DISTRIBUIÇÃO DA AÇÃO DO VENTO NOS ELEMENTOS DE
CONTRAVENTAMENTO CONSIDERANDO O PAVIMENTO COMO
DIAFRAGMA RÍGIDO: ANÁLISE SIMPLIFICADA E MATRICIAL
Distribution of the wind action in the bracing elements considering the storey as a rigid
diaphragm: simplified analysis and matricial
Henrique Raymundo (1); Roberto Chust Carvalho (2); Carolina Alvares Camillo (3)
(1) Mestrando em Construção Civil, UFSCar
(2) Prof. Doutor do Departamento de Engenharia Civil, UFSCar
(3) Mestranda em Construção Civil, UFSCar
UFSCar/DECIV – Rod. Washington Luis, km 235, 13.565-905, São Carlos – SP
Resumo
Este trabalho trata de análise de esforços em uma estrutura convencional de concreto armado, submetida a
uma ação lateral de vento. O intuito da análise é verificar a influência da laje funcionando como diafragma
rígido na distribuição dos esforços entre os elementos de contraventamento da estrutura. Tal análise é feita
considerando-se dois diferentes tipos de modelagem da estrutura: 1) feita com a utilização de pórtico
espacial, com a aplicação do programa STRAP®. Para considerar o efeito de diafragma rígido da laje
maciça é aplicada a ferramenta denominada Nó mestre; 2) os esforços são obtidos agora considerando a
modelagem plana da estrutura, com a utilização do programa FTool. Para isto é necessário definir qual a
porcentagem de vento vai para cada pórtico da estrutura. Assim, são utilizados os preceitos definidos por
Carvalho (2010) e Elliot (2002). Os momentos nas bases dos pilares são comparados, considerando-se os
diferentes modos de análise.
Palavra-Chave: Diafragma rígido, Laje maciça, Pavimentos,Concreto armado.
Abstract
This paper deals with analysis of efforts in a conventional structure of concrete subjected to a lateral action
of wind. The purpose of the analysis is to asses the influence of the slabe acting as rigid diaphragm
distribution of efforts between the bracing elements of tne structure. This analysis is done considering two
different types of modeling the structure: 1) made with the use of space frame, with the implementation of the
program STRAP ®. To consider the effect of the rigid diaphragm slab is applied to tool called master node; 2)
efforts are made now considering the flat pattern of the structure, using the program FTool. For this it is
necessary to define what percentage goes to each wind brace of the structure. Thus, you use the precepts
laid down by Carvalho (2010) and Elliot (2002). The moments at the bases of the colums are compared,
considering the different modes of analysis.
Keywords: Rigid diaphragm, Solid slab, Floors, Reinforced Concrete.
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1
1
INTRODUÇÃO
Na maioria das estruturas convencionais, definidas com a concretagem no local, a ação
do vento costuma ser tão importante no dimensionamento dos elementos estruturais
como as ações gravitacionais. Neste caso, diferente das estruturas pré-fabricadas, há
sempre o efeito do monolitismo presente nas ligações entre os diversos elementos. Estas
ligações podem ser consideradas, para efeito de rotação, rígidas. Desta forma, a ação do
vento deve ser feita de forma cuidadosa e mais próxima do real possível, para que se
garanta, além da estabilidade global da estrutura, seu funcionamento adequado em
serviço, principalmente nos deslocamentos laterais.
Para realizar a análise (cálculo dos esforços e deslocamentos), devido às ações laterais
de vento, em estruturas compostas por pavimentos de lajes maciças, considera-se o
pavimento trabalhando, segundo seu plano médio, como um diafragma rígido. A partir
desta hipótese é possível determinar as ações em todos os elementos de
contraventamento (pórticos ou paredes de cisalhamento). Para estruturas pré-moldadas,
no qual os pavimentos são compostos por elementos de laje alveolar, após a
determinação destas ações devem ser calculados os esforços no plano médio do
pavimento, verificando se tais esforços atuantes na laje podem ser absorvidos,
principalmente nas ligações capa/elemento pré-moldado, laje-viga etc. Para pavimentos
moldados no local, com laje maciça, considera-se que estes esforços sejam de baixa
intensidade e suportadas pela mesma.
