CURSO DE EXTENSÃO EM MATEMÁTICA
INTRODUÇÃO À
ESTATÍSTICA
LUIS PAULO VIEIRA BRAGA
2008
Fundação CECIERJ / Consórcio CEDERJ
SUMÁRIO
Aula 1- Incerteza, dados, informação e modelos
Aula 2- População, censo e amostras
Aula 3- Estatísticas de tendência central
Aula 4- Estatísticas de ordem
Aula 5- Estatísticas de dispersão e de associação
Aula 6- Números-índice
Aula 7- Breve revisão de teoria das probabilidades
Aula 8- Estimadores
Aula 9- Teorema central do limite e aplicações
Aula 10- Testes de hipóteses
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Aula 7
7.1 Objetivo
Breve revisão da teoria das probabilidades
Apresentar o conceito de probabilidade e suas principais propriedades. Introduzir o
conceito de variável aleatória e vetor aleatório.
7.2 Introdução
Vimos anteriormente que a incerteza sobre muitos aspectos da realidade motivou o
desenvolvimento da estatística como um método para orientar decisões e resolver problemas. A
estatística se baseia no conceito de acaso, ou aleatoriedade, que é um conceito abstrato, uma
opção metodológica. Um modelo estatístico não está, necessariamente, imputando a aleatoriedade
como uma propriedade do fenômeno em estudo. A objetividade ou não do acaso é uma discussão
de natureza filosófico-científica.
Aristóteles, 385-322 a.C., o célebre autor do Organom, classificava os eventos em três
tipos :
1) eventos certos que acontecem necessariamente
2) eventos prováveis que acontecem na maioria dos casos
3) eventos imprevisíveis, que acontecem por acaso
Em Tomás de Aquino, 1225-1274, a onisciência de Deus não se resume ao conhecimento
dos fatos reais (passados, presentes e futuros), mas de todos os fatos possíveis. Ou seja, conhece
tudo o que teria se passado se determinada condição fosse diferente.
Para Hume, 1711-1776, o acaso não existe de fato, mas a ignorância sobre a causa de
qualquer evento teria efeito semelhante sobre a compreensão do mundo real, gerando uma
espécie de crença ou opinião sobre os eventos.
Para a tradição clássica elaborada por Fermat, 1601-1665 , Pascal, 1623 -1662, Huygens,
1629-1695, e James Bernoulli, 1654-1705, o conceito de evento aleatório está associado à
imprevisibilidade de ocorrência do evento, mesmo que as condições nas quais ele ocorre pareçam
as mesmas. Para estes eventos, supõe-se a existência de um experimento que ao ser executado
sob condições experimentalmente indistinguíveis, produz resultados imprevisivelmente diferentes.
Evento aleatório é um conjunto definido no contexto de um experimento aleatório, cuja ocorrência
pode ser verdadeira ou não. Von Mises, 1883-1953, estabeleceu a hipótese de que o experimento
poderia ser executado infinitamente, base para o enfoque frequencista. Eventos singulares não
estão incluídos nesta categoria.
Na primeira metade do século XX, Albert Einstein, 1879 - 1955 , discordou do caráter
aleatório da Teoria Quântica proposta por Werner Heisenberg, Paul Dirac, e Erwin Schrödinger. É
de Einstein a famosa frase – Deus não joga dados !, retomando-se assim a controvérsia sobre o
caráter objetivo ou não dos eventos aleatórios. Para ele, embora a teoria quântica representasse a
melhor formulação dos fenômenos atômicos, não acreditava que se pudesse evoluir muito a partir
dela, almejando restaurar o determinismo e a causalidade na física. Crendo, assim, que existe uma
teoria que represente realisticamente os eventos e não apenas a probabilidade de seu
aparecimento.
Ernest Mach, 1838-1916, físico e integrante do Círculo de Viena – núcleo de filósofos,
matemáticos e lógicos - que foi relevante para a renovação do pensamento científico do século XX
– realçou o caráter relativo do conhecimento científico, abandonando a busca da essência ou
causas finais dos fenômenos. Para ele, o objetivo da ciência é descobrir as relações entre os
fenômenos. Um de seus discípulos, Bruno de Finetti, 1906 -1985, apoiando-se nas idéias de
Thomas Bayes, 1701-1761, as quais tornaram-se conhecidas graças a Richard Price, 1723-1791,
elaborou uma teoria probabilística e um método de inferência – a inferência bayesiana. Para De
Finetti, um evento é um caso único que ocorreu ou vai ocorrer, ou ainda não ocorreu, nem vai
ocorrer. Para ele, é somente isto que pode ser observado, não havendo espaço para nenhuma
outra noção. A um nível de informação (para um indivíduo, ou coletividade) um evento pode ser
certo, possível ou impossível.
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George Matheron, 1930-2000, engenheiro, da Escola de Minas de Paris, que desenvolveu
importantes aplicações da teoria das funções aleatórias a problemas no espaço n-dimensional, ao
se referir à aleatoriedade dos fenômenos, prefere dizer que tudo se passa como se o fenômeno
fosse devido ao acaso. Mas se recusa a admitir que o acaso tenha uma ação decisiva sobre o
curso dos eventos. Rejeitando, assim, que a evolução genética, por exemplo, pudesse ser
explicada pela força do acaso. Identificar a incerteza sobre determinado evento com a
aleatoriedade é um equívoco comum, mesmo em exemplos típicos de livros introdutórios sobre
probabilidade, como os jogos de dados ou roleta. Pois se dispuséssemos de todos as condições
iniciais, assim como os modelos dinâmicos, poderíamos prever o resultado do jogo. Os jogos de
azar que motivaram, no século XVI, as primeiras fórmulas do cálculo de probabilidades, são
abstrações da realidade. Matheron prefere falar de modelo probabilístico e de sua correspondência
objetiva. Por outro lado, ainda que a repetição de um experimento, rigorosamente, não consiga
gerar exatamente os mesmos eventos, a diferença entre estes eventos é mínima, de medida nula
se utilizarmos a linguagem da teoria da medida. Portanto, a idéia de repetibilidade pode se aplicar,
contrariando assim a exclusividade de cada evento observado, que municia a argumentação do
enfoque Bayesiano.
Karl Popper, 1902-1994, tem uma importante contribuição para a definição de objetividade
de um enunciado científico. Desdobrando-os em singulares e universais. Os enunciados singulares
referem-se a eventos particulares cuja ocorrência pode ser comprovada ou não. Os enunciados
universais, por outro lado, referem-se a eventos cuja comprovação exigiria infinitas experiências ou
observações – leis da física, por exemplo, mas, ao contrário de um evento metafísico, pode, a
qualquer momento, ser desmentido por uma experiência, ou corroborado por ela. A linha de
demarcação entre os enunciados metafísicos e os objetivos ou empíricos é o critério de
falseabilidade, segundo o qual os enunciados científicos são aqueles que podem ser submetidos à
verificação. Neste sentido a objetividade é um conceito operatório – regular, reproduzível e
mensurável segundo uma escala.
No leste europeu e na União Soviética, o materialismo dialético inspirou o pensamento
científico até a dissolução do regime. Andrei Nikolaevich Kolmogorov, 1903-1987, de origem
humilde, chegou à Universidade de Moscou em 1920 aonde passou boa parte de sua carreira,
sendo considerado um dos maiores matemáticos e probabilistas do século XX. Concebeu uma
formulação matemática para a noção de evento e de probabilidade baseada na teoria da medida .
Esta formulação é consensual tanto para estatísticos objetivistas como subjetivistas. A formulação
matemática para a teoria das probabilidades é considerada também como a única teoria adequada
para tratar a incerteza, em oposição a outros métodos matemáticos e computacionais, como é o
caso da matemática nebulosa (fuzzy). Os princípios sobre os quais a teoria das probabilidades foi
edificada remontam a Galileu (1564-1642), que, embora, não se dedicando a esta teoria, formulou
sua essência. São eles a fórmula clássica para a probabilidade, os princípios da soma e do
produto, e a idéia de convergência.
7.3 Espaço de Probabilidade
Kolmogorov concebeu o conceito de espaço de probabilidade que é constituído do espaço
amostral (não confundir com amostra), de uma sigma álgebra de eventos e da função
probabilidade.
Definição 7.1 Evento é um membro de uma coleção de subconjuntos de um conjunto
denominado espaço amostral Ω, que tem a estrutura de uma σ-álgebra F.
Definição 7.2 Espaço amostral é a coleção dos resultados possíveis, numéricos ou não, da
realização de um experimento ou observação.
Definição 7.3 σ-álgebra é uma coleção de subconjuntos de Ω que satisfazem às propriedades
seguintes:
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i)
A, B ∈ X ⇒ A ∩ B ∈ X
ii ) A ∈ X ⇒ Ac ∈ X
∞
iii ) Ai ∈ X , i = 1, ∞ ⇒ U Ai ∈ X
i =1
Esta conceituação permitiu tratar espaços amostrais finitos ou infinitos, enumeráveis ou
não. Por exemplo, se o experimento consiste em registrar o instante em que determinado
componente falha, o espaço amostral consiste no intervalo real [0, a) aonde a representa um
valor razoável para a vida útil máxima do componente. A construção da σ-álgebra é feita em duas
etapas, na primeira supõe-se uma lista de resultados possíveis associados à execução do
experimento (espaço amostral). Em seguida, através de operações de complementaridade, de
interseção e de união destes conjuntos são obtidos os demais eventos, cuja ocorrência pode ser
verificada em função da ocorrência ou não dos eventos da lista inicial, a qual é denominada
espaço amostral. A generalidade da definição abarca tanto o conceito bayesiano, como o clássico
e o frequencista de evento, passando a ser condição necessária para a construção de uma teoria
das probabilidades coerente. Um caso particular de sigma-álgebra de extrema importância para a
teoria das probabilidades é a sigma-álgebra de Borel, que é a menor sigma-álgebra que contem
todos os abertos e fechados na reta real. Falta definir matematicamente a função probabilidade, o
que vai depender do experimento que está sendo analisado. No entanto, Kolmogorov precisou qual
o conjunto de propriedades que uma função deve satisfazer para ser considerada uma
probabilidade.
O marco histórico da abordagem clássica é um pequeno ensaio escrito por Galileu Galilei
em 1620 sobre quais somas são mais comuns em um jogo com três dados. Os jogadores
profissionais acreditavam que eram 10 e 11, mas não tinham provas disto. Embora o problema
fosse trivial que Galileu resolveu em quatro páginas, deste ensaio depreendem-se os princípios
fundamentais que sempre nortearam o desenvolvimento da teoria das probabilidades :
Na abordagem clássica, ou Laplaceana, a probabilidade (numérica) de um evento é o
quociente entre os casos favoráveis e os casos possíveis. Utilizando a notação para eventos
introduzida no capítulo anterior, neste caso o espaço amostral Ω, ver definição 7.2 , é finito e
discreto, e os resultados do experimento têm a mesma propensão a ocorrer, sendo a σ- álgebra
de eventos, definição 7.3, o conjunto das partes de Ω. Então a probabilidade de um evento é
definida por uma função que a cada evento associa um número:
Definição 7.4 Definição clássica de probabilidade
P( A) =
#A
;
#Ω
A⊆Ω
Aonde # é a cardinalidade do conjunto.
A motivação para esta definição é óbvia e pode ser facilmente verificada nos experimentos
relacionados a jogos de azar tais como dados, roleta, baralho, etc...A coerência da definição é
ainda assegurada pelo fato de que a imagem inversa de quaisquer subconjuntos de números
inteiros corresponde a um subconjunto do espaço amostral.
Exemplo 7.1 Combinatória e contagem
A definição clássica de probabilidade supõe que os resultados do experimento tenham
igual chance e que o número de resultados possíveis seja finito. Daí é óbvia a conclusão de que a
probabilidade de sortear uma determinada face no lançamento de um dado seja igual a 1/6, porém
para calcular a probabilidade de um evento A mais complexo a contagem dos elementos de A
requer, em muitos casos, a ajuda da combinatória. Vimos na aula 2 a importância da amostragem
para levantar informações sobre uma dada população, suponha uma população finita com N
5
elementos, da qual vai se sortear um número finito de k elementos para constituir uma amostra.
Quantas amostras diferentes podem ser construídas em cada caso ? Em cada caso a resposta é
dada respectivamente pelas fórmulas de arranjos com repetição de N elementos k a k ,
combinações com repetição de N elementos k a k, arranjos de N elementos k a k e combinações
de N elementos k a k.



