1
III – OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
III . 1) Operações com números racionais :
Os números racionais podem ser representados tanto na forma fracionária
quanto na forma decimal . Essa última forma , a decimal , considera o sistema de nu –
meração com base 10 , sendo que as ordens são posicionadas no numeral de acordo com o esquema seguinte .
C . S.
D. S
U. S.
,
décimo
centésimo milésimo
A vírgula separa as ordens inteiras (à esquerda)
das ordens decimais (à direita)
legenda :
C.S. → centena simples
D.S. → dezena simples
U.S. → unidades simples
EXEMPLOS :
a) Quando se escreve o número 2,51 , tem-se como leitura
“duas unidades , cinco décimos e um centésimo” ou “duas unidades e cinqüenta
e um milésimos” . Seria o mesmo que 2 .100 + 5 .10 –1 + 1 .10 –2 .
b) Ao escrevermos 0,32 , teremos como leitura
“três décimos e dois centésimos” ou “trinta e dois centésimos” . É o mesmo
que 0 . 100 + 3 . 10 –1 + 2 . 10 – 2 .
c) Para somar ou subtrair na forma decimal , basta operar (somar ou subtrair) com
os algarismos de mesma ordem (vírgula em baixo de vírgula) . Assim temos , por ex.
32,231 + 9,02 →
32 , 231
+ 9 , 020 → ordem vazia completada com zero .
41 , 251
5,24 - 3,17 → 5 , 24
- 3 , 17
2 , 07
(observe que 5 unidades menos 3 unidades
eqüivale a 2 unidades e 24 centésimos menos
17 centésimos eqüivale a 7 centésimos)
2
d) 6 . 1,52 = 1,52 + 1,52 + 1,52 + 1,52 + 1,52 + 1,52 = 9,12 . Pelo processo prático , teríamos
1 , 52 → duas casas decimais
X 6 → nenhuma casa decimal
9 , 12 → duas casas decimais ( a soma das casas decimais dos fatores)
e) (3,4) . (2,45) , pelo processo prático , seria
2 , 45 → duas casas decimais
X 3 , 4 → uma casa decimal
8 , 330 → três casas decimais ( a soma das casas decimais dos fatores)
f) 10 : 8 = 1 dezena dividida por 8 = 10 unidades divididas por 8 = 100 dezenas
divididas por 8 = 1000 centenas divididas por 8
o
1)
10 u
2u
8
o
2)
1u
20 d
3o)
40 c
0
20 d
4d
8
2d
40 c
8
5c
4o) Somando 1u da primeira divisão com 2 d da segunda divisão e
5 c da terceira divisão , tem –se 1,25 ( uma unidade , 2 décimos e
5 centésimos , mas a leitura mais adequada é 1 unidade e 25 centésimos .
No algoritmo de Euclides isto é registrado assim
1000
20
40
0
8
1,25
a vírgula é registrada quando a próxima divisão for de décimos ; neste caso , a vírgula foi escrita antes da divisão 20:8 .
3
g) 9 : 27 = 90 décimos divididos por 27 ou 900 centésimos divididos por 27 ou
9000 milésimos divididos por 27 .
1o)
90 d
9d
2o)
27
90 c
9c
3d
3c
90 c
3o)
90 m
9m
27
90 m
27
(evidentemente , as próximas divisões serão
as mesmas )
3m
4o) Somando todos os quocientes , teremos
periódica )
0 , 333 ... (uma dízima
No algoritmo de Euclides , registraremos
9000
90
90
9
27
0, 333 ...
Neste caso , a vírgula foi registrada no inicio do
processo , pois a primeira divisão já é de décimos .
O zero é necessário antes da vírgula para assinalar
as unidades .
h) 7 : 1,4 = 70 décimos divididos por 14 décimos ou 700 centésimos divididos
por 140 centésimos .
Pelo algoritmo de Euclides
70
0
14
. Então , 7 : 1,4 = 5 .
5
i) 14,4 : 1,2 = 144 décimos divididos por 12 décimos .
144
24
0
12
. Logo , 14,4 : 1,2 = 12 .
12
4
j) 2,56 : 1,6 = 256 centésimos divididos por 160 centésimos .
256
960
0
160
⇒ 2,56 : 1,6 = 1,6 .
1,6
k) 5,454 : 4,04 = 5.454 milésimos divididos por 4040 milésimos .
5454
14140
2020
0
4040
⇒ 5,454 : 4,04 = 1,35 .
1,35
Exercícios Propostos :
1) Calcule o valor numérico de cada expressão a seguir .
a) 51,32 - (9,44 + 0,35)
b) (9,42 - 1, 3) + (2,8 – 0,46)
c) 2,3 . 4,25 + 1,36
d) 3,52 . 2,4 - 0,32 . 4,2
2) Calcule o valor numérico de cada expressão a seguir .
a) 1, 32 + 8 : 1,6
b) 0,54 : 1,8 + 4,52
c) 8,42 : 0,2 - 1 : 10
d) 1,36 : 0,4 - 0,135 : 4,5
3) Calcule o valor numérico de cada expressão a seguir .
a) 2,51 . 3,4 + 10,24 : 32
b) 2,048 : 6,4 - 3,1 . 0,003
c) (3,52 . 1,4 + 5,14 : 200) - 2,25 : 150
d) 32,4 : 1,8 . 2,04 + 1,32
4) Numa feira , cada quilo de tomate custa R$ 1,25 , cada quilo de cebola custa R$ 2,45
e cada quilo de batata custa R$ 1,15 . Por quanto ficaria uma compra de 3,5 kg
de tomate , 1,5 kg de cebola e 4,5 kg de batata ?
5) Numa loja de tecidos o brim custa R$ 6,85 o metro , o linho custa R$ 12,45 o
metro e o tergal está a R$ 9,84 o metro . Se em toda compra acima de R$ 30,00
a loja dá um desconto calculado por (Valor da compra - 30,00) : 5 , por quanto ficará uma compra de 2,7 m de brim , 2 m de linho e 5,4 m de tergal ?
