X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
NÚMEROS REAIS E HISTÓRIA DA MATEMÁTICA:
UMA DISCUSSÃO ACERCA DE ABORDAGENS NOS LIVROS DIDÁTICOS
Regina Célia Guapo Pasquini
Universidade Estadual de Londrina
[email protected]
Ana Carolina Costa Pereira
Universidade Estadual do Ceará
[email protected]
Resumo: A partir da análise de livros didáticos, que marcaram diferentes momentos em
relação às reformas curriculares de ensino, abordaremos o modo como o conceito de
número irracional e, conseqüentemente, o conjunto dos números reais é constituído.
Discutiremos questões relacionadas ao ensino de conteúdos envolvidos e finalizaremos
com um olhar sob a forma como os números reais se apresentam na História da
Matemática.
Palavras-chave: Números Reais; Livros Didáticos; História da Matemática.
Números Reais e Formação de Professores
Vários pesquisadores têm trabalhado com problemas relacionados ao ensino e
aprendizagem dos números reais, quer sejam, sobre a concepção de alunos ou professores
sobre o conceito de número reais, reforçando que esse tema é de fundamental importância
para a construção de relações numéricas estabelecida por eles. (SOARES et al, 1998;
COBIANCHI, 2002; MOREIRA, 2005; FISCHBEIN, 1995; IGLIORI, 2003; MELO,
1999; e OUTROS).
No que se refere ao conjunto dos números reais no que tange aos números
racionais, diversas questões são apresentadas, como por exemplo, a forma como os
números reais são constituídos a partir dos racionais. Entretanto, um grande número delas
exaltam a importância e, ao mesmo tempo, a dificuldade no trabalho com os números
irracionais, principalmente no que se refere ao enfoque geométrico para que assim, esse
conjunto possa ser ampliado para o conjunto dos números reais.
Essa situação é reafirmada quando estudos relatam que alunos e professores têm
uma visível dificuldade de entender e diferenciar números racionais ou irracionais
(COBIANCHI, 2001). Podemos referenciar a importância de tal situação já que nos
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Parâmetro Curriculares Nacionais – PCN (1998) existe uma preocupação em reverter o
estudo dos números irracionais, que tem se limitado quase que exclusivamente ao ensino
do cálculo com radicais.
Ainda hoje, em geral, a abordagem que se dá no ensino dos números irracionais
resume-se a um conjunto de técnicas de resolução. Miguel (1994) afirma que:
Tradicionalmente as passagens dos livros didáticos para a escola
secundária referente a eles (os irracionais) reduzem-se invariavelmente a
um amontoado de regras de operar com radicais que acabam por
constituir-se, aos olhos dos estudantes, em conhecimentos pouco úteis,
pouco desafiadores e desligados dos demais temas presentes nos
programas de Matemática (...) contrastando com a elevada dosagem de
imaginação, sutileza e ousadia que impregnaram sua produção histórica
(MIGUEL, 1994, 55).
Na história da matemática os números irracionais percorrem um caminho bastante
longo. Podemos começar com os gregos na busca de encontrar solução para o problema da
incomensurabilidade, quando foi destruído todo ideal pitagórico que reduzia tudo a
número, causando a primeira crise dos fundamentos matemáticos. Esse problema não foi
resolvido antes da Teoria das Proporções de Eudoxo (408 a.C. - 355 a.C.), em que se
utilizam apenas argumentos geométricos, colocando a geometria como o centro do
conhecimento matemático. Somente no século XIX, como parte do Movimento da
aritmetização da Análise, foi que matemáticos, como os alemães Dedekind (1831-1916) e
Cantor (1845-1918) formalizaram o conceito de número real estabelecendo de fato uma
definição para o conjunto independente da geometria.
O sistema de números reais é um assunto presente na formação do estudante, seja
no Ensino Fundamental, Médio ou Superior. Muitos professores e Livros Didáticos
apresentam uma definição para o mesmo como a união dos conjuntos dos números
racionais com os irracionais, e outros como a união dos conjuntos dos naturais, inteiros,
racionais e irracionais. Fischbein et al (1995) diz que “os números irracionais são uma
parte do sistema e sem eles o conceito de números reais está incompleto. Basta
negligenciar os números irracionais e o sistema inteiro desmancha-se”.1
Dessa forma, acreditamos que conceito de número irracional é um assunto ainda
muito confuso para estudantes e que o mesmo é intuitivamente difícil, principalmente se
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Tradução nossa.
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for excluída da aprendizagem a relação entre os números irracionais e a
incomensurabilidade. Daí a importância de lidarmos com estas e outras questões que se
relacionam com esse tema.
Grande parte dos livros utilizados em cursos para formação de professores de
Matemática aqui no Brasil não tratam especificamente da construção dos números reais,
restringindo-se a apresentar esse conjunto como um Corpo Ordenado Completo. Em
concordância com os resultados das pesquisas citadas acima, pode-se afirmar que, para o
futuro professor de Matemática, esse tipo de tratamento é considerado insuficiente, ou seja,
a discussão da idéia de Número Real é fundamental para a formação de um professor de
Matemática. O que se percebe é que o tratamento dado pela maioria tem, no mínimo,
furtado dos estudantes o sabor de conhecer relações, justamente num assunto que é
inspiração para grande parte da Matemática.