Assim, para verificar a estabilidade global ou verificar deslocamentos devido às ações
laterais, é preciso conhecer como estas ações se distribuem em relação aos elementos
de contraventamento. Este é o tema deste trabalho, que considera uma estrutura
convencional de elementos moldados in loco e elementos de contraventamento definidos
por pórticos. A segunda etapa do procedimento, ou seja, a verificação da laje
propriamente dita não faz parte deste trabalho.
2
Diafragma rígido
Considerar o pavimento como diafragma rígido equivale a considerar que a distância
entre dois pontos do pavimento, após a deformação decorrente da ação lateral, não se
altera (como ocorre com as distâncias AB=A’B’ indicadas na Figura 1). Em outras
palavras, isto significa dizer que o pavimento (conjunto de lajes) tem deslocamentos de
corpo rígido e, portanto, o deslocamento do centro de gravidade da seção de extremidade
pilar contido neste pavimento é a soma do deslocamento de translação do pavimento
como o oriundo da rotação do mesmo. O efeito de rotação no pavimento só estará
presente quando se tem uma ação de vento desigual na face da estrutura ou, com uma
ação lateral homogênea, onde os elementos de contraventamento resistentes a esta ação
têm inércias diferentes entre si.
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2
CORTE
PLANTA
Fv
PÓRTICO 1
PÓRTICO 2
pórtico
forro
Fv
A
B
pórtico
A'
Fv
pavimento
H
PÓRTICO 2
B
A
B'
h
Figura 1 – Estrutura (elevação e planta) sob a ação de esforço lateral e com pavimento trabalhando como
diafragma rígido. Os pontos A B (comuns a pilar e laje) antes do deslocamento, e A’B’ depois do
deslocamento do pavimento, continuam guardando a mesma distância entre eles. (Adaptado de: Carvalho e
Pinheiro,2009).
3
Análise dos elementos de contraventamento sob ação de vento
usando análise matricial
A análise da ação do vento em edificações, considerando o pavimento rígido, através da
analise matricial pode ser feita de várias formas, ou melhor, com diversas modelagens da
estrutura.
Existe sempre a possibilidade de trabalhar com barras ou elementos finitos. Neste
trabalho considera-se apenas o uso de barras prismáticas.
Obviamente o ideal é usar um modelo em três dimensões, com o pavimento sendo
representado por um conjunto de barras planas (grelha ou em 3D) e pórticos tridimensionais.
Considerando o fato de haver várias formas de modelar uma estrutura, são definidos a
seguir quatro diferentes modelos, nos quais para uma mesma configuração de pilares e
vigas, foram se alternando os modos de se inserir a laje e, conseqüentemente, analisar
sua influência na distribuição dos esforços nos pilares.
• Modelo 1: Estrutura considerada com elementos em 3 direções (laje
representada por barras);
• Modelo 2: Pórtico tridimensional em que as vigas de borda possuem inércia
transversal elevada;
• Modelo 3: Pórtico tridimensional com as extremidades dos pilares entre um
andar e outro ligadas com escoras (bielas e tirantes);
• Modelo 4: Pórtico tridimensional com a consideração do nó mestre
(ferramenta do programa STRAP®).
Estes processos se equivalem no que diz respeito às ações encontradas nos pórticos de
contraventamento, devido ao vento. Para comprovar esta hipótese é utilizado nas
simulações o programa comercial de análise de esforços STRAP®.
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3
Seja a edificação cujo esquema estrutural é dado na Figura 2 e imaginando-a submetida a
uma ação distribuída de vento (por exemplo, 0,188 kN/m). Podem-se aplicar nela os
diversos modelos relatados anteriormente.
Figura 2 – Estrutura composta de pavimento rígido e pórticos com vigas e pilares. Esquema em perspectiva
volumétrica e em barras.