5
6) Um fio elétrico tem um comprimento de 57,6 m e será cortado em pedaços de
1,2 m . Quantos pedaços serão gerados ?
7) Duas tábuas de comprimentos 14,4 m e 25,6 m e mesma largura deverão ser
cortadas em pedaços do mesmo tamanho , na maior quantidade possível , sem que
pedaço algum meça menos do que 1,0 m . Considerando que não haverá qualquer
desperdício de material e que as medidas deverão ser consideradas com uma ordem
decimal , quanto deverá medir cada pedaço ? Quantos pedaços serão no total ?
8) O mostrador circular de um cronômetro apresenta três escalas diferentes . A escala
A divide o mostrador em arcos de 0,25π rad , a escala B divide o mostrador em
arcos de 0,2π rad e a escala C divide o mostrador em arcos de 0,5 π rad . Se to –
das as escalas começam no mesmo ponto e são marcadas numa mesma circunferência do mostrador , em quantos pontos as três escalas vão coincidir ao longo de
de uma volta completa no marcador ? De quantos em quantos radianos as coincidências ocorrem ?
9) Num armazém estão dois lotes de mercadorias ; um lote no valor de R$ 357,00
com pacotes iguais de leite em pó valendo R$ 2,55 cada pacote com 1,4 kg e
outro com carretéis
iguais de linha de pesca valendo R$ 0,84 cada metro de
linha , num total de 87,5 m de linha .
a) Quantos são os pacotes de leite em pó e qual é o valor , em reais , de cada pacote ?
b) Qual é o preço total , em reais , do lote de linha de pesca ?
10) A densidade demográfica é um parâmetro que mede , em uma determinada área
geográfica , o número de habitantes por unidade de área considerada . Se a densidade demográfica de uma cera região é exatamente 45,6 hab/km2 e a região tem uma
área de 12,5 km2 , quantos habitantes foram considerados ?
6
Na forma fracionária , cada número racional pode ser entendido como o quociente entre dois números inteiros . Assim , temos os exemplos a seguir .
Exemplos :
a) O número
2
eqüivale a 2 : 5 = 0,4 .
5
b) O número
23
eqüivale a 23 : 4 = 5,75 .
4
c) O número
20
eqüivale a 20 : 3 = 6, 666 ... (uma dízima periódica) .
3
d) O numero 2
2
eqüivale a
5
2 +
2
= 2 + 0,4 = 2,4 .
5
parte inteira
Toda fração pode ser escrita na forma decimal e ,
reciprocamente , todo número decimal exato ou periódico pode ser escrito na forma de fração.
e) 0,31 → 31 centésimos =
f) 2,3 → 23 décimos =
g) 0,252525 ... =
31
.
100
23
.
10
25
(isto você já sabe !)
99
h) 1,25 → 125 centésimos =
125
5
= 125 : 100 . Mas 125 : 100 = 5 : 4 =
.
100
4
Esse exemplo ilustra um fato geral enunciado a seguir :
a
, sendo que a,b∈Z e b ≠ 0 , pode
b
ter seus termos a e b reduzidos simultaneamente ,
desde que a e b sejam divisíveis por um mesmo
número inteiro .
Uma fração
7
O processo de redução enunciado anteriormente é chamado de Simplificação da
Fração e cada fração gerada com a simplificação é um elemento do conjunto chamado de Classe de eqüivalência da fração dada . Em outras palavras , uma fração pode
ter seus termos (numerador e denominador) multiplicados ou divididos por um mesmo número sem alterar o seu valor numérico .
i) Simplificar a fração
12
é dividir seus termos (12 e 72) por um mesmo núme72
ro . É conveniente que o número escolhido seja o MDC(12,72) ou , apesar da fração
obtida ser eqüivalente à dada , ela ainda poderá ser simplificada . Neste caso , dividiremos ambos os termos por 12 . Então, teremos
12/ 1
1
=
. Nada nos impediria de
6
6
72/
dividir os termos da fração mais de uma vez , sempre pelo mesmo número .
j) Escrever a classe de eqüivalência do número
2
é obter , por multiplicação ou divi3
são de seus termos , todas as frações eqüivalentes a
2
. Como os termos da fração
3
dada não podem ser divididos por um mesmo inteiro , então , escreveremos as frações resultantes da multiplicação de seus termos pelos números naturais maiores do
2
2
que zero . Se denotarmos por C   a classe de eqüivalência de
, teremos :
3
3
2
C  =
3
{
2 4 6 8 10 12
, , , , , , ... } .
3 6 9 12 15 18
k) Reduza as frações
2 1
5
, e
ao mesmo denominador .
3 5
4
Neste caso , o menor denominador comum às três frações é o mínimo múltiplo comum de 3 , 5 e 4 , ou seja , 60 . Divide-se 60 por cada numerador e multiplicase cada quociente pelo respectivo numerador . Então , teremos
8
→
2 60 : 3 . 2
40
=
=
;
3
60
60
→
1 60 : 5 . 1 12
=
=
e
5
60
60
→
5 60 : 4 . 5 75
=
=
.
4
60
60
Duas frações são semelhantes quando têm o mesmo denominador . Só é possivel somar ou subtrair frações semelhantes .
