(ti 1 ) e y(ti 1. )
Contingentes populacionais e plano de
fase para o p-fuzzy Lotka-Volterra