ordem importa : N k



% 
 N + k − 1  
com reposiçao
% importa : 

ordem nao

k





amostragem 
N!



 ordem importa : ( N − k )!  


 sem reposiçao
% 


N!


% importa :
ordem nao


 
N
k
k
(
−
)!
!


São óbvias as limitações da definição, algumas tentativas foram feitas para aumentar sua
abrangência através do conceito de definição geométrica de probabilidade, na qual se identificam
os eventos e o espaço amostral a figuras geométricas, de dimensão qualquer, e, ao invés de
contar elementos, o que seria impossível de toda forma, calcula-se a área ou o volume, definindose a probabilidade de um evento como a razão entre sua área (volume) e a área (volume) do
espaço amostral. A primeira dificuldade da abordagem é a identificação entre o experimento e sua
formulação geométrica, o que pode ser não trivial para experimentos mais complexos, podendo
levar a diferentes valores de probabilidades para o mesmo evento. Ver no anexo ao final deste
capítulo o paradoxo de Bertrand (A7.1) e o problema da agulha de Buffon (A7.2) .
Algumas propriedades se destacam desta definição
P( A) ≥ 0
P ( Ω) = 1
A ∩ B = ∅ ⇒ P( A ∪ B) = P( A) + P( B)
O conjunto de propriedades acima foi concebido como um conjunto axiomático de
propriedades que uma função deveria satisfazer para poder ser uma probabilidade. A ferramenta
principal para a construção de probabilidades nos casos em que o paradigma clássico não se
aplica é a variável aleatória, que será vista mais adiante.
Definição 7.5 Axiomas da função Probabilidade
a1) P ( A) ≥ 0, A ∈ F
a 2) P(Ω) = 1
∞
∞
i =1
i =1
a3) Ai ∩ Aj = ∅ ⇒ P(U Ai ) = ∑ P( Ai ), Ai eAj ∈ F
Como conseqüência destes axiomas, deduzimos as seguintes propriedades adicionais da
função probabilidade:
i)
c
P(A )=1 – P(A)
6
c
A sua verificação resulta da aplicação do segundo e do terceiro axioma para A e A . Como
c
A∪A = Ω e P(Ω) = 1, temos o resultado.
ii)
P(A∪ B)=P(A) + P(B) – P(A∩B)
Se A∩B=∅ o resultado resulta do axioma 3, senão é necessário subtrair P(A∩B) para que
a interseção não seja contada duas vezes.
iii)
A⊆B ⇒ P(A) ≤ P(B)
7.4 Exercícios
1. Um experimento consiste em lançar 2 vezes um dado, obtendo-se um par de valores.
a)Determine o espaço amostral deste experimento
b)Determine o evento : soma dos elementos do par <= 8.
c)Determine o evento: complemento de a)
2. Considere uma urna com bolas numeradas de 1 a 100 (números inteiros). Determine a
probabilidade de sortear um número que seja ou ímpar ou começado por cinco ou terminado por
três. O número cinco satisfaz e o número três também.
3. Sejam A, B e C três eventos relativos a um espaço amostral. Exprima os eventos abaixo, usando
operações de união, interseção e complementação.
a)A e C ocorrem e B não ocorre
b)Nenhum dos eventos citados acima ocorre
c)Nenhum evento ocorre
d)A ou C ocorrem e B ocorre
4. Em uma comunidade as probabilidades de um indivíduo ter determinado tipo sangüíneo são :
c
c
P(A)= 0,2
P(B )=0,9
P((AB) )=0,95
a)Qual a probabilidade de um indivíduo ter sangue do tipo O ?
b)Qual a probabilidade de um indivíduo não ter o tipo B ou o tipo AB ?
5. Em um baralho com 52 cartas, 3 cartas são sorteadas ao acaso. Ache a probabilidade de que
exatamente um ás é sorteado.
6. Para o mesmo experimento do exercício 5, calcule agora a probabilidade de que pelo menos um
ás seja sorteado.
7. Em um jogo de poker determine a probabilidade para cada uma das situações seguintes, aonde
cinco cartas estão com um jogador:
a) exatamente um par (duas cartas de igual valor + três cartas de valores distintos)
b) exatamente dois pares
c) exatamente um trio (três cartas de igual valor + duas cartas de valores distintos)
d) full house (um par e um trio)
e) four of a kind (exatamente quatro cartas de igual valor)
f) straight (cinco cartas em seqüência, o ás pode ser utilizado tanto como maior ou menor carta,
inclui-se o straight flush neste caso)
g) flush (todas as cartas do mesmo naipe, inclui-se o straight flush)
h) straight flush (cinco cartas em seqüência e do mesmo naipe)
i) royal flush ( straight flush com a seqüência de 10, valete,rainha,rei e ás)
j) nenhuma das seqüências acima
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7.5 Respostas
2. 0,55
5.
 4  48 
 1  2 
   = 0, 2042
 52 
 