l) Um operário desconta do seu salário bruto
1
3
e
, correspondentes , respectiva10 10
mente , ao INSS e ao aluguel que paga mensalmente . Que fração do salário bruto
sobra para que o operário custeie as suas outras despesas ?
1o) A fração correspondente aos descontos é a soma
semelhantes e , neste caso ,
de
1
3
+
que é de frações
10 10
1
3
1+ 3
4/ 2
+
=
=
= . Então , o desconto será
10 10
10
10/ 5
2
do salário bruto .
5
2o) O que sobra para que o operário custeie as outras despesas será 1 -
bruto . Como 1 -
2
do salário
5
2
não apresenta frações de mesmo denominador , teremos que
5
fazer a redução ao mesmo denominador . Então , 1 fração procurada .
2
5−2 3
=
= , que é a
5
5
5
9
m) Um agricultor teve a sua produção de uma safra destruída por dois fatores :
A geada destruiu
2
1
e uma praga de gafanhotos destruiu outros
. Que fração
3
6
da safra foi destruída e que fração da safra sobreviveu ?
1o) A fração correspondente ao que o agricultor perdeu é
2 1
4 +1 5
+ =
=
da
3 6
6
6
safra .
2o) A fração que sobreviveu é 1 -
5 6-5 1
=
= .
6
6
6
n) O décimo terceiro salário de um trabalhador é recebido integralmente , desde que
ele tenha trabalhado durante os 12 meses do ano . Por cada mês trabalhado recebese
1
do salário . Se um trabalhador trabalhou durante 5 meses ele receberá o
12
equivalente a 5 .
1
1 1 1 1 1
5 1
5 .1 5
=
+ + + +
=
.
=
=
. Se o salá12
12 12 12 12 12
1 12 1 . 12 12
rio bruto do trabalhador , neste caso , é R$ 960,00 , então , tendo trabalhado durante 5 meses , ele receberá
5
960
5
de 960,00 =
.5 =
. 960 = 400,00 .
12
12
12
Do exemplo anterior , podemos concluir
→ Para multiplicar duas frações , multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador .
a
→ A parte de uma grandeza X correspondente a uma fração
de
b
a
X é o produto
.X .
b
Em muitos casos , é conveniente simplificar numeradores e denominadores antes de
efetuar a multiplicação . É o caso de 8 .
8/ 2 .
3/ 1 1 5
2.1.1.5 10
.
.
=
=
.
4/ 1 3/ 1 7
1.1.1.7 7
3 1 5
.
.
que pode ser efetuado assim
4 3 7
10
o) Como as operações de multiplicação e divisão são inversas , para dividir uma
fração por outra , basta multiplicar a primeira pelo inverso da segunda . Por exem3 7
3
10/ 2
6
:
=
.
=
. Se forem mais de duas frações , multiplica-se
5 10
5/ 1
7
7
plo
a primeira pelos inversos das outras . Seja então a expressão
mos
4 3 2
: : onde tere –
5 2 9
4 2/ 1 9/ 3
12
.
.
=
.
5 3/ 1 2/ 1
5
p) A potenciação com números racionais será ilustrada com os exemplos seguintes :
3
(2) 3 8
2
1)   =
=
(3) 3 27
3
o
o
2)
(0,21)2
2
(21) 2
441
 21 
= 
=
= 0,0441
 =
2
10000
(100)
 100 
q) A radiciação exata com números racionais será ilustrada com os exemplos a seguir:
16
=
81
1o)
3o)
4
16
=
81
16
81
4
4
16
81
=
4
9
=
2
3
2o)
4o)
3
0,008 =
0,49 =
3
8
=
1000
49
7
=
= 0,7
100
10
3
3
8
1000
=
2
= 0,2
10
Com os NÚMEROS RACIONAIS NEGATIVOS as operações seguem as mesmas técnicas e regras vistas até aqui , excetuando-se o caso da radiciação cujo radical
tem índice par , pois a operação não é possível no conjunto dos números reais . Veja
alguns exemplos a seguir :
1o) −
3 1
5
- 9 - 4 + 30 17
- +
=
=
4 3
2
12
12
8
4  3 4  2
3 )  :-  =   .-  = 27
9  2 9  3
o
 3/ 1
2o)  −
 8/ 2
  4/ 1 
1
.  = 6
  9/ 3 
3
3
27
 3  (-3)
4 ) −  =
=3
64
(4)
 4
o
11
5o)
5
−
1
=
32
5
-1
5
32
=-
1
2
Exercícios Propostos :
11) Escreva na forma decimal cada fração a seguir :
a)
7
4
b) -
5
3
12
5
c)
d)
3
8
e) -
51
90
f) 1
3
5
g) 2
1
9
12) Escreva na forma fracionária reduzida cada decimal a seguir :
a) 0,32
b) 3,01
c) - 0,014
d) 0,125
e) - 5,05
f) 1,0444...
13) Simplifique tornando irredutível cada fração a seguir :
a)
16
56
b) -
13
52
c) -
35
63
d)
49
91
e)
125
500
f) -
144
720
g)
256
320
14) Efetue as operações indicadas em cada caso a seguir :
a)
3 2
5
+ - 2 8 3
2
d) 0,444 ... + 3
b) 2
2
1
3
33
1
4
9
+ 0,3 +
3
5
2
c) – 1,25 - 1
e) -3 - 1,333... +
1
+1
4
2
2
3 99
15) Efetue as operações indicadas em cada caso a seguir :
 3   33   5 
a)  − . . 
 11   5   3 
 12   1   6 
b)  . − . − 
 7   18   5 
 9
 3
c)  − .(−8). − 
 4
 2
7  2  7
d)   :  -  :  - 
9  3  3
 4
7
e)  −  : (-2) :  
 13 
2
 1   3
f) (-12) :   :  - 
 16   5 
16) Determine o resultado fracionário e o resultado decimal de cada operação a seguir :
 1  1 
a) (- 6,25) . 
. − 
 125   10 
 18 
1
b)  .(−14).(−0,2). 
7
3
 16 
c) (-3) : (0,32) :  − 
 25 
 1  2
d) (1,0333...) :  −  :  
 90   3 
12
17) Calcule o valor numérico de cada expressão a seguir :
a)
2
+
3