Mostra-se em seguida, nas Figuras 3, 4, 5 e 6, os resultados obtidos para momento fletor
com cada uma das modelagens descritas anteriormente.
Figura 3 – Modelo 1: estrutura considerada em três dimensões (pavimento representado por grelha);
esquema de ações e diagrama de momentos fletores nos pilares.
.
Figura 4 – Modelo 2: pórtico tridimensional em que as vigas possuem inércia transversal elevada. Momento
fletor nos pilares e vigas de contorno.
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Figura 5 – Modelo 3: pórtico tridimensional com as extremidades dos pilares entre um andar e outro ligadas
com escoras. Momento fletor nas bases dos pilares.
Figura 6 – Modelo 4: Pórtico tri-dimensional com a consideração do nó mestre.
Como se observa em Carvalho (2010) e Elliot (2002), a parcela da ação total lateral que
vai para cada pórtico, com a presença do diafragma rígido, é proporcional à rigidez de
cada elemento de contraventamento. Na estrutura anterior, os três pórticos são idênticos.
Considerando a utilização de apenas um pórtico (pórtico plano) e um terço do
carregamento total aplicado no mesmo, pode-se comparar o momento na base obtido
pelo pórtico plano com os momentos obtidos pelas análises espaciais. A Figura 7 indica
tal análise.
Figura 7 – Pórtico plano e esforços de momento fletor na base dos pilares.
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5
Pode-se perceber, pelas análises dos modelos espaciais e plano, que realmente a ação
horizontal está sendo dividida igualmente para os três pórticos. São observados valores
bem próximos (ou iguais) considerando as diversas maneiras de inserir a laje como
diafragma na estrutura.
4
Roteiro para análise dos elementos de contraventamento sob ação
de vento pelo processo simplificado
Para determinar os esforços solicitantes e deslocamentos nos elementos de
contraventamento, usando o modelo de cálculo simplificado, considerando o pavimento
funcionando como diafragma rígido, segue-se o seguinte roteiro, de acordo com Carvalho
(2010):
1) Determinação da rigidez equivalente de cada sistema de contraventamento
(relação de E.I.);
2) Determinar o Centro de Rotação (CR) ou Centro de Cisalhamento (CC) do
pavimento, em função da distribuição das rigezas dos elementos de
contraventamento;
3) Reduzir as ações do vento para o CR (colocar a resultante e o respectivo
momento);
4) Calcular a ação atuante em cada elemento de contraventamento através das
expressões inseridas a seguir;
5) Resolver (calcular esforços solicitantes e deslocamentos) o elemento de
contraventamento sob as ações anteriores, com a aplicação de um modelo de
pórtico plano para cada elemento de contraventamento da estrutura.
Considerando o pavimento como um corpo rígido (segundo o seu plano médio), o modelo
de cálculo que representara o funcionamento do mesmo está indicado na Figura 8.
Desta maneira, pode-se notar então que a reação em cada elemento de
contraventamento depende diretamente de uma parcela de translação do corpo (δp) e
outra de rotação (α). Para um caso geral, em ambas as direções da estrutura, têm-se as
Equações 1 e 2.
k
M
Rxi = Rx . xi + k xi . yi .
(Equação 1)
∑ k xi
∑ k xi . yi2
R yi = R y .
k yi
∑k
+ k yi .xi .
yi
M
∑ k yi .xi2
(Equação 2)
O momento M (da segunda parte das expressões anteriores) pode ainda ser substituído
por R.e, sendo e a excentricidade existente entre o ponto de aplicação da resultante de
ação horizontal (R) e o centro de cisalhamento da estrutura.
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PLANTA
Fv
PLANTA
PLANTA
Fv
R X1
PÓRTICO X1
pórtico
A'
R X2
PÓRTICO X2
A
A
CR
CR
p
y
yCR
PÓRTICO Yi
PÓRTICO Y1
Rx
R Xi
yi
PÓRTICO Xi
x
PÓRTICO Xn
R Xn
R Y1
R Yi
Figura 8 – Planta de pavimento contraventado por pórtico que podem ser substituídos por molas (figura
central) e que apresentará um movimento de corpo rígido, transladando e girando em relação ao centro de
rigeza.