3
6. À probabilidade calculada anteriormente vamos somar (regra da soma) as probabilidades de
 4  48 
 4   48 
 2  1 
  
   = 0,0130  3   0  = 0, 0002
 52 
 52 
 
 
3
3
sortear pelo menos dois ases e três ases, obtendo-se 0,2174.
7. Considerando que um baralho tem 52 cartas existem 2.598.960 combinações diferentes de 52
cartas cinco a cinco. Há ainda 13 valores de face de 1 a 10 mais valete, rainha, rei e ás. Os naipes
são quatro: espadas, copas, ouro e ...
a) O valor de um par pode ser sorteado de 13 maneiras diferentes, como existem 4 naipes as
seqüências podem ser compostas por combinações de 4 naipes dois a dois. Os três valores
distintos podem ser sorteados por combinações de 12 valores 3 a 3. Os naipes para estes
3
valores distintos podem ser sorteados de 4 maneiras distintas. Aplicando-se o princípio do
produto e a fórmula clássica da probabilidade, obtem-se o valor desejado
 4  12 
13 ×   ×   × 43
 2  3 
≅ 0, 42
 52 
 
5
b)
2
13   4 
  ×   × 11× 4
 2   2
≅ 0, 048
 52 
 
5
c)
12 
13 × 4 ×   × 4 2
2
≅ 0, 021
 52 
 
5
8
d)
 4
13 × 4 × 12 ×  
 2  ≅ 0, 0014
 52 
 
5
e)
13 × 12 × 4
≅ 0, 0024
 52 
 
5
f)
10 × 45
≅ 0, 0039
 52 
 
5
g)
13 
4× 
 5  ≅ 0, 0020
 52 
 
5
h)
10 × 4
≅ 0, 000015
 52 
 
5
i)
4
≅ 0, 000002
 52 
 
5
j)
Devem ser considerados 5 valores distintos, excluindo-se o straight. Em seguida deve-se levar
em conta os diferentes naipes, excluindo-se o flush.
 13 

5
   − 10  × (4 − 4)
5
 

≅ 0,501177
 52 
 
5
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7.6 Probabilidade Condicional e Independência
O conceito de probabilidade condicional é tão importante quanto o de probabilidade e, de certa
forma, mais próximo do que o senso comum identifica como sendo probabilidade. Por exemplo,
quando estamos em dúvida se devemos levar o guarda-chuva antes de sair de casa, procuramos
ao olhar pela janela se as nuvens estão carregadas, se o vento está mais intenso, se a umidade
aumentou etc...Ou seja, a partir da confirmação de alguns eventos que julgamos associados à
ocorrência de chuva, avaliamos a chance dela ocorrer. Na maioria dos casos vamos proceder
desta maneira, exceto em experimentos sintéticos como os de jogos de azar, por exemplo. A
probabilidade condicional pode ser definida a partir do conceito de probabilidade, constituindo ela
própria uma probabilidade, isto é, satisfaz os três axiomas que definem uma função probabilidade.
Definição 7.6 Probabilidade Condicional de um evento H dado que o evento D ocorreu
P( H ∩ D)
; se P( D) ≠ 0
P( D)
P( H | D) = P( H ); se P( D) = 0
P( H | D) =
Observe que foi colocada uma alternativa de definição para o caso de P(D) =0.
Contrariamente ao caso clássico, no qual P(D)=0 é equivalente a D=∅, para espaços amostrais
infinitos podemos ter P(D)=0 e D diferente de ∅.
Duas fórmulas úteis para o cálculo de probabilidades se deduzem da definição 7.6, a
fórmula do produto:
P( A ∩ D) = P( A | D) P( D)
(7.1)
E a fórmula da soma, que para ser aplicada supõe uma partição do espaço amostral, isto
é, uma coleção finita de conjuntos Ai ,disjuntos dois a dois, e cuja união é o espaço amostral. Para
esta partição e um evento A qualquer tem-se que:
n
n
i =1
i =1
P( A) = ∑ P( A ∩ Ai ) = ∑ P( A | Ai ) P( Ai ) (7.2)
Exemplo 7.2 Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições : salada completa
ou um prato à base de carne; 20% dos fregueses do sexo masculino preferem salada ; 30% das
mulheres escolhem carne ; 75% dos fregueses são homens . Considere os seguintes eventos :
H: freguês é homem A: freguês prefere salada
M: freguês é mulher B: freguês prefere carne
Calcular :
a) P(H) , P(A|H) , P(B|M) ;
b) P(A ∩H) , P(A)
O item a) visa verificar a compreensão dos dados do enunciado. É muito comum o iniciante
confundir a probabilidade condicional com a probabilidade da interseção. Obviamente P(H)=0,75,
já P(A|H)= 0,2 e P(B|M)=0,3 porque os porcentuais ou proporções em ambos os casos não se
aplicam sobre a totalidade dos clientes mas sobre os homens e as mulheres, respectivamente.
O item b) visa verificar a compreensão das fórmulas 7.1 e 7.2 . Pela 7.1,
P(A ∩H)=P(A|H) P(H) = 0,2 x 0,75 = 0,15 . Dado que os eventos H e M são uma partição do
espaço amostral constituído pelos clientes do restaurante, podemos aplicar a fórmula 7.2 para
calcular P(A)= P(A ∩H) + P(A ∩M)= 0,15 + 0,175= 0,325 .
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Definição 7.7 Independência entre eventos
Dois eventos A e B são independentes se e somente se (s.s.s)
P(A|B)=P(A)
Equivalentemente podemos dizer que dois eventos A e B são independentes s.s.s
P(A∩B)=P(A)P(B)
É comum o estudante identificar eventos disjuntos como sendo independentes. Entretanto é
exatamente o contrário ! Pois se A e B forem disjuntos, P(A∩ B)=0 e no entanto P(A)P(B) ≠ 0 em
geral.
Exemplo 7.3
Na tabela os números que aparecem são probabilidades relacionadas com a ocorrência de A ,
A ∩ B e assim por diante. Por exemplo, P(A)=0,10 , enquanto que P(A∩B) =0,04. Verifique se A e
B são independentes .
A
c
A
c
B
0,04
0,08
0,12
B
0,06
0,82
0,88
0,1
0,9
1,0
Basta verificar se P(A∩B)=P(A)P(B), como P(A∩B)= 0,04 ≠ P(A)P(B)= 0,1 X 0,12 = 0,012, então
concluímos que não são independentes.
7.7 Fórmula de Bayes
A contribuição central de Bayes foi a concepção de um processo de aprendizado com a
experiência. Assim a probabilidade P(H) de um evento (ou hipótese) não é absoluta em si, mas a
medida que novos eventos (ou dados) são conhecidos, ela pode ser atualizada.
Fórmula de Bayes (forma com uma hipótese):
P( H | D) = P( D | H ) × P( H )
(7.3)
A dedução é imediata.
Os termos desta fórmula recebem denominações particulares que explicam a sua utilidade:
P(H) é a probabilidade a priori de H, representando o valor inicial desta probabilidade antes de se
obterem dados ou outras evidências.
P(D|H) é a verossimilhança, ou o impacto dos dados sobre H. Um baixo valor desta probabilidade
reflete o fato de que as chances de H são baixas, e vice-versa.
P(H|D) é a probabilidade a posteriori de H , ou a probabilidade atualizada de H após a utilização de
nova informação na verossimilhança.
Fórmula de Bayes (forma com n hipóteses)
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P( H j | D) =
P( D | H j ) × P( H j )
n
∑ P( D | H ) × P( H )
i
n
; aonde H i ∩ H j = ∅; U H i = Ω (7.4)
i =1
i
i =1
Neste caso há várias hipóteses concorrentes sendo consideradas. A dedução é muito fácil,
bastando observar que o denominador é igual a P(D) e o numerador a P(D ∩ Hj).
Exemplo 7.4
Retomando o enunciado do exemplo 7.2 determine P(M|A)
Pela fórmula 7.4 , P(M|A) = P(A|M)xP(M) / (P(A|M)xP(M)+P(A|H)xP(H)) =
0,80x0,25 / (0,80x0,25 + 0,20x0,75) = 0,57
Observe que P(A|M)=1 – P(A|H)=1 – 0,20 = 0,80 e P(M) = 1 – P(H) = 0,25
Uma forma usual de expressar uma probabilidade é através da razão de chances, muito
utilizada em apostas de torneios, por exemplo, o time A tem o dobro das chances do time B. Esta
forma não implica na determinação das probabilidades respectivas de A ou B ganharem mas
apenas da chance relativa entre elas. A razão de chances também pode ser enunciada para a
c
ocorrência de um evento A e o seu complemento A :
c
o(A)=P(A)/P(A )
(7.4)
A razão de chances pode servir para se definir uma probabilidade:
o(A) =P(A)/(1-P(A)) ⇒ P(A)=o(A) / [1 + o(A)]
(7.5)
7.8 Variáveis Aleatórias
O conceito de variável aleatória é um dos conceitos fundamentais da teoria das
probabilidades e entre outras aplicações permite a construção de probabilidades para eventos
associados a um experimento. Uma variável aleatória é uma função que associa cada evento de
um espaço amostral a um número. Quando esta associação é possível com os números racionais
dizemos que a variável aleatória é discreta, quando ela só for possível com os números reais então
ela é uma variável aleatória contínua. Como os racionais são enumeráveis, usualmente se define
uma variável aleatória discreta como assumindo valores inteiros. Exige-se também que para uma
função ser uma variável aleatória que sua imagem inversa sempre corresponda a um evento.
Definição 7.8 Variável Aleatória Discreta
X : Ω → {x1 , x2 ,...} ⊆ Z
A a X ( A) = xi
Embora seja uma função, não é uma função real o que dificulta a sua manipulação. Esta
limitação é contornada com as definições de função densidade discreta f(x) e função de
distribuição (acumulada) F(x).
12
Exemplo 7.5
a) Em um jogo de dados com um só dado associar a cada face o número de marcas.
X : Ω → {1, 2, 3, 4,5, 6}
b) Em um jogo de lançamento de uma moeda associar a cada face os números 1 ou 0.
X : Ω → {0,1}
c) Em um sistema de controle de freqüência associar a cada aula o número de alunos presentes.
X : Ω → {0,1, 2,..., 60}
d) Em um call center associar a cada período de tempo pré-fixado (por hora, por dia, etc...) o
número de chamadas
X : Ω → {0,1, 2,3,...}
Observe que neste último caso, teoricamente, podemos ter tantas chamadas quanto
números inteiros, ou seja, trata-se de um experimento com espaço amostral infinito e
consequentemente a variável aleatória (neste caso) tem a imagem infinita, porém discreta.
Um mesmo experimento pode servir para a definição de mais de uma variável aleatória.
Por exemplo, para o jogo com uma moeda, poderíamos definir uma variável aleatória que
associasse ao evento sair cara o número de lançamentos necessários até que isto ocorresse.
Definição 7.9 Função densidade discreta
A dificuldade operacional da definição de variável aleatória é contornada com a definição
de densidade discreta, também conhecida como função de massa, ou ainda, função distribuição de
probabilidades. Esta função associa ao valor que pode ser assumido pela variável a uma
probabilidade. Uma função é uma densidade se for não negativa e a soma de todos os valores
assumidos for igual a 1.
f ( x) = P{ A ⊆ Ω | X ( A) = x} = P( X = x)
(7.6)
Exemplo 7.6
a) Distribuição uniforme: utilizada para modelar experimentos aleatórios puros
X : Ω → {1, 2,..., n}
1
f (k ) = P( X = k ) = ; k = 1,..., n
n
b) Distribuição de Bernoulli: utilizada para modelar experimentos aleatórios dicotômicos
X : Ω → {0,1}
f (1) = P( X = 1) = p
f (0) = P( X = 0) = q = 1 − p
int_estatistica_aula7
13
c) Distribuição Binomial: utilizada para modelar experimentos compostos de Bernoulli
X : Ω → {1, 2,..., n}
n
f (k ) = P( X = k ) =   p k q n − k ; k = 1,..., n
k 
d) Distribuição Geométrica: utilizada para modelar experimentos com condição de parada
a
a
simples ( 1 ocorrência, 1 falha, etc...)
X : Ω → {1, 2,3,...}
f (k ) = pq k −1
e) Distribuição de Poisson: utilizada para modelar experimentos durante um intervalo de
tempo contínuo, porém com um número discreto de resultados ( acidentes por mês,
terremotos por ano, etc...)
X : Ω → {0,1, 2,...}
f (k ) =
µk
k!
e− µ
f) Distribuição Hipergeométrica: utilizar para modelar experimentos com espaços amostrais
finitos e discretos para os quais a chance de ocorrência de evento varia à medida que os
sorteios são feitos (amostragem sem reposição, por exemplo)
X : Ω → {0,1,..., n}
 r  N − r 
 