 1   2   2   1 
2
- 2 +  4  .  - 5  -  - 3  :  6  - (0,2)
       



b) − 0,12 + 1 

9
 3   2  1 
+  -  .   -  + (0,1) 3
4
 4   9  2 
EXPOENTE NEGATIVO
O sinal negativo no expoente de uma potência é uma espécie de instrução para que
a base seja invertida e o sinal do expoente
seja trocado . Em termos gerais , é necessário que a base de uma potência seja invertida
para que o sinal do expoente seja trocado sem
comprometer o resultado .
Exemplos :
2
a)  
3
−2
2
9
3
=  =
4
2
3
1
 1
b) (-2)-3 =  −  = −
8
 2
−4
1
c)  
4
2
4
4
=   = 256
1
1
5
d)   =  
5
1
−2
=
1
25
18) (U.F.MG) - Qual é o valor da expressão a seguir ?
10 −2 x [(-3) 2 - (-2) 3 ] :
3
- 0,001
1
1 1 3
19) (PUC-MG/2000) – Calcule o valor da expressão  +  :   + 0,999...
 5 3   5 15 
 5 1  2 1 
20) (PUC-MG/2000) – Calcule o valor da expressão  -  +  :
5 
 6 3 
21) ((PUC-MG/99) – Qual é a fração que representa o valor da soma
1,333... + 2,3222... ?
9
.
4
13
1 1
22) (PUC-MG/2000) – Calcule o valor da expressão  -  : (0,1) 2 .
 4 5
23) (U.F.LA – Lavras/99) - Calcule , na forma decimal , o valor da expressão
12
1

 (9.111,111) + (111,111) − 1,011 .
3 3
3

24) (Newton de Paiva /99) - calcule na forma fracionária o valor da expressão


1,333...



2

 
 1
4 
:
.2  
5 
1+ 1

 