O livro didático tem sido um dos materiais pedagógicos mais utilizado pelos
professores em suas salas de aula. Diversas razões justificam: o espaço físico oferecido
pelas escolas - carência de local apropriado para estudos; a ausência de materiais
adequados para pesquisa; as condições de trabalho a que os professores se submetem em
função da rotina de trabalho e uma vida de improvisações, rotina e limitações; a imposição
dos programas; e ainda, as editoras com suas estratégias de marketing, influenciando os
professores na escolha dos livros didáticos a serem adotados. Dessa forma, o livro didático
converteu-se numa das poucas formas de documentação e consulta empregada não
somente por professores, mas também por alunos.
Nossa experiência nos mostra que em cursos destinados à formação de professores,
de forma inicial e continuada, assuntos como avaliação de livros didáticos, os fundamentos
da Matemática, formação e evolução de conceitos, são raramente considerados. Como
resultado disso, resulta-nos, professores com formação sem uma base teórica capaz de
oferecer condições que o auxilie na escolha de livros, com espírito crítico e interpretativo.
Para tentar mudar este quadro e contribuir para melhoria do ensino de Matemática,
deve haver um atilamento por parte dos professores que o livro didático é apenas um
complemento de seu trabalho em sala de aula, passando a analisar e perceber, com mais
argúcia, as impropriedades que possam estar presentes nos livros em circulação no país.
Como apresentado nos parágrafos anteriores, a escolha deste conteúdo - números
reais – decorre da ênfase das atuais pesquisas em Educação Matemática mais precisamente
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referentes ao ensino aprendizagem do mesmo. Com maior força as que dizem respeito às
noções de incomensurabilidade, densidade, continuidade, classificação, representação,
aproximação, racionalidade, infinito e enumerabilidade.
Desenvolvimento das atividades
A problemática presente no tratamento dos números reais, bem como, a discussão
de questões concernentes ao seu ensino vem ao encontro da análise de livros didáticos de
Matemática. Serve de pano de fundo para que possam ser geradas discussões acerca do
ensino de números reais. Para isso, são apresentadas abaixo as intenções quanto ao
desenvolvimento das atividades no decorrer do mini-curso.
Num primeiro momento, dividiremos os participantes em grupos para em seguida
sejam disponibilizados os livros didáticos selecionados para uma análise do conteúdo
proposto buscando por responder a algumas questões apresentadas inicialmente pelos
ministrantes. Os livros didáticos utilizados no mini-curso foram escolhidos de diferentes
épocas que marcaram momentos distintos das reformas curriculares. Questões serão
apresentadas com o objetivo de direcionar a análise.
Em seguida, os participantes deverão discutir nos seus grupos e apresentar o
resultado da análise e suas concepções sob o estudo. Uma discussão maior com todo grupo
será conduzida de modo a ressaltar a forma como o conteúdo é apresentado nos diferentes
livros, remetendo sempre que possível às condições como o mesmo se encontra
atualmente.
Finalmente, concebendo como uma contribuição para a formação do professor de
Matemática apresentaremos uma breve exposição no diz respeito aos números reais na
História da Matemática, desde o surgimento do problema da incomensurabilidade, ou seja,
dos primórdios ao então conhecido como movimento da aritmetização da Análise no
século XIX.
Referências
BRASIL. MEC. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais
– Matemática (5ª a 8ª série). Brasília. MEC/SEF, 1998.
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COBIANCHI, A. S. Estudos de Continuidade e Números Reais: Matemática, Descobertas
e Justificativas de Professores. Dissertação (Mestrado). Rio Claro – SP, UNESP, 2001.
FISCHBEIN, E; JEHIAM, R; COHEN, D. The Concept of Irrational Numbers in HighSchool Students and Prospective Teachers. Educational Studies in Mathematics, vol. 29,
pp. 29-44, 1995.
IGLIORI , S. B. e SILVA, B. A. , Concepções dos alunos sobre números reais. In:
Educação Matemática: a prática educativa sob o olhar de professores de Cálculo, Jonas
Lachini e João Bosco Laudares (org.). Belo Horizonte: FUMARC, 2001, pp 68-88.
MELO, S. B. A compreensão do conceito de números irracionais e sua história: Um
estudo junto a alunos dos cursos de ciências exatas. In: Revista Symposium, UNICAP –
PE, ano 3, nº 1, 1999, pp. 27-36.
MIGUEL, A.; MIORIM, M.A. História na Educação Matemática: Propostas e desafios.
Belo Horizonte: Autêntica, 2004.
MOREIRA, P. C; DAVID, M.M.M.S. Números racionais: Conhecimentos da Formação
Inicial e Prática Docente na Escola Básica. In. Boletim de Educação Matemática
(BOLEMA), UNESP –RC, ano 17, nº 21, 2004, pp.1-19;
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