k  n − k 

f (k ) =
N
 
n
Exemplo 7.7(associado aos itens do exemplo anterior)
a)
Considere uma urna com bolas numeradas de 1 a 100. Determine a probabilidade de
sortear um número que seja ímpar ou iniciado por 5 e terminado por 3. O número 5 satisfaz
e o número 3 também.
O experimento pode ser modelado pela distribuição uniforme discreta: U(1,2,...,100). Os
números ímpares são no total de 50 para o intervalo considerado e incluem o 3, o 5 e os números
terminados por 3. Da condição restante, números que começam por 5, temos cinco valores que
não estão incluídos nos ímpares: 50, 52, 54, 56, 58. Portanto o total de números que satisfaz a
condição é de 55. Pela densidade discreta a probabilidade de sortear cada um destes números é
igual a 1/100, como são 55 a probabilidade pedida é igual a 0,55.
int_estatistica_aula7
14
b)
Faça o gráfico da função densidade para uma distribuição de Bernoulli com
parâmetro p = 0,1.
Usualmente associa-se o termo sucesso quando a variável assume o valor 1, mas isto é
apenas uma convenção, não necesseriamente o evento que é associado ao valor 1 representa um
fato positivo ou benéfico, mas apenas o evento de interesse.
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
c)
Considere um estudante que vai prestar um exame , como ele estudou pouco ,
tem 30% de chance de acertar cada questão . A prova tem 12 questões .Qual a probabilidade
de acertar entre 0 e 4 questões ?
Esta pergunta pode ser respondida modelando-se o experimento por uma distribuição
binomial com parâmetros p = 0,3 e n = 12. Pela fórmula dada no item c) do exemplo 7.6,
podemos calcular (aproximadamente) as probabilidades sucessivamente para k=0, 1, 2, 3, e 4:
0,014; 0,071; 0,17; 0,24 e 0,23. Somando estes valores obtemos 0,73.
d)
Um estudante saiu para comemorar sua aprovação no curso de Estatística,
como bebeu muito ao voltar para casa tenta aleatoriamente encontrar a chave que abre a
porta do seu apartamento. Se a chave não serve, tenta novamente, podendo, devido ao seu
estado de embriaguez, escolher de novo as chaves tentadas anteriormente (sorteio com
reposição). Qual a chance de abrir a porta na terceira tentativa, se o seu chaveiro tem 10
chaves e somente uma abre a porta ?
Este experimento pode ser modelado pela distribuição geométrica com parâmetro
p = 0,1 e k=3. Pela função densidade discreta o valor da probabilidade procurada é :
2
0,1(0,9) =0,081.
f)
Pequenos motores são guardados em caixas com 50 unidades. Um inspetor de
qualidade examina cada caixa, antes da posterior remessa, testando 5 motores. Se nenhum
motor for defeituoso, a caixa é aceita. Se, pelo menos um for defeituoso, todos os motores
são testados. O fornecedor sabe que há 6 motores defeituosos em cada caixa. Qual a
probabilidade de que seja necessário examinar todos os motores da caixa ?
Este experimento pode ser modelado pela distribuição hipergeométrica com os
seguintes parâmetros N=50; r=6; n=5. Vamos calcular a probabilidade de não se encontrar nenhum
motor defeituoso e então a probabilidade desejada é o seu complemento.
 44   6 
 5 0
1 −     = 1 − 0,53 = 0, 47
 50 
 