2
 
25) Numa certa comunidade ,
-1
 27 -2 . ( 3 2,2 ) 3 
+ 

(31,3 ) 2


−1
.
1
3
das pessoas têm idade até 17 anos , das pessoas
10
5
têm idade de 18 a 30 anos e 267 pessoas tem idade superior a 30 anos . Quantas
pessoas tem a comunidade ?
26) Uma herança foi dividida entre três herdeiros de tal modo que o herdeiro A ficou com
2
2
da herança e recebeu R$ 600.000,00 , o herdeiro B ficou com
da
7
5
herança e o herdeiro C ficou com o restante da herança .
a) Qual é o valor total da herança ?
b) Quanto recebeu o herdeiro C ?
27) Um trabalhador sofre , em sua folha de pagamento , um desconto de
salário bruto pelo INSS ,
1
de seu
10
2
1
pelo seguro domiciliar que contratou e
pelo
9
5
imposto de renda retido na fonte . Se esse trabalhador chega a receber , de fato ,
R$ 1.720,00 , qual é o seu salário bruto ?
14
28) Um comerciante metido a esperto previamente aumentou em
1
o valor de uma
5
mercadoria fazendo-a valer R$ 144,00 e depois , anunciou um desconto , vendendo
tal mercadoria por R$ 132,00 .
a)Qual é o valor inicial da mercadoria ?
b)Qual foi o lucro sobre o valor inicial da mercadoria ?
ESSE
TAL
DE “POR CENTO” !
Quando se diz “O PNB do país cresceu 20% “ ,
é o mesmo que dizer que para cada 100 unidades
de produção que o país apresentava , cresceram
20 1
= = 0,2 . En20 unidades . Ou seja 20% =
100 5
tão , se o PNB anterior era x , seu crescimento
1
. x ou 0,2 . x .
posterior foi de
5
29) Se uma propriedade rural valia R$ 640.000,00 e sofreu depois uma desvalorização de 18% em dois anos , outra de 12% no ano seguinte e uma última de
15% nos dois anos seguintes , quanto a propriedade passou a valer então ?
30) Um investidor aplicou R$ 3.600,00 durante cinco meses obtendo um rendimento
de R$ 180,00 e , depois , aplicou o montante durante quatro meses , fazendoo crescer para R$ 4.158,00 . Qual foi a porcentagem mensal média de cada uma
das aplicações ?
31) Para reajustar um valor monetário x , multiplica-se esse valor por um fator de
reajuste i . Se um reajuste corresponde a 5% de 25% de 45% de x , determine , na notação decimal qual é , neste caso , o fator i com três casas decimais .
32) Uma poupança rende 2% ao mês de juros mais a correção monetária . Mensalmente , o valor depositado é , primeiramente , corrigido monetariamente e depois o
juro é incorporado ao valor corrigido . Para uma correção monetária de 2,5% em
um determinado mês , qual deverá ser , na forma decimal , o fator de correção ?
15
111 .2) Números Irracionais :
Todo número real que não pode ser escrito na forma fracionária é dito um
Irracional . Em geral , as raízes quadradas não exatas tais como
2 , 3 , 5 , etc
são irracionais . Mas existem números irracionais notáveis como o π , razão entre
o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro , número aproximadamente considerado igual a 3,14 , mas que possui infinitas ordens decimais sem um período como
as dízimas . Outro irracional famoso é o Número de Euler , representado pela letra
e , base dos logarítmos chamados de Neperianos , cujo valor aproximado é tomado
como 2,71 , muito usado em Física , Biologia , Astronomia , etc .
POTÊNCIAS E RAÍZES
→ Potências de mesma base :
a) am . an = am + n
am
b) am : an = n = am - n
a
→ Propriedades operatórias gerais :
a) ( am )n = am.n
b) (a . b)m = am . bm
m
am
a
c) ( a : b) =   = m
b
b
→ Expoente fracionário :
Para m e n inteiros vale a igualdade
m
m
n
a = a
→ Potência de expoente zero :
Se a ≠ 0 , tem-se a0 = 1 .
n
m
Exemplos :
1o) (3a2)3 . (2a3)4 = (33. a6) . (24.a12) = 27 . 16 . a6 . a12 = 432a 18 .
2
3
2
3
12
1 216 6
1  1  1  6 x
2o)  x 6  :  x 2  =   .   . 6 = .
x = 24x 6 .
9 1
3   6  3  1  x
o
3 ) 3.(27)
2
3
= 3 . 3 (27) 2 = 3 . 3 (33 ) 2 = 3 . 3 3 6 = 3 . 3 2 = 33 = 27
16
o
4 ) (32)
−
5
2
5
5
4
 1 2
 1 
 1   1   1 
=   =2   =2     =  
 36 
 36 
 36   36   36 
2
1
1
1
1
=
. =
.
36 1.296 6 7.776
Passaremos , a partir de agora , a estudar as operações com os numerais chamados de Radicais .
→ Forma de um radical : n a b , onde n ∈ N , n > 1 . O termo n é chamado
de índice do radical , ab é o radicando , sendo b o seu expoente .
Exemplo :
3
- índice : 3
9 → 
- radicando : 9
→ Simplificação de um radical : Consiste em fatorar o radicando e dividir , quando
possível , seu expoente e o índice do radical por um mesmo número inteiro . Se o
quociente da divisão do índice for 1 , o radical desaparece dando lugar a um
numeral sem radical , já que a potenciação e a radiciação são operações inversas .
Exemplos :
9 =
1o)
se
2
32 =
2
3 2 , dividindo-se por 2 o índice e o expoente do radical , tem-
32 = 3 .
2o) 23 8 = 23 2 3 , dividindo-se por 3 o índice e o expoente do radical , tem-se
23 2 3 = 2 . 2 = 4 .
3o)
4
1.296 =
4
2 4 . 3 4 , dividindo-se por 4 o índice e cada expoente apresentado
depois da fatoração do radicando , tem-se
4
2 4 . 34 = 2 . 3 = 6 .
4o) 53 54 = 53 2 . 33 , somente o 3 terá seu expoente simplificado com o índice e
sairá da raiz . Então , temos 53 2 . 33 = 5 . 3 . 3 2 = 153 2 .
17
5o) 3 400 = 3 2 4 . 5 2 , dividiremos expoentes e índice por 2 e teremos
3 400 = 3 2 4 . 5 2
= 3 . 2 2 . 5 . O radical desapareceu , pois todos os fatores
do radicando saíram do radical .
Exercícios Propostos :
33) Simplifique cada radical a seguir :
a)
b) 7 5 32
512
g) −
f) - 3 192
c) -2 3 81
54
1.024
2
d)
1
144
4
e) −
24
81
3
i) – 1,65 3 2.000.000
h) 0,02 10.000
34) Em cada caso a seguir , simplifique os radicais e efetue as operações indicadas :
a) 2 441 - 53 64
 1 81 

d)  − 4

3
16


b)
4
625 .
3
27 . 2
81
25
c)
2 256
3
512
−2
e) 2 121 - ( 3 1.000 ) 2 . (-3 324 ) + 55 32
→ Adição e subtração de radicais semelhantes : Dois radicais são semelhantes
se possuem o mesmo índice e o mesmo radicando . Por exemplo , os radicais
33 5 , - 53 5 e
23
5 são semelhantes . Para somar ou subtrair radicais ele devem
5
ser semelhantes e , neste caso , procede-se do seguinte modo :
a) Simplifique, se possível , os radicais para identificar aqueles que são
semelhantes;
b) Somar ou subtrair os fatores numéricos ligados aos radicais e repetir o radical .
Exemplos :
1o) 7 2 + 2 2 - 10 2 + 5 2 = (7 + 2 - 10 + 5) 2 = 4 2 .
2o)- 2 12 - 5 75 + 2 3 = − 2 2 2 . 3 - 5 3 . 5 2 + 2 3 = - 4 3 - 25 3 + 2 3 =
= (- 4 – 25 + 2) 3 = - 27 3 .
18
3o)
13
2
1
2
3 8

