Universidade Federal de Pernambuco
Programa de Pós-Graduação em Estatística
Disciplina:
Professor:
Teoria dos Jogos
Leandro Chaves Rêgo
Data de Entrega: 02/09/2014
Primeira Lista de Exercícios
1. Seja Y um conjunto de sobremesas à disposição de um indivíduo, onde
Y = {abacaxi, banana, sorvete, doce de leite}.
Suponha que o indivíduo expresse a seguinte relação de preferências ≻ entre as sobremesas: abacaxi ≻ banana, banana ≻ sorvete, sorvete ≻ doce de leite, abacaxi ≻ sorvete,
abacaxi ≻ doce de leite e banana ≻ doce de leite. Essas preferências podem ser representadas por uma função utilidade? Justique sua resposta.
2. Considere as seguintes ações disponíveis para um indivíduo:
s1
a1
a2
a3
a4
a5
3
5
6
3
2
s2
2
0
5
6
4
s3
1
-2
2
4
-3
s4
6
4
3
3
5
s5
7
8
2
0
3
Determine as relações de preferências entre as ações para este indivíduo se ele utiliza a
regra:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Maxmin
maxmax
Otimismo-Pessimismo com α = 1/3.
Minimax Arrependimento.
Suponha agora que o agente considere que a probabilidade dos estados s1 , s3 , s5 é
igual a 1/4 cada um, e que a probabilidade dos estados s2 , s4 é igual a 1/8, cada
um. Determine as relações de preferência do indivíduo se ele utiliza a regra de
maximizar o valor esperado.
3. Se uma relação binária B é negativamente transitiva, mostre que para todo x, y ∈ X ,
temos que pelo menos um das 3 armações seguintes ocorrem:
(a) xBy ,
(b) yBx, ou
(c) para todo z ∈ X , (a) xBz se, e somente se, yBz , e (b) zBx se, e somente se, zBy .
4. Dado um conjunto X , uma relação de preferência ≻ e funções u e u′ que representam
≻, mostre que existe uma função f : IR → IR tal que
(a) f é estritamente crescente em {r : ∃x ∈ X, r = u(x)} e
(b) u′ (x) = f (u(x)), ∀x ∈ X .
Além disso, mostre que para qualquer função estritamente crescente g : IR → IR,
u′′ (x) = g(u(x)), ∀x ∈ X também representa ≻.
5. Considere X = [0, 1] × [0, 1], e dena
(x1 , x2 ) ≻ (y1 , y2 ) se x1 > y1 ou [x1 = y1 e x2 > y2 ].
Mostre que a relação binária ≻ é uma relação de preferência.
6. Uma relação binária que é reexiva, simétrica e transitiva é chamada de uma relação
de equivalência. Suponha que ≻ é uma relação de preferência em um conjunto nito
X . Provamos que ∼ é uma relação de equivalência em X . Para cada x ∈ X , seja sua
classe de equivalência denida por I(x) = {y ∈ X : y ∼ x}. Mostre que:
(a) Os conjuntos {I(x) : x ∈ X} formam uma partição de X .
(b) Os conjuntos I(x) são estritamente ordenados, isto é, ∀x, y ∈ X (1) se I(x) ̸= I(y),
então ou x ≻ y ou y ≻ x, e (2) se x ≻ y , então x′ ≻ y ′ para todo x′ ∈ I(x) e
y ′ ∈ I(y).
7. Seja f : IR → IR uma função estritamente crescente, mostre que:
• maximin(u) = maximin(f (u))
• maximax(u) = maximax(f (u))
• optα (u) pode não ser o mesmo que optα (f (u))
• arrependimento(u) pode não ser o mesmo que arrependimento(f (u)).
8. Seja f : IR → IR, onde f (x) = ax + b, e a > 0. Então
• maximin(u) = maximin(f (u))
• maximax(u) = maximax(f (u))
• optα (u) = optα (f (u))
• arrependimento(u) = arrependimento(f (u))
9. Suponha que A = {a1 , . . . , an } é um conjunto de ações, e, que de acordo com alguma
regra de decisão, a1 ≻ a2 . Suponha que A′ ⊇ A. Mostre que não é possível que
tenhamos segundo a mesma regra de decisão anterior que a2 ≻ a1 , se ≻ é uma relação
de preferência derivada das regras de decisão Maximin, Maximax, ou optα no conjunto
A′ .
10. Seja A um conjunto de ações que são funções de um conjunto S de estados da natureza nito para um conjunto de consequências. Seja P um conjunto de medidas de
probabilidades em (S, 2S ). Mostre que para quaisquer a, a′ ∈ A, se a ≽4P a′ , então
a ≽3P a′ .
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