5
15
7.9 Exercícios
1. Um estudo estatístico sobre o comportamento eleitoral em um estado produziu os seguintes
resultados , expressos em probabilidades , sobre os votos exclusivos em partidos, assim como
votos em branco e nulos : Partido da Aliança , Partido do Brasil , Partido Democrata , Partido
Nacional , Brancos e Nulos .
P(Aliança)= 0,05 ; P(Brasil)= 0,30 ; P(Democrata)=0,40 ; P(Nacional)=0,04 ; P(Brancos)= 0,20
P(Nulos)= 0,01
Tomando por base estes resultados, calcule as seguintes prrobabilidades :
c
c
c
a) P(D ∩A ∩Na ) =
c
c
b) P(D ∪Bras ) =
c
c) P(D | Bras ) =
c
d) P(Bras∩D ) =
e) P(A∪Na∪Nu) =
c
f) P(A-Nu | Bran ) =
g) P(A∩Bras∩D) =
c
h) P(A ∪Bran∪D) =
c
c
i) P(Nu | Bran ) =
c
c
j) P [ (D∪A) | Na ] =
No item f) , A-Nu denota a interseção de A com o complementar de Nu
2.
Dois sinais de duração T < ½ cada, são transmitidos por um canal de rádio durante um
intervalo de tempo (0,1) ; cada um deles começa a ser transmitido com a mesma probabilidade em
qualquer instante do intervalo (0, 1-T). Se os sinais não se interceptarem eles são transmitidos
com sucesso, senão eles se interferem totalmente. Calcule a probabilidade de que eles sejam
transmitidos com sucesso.
3.
Uma indústria tem três máquinas , A1 , A2 e A3 que produzem , respectivamente , 50% ,
30% e 20% do número total de eixos que fabrica . A porcentagem de produtos defeituosos
oriundos destas máquinas é 3% , 4% e 5% respectivamente .
Tomando base estas informações, calcule as seguintes probabilidades :
a) Se um eixo é escolhido ao acaso , qual é a probabilidade do mesmo não ser defeituoso ?
b) Seja um eixo escolhido ao acaso e que é defeituoso . Qual a probabilidade de ter sido
produzido pela máquina A1 ou A3 ?
c) Se o eixo escolhido ao acaso não for defeituoso , qual a probabilidade de ter sido produzido
pela máquina A1 ?
d) Um cliente da indústria compra o lote de eixos se menos de 4% forem defeituosos. O negócio
será fechado ? Por que ?
int_estatistica_aula7
16
e) Seja um eixo escolhido ao acaso e que é defeituoso . Qual a probabilidade de ter sido produzido
pela máquina A1 ou A2 ?
f) Se o eixo escolhido ao acaso não for defeituoso , qual a probabilidade de não ter sido produzido
pela máquina A1 ?
g) Seja um eixo escolhido ao acaso e que é defeituoso . Qual a probabilidade de ter sido
produzido pela máquina A2 ou A3 ?
h) Caso se deseje melhorar a qualidade do lote de peças e se disponha de recursos para consertar
apenas uma máquina , qual delas você escolheria ? Por que ?
i) Se o eixo escolhido ao acaso não for defeituoso , qual a probabilidade de ter sido produzido pela
máquina A2 ?
j)
Se o eixo escolhido ao acaso for defeituoso , qual a probabilidade de ter sido produzido
pela máquina A1 ?
4. Pedro quer enviar uma carta a Marina. A probabilidade de que Pedro escreva a carta é de 0,8. A
probabilidade de que os Correios não a percam é de 0,9. A probabilidade de que o carteiro a
entregue é de 0,9. Dado que Marina não recebeu a carta, qual é a probabilidade condicional de
que Pedro não a tenha escrito ?
7.10 Respostas selecionadas
c
c
c
1. a) P(D ∩A ∩Na ) = 1-P(Nu ∪ Bran ∪ Bras) =1 - P(Nu) - P(Bran) - P(Bras) = 0,51
c
c
c
c
b)P(D | Bras ) = P(D ∩ Bras ) / P(Bras ) = P(D) / P(Bras ) = 0,40 / 0,70 ≅ 0,57
2.a) P(defeituoso)=P(L1)x P(defeituoso| L1) + P(L2)x P(defeituoso| L2) + P(L3)x P(defeituoso| L3)=
0,5x0,03 + 0,3x0,04 + 0,2x0,05 = 0,037. Logo a P(não defeituoso)=0,963 .
7.11 Média e Variância de Variáveis Aleatórias Discretas
Vimos nas aulas 3 e 5 os conceitos de média e variância amostrais, vamos agora
reintroduzir estes conceitos para variáveis aleatórias. Na estatística clássica paramétrica, a média
e a variância (populacionais) são parâmetros. Diferentemente das estatísticas não variam, são os
mesmos valores para toda a população. A forma de calculá-los vai mudar em conseqüência disso,
pois ao invés de freqüências, temos probabilidades. As definições são dadas a seguir:
n
µ = E ( X ) = ∑ xi P( X = xi )
(7.7)
i =1
n
σ 2 = VAR( X ) = ∑ ( xi − µ ) 2 P( X = xi )
(7.8)
i =1
ou
n
n
i =1
i =1
σ 2 = E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2 = ∑ xi2 P( X = xi ) − (∑ xi P( X = xi )) 2
(7.9)
A fórmula (7.9) é o equivalente da fórmula prática para a variância experimental e é
particularmente útil em deduções e aplicações como veremos mais adiante. Para cada uma das
variáveis aleatórias apresentadas no exemplo 7.6 damos respectivamente os valores de suas
17
média e variância. Há ferramentas mais avançadas para o cálculo destes parâmetros, como a
função geradora de momentos, por exemplo, mas não serão vistos aqui.
Exemplo 7.8 Média e variância (associado aos itens do exemplo 7.6)
n +1
2
b) bernoulli : µ = p
σ 2 = pq
a) uniforme : µ =
σ 2 = npq
c) binomial : µ = np
d ) geometrica : µ =
e)
poisson : µ = µ
1
p
σ2 =
(1 − p)
p2
σ2 = µ
f ) hipergeometrica : µ = n ×
r
N −r
Exemplo 7.9 O jogo de roleta
Considere o jogo de roleta tradicional. Neste jogo há várias modalidades de aposta, a mais
simples consiste em apostar em um número de 1 a 36, sendo que há mais duas casas na roleta
que não entram nas apostas e são da casa. Esta modalidade de aposta é a que dá o maior prêmio,
porém é a que tem menor chance para o jogador: 1/38. Supondo-se que a casa paga 35 unidades
monetárias para cada unidade apostada em um número premiado, calcule a esperança de ganho
de um jogador nesta modalidade.
É necessário construir a distribuição de probabilidade neste caso, já que não corresponde
a nenhum dos modelos tradicionais apresentados, embora tenha a mesma estrutura da distribuição
de Bernoulli. A densidade discreta associada a variável aleatória ganho é dada pela tabela:
xi
f(xi)
35
1/38
-1
37/38
De acordo com a fórmula (7.7) a média ou esperança de ganho do jogador é:
E ( X ) = µ = 35.
1
37
2
+ (−1). = − ≅ −0, 05
38
38
38
Ou seja, como era de se esperar o jogo favorece a banca.
Exemplo 7.10
Entropia é um conceito usualmente associado à física, maior entropia significa
maior desordem em um sistema, menor entropia, o contrário. Podemos definir entropia para uma
18
variável aleatória tomando como referência a teoria da informação de Shannon(1916-2001) que
define o nível de informação a partir do logaritmo do recíproco da probabilidade, e a entropia como
sendo a média destes valores.
X v.a. discreta
{xk | k = 0, ±1,..., ± K }
K
P( X = xk ) = pk ; 0 ≤ pk ≤ 1 ;
∑
pk = 1
k =− K
O nível de informação de xk é dado por
I ( xk ) = log (
1
) = −log pk
pk
Definindo-se assim uma nova v.a discreta cuja média é denominada de entropia
K
∑
pk I ( xk ) = − ∑ pk log ( pk )
k =− K
k =− K
H ( X ) = E[ I ( X )] =
K
0 ≤ H ( x) ≤ log (2 K + 1)
H ( X ) = 0 ⇔ pk = 1; i ≠ k pi = 0 nenhuma incerteza
H ( X ) = log (2k + 1) ⇔ pk =
1
∀k incerteza maxima
2k + 1
Nos dois casos apresentados, verificamos que a menor entropia (incerteza) corresponde a
uma variável quase determinística, e a incerteza máxima à distribuição uniforme. Neste exemplo
implicitamente usamos o conceito de função de variável aleatória, que é aplicado quando
deduzimos I(X) a partir de X. Um resultado da teoria das probabilidades assegura que a média da
função de uma variável aleatória é calculada de acordo com a fórmula
K
E[ I ( X )] =
∑
pk I ( xk )
(7.10)
k =− K
7.12 Variáveis aleatórias contínuas
Experimentos com espaços amostrais não enumeráveis representaram uma dificuldade
para a construção de modelos de probabilidade, no anexo os paradoxos de Buffon e Bertrand são
exemplos disto. A extensão da definição de variável aleatória para o caso contínuo vai permitir a
construção de modelos de variáveis aleatórias que permitirão o cálculo operacional de
probabilidades.
Definição 7.10 Variáveis aleatórias contínuas
X :Ω → R
A a X ( A) ∈ℜ
int_estatistica_aula7
19
X deve ser definido de forma que a imagem inversa de qualquer intervalo real corresponda
a um evento.
Definição 7.11 Função densidade contínua
No caso contínuo a probabilidade de um evento que leva a um número particular é 0.
Portanto a função densidade no caso contínuo precisa ser definida para intervalos conforme a
expressão abaixo. Uma função é uma densidade se for não negativa e sua integral de -∞ a +∞ for
igual a 1.
b
P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f (t )dt
(7.11)
a
Exemplo 7.11 Exemplos de distribuições contínuas e suas funções densidade
a) Uniforme (a,b)
X : Ω → ( a, b)
f( x)
 0 se − ∞ < x ≤ a 
 1