54 + 3 128 - 23 250 = 3 2 . 33 + 3 2 . 2 6 - 23 2 . 5 3 =  + − 10 3 2 =
4
5
4
5
4 5

153 3
 15 + 32 − 200 3
= 
2 .
 2 = 20
20


Exercício Proposto :
35) Efetue , em cada caso a seguir , cada operação indicada :
a) 6 5 - 11 20 +
45 + 3 125
b) − 3 2 + 33 54 + 53 432
c) 7 20 - 23 2000 +
180 - 33 250
d) 115 96 + 103 3 - 95 729 - 25 3
e) −
f)
1
2
28 - 4 63 +
252
8
3
2
1
3
98 +
50 +
200 7
5
10
8
g)
256 . 33 5 - 93 625 + 2 441 . 33 5
h)
33
1
1
2
64 .
27 + 4 16 .
75 - 2 3
4
2
5
3
i)
−
j)
− 1,02 432 - (0,555...) 48 +
1 6
128 - 0,026 2 + (0,333 ... )6 1458
10
1
50
2
→ Multiplicação e divisão de radicais :
Em ambas as operações , temos que considerar dois casos :
a) Os radicais têm o mesmo índice :
Neste caso , conserva-se o índice , multiplicando-se ou dividindo-se os radicandos .
19
Exemplos :
1o) (2 2 ) . (-3 8 ) = 2. (-3) 2 . 8 = - 6 16 = - 6 . 4 = - 24
2o) (−183 24 ) : (63 12 ) = (-18 : 6 )3 24 :12 = - 33 2
2
9
2/ 1 9/ 1
) . (7 4 ) = 3 . 7 4
.
= 214 1 = 21
9
2
9/ 1 2/ 1
3o) (3 4
4/ 2 3/ 1 3
2
43
 23 
4) 
56  : 
8 =
.
. 56 : 8 = 3 7
9/ 3 2/ 1
3
9
 3 
o
.
b) Os radicais têm índices diferentes :
Neste caso , basta reduzir os radicais ao menor índice comum entre eles , ou seja ,
o MMC entre os diferentes índices dados . Veja os exemplos a seguir .
1o)
( 24 ). ( 2 ) =
3
?
Como o MMC (2 , 3) = 6 , temos
=
( 24 ). ( 2 ) = (
3
6
) ( (2) ) =
(24) 6 : 2 .1 .
6
6 : 3 .1
( (24) ). ( (2) ) . Então recai-se no caso anterior . Observe que o MMC
3
6
6
2
dos índices dados , o 6 , é o novo índice de todos os radicais e o expoente de
cada radicando é o resultado de MMC : índice dado . expoente do radican-
do . Na seqüência temos
=
2o)
6
( (24) ). ( (2) ) =
3
6
2
6
6
(2 . 3) . 2
3
3
2
=
6
211. 33 =
2 6.2 5.33 = 26 2 5.33 = 26 32 . 27 = 26 864 .
( 80 ) : ( 4 ) = ?
4
Neste caso , os índices dos radicais são 4 e 2 e MMC(4 , 2) = 4 (novo índice) .
Então ,
( 80 ) : ( 4 ) =
4
4
80 :
4
(4) 2 =
4
80
=
16
4
5 .
20
Exercícios Propostos :
36) Efetue as operações indicadas em cada caso a seguir :
( )(
)(
a) 2 5 . - 3 2 . - 10
(
)(
c) 1205 200 : - 35 24
(
)(
(
)( )
e) 124 8 . - 23 2
)
2
 5
 3