Onde: Rxi é a reação concentrada horizontal no elemento i;
R é a reação concentrada total na lateral do pavimento;
ki é a rigidez do pórtico i;
Σk é a soma da rigidez de todos os pórticos da estrutura;
yi ou xi é a distância do Centro de Cisalhamento ao pórtico i;
Σx é a somatória da distância do Centro de Cisalhamento de todos os pórticos da
estrutura.
5
Exemplo numérico
Neste primeiro exemplo, a estrutura indicada a seguir será analisada como pórtico
espacial no programa comercial STRAP®. Neste caso, o efeito de septo da laje maciça
será definido através de uma ferramenta contida no programa, denominada “Nó mestre”.
Esta ferramenta permite na análise tridimensional se considerar o efeito de diafragma das
lajes, entretanto sem haver a necessidade de se modelar tais elementos nas estruturas.
Após serem analisados os momentos resultantes nas bases dos pilares (devido a uma
ação horizontal de vento), tais valores serão comparados com resultados obtidos através
de uma análise plana dos pórticos que compõem a estrutura escolhida. Para esta análise
simplificada, serão aplicados os conceitos definidos por Carvalho (2010) e Elliot (2002).
Nesta segunda análise, é utilizada uma ferramenta gráfica de caráter livre, denominada
FTool (Martha, 2008) para análise dos pórticos planos. Tais análises permitem uma
reflexão sobre como as placas (lajes) distribuem as ações horizontais nos elementos de
contraventamento, sejam estes paredes de cisalhamento ou mesmo pórticos, de acordo
com a rigidez de cada um deles.
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A seguir é possível se analisar um exemplo no qual as questões anteriores foram
abordadas.
a) Características da estrutura analisada
A estrutura definida para este primeiro exemplo é composta de apenas um pavimento, de
altura total igual a 5,0 metros (distância entre o nível do piso acabado e a face superior da
laje de forro). A Figura 9 indica a planta de formas da estrutura escolhida.
B
V04(30x50)
P07(30x30)
P03(30x30)
P05(30x30)
V03(30x50)
V05(30x50)
P08(30x30)
600
P04(30x30)
V09(30x50)
V02(30x50)
V11(30x50)
250
V07(30x50)
250
V01(30x50)
D
V06(30x50)
P09(30x30)
600
V10(30x50)
P02(30x30)
V08(30x50)
P01(30x30)
C
P06(30x30)
V12(30x50)
A
P10(30x30)
600
Figura 9 – Planta de formas da estrutura analisada.
Foi definido para este exemplo que o concreto a ser utilizado é de 40 MPa. Com isso, os
valores do módulo de elasticidade (E) dos pilares e das vigas da estrutura podem ser
calculados. Apesar de neste exemplo não se estar analisando a estabilidade global da
edificação, foram seguidos os preceitos do item 15.7.3 da NBR6118:2003, para se
considerar, simplificadamente, o efeito da não linearidade física do concreto (fissuração)
minorando os valores de E dos elementos estruturais. Sendo assim, foram definidos os
coeficientes de minoração 0,8 e 0,4, respectivamente para pilares e vigas. Os valores
finais encontrados foram os seguintes:
E = 0,85 x 0,8 x5600 x 40 = 24083,91MPa
E = 0,85 x0,4 x5600 x 40 = 12041,95MPa
b) Definição das ações na estrutura
Como definido anteriormente, para ambas as análises da estrutura, será considerada
somente uma ação horizontal (que representa, por exemplo, o vento) distribuída
linearmente ao longo do nível da laje. O valor definido para este exemplo é de 6,85 kN/m.