f ( x) = 
se a < x < b 
b − a

 0 se b ≤ x < ∞ 
1/ (b-a)
a
b
x
b) Exponencial (λ)
X : Ω → (0, ∞)
 0 se x < 0 
f ( x) =  − λ x

λ e se x ≥ 0 
Densidade Exponencial (lambda=1)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
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20
2
c) Normal (µ, σ )
0,45
X :Ω → R
2
2
1
f ( x) =
e − ( x − µ ) / 2σ
σ 2π
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
A distribuição normal tem um papel central na estatística clássica, embora tivesse sido
identificada desde o século XVI a partir dos trabalhos de Abraham de Moivre (1667 – 1754), é com
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) que sua formalização matemática é consolidada a partir da
teoria sobre a distribuição de erros.
Definição 7.12 Função de distribuição (acumulada)
A definição geral é válida tanto para variáveis discretas como contínuas.
F(x) = P( X x )
No caso contínuo o cálculo da Função de distribuição acumulada pode ser feito através da
integração da função densidade. Em casos mais simples esta integral tem forma fechada,
podendo-se explicitar a função que dá a probabilidade acumulada até o limiar. Mas, na maioria dos
casos a integral tem que ser calculada aproximadamente, como na distribuição Normal. Uma
função é uma função de distribuição acumulada se for não negativa, assumindo valores entre 0 e
1, não decrescente e contínua à direita.
Exemplo 7.12 Funcões de distribuição acumulada
a)Uniforme (a,b)
 0 se − ∞ < x ≤ a 
x−a