b)  3 4  − 3 2  − 3 2 
5
 3
 4

(
)
2
d)  3 80 : - 93 10
9
)
)
3   5 
f)  3 5  .  5
5   3 
 2
 1

h)  −
12  :  5 2 
 7
 7

g) 36 4 3 : 9 3
37) Se m = − 34 3 , n = 2 9 e p = − 3 9 , calcule o valor de
39) Divida
3
3 12
.
.
2
5
5.
38) Calcule o produto
a2
por
b
6
m.n
.
p
a
.
b5
→ Potenciação de Radicais :
Para m e n inteiros , vale a seguinte igualdade .
( a)
m
n
=
n
am
Exemplos :
1o)
( x y)
3
3
2
=
3
(x 2 y ) 3 , simplificando o índice do radical e o expoente 3 do radi –
cando por 3 , temos :
2o)
(
)
5
3ab = (3ab) 5 =
( x y)
3
2
3
=
3
35 . a 5 . b 5 =
(x 2 y ) 3 = x 2 y .
3 4/ . 3 . a 4/ . a . b 4/ . b = 9a 2 b 2 3ab
2
2
2
21
→ Radiciação com radicais :
Para m e n inteiros , vale a seguinte igualdade .
m n
a =
mn
a
Exemplos :
1o)
2o)
3 5
x 31 =
15
x 31 =
256 =
16
15
x 30/ . x = x 2 15 x .
2
256 =
16
2 8 , simplificando o índice do radical e o expoente do
radicando por 8 , temos :
256 =
16
256 =
16
28 =
4
a 6 .a = 4 a 7
2 .
→ Introdução de fator no Radical :
Para n inteiro , vale a seguinte igualdade .
an b =
n
a nb
Exemplos :
1o) 23 6 =
3
2 3 .6 =
2o) a a a =
3
48
a2 .a a =
a3 a =
(a 3 ) 2 a =
→ A Racionalização de denominadores :
Dada uma fração em cujo denominador consta algum radical , chama-se racionali-
zação de denominador o processo através do qual os termos da fração são multiplicados por um mesmo fator com o objetivo de tornar o denominador racional .
O fator utilizado no processo chama-se fator racionalizante . Os principais casos
serão abordados a seguir .
22
a) 1o caso : O denominador é constituído de uma raiz quadrada :
Neste caso , o fator racionalizante é o próprio radical do denominador .
Exemplos :
1o) Racionalizar a fração
10
5
O fator racionalizante é
temos :
10 .
5
5 .
5
=
.
5 . Multiplicando-se os termos da fração por
10/ 2 5
= 2 5 .
5/ 1
2o) Racionalize o denominador de
Sendo
5 ,
a2b
2 ab
.
a 2 b . ab
ab o fator racionalizante , temos
2 ab . ab
=
a 2 b ab
2 (ab) 2
=
a ab
.
2b
b) 2o caso : O denominador é constituído de uma raiz não quadrada :
Neste caso , o fator racionalizante é um radical com o mesmo índice do denominador dado , mas o expoente do seu radicando será a diferença positiva entre o índice dado e o expoente do radicando dado .
Exemplos :
12
1o) Racionalizar o denominador da fração
O fator racionalizante será
4
Com o fator racionalizante
4
4 3 e teremos
2o) Racionalizar o denominador de
3
4
ab 2
33 ab
.
12
4
4
=
12 .
4
4 .
4
4
43
4
3
=
12 4 64
4
4
4
= 34 64 .
.
ab 2
ab 2 . 3 (ab) 2
b3 a 2 b 2
(ab) , temos 3
=
=
.
3
3 ab
33 ab . 3 (ab) 2
2
23
3o caso : O denominador apresenta soma ou diferença envolvendo raiz quadrada :
Um resultado algébrico importante para esse caso é (a + b)(a – b) = a2 – b2 , que será
visto com detalhes mais futuramente . Como , neste caso , o denominador é uma soma
ou diferença envolvendo radical , o fator racionalizante será o conjugado do denominador , ou seja , se o denominador for a + b , então o fator racionalizante será a – b .
Exemplos :
1o) Racionalizar
4
.
3 +1
3 + 1 , o fator racionalizante será
Como o denominador é
4
3 +1
=
4( 3 - 1)
( 3 + 1)( 3 - 1)
2o) Racionalize
2a
5- 5
=
4( 3 - 1)
( 3 ) 2 - 12
=
3 - 1 e teremos :
4/ 2 ( 3 - 1)
= 2( 3 - 1) .
2/ 1
.
Então 5 + 5 será o fator racionalizante e teremos :
2a
5- 5
=
2a(5 + 5 )
(5 − 5 )(5 + 5 )
=
2a(5 + 5 )
52 - ( 5) 2
=
2/ 1 a(5 + 5 ) a(5 + 5 )
.
=
20/ 10
10
Exercícios Propostos :
40) Efetue cada uma das operações abaixo indicadas , simplificando ao máximo os
resultados obtidos :
2