Não será analisado neste exemplo os efeitos de esforços decorrentes da existência de
ações gravitacionais na estrutura (como por exemplo aqueles decorrentes por efeitos de
segunda ordem geométricos). A Figura 10 indica a ação considerada e o esquema
estrutural a ser utilizado na análise tridimensional da estrutura.
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Figura 10 – Ação distribuída no nível da laje.
c) Esforços nos pilares – Pórtico espacial
Nesta primeira análise dos esforços na base dos pilares dos pórticos, é utilizado o
programa comercial STRAP®. Para consideração da presença da laje na estrutura, foi
utilizada a ferramenta “Nó mestre” contida no programa, que faz com que as lajes das
estruturas funcionem com o efeito de septo (diafragma rígido) sob efeito de uma ação
horizontal. Na Figura 11 é possível observar a única ação considerada para análise dos
esforços nas bases dos pilares, considerando a influência da laje como diafragma rígido.
Os resultados com os valores de esforços na base dos pilares serão indicado mais
adiante, de modo a facilitar a comparação com o outro método de análise.
Figura 11 – Ação considerada e esquema estrutural no programa STRAP.
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d) Esforços nos pilares – Pórtico plano
De modo a se analisar esta mesma estrutura considerando agora a individualidade dos
pórticos, procede-se à determinação da porcentagem da ação lateral considerada que vai
para cada um dos pórticos da estrutura na análise anterior.
Como se observa em Carvalho (2010) e Elliot (2002), tal porcentagem depende da rigidez
dos elementos de contraventamento presentes na estrutura (pórticos ou paredes de
cisalhamento) e o posicionamento de cada um deles em relação ao centro de
cisalhamento ( X ) da estrutura considerada. Este pode ser definido pela Equação 3.
X=
∑ E .I .x
∑ E .I
i
i
i
i
(Equação 3)
i
d.1) Definição dos valores de E.I para cada pórtico
Como se observa na expressão anterior há necessidade de se definir a relação (E.I) para
cada elemento de contraventamento i (pórtico) da estrutura em questão. Para isso, são
utilizados os preceitos definidos em Carvalho & Pinheiro (2009) para cálculo de pilar
equivalente (rigidez k da mola que representa o pórtico). Esta análise permite definir qual
a inércia (I) de um pórtico qualquer (composto por pilares e vigas), assimilando-o a um
único pilar de seção retangular ou quadrada, no qual a inércia é definida mais facilmente.
De acordo com Carvalho & Pinheiro (2009), o cálculo do pilar equivalente, para
determinação da relação (E.I), pode ser feito admitindo-se, por exemplo, que atue no topo
em cada pórtico uma força horizontal F qualquer. Calculado o deslocamento no topo de
cada pórtico (δpórtico), basta agora tomar um pilar fictício, engastado na base e livre na
outra extremidade, com a mesma altura do pórtico em questão (Figura 12):
δ pórtico = δ pilar
Como se observa em Carvalho & Pinheiro (2009), o deslocamento no topo de uma barra
engastada na base e livre na extremidade é dado pela Equação 4:
δ pilar
F .H 3
=
3.( E.I ) pilar
(Equação 4)
Como a igualdade entre deslocamento deve valer, a Equação 4 pode ser escrita agora
como a Equação 05:
( E.I ) pilar =
F .H 3
3.δ pórtico
(Equação 5)
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Figura 12 – Pórtico plano e seu respectivo pilar com rigidez equivalente (Fonte: Carvalho e Pinheiro, 2009).
Considerando a expressão anterior para o cálculo dos valores de (E.I) de cada pórtico a
ser utilizado na Equação 3, pode-se utilizar um programa de análise de pórtico plano, de
modo a se obter o deslocamento no topo dos mesmos. Este procedimento deve ser
repetido para os demais pórticos da estrutura, com as características físicas e
geométricas dos elementos, idênticas à análise tridimensional descrita anteriormente.
A Tabela 1 indica os deslocamentos obtidos em todos os pórticos da estrutura,
juntamente com os valores de (E.I) do pilar equivalente a cada pórtico.