F ( x) = 
se a < x < b 
b
−
a


 1 se b ≤ x < ∞ 
b)Exponencial()
 0 se x < 0 
F ( x) = 

−λ x
1 − e se x ≥ 0 
No caso normal não é possível obter a forma fechada para F(x). Entretanto uma propriedade que
relaciona normais com média e variância distintas vai facilitar o cálculo aproximado de
probabilidades para qualquer normal a partir do cálculo feito para a Normal padrão, que é a normal
21
com média 0 e variância 1. Antes de apresentarmos esta propriedade, vejamos as definições de
média (ou esperança) e variância para variáveis aleatórias contínuas.
7.13 Média e variância de variáveis aleatórias contínuas
A extensão do conceito de média e variância ao caso contínuo é feito via integração da função
densidade. As fórmulas 7.13, 7.14 e 7.15 são análogas, respectivamente, às fórmulas 7.7, 7.8 e
7.9 .
∞
µ=
∫ tf (t )dt
(7.13)
−∞
∞
σ2 =
∫ (t − µ )
2
f (t )dt
(7.14)
−∞
∞
2
σ =
∫t
∞
2
f (t )dt − ( ∫ tf (t )dt ) 2
−∞
(7.15)
−∞
Exemplo 7.13
a) Uniforme(a,b)
µ=
a+b
2
σ2 =
(b − a)2
12
b) Exponencial(λ)
µ=
1
λ
σ2 =
1
λ2
Exemplo 7.14 Uniforme
a) Se X é uma uniforme contínua definida no intervalo [-2 , 2] , faça o gráfico da distribuição
acumulada de X.
1
-2
2
b) A dureza de rochas em uma jazida segue uma distribuição uniforme contínua no intervalo
[50 , 70] . Calcule a probabilidade de que uma rocha tenha dureza entre 55 e 60.
P( 55<X<60) = F(60) – F(50) para o caso contínuo. Do exemplo 7.12 a) tem-se que:
F(60) = 0,5 e F(55) = 0,25, logo a probabilidade desejada é 0,25.
int_estatistica_aula7
22
Exemplo 7.15 Exponencial
A distribuição exponencial modela experimentos relativos à vida útil de equipamentos. O parâmetro
média dá o valor do tempo esperado de funcionamento. A distribuição exponencial é a única
distribuição contínua que tem a propridedade de ausência de memória, motivo pela qual ela é
adequada para descrever o funcionamento de equipamentos. Formalmente tem-se:
P ( X ≥ a + b | X ≥ b) = P ( X ≥ a )
Ou seja o comportamento é dado pelo intervalo decorrido e não pela origem no tempo. É razoável
esta propriedade para descrever o funcionamento durante o tempo útil porque espera-se que um
equipamento funcione de modo regular toda vez que for acionado, já a duração da utilização é
outra situação. Sabendo-se que o uso contínuo por um período mais prolongado do que outro
período no dia anterior, por exemplo, pode ser mais suscetível a falhas. No caso discreto a
distribuição geométrica é a única distribuição que também tem a mesma propriedade.
Exemplo 7.16 Normal padrão e as funções Z, φ e Φ
Uma normal que tenha média 0 e desvio-padrão 1 é denominada de normal padrão e denotada
pela letra Z. A função densidade de Z é a função φ, e sua função de distribuição acumulada é a
função Φ que só pode ser calculada aproximadamente, ver tabela no anexo II.
φ ( x) =
1 − x2 / 2
e
2π
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
A distribuição normal tem a seguinte propriedade:
P( X ≤ x) = P( Z ≤
x−µ
σ
)
(7.16)
É devido a (7.16) que podemos calcular probabilidades para qualquer normal a partir de Φ. Basta
achar o limiar equivalente para Z, calculando-se a padronização do limiar x original.
7.14 Exercícios
1. Tomando como referência a tabela da distribuição acumulada da Normal Padrão , escolha
cinco dentre as dez questões a seguir :
a) Para a Normal N(10 ,1) determine P { X≥11}
b) Para a Normal N(10, 4) determine P { X< 2}
23
c) Para a Normal padrão determine L de forma que P{ X>L } = 0,1
d) Para a Normal padrão determine L de forma que P{ 1<X<L} = 0,2
e) Para a Normal padrão determine a P{ X ∉ [ µ ,µ +σ] }
f)
Para a Normal N(10,4) determine c tal que P{ X ∈ [µ , µ + c σ] }= 0,4
g) Para a Normal padrão determine c tal que P{ X ∈ [1 , 2c] }= 0,3
h) Para a Normal N(10,4) determine P{ x>15}
i)
Para a Normal padrão determine um intervalo simétrico em torno da média tal que
P{ -L < X < L} = 0,80
j)
Para a Normal N(-5 , 9) determine P{ X < 0}
2.
As vendas de um determinado produto têm distribuição aproximadamente normal , com
média 500 e desvio padrão 50 . Se a empresa decide fabricar 600 unidades no mês em estudo ,
qual é a probabilidade de que não possa atender todos os pedidos desse mês , por estar com a
produção esgotada ?
3.
As rendas dos membros de uma grande comunidade podem ser representadas por uma
distribuição Normal com média igual a 4.000 e desvio padrão igual a 3.000 unidades monetárias .
Qual porcentagem da população tem renda superior a 7.600 unidades monetárias ?
Determine um intervalo em torno da média que contenha 90% das rendas.
7.15 Respostas selecionadas
1.
a) P(X ≥ 11) = P{Z ≥ (11 – 10)/1}=P(Z ≥ 1) = 1 - P(Z 1) = 1 - Φ(1) = 1 – 0,84 = 0,16
Observe que para variáveis aleatórias contínuas a igualdade não importa, pois a probabilidade de
um valor ocorrer é sempre 0. O valor de Φ(1) foi obtido na tabela do Anexo II deste capítulo.
7.16 Vetores Aleatórios
Vetores aleatórios ou variáveis aleatórias multidimensionais são funções do espaço produto
n
amostral em R . Neste curso vamos nos limitar ao caso n=2. Os vetores aleatórios podem ser
discretos, contínuos ou mistos. Modelam experimentos aonde se observam mais de um atributo.
Definição 7.13 Vetor aleatório (bi-dimensional)
( X ,Y ) :
Ω × Ω → R2
( A, B) a ( X ( A), Y ( B))
Analogamente ao caso unidimensional definem-se as funções densidade conjunta e distribuição
acumulada conjunta:
24
Definição 7.14 Densidade Conjunta
discreta
continua
d b
∫ ∫ f ( x, y)dxdy = P(a < X < b, c < Y < d )
f ( xi , y j ) = P( X = xi , Y = y j )
c a
Definição 7.15 Distribuição Acumulada Conjunta
discreta
F (m, n) =
continua
∑
n m
P( X = xi , Y = y j ) F (m, n) =
i, j
tal que
xi ≤ m
y j ≤n
∫∫
f ( x, y )dxdy
−∞ −∞
Exemplo 7.17
Exemplo de uma densidade de vetor aleatório discreto. Nas margens temos os valores das
variáveis, nas células internas as probabilidades conjuntas (densidades conjuntas) para os pares
de valores correspondentes. A analogia com a tabela de contingência vista na Aula 1 é evidente.
X
1
2
3
Y
1
1/15
0
1/15
2
0
4/15
2/15
3
2/15
0
1/15
4
0
1/15
1/15
5
0
1/15
1/15
Uma função é uma densidade conjunta se for não negativa e somar 1, o que se verifica na tabela
acima.
Definição 7.16 Densidades Marginais
n
f x ( a ) = P ( X = a ) = ∑ P ( X = a, Y = y j )
m
f y (b) = P (Y = b) = ∑ P ( X = xi , Y = b)
j =1
i =1
Exemplo 7.18
Retomando o exemplo 7.17 e aplicando a definição 7.16 obtemos nas margens da tabela as
densidades marginais em relação a X e Y.
X
1
2
3
Y
fy
1
1/15
0
1/15
2/15
2
0
4/15
2/15
6/15
3
2/15
0
1/15
3/15
4
0
1/15
1/15
2/15
5
0
1/15
1/15
2/15
fx
3/15
6/15
6/15
1
25
Definição 7.17 Densidades Condicionais
f X |Y =b ( x | b) =
f ( x, b)
fY (b)
fY | X = a ( y | a ) =
f ( a, y )
f X (a)
Exemplo 7.19
Usando os resultados dos exemplos 7.17 e 7.18 podemos obter as duas densidades condicionais:
fY|X=2
Y
0
1
4/6
2
0
3
fX|Y=2
X
0
1
4/6
2
2/6
3
1/6
4
1/6
5
A esperança condicional de Y|X=x é a esperança da distribuição condicional. Por exemplo,
E(Y|X=2) = 1x0+2x4/6+3x0+4x1/6+5x1/6=17/6 .
7.17 Independência e Covariância
O conceito de independência entre eventos pode ser enunciado para variáveis aleatórias. Não há
graus de independência, duas variáveis são ou não são independentes. Mas quando são
dependentes, o grau de dependência (linear) pode ser medido pela covariância ou pelo coeficiente
de correlação.
Definição 7.18 Independência e dependência entre variáveis aleatórias
X eY
% independentes s.s.s.
sao
f ( x, y ) = f X ( x ) f Y ( y )
Definição 7.19 Covariância e correlação
COV ( X , Y ) = E{[ X − µ X ][Y − µY ]} = E{ XY } − EX EY
ρ ( X ,Y ) =
COV ( X , Y )
σ XσY
Exemplo 7.20
As variáveis X e Y do exemplo 7.18 não são independentes porque f(1,1) = 1/15 mas
fX(1)fY(1)=3/15 x 2/15 = 6/15 . Basta que a igualdade não se verifique apenas uma vez para que a
independência deixe de valer.
26
Exemplo 7.21
A covariância entre X e Y do exemplo 7.18 pode ser calculada usando a versão prática E(XY) –
E(X)E(Y)
E(X)= 1x 3/15 + 2x 6/15 +3x 6/15 ≅ 2,2
E(Y)= 1 x 2/15 + 2x 6/15 + 3 x 3/15 + 4 x 2/15 + 5 x 2/15 ≅ 2,73
E(XY) = 1 x 1 x 1/15 + 1 x 3 x 2/15 + 2 x 2 x 4/15 + 2 x 4 x 1/15 + 2 x 5 x 1/15 + 3 x 1 x 1/15 +
3 x 2 x 2/15 + 3 x 3 x 1/15 + 3 x 4 x 1/15 + 3 x 5 x 1/15 ≅ 6,13
COV(X,Y) ≅ 6,13 – 2,2 x 2,73 = 0,12
int_estatistica_aula7
A covariância é dependente da escala em que X e Y estão representados. O coeficiente de
correlação elimina este efeito.
Exemplo 7.22 Densidade normal bivariada
f ( x, y ) =
1
2πσ xσ y

1

exp −
2
2
1− ρ
 2(1 − ρ
 x − µ  2
 x − µx
x

 − 2ρ 
 σ x 
 σx

 y − µy
 
 σ y
  y − µy
 + 
  σy



2

 