a)  3 3 
3

e)
3
x2
y4
6
 a

b)  −
2a 
 2

f)
13
2
3
a6
b9
3

x 
c)  x 4 2 
y 

g)
23 210
2
3 2
d)  5 
2 3
h)
13
2
3
1
2
10
24
41) Racionalize :
3a
a)
b)
3
g)
2e
21
2 7
h) −
5
3 e
42) Calcule a soma
43) Se m =
3
2 2 +1
35
2 5
2 3
12
3 3
+
2
e n=
j)
7 -2
2
+
d)
xy
i)
3
1
xy 2
c)
2- 2
3
+
4 3
12
e)
5 6
3a
5 3
f)
3 2a
k)
10 + 97
4
2a
3
6
l)
2 2 -2
8
4
5 2
2 2
5 - 23
.
, calcule o valor de m – n .
44) Sabendo que a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) , racionalize o denominador da fração
1
3
3 -1
.
45) Qual é a forma mais simples de se escrever o número n =
2
?
23 2
2
(2+ 2 )
1- 2
46) Qual é a forma mais simples de se escrever o número n =
?
3+ 2 2 - 2 8
3
2
47) Qual é o resultado de 3 - 9
5
2
+ 27
-
1
2
+ ( 3)
3
2
?
Exercícios Complementares :
1) ( U. Mackenzie/ SP) - Calcule o valor de
0,2 . 0,7 - 4 . 0,01
?
0,5 . 0,2
2) (PUC – SP) - Escreva em forma de fração o número 0,4999...
1 1
+
5
3 .
3) (CESGRANRIO – RJ) – Calcule o valor da expressão 0,999... +
3 1
5 15
25
4) (CESGRANRIO – RJ) - Escreva em ordem crescente os números p , q e r a
seguir : p =
13
2
5
, q= e r= .
24
3
6
5) (CESGRANRIO – RJ) – Qual é a representação decimal de 0,013 ?
6) (PUC – SP) - Marque , dentre as alternativas a seguir , aquela que completa corretamente a frase “ Um número racional qualquer ... “
(a) tem sempre um número finito de ordens (casas) decimais .
(b) tem sempre um número infinito de ordens (casas) decimais .
(c) não pode expressar-se na forma decimal exata.
(d) nunca se expressa na forma de um decimal inexato.
(e) nenhuma das frases anteriores completa corretamente a frase dada .
7) (PUC – SP) - Sabe-se que o produto de dois números irracionais pode ser um número racional . Qual das alternativas a seguir exemplifica o exposto ?
(a)
12 .
3 =
(b)
4 .
9 = 6
(c)
3 .1=
3
(d)
2 .2 =
8
(e)
2 .
3 =
36
6
8) (F.G.V. – SP) - Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y , pode-se dizer
que
(a) x . y é irracional .
(b) y . y é irracional .
(c) x + y é racional .
(d) x - y +
2 é irracional .
(e) x + 2y é irracional .
26
9) (FUVEST – SP) - Assinale a alternativa correta :
2
<
2
3
(b) 0,5999... <
< 0,5999... <
2
3
(d)
(a) 0,5999... <
(c)
(e)
2
5 +1
2
<
3
5 +1
2
2
5 +1
<
2
5 +1
2
3
< 0,5999...
5 +1
10) Simplifique completamente a expressão abaixo :
2  1 2 
0,1333... +
3  3 3 
4
1
256
2 + 2
y =
**********************************************************************
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
Exercícios Propostos :
1) a) 41,53
b) 10,46
c) 11,135
d) 7,104
2) a) 6,32
b) 4,82
c) 42
d) 3,37
3) a) 8,854
b) 0,3107 c) 4,9387
d) 38,04
4) R$ 13,22
5) R$ 83,22
6) 48 pedaços
7) 1,6 m e 25 pedaços
8) 3 pontos , π em π radianos
9) a) 100 pacotes de R$ 2,55 cada
b) R$ 73,50
10) 570 habitantes
11) a) 1,75
12) a)
8
25
b) – 1, 666... c) 2,4
b)
301
100
c) −
d) 0,375
7
500
d)
e) – 0,5666...
1
8
e) −
101
20
f) 1,6
f)
g) 2,111...
94
90
27
2
7
13) a)
14) a) −
1
4
c) −
5
9
d)
7
13
e)
b)
19
3
c) −
1
2
d)
403
99
e) −
b)
4
35
c) –27
d)
1
2
e)
6
25
c)
b) −
83
24
15) a) –3
16) a)
1
200
b)
17) a)
379
150
b) −
18) -
17
10
1.875
128
d) −
3.857
3.000
19) 2
20)
3
10
21)
329
90
22) 5
23)
20.367
ou 2.036,7
10
24)
871
75
25) 890 pessoas
26) a) R$ 2.100.000,00
b) R$ 660.000,00
27) R$ 3.600,00
28) a) R$ 120,00
b) R$ 12,00
29) R$ 392.550,40
30) 1% ao mês e 2,5% ao mês
31) i = 1,903
32) 1,04455
279
2
1
4
f) −
1
5
365
99
4
91
f) 320
g)
4
5
28
33) a) 16 2
g) − 104 4
34) a) 22
b) 14
c) − 63 3
h)2
i) − 1.6503 2
b) 54
c) 4
g) 1293 5
f) 4 2
e) 5.432
e) −
d) 103 3 - 75 3
23 3
6
h)
f) − 43 3
e)-2
d) 4
c) 20 5 - 353 2
b) 383 2
35) a) 2 5
d) 3
i)
33 7
4
496 2 - 10
50
− 6.508 3 + 1.125 2
450
j)
36) a) 60
g) 44
b)
1
9
2
c) − 405
h) − 2 10
12 5
4
3
25
3
d) −
4
81
e) − 4812 2
f) − 3.125
37) 612 2.187
1
2
38) 6
39)
ab
40) a)
64
81
b) −
a 4 2a
4
g) 27 64
41) a) a 3
g)
l)
25 e 4
3
h)
b)
x
y2
3
d)  
2
8
e)
3
x
y2
f)
3
a2
2b
1
1.024
3 7
2
h) −
2 (5 - 23 )
18
c) x 2
73 25
2
c) y xy
d)
i) 4( 7 - 2)
2 6
5
3
e)
4a 2
3
j) a (10 + 97 )
f)
44 8
5
k) 3( 2 - 1)
29
42)
163 3
180
2 + 17
7
43) −
9 + 3 3 +1
2
3
44)
6
45)
2
2
46) -1
3 (1 + 9 4 3 )
9
47)
Exercícios Complementares :
1) 1
2)
1
2
3) 2
4) p < q < r
5) 0,000001
6) e
7) a
8) a
9) b
10)
512 (2 - 2 )
729