Tabela 1 – Definição dos pilares equivalentes.
Método do pilar equivalente
Pórtico
δ (m)
E.Iequiv
0,0494
11845970,2
A
0,0311
18816428,5
B
0,0494
11845970,2
C
0,0311
18816428,5
D
d.2) Determinação do centro de cisalhamento ( )
A porcentagem de ação lateral que vai para cada pórtico da estrutura, de acordo com
Carvalho (2010) e Elliot (2002), depende também do posicionamento destes elementos de
contraventamento em relação ao centro de cisalhamento da estrutura. Determinados os
valores da relação (E.I) de cada pórtico da estrutura, pode-se proceder ao cálculo de ,
de acordo com a Equação 6.
X=
∑ E .I .x
∑ E .I
i
i
i
i
(Equação 6)
i
Sendo i os pórticos de A a D da estrutura em questão e xi a abscissa de cada pórtico em
relação à origem (considerada neste exemplo no canto inferior esquerdo da estrutura), de
acordo com a Figura 13.
A partir da Tabela 2 calcula-se o valor do centro de cisalhamento para a estrutura em
questão.
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Figura 13 – Posicionamento dos pórticos em planta com relação à origem (canto inferior esquerdo).
Tabela 2 – Dados para o cálculo do centro de cisalhamento.
Pórtico
A
B
C
D
TOTAL
(E.I)equi (kN.m3)
11845970,2
18816428,5
11845970,2
18816428,5
61324797,37
xi (m)
0,0
6,0
12,0
18,0
(E.I).xi
0,0
112898571,1
142151642,1
338695713,2
593745926,3
Aplicando-se a Equação 6, tem-se determinado o centro de cisalhamento da estrutura em
questão:
X = 9,68m
d.3) Excentricidade (e) da ação horizontal
A partir da análise da estrutura e do posicionamento da ação lateral, pode-se concluir que
há uma excentricidade entre o ponto de aplicação da ação (resultante da ação lateral) e o
centro de cisalhamento da estrutura. O ponto de aplicação da ação é definido como a
metade da distância entre o ponto “zero” (origem) e a posição do último pórtico em
questão, ou seja, 18 metros. Desta maneira, neste exemplo em questão, o ponto de
aplicação da resultante da ação horizontal está na abscissa 9,0 metros. Sendo assim, a
excentricidade (e) nesta estrutura é definida a partir da Equação 7:
e=
xd
−X
2
(Equação 7)
Como o valor de e deve sempre ser tomado em módulo, tem-se neste caso:
e = 0,68m
d.4) Posição relativa dos pórticos (a)
Define-se agora a posição relativa de cada pórtico em relação ao centro de cisalhamento
(C.C.) definido anteriormente. Tais valores são definidos tomando como base a Figura 14.
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Figura 14 – Posição dos pórticos em relação ao centro de cisalhamento.
A Tabela 3 indica os valores de a para o exemplo em questão.
Tabela 3 – Posição dos pórticos (i) em relação ao centro de cisalhamento (C.C.).
Pórtico
A
B
C
D
ai (m)
9,68
3,68
2,32
8,32
d.5) Cálculo da parcela de reação em cada pórtico (Hi)
Definidos os valores de a e da excentricidade (e) da ação horizontal, pode-se definir agora
a parcela da ação horizontal (em % e dependente de H) em cada pórtico, considerando a
translação e a rotação (devido à existência da excentricidade) a partir da Equação 8.
Ei .I i
e.Ei .I i .ai2
H i (%) = (
±
).H .100 (Equação 8)
∑ Ei .I i ∑ Ei .I i .ai2
A Tabela 4 completa o cálculo dos dados necessários para definição da porcentagem da
ação horizontal em cada um dos pórticos da estrutura em análise.
Tabela 4 – Dados finais para o cálculo da porcentagem de ação horizontal.