A expressão da densidade bi-variada envolve 5 parâmetros: as médias de X e Y; os desvios
padrão de X e Y, e o coeficiente de correlação ρ entre X e Y . Observe que se este coeficiente for
zero então f(x,y)= fX(x) fY(Y) o que caracteriza a independência entre X e Y.
X e Y independentes ⇒ COV ( X , Y ) = 0 e ρ ( X , Y ) = 0
% dependentes
COV ( X , Y ) ≠ 0 ou ρ ( X , Y ) ≠ 0 ⇒ X e Y sao
Portanto trata-se de uma condição necessária para a independência mas não suficiente.
7.18 Operações entre variáveis aleatórias
Produto por constante
cX ⇒ E (cX ) = cE ( X ) e VAR(cX ) = c 2VAR( X )
Soma de uma constante
X + c ⇒ E ( X + c) = E ( X ) + c e VAR( X + c) = VAR( X )
Soma de duas variaveis aleatorias
X + Y ⇒ E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y )
X e Y independentes ⇒ VAR( X + Y ) = VAR( X ) + VAR(Y )
X e Y dependentes ⇒ VAR( X + Y ) = VAR( X ) + VAR(Y ) + 2COV ( X , Y )
7.19 Funções de Variáveis Aleatórias
Definição 7.21 Função de Variável Aleatória Discreta
27
Se X é uma variável aleatória discreta e h uma função bijetora definida nos números inteiros,
assumindo valores inteiros, então Y = h (X) é uma variável aleatória discreta.
Exemplo 7.22
X ~ Uniforme {1,2,3}
h(x) = 2x + 1
Y ~ Uniforme {3,5,7}
Definição 7.22 Função de Variável Aleatória Contínua
Se X é uma variável aleatória contínua e h uma função real inversível, então Y = h(X) é uma
variável aleatória contínua.
Exemplo 7.23
2
X ~ Normal(µ, σ )
h(x) = (x - µ) / σ
Y ~ Normal(0,1)
Definição 7.23 Esperança de Função de Variável Aleatória Discreta
Sejam X, Y e h como na Definição 7.21, então:
E (Y ) = ∑ h( xi )P( X = xi )
i
Definição 7.24 Esperança de Função de Variável Aleatória Contínua
Sejam X, Y e h como na Definição 7.22, então
∞
E (Y ) =
∫ h(t ) f (t )dt
−∞
7.20 Exercícios
1.
Lançam-se dois dados, X indica o número obtido no primeiro dado e Y o maior ou número
comum nos dois dados. Responda aos itens seguintes:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Represente a densidade conjunta f(x,y)
Determine as densidades marginais
As duas variáveis são independentes ?
Calcule E(XY)
Calcule COV(X,Y)
Calcule E(X+Y)
Calcule VAR(X+Y)
Determine fX|Y=2
2. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal N(10,10).
a) P(X < -5)
b) Determine r tal que P(X > 10 + r ou X < 10 – r) = 0,1
28
3. Uma certa liga é formada , combinando a mistura fundida de dois metais. A liga resultante
contem uma certa porcentagem de chumbo X, que pode ser considerada uma variável aleatória
-5
com densidade f(x) = 0,6 . 10 x(100 – x) para 0≤x≤100 e 0 em caso contrário. Suponha que o L,
o lucro líquido obtido na venda desta liga (por unidade de peso) é a seguinte função de X : L = 0,01
+0,02x. Calcule o lucro esperado , isto é, E(L).
4. Para a tabela abaixo que dá a distribuição conjunta de X e Y , determine:
a) COV(X,Y)
b) E(X | Y=5)
Y \ X
3
5
7
10
0
0,1
0,15
15
0,1
0,1
0,25
20
0,1
0,1
0,1
5. Um estudante chega ao ponto de ônibus às 10:00 h , sabe-se que o próximo ônibus vai chegar
a qualquer momento entre 10:00 e 10:30h.
a) Qual a probabilidade que o estudante tenha de esperar menos do que 10 minutos.
b) Se até às 10:15 h o ônibus não tiver chegado, qual a probabilidade de chegar
nos próximos dez minutos ?
7.21 Respostas selecionadas
1.
a)
Y
1
2
3
4
5
6
X
1
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
2
0
2/36
1/36
1/36
1/36
1/36
3
0
0
3/36
1/36
1/36
1/36
4
0
0
0
4/36
1/36
1/36
5
0
0
0
0
5/36
1/36
6
0
0
0
0
0
6/36
2.
a) 0,055
29
ANEXO I
A7.1 O Paradoxo de Bertrand
Uma corda é escolhida ao acaso em um círculo. Qual a probabilidade de que o seu comprimento
exceda o lado do triângulo equilátero inscrito no círculo ?
Solução 1 – Devido à simetria podemos escolher qualquer direção para a corda. Determinando um
diâmetro perpendicular a esta corda, é óbvio que somente as cordas que interceptarem este
diâmetro entre um quarto e três quartos do seu comprimento excedem o lado do triângulo
equilátero. Portanto, a probabilidade seria igual a 1/2.
Solução 2 – Novamente recorrendo à simetria podemos fixar uma das extremidades da corda. A
tangente ao círculo neste ponto, juntamente com os lados do triângulo equilátero inscrito no
o
círculo, tendo por um dos vértices, justamente, o ponto de tangência, formam três ângulos de 60
cada. Ora, somente as cordas que estão contidas no ângulo do meio excederão em comprimento
ao lado do triângulo. Donde, a probabilidade igual a 1/3 !
int_estatistica_aula7
Solução 3 - A corda está especificada, desde que o seu ponto médio esteja. Considerando um
novo círculo concêntrico com o primeiro, com a metade do raio, sabe-se que toda corda, cujo ponto
médio pertença a este círculo, terá comprimento maior que o lado do triângulo equilátero. Levando
a um novo resultado: ½ !
A dificuldade em compreender os diferentes resultados reside na percep;’ao de que se tratam de
experimentos diferentes. Na primeira e segunda soluções identificou-se a casualidade da posição
da corda com a casualidade de seu comprimento, embora sejam aspectos totalmente diferentes.
Já na terceira solução trata-se de um problema completamente diferente – determinar a
probabilidade de um ponto, escolhido arbitrariamente em um círculo, pertencer a um círculo menor.
A7.2 O Problema da agulha de Buffon
Um plano é particionado por retas paralelas, a intervalos regulares iguais a 2a. Uma agulha de
comprimento 2l (l<a) é jogada casualmente sobre o plano. Qual é a probabilidade de que a agulha
intercepte uma das retas ?
Solução – Sejam x a distância do centro da agulha à reta mais próxima e ϕ o ângulo formado pela
agulha com a reta. Estas duas medidas determinam a posição da agulha. Os intervalos de
variação são respectivamente [0,a] e [0,π]. A condição necessária e suficiente para a agulha
interceptar a reta é que x l senϕ.
A probabilidade (geométrica) é então dada pela razão entre as áreas do evento sobre a área do
espaço amostral
π
∫ l sin ϕ dϕ
P=
0
aπ
=
2l
aπ
Apesar do enunciado ingênuo, o problema envolve a determinação do comprimento de bombas em
problemas de bombardeio.
30
A7.3
Distribuição acumulada da Normal padrão ( função phi)
z
-5,0000
-4,9000
-4,8000
-4,7000
-4,6000
-4,5000
-4,4000
-4,3000
-4,2000
-4,1000
-4,0000
-3,9000
-3,8000
-3,7000
-3,6000
-3,5000
-3,4000
-3,3000
-3,2000
-3,1000
-3,0000
-2,9000
-2,8000
-2,7000
-2,6000
-2,5000
-2,4000
-2,3000
-2,2000
-2,1000
-2,0000
-1,9000
-1,8000
-1,7000
-1,6000
-1,5000
-1,4000
-1,3000
-1,2000
-1,1000
-1,0000
-0,9000
-0,8000
-0,7000
-0,6000
-0,5000
-0,4000
-0,3000
-0,2000
-0,1000
0,0000
F(z)
2,87E-07
4,8E-07
7,94E-07
1,3E-06
2,11E-06
3,4E-06
5,42E-06
8,55E-06
1,34E-05
2,07E-05
3,17E-05
4,81E-05
7,24E-05
0,000108
0,000159
0,000233
0,000337
0,000483
0,000687
0,000968
0,00135
0,001866
0,002555
0,003467
0,004661
0,00621
0,008198
0,010724
0,013903
0,017864
0,02275
0,028716
0,03593
0,044565
0,054799
0,066807
0,080757
0,096801
0,11507
0,135666
0,158655
0,18406
0,211855
0,241964
0,274253
0,308538
0,344578
0,382089
0,42074
0,460172
0,5
z
0,0000
0,1000
0,2000
0,3000
0,4000
0,5000
0,6000
0,7000
0,8000
0,9000
1,0000
1,1000
1,2000
1,3000
1,4000
1,5000
1,6000
1,7000
1,8000
1,9000
2,0000
2,1000
2,2000
2,3000
2,4000
2,5000
2,6000
2,7000
2,8000
2,9000
3,0000
3,1000
3,2000
3,3000
3,4000
3,5000
3,6000
3,7000
3,8000
3,9000
4,0000
4,1000
4,2000
4,3000
4,4000
4,5000
4,6000
4,7000
4,8000
4,9000
5,0000
F(z)
0,5
0,539828
0,57926
0,617911
0,655422
0,691462
0,725747
0,758036
0,788145
0,81594
0,841345
0,864334
0,88493
0,903199
0,919243
0,933193
0,945201
0,955435
0,96407
0,971284
0,97725
0,982136
0,986097
0,989276
0,991802
0,99379
0,995339
0,996533
0,997445
0,998134
0,99865
0,999032
0,999313
0,999517
0,999663
0,999767
0,999841
0,999892
0,999928
0,999952
0,999968
0,999979
0,999987
0,999991
0,999995
0,999997
0,999998
0,999999
0,999999
1
1
int_estatistica_aula7
31