Universidade do Algarve
Campeonato de Matemática SUB12
2005/2006
Problema 8 – Trocando cumprimentos
No final de um jantar, todos os participantes trocaram apertos de mão.
Sabendo que foram 36 os apertos de mão trocados, quantas pessoas
participaram na reunião?
RESOLUÇÃO
Nas respostas, verifica-se, muitas vezes, a confusão entre este problema e outro
cujo enunciado seria, antes: nove pessoas encontram-se para uma reunião.
Sabendo que todos os participantes trocaram apertos de mão, quantos foram os
apertos de mão dados?
Os que respondem a esta outra pergunta, são os que partem logo do número nove
e contam os apertos de mão? Mas como chegaram ao 9? Fizeram tentativas com
um número menor de pessoas? Se fizeram, não mandaram. E fica sempre a
questão: afinal como descobriram o 9?
Uma resposta correcta e muito bem organizada é a do Rafael Mendes da EB/S de
Velas (Açores). Vejamos o que ele fez:
Apertos de mão
Número de pessoas
Quais
Acréscimos
Nº
1
A
---------------
0
------------
2
AeB
AB
1
+1
3
A, B e C
AB, AC, BC
3
+2
4
A, B, C e D
AB, AC, AD, BC, BD, CD
6
+3
5
A, B, C, D e E
AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE 10
+4
E, depois, comenta:
«Os acréscimos estão a aumentar de 1 em 1».
E, continuo eu, se forem 6 pessoas, o nº de apertos de mão é igual a 10 (os
anteriores) mais 5, ou seja, 15. Este 5 corresponde aos 5 apertos de mão que a 6ª
pessoa que se junta ao grupo terá de dar.
Se o número de pessoas for 7, o número de apertos de mão é a soma de 15 (os
anteriores) com 6, ou seja, 21. Este 6 representa o número de apertos de mão que
a 7ª pessoa que se junta ao grupo terá de dar.
Se o número de pessoas for 8, o número de apertos de mão é a soma de 21 (os
anteriores) com 7, ou seja, 28. Este 7 representa o número de apertos de mão que
a 8ª pessoa que se junta ao grupo terá de dar.
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Finalmente, se o número de pessoas for 9, o número de apertos de mão é a soma
de 28 (os anteriores) com 8, ou seja, 36. Este 8 representa o número de apertos
de mão que a 9ª pessoa que se junta ao grupo terá de dar.
Está então encontrado o número de pessoas presentes na reunião: 9.
Se a pergunta fosse ao contrário – quantos apertos de mão dão 9 pessoas? – a
resposta seria 36. Há muitas formas de lá chegar, como tabelas de dupla entrada,
estratégia que muitos alunos seguiram. Mas podemos pensar assim: se estão 9
pessoas na reunião, cada uma dá 8 apertos de mão, porque cumprimenta todas as
outras. Como são 9 pessoas, então, parece que dariam 72 apertos de mão (9x8).
Só que estamos a contar cada aperto de mão duas vezes, porque AB é o mesmo
cumprimento que BA. Então, temos de dividir 72 por 2 o que dá 36!
Se fossem 11 pessoas cada uma dava 10 apertos de mão. As 11 pessoas dariam,
então, 110 pessoas. Mas, como já vimos, estamos a contar o mesmo aperto de
mão duas vezes. Logo, temos de dividir 110 por 2 o que dá 55 apertos de mão.
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