Pórtico
A
B
C
D
ai (m)
9,68
3,68
2,32
8,32
(Ei.Ii).ai
114692536,1
69281856,03
27459106,02
156515286,1
TOTAL:
(Ei.Ii).ai2
1110451710
255094933,2
63650548,86
1301896094
2731093286
Desta maneira, pode-se agora definir qual a parcela da ação horizontal total (H) vai para
cada pórtico (i) da estrutura em questão (Tabela 5).
Tabela 5 – Parcelas de ação horizontal em cada pórtico da estrutura.
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Pórtico
A
B
C
D
TOTAL
Reação (%)
22,18
32,41
18,63
26,77
100,00
d.6) Cálculo da ação horizontal em cada pórtico (FHi)
Definida a porcentagem da ação horizontal em cada pórtico da estrutura, pode-se agora
calcular qual o valor dessa ação para cada um destes elementos. Lembrando que os
resultados da análise plana (para cada pórtico e sua respectiva ação horizontal
concentrada na extremidade) serão comparados aos resultados obtidos pela análise
espacial (para a ação horizontal distribuída linearmente no nível da laje).
Seja a ação horizontal total (H) aplicada na edificação dada pela Equação 9.
H = q(
kN
).L(m)
(Equação 9)
m
H = 123,30kN
Sendo q a carga distribuída linearmente no pavimento (em kN/m) e L a largura total na
qual a ação está sendo aplicada, em metros.
A partir da definição da ação horizontal total (H) a da Tabela 5, pode-se definir a ação
concentrada no topo de cada pórtico da estrutura. Os valores são indicados na Tabela 6.
A partir da Tabela 6 e da utilização da ferramenta gráfica FTool (Martha, 2008), é possível
determinar os valores de momento fletor na base dos pilares dos pórticos para que,
posteriormente, sejam comparados ao resultados obtidos pelo modelo feito no programa
comercial STRAP.
A Tabela 7 indica os valores de momento fletor na base dos pilares, de ambos os
métodos de análise, dispostos lado a lado, de modo a facilitar a verificação e comparação
dos valores obtidos para uma mesma estrutura com duas análises e ferramentas
diferentes.
Tabela 6 – Reações concentradas em cada pórtico.
Pórtico
A
B
C
D
TOTAL
FHi (kN)
27,34
39,96
22,97
33,01
123,30
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Tabela 7 – Valores de momento fletor (em tf.m) na base dos pilares.
Análise Plana
Análise tridimensional
Pórtico
Pilares
Pilares
1
2
3
1
2
3
A
3,57 3,56 ------- 3,50
3,50
------B
3,35 3,53 3,34
3,30
3,50
3,30
C
3,00 2,99 ------- 3,00
3,00
------D
2,77 2,91 2,76
2,80
3,00
2,80
6
Conclusões e discussões
Pelas análises realizadas neste trabalho, podem-se definir algumas maneiras de se
simular em uma estrutura de concreto armado a laje se comportando com o efeito de
diafragma rígido. Em uma primeira análise, utilizando os conceitos de análise matricial e a
ferramenta gráfica STRAP®, são definidas e comparadas quatro diferentes maneiras de
se simular em uma estrutura tridimensional a laje funcionando como diafragma rígido.
Pela análise dos resultados, pode-se notar que os valores de esforço de momento fletor
na base dos pilares dos pórticos obtidos nos diferentes modelos foram bem próximos, e
em alguns casos idênticos. O único modelo no qual se observou uma pequena
divergência dos demais foi aquele no qual a laje foi modelada considerando-se as vigas
de borda com inércia transversal elevada (obteve-se um momento 1,1 tf.m, enquanto que
em todos os outros modelos o resultado do esforço na base dos pilares foi de 1,2 tf.m).
De modo a se verificar como a laje (e seu efeito diafragma) influenciam na distribuição
dos esforços nos elementos de contraventamento, foram analisados modelos mais
simples da estrutura, considerando a aplicação de pórticos planos e a utilização do
programa FTool. Para a utilização do pórtico plano, havia a necessidade de se definir
então, somente uma carga concentrada no topo dos pórticos. Tais cargas concentradas
são partes menores (parcelas) da ação total lateral considerada na estrutura se a mesma
fosse espacial. Para a determinação de tal ação horizontal concentrada em cada pórtico,
foi necessário aplicar os conceitos definidos por Carvalho (2010) e Elliot (2002). Na
expressão deduzida pode-se observar que parte dessa ação horizontal, que na verdade é
uma reação (como se os pórticos fossem apoios de uma viga sob ação horizontal
distribuída), vem da translação do pavimento (movimento de corpo rígido) e da rotação
(que aparece quando os elementos de contraventamento têm diferentes inércias ou a
ação não é simétrica).
No exemplo numérico resolvido no item 5, a estrutura escolhida foi analisada
espacialmente considerando a laje representada pela ferramenta do programa STRAP
denominada “nó mestre”. Para este mesmo exemplo, foram aplicadas as expressões
mostradas no item 4 para possibilidade de utilização de pórtico plano para tal estrutura.
Pelos resultados de esforços de momento fletor obtidos nas bases dos pilares, pode-se
concluir que ambos os métodos de análise são válidos, e também que as expressões
deduzidas para análise plana da estrutura estão coerentes.
Com as expressões definidas no item 4, pode-se concluir que a distribuição dos esforços
nos pórticos de uma estrutura dependem diretamente da proporcionalidade de rigidez
entre tais elementos e também como estão dispostos em planta no pavimento (como por
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exemplo a distância entre os elementos de contraventamento). Ainda no item 3 deste
trabalho é possível comprovar a afirmação anterior, antes mesmo de haver a análise das
expressões. Ao se utilizar de uma estrutura completamente simétrica (com os pórticos
com inércias iguais e espaçados igualmente em planta no pavimento), ação horizontal
distribuída linearmente na estrutura é dividida igualmente entre os pórticos, ou seja, se a
estrutura contém três pórticos, cada um deles receberá exatamente um terço de tal ação
horizontal.
Neste trabalho foi possível observar também que existem diferentes maneiras de realizar
uma análise estrutural, considerando as ferramentas a serem utilizadas (comerciais ou
livres) e os modelos de cálculo a serem aplicados (análise plana ou espacial).
Por fim, pode-se dizer que muitas análises estruturais dependem diretamente das
ferramentas computacionais ou métodos de cálculo que têm disponíveis ou acessíveis.
Pela análise dos exemplos utilizados neste trabalho pode-se perceber que com a
utilização do pórtico espacial tem-se uma análise bastante rápida e clara, porém tal
atividade fica atrelada a um programa comercial, muitas vezes de valores elevados. Para
se utilizar uma ferramenta computacional simples e menores partes da estrutura, utiliza-se
o pórtico plano, juntamente com a ferramenta computacional FTool, que é de caráter
educacional e livre. Entretanto, tal atividade necessita de um maior desdobramento
matemático, de modo a não se inserir grandes simplificações na análise e torná-la irreal.
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Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR6118: Projeto de estruturas
de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2003. 225 p.
CARVALHO, R. C.; PINHEIRO, L. M. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de
concreto armado – Volume 2. Brasil – São Paulo, SP. 2009. 1ª Edição. Editora PINI.
CARVALHO, R. C. Notas de aula: Concreto Pré-Moldado. Universidade Federal de São
Carlos (UFSCar). São Carlos – SP, 2010.
ELLIOT, K. S. Precast Concrete Structures. Inglaterra – Oxford. 2002. 1ª Edição. Editora
Butterworth – Heinemann.
SAE (Sistema de Análise Estrutural). Manual STRAP 2009: Structural Analysis
Programs (2009). São Paulo – SP:
MARTHA, L. F. Ftool – Two-Dimensional Frame Analysis Tool –Versão 2.12. 2008.
Programa livre educacional (TECGRAF/PUC-Rio – Grupo de Tecnologia em
Computação Gráfica) - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC RJ, Rio
de Janeiro – RJ, 2008.
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