A Distribuição Skew-Normal
Aplicada ao Seguro Agrícola
Caroline Oliveira Santos
DEX/UFLA e DEMAT/UFSJ
João Domingos Scalon - DEX/UFLA
Vitor Augusto Ozaki – ESALQ/USP
27/11/2012
1
Sumário
Introdução
Dados de produtividade
Modelos de produtividade
Cálculo do pagamento esperado
Resultados
Referências
Agradecimentos
2
Introdução
• Ozaki (2006) afirma que o seguro é uma das formas mais eficazes de se
transferir o risco dos produtores para outros agentes econômicos.
• Tarifas precisas
• Prêmios de seguro
• A seguradora
3
Introdução
Peculiaridades
• Falta de dados;
• Deficiência de normatização e/ou agência normatizadora;
• Difícil precificação;
• Elevada exposição às catástrofes;
• Alto custo de fiscalização e peritagem.
• Prêmios elevados;
– Desinteressante para a iniciativa privada.
4
Introdução
Atualmente
• Estimador
– a produtividade agrícola média municipal dos últimos quatro ou cinco anos.
• Distorções
– Previsão das taxas de prêmio;
• Seleção adversa ;
• Risco moral.
– Pagamentos esperados do seguro.
Ozaki (2005, p. 214) destaca que os métodos comumente
empregados no cálculo da taxa de prêmio não levam em conta a incerteza
relacionada ao cálculo da taxa, ou seja, “a forma da distribuição de
probabilidade da variável aleatória representada pela produtividade
agrícola”.
5
Introdução
• Atwood et al. (2002, 2003); Carriquiry et al. (2008); Just e Weninger (1999);
Lawas (2005); Sherrick et al. (2004), ...
– A modelagem da produtividade agrícola por distribuições de probabilidade é uma
metodologia mais adequada para este propósito.
• Uso de diferentes modelos.
– Diferenças economicamente significativas.
• Estimativa do pagamento esperado.
• Modelo mais adequado.
6
Introdução
Distribuições de probabilidade
• Paramétricas (Sherrick et al., 2004; Lawas, 2005, ...);
– Não requer uma série de dados muito longa.
• Beta, Logística, Log-normal, Normal, Skew-normal, Weibull, ...
• Métodos não-paramétricos (Ozaki; Goodwin e Shirota, 2008; Turvey e
Zhao, 1999);
– Mais flexíveis para descrever diferentes formas de densidades;
– Não são aplicáveis quando há limitação de dados.
7
Introdução
Objetivo
• Distribuição skew-normal X distribuição normal
– Skew-normal (O’Hagan e Leonard, 1976; Oliveira, 2009)
– Normal (Mood, Graybill e Boes, 1974; Sherrick et al., 2004)
8
Dados de produtividade
Dados
• Trinta municípios do estado do Paraná
– As maiores produtividades de milho, no ano de 2007;
– Mínimo de 18 anos de observação;
– Período de safras de 1980/1981 a 2006/2007.
• Rendimento médio da produção da lavoura de milho (em grão)
– Unidade: quilogramas por hectare (kg/ha) (1 ha = 10.000 m2)
• Secretaria de Agricultura e Abastecimento do Paraná – SEAB
– 1981 a 1989
• Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE
– 1990 a 2007
9
Dados de produtividade
Municípios
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Mariópolis
Ibema
Catanduvas
Pato Branco
Castro
Piraí do Sul
Ponta Grossa
Tibagi
Vitorino
Arapoti
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Jaguariaíva
Guaraniaçu
Clevelândia
Céu Azul
São João
Sengés
Renascença
Marilândia do Sul
Ipiranga
Campo do Tenente
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Nova Prata do Iguaçu
Florestópolis
Mangueirinha
Verê
Palmeira
Campo Bonito
Balsa Nova
Laranjeiras do Sul
Pranchita
Guarapuava
10
Dados de produtividade
Características das séries
• Tendência
– Avanço das tecnologias utilizadas nas lavouras, como técnicas de plantio,
maquinário, insumos, etc.
• Dependência temporal e variância não constante
• Não é possível ajustar distribuições de probabilidade diretamente aos
dados
• Técnicas estatísticas
– Dados de produtividade sem tendência, independentes e homocedásticos.
11
Dados de produtividade
Tendência
• Teste de Phillips-Perron (Phillips e Perron, 1988) (não-paramétrico)
• Discrimina entre a raiz unitária não estacionária e acerca de uma tendência
determinística estacionária.
• Rejeitou a hipótese de estacionaridade (p > 0,05) para dezesseis das trinta
séries analisadas.
•
•
•
•
Para contornar o problema de tendência
Regressão linear simples;
Passeio aleatório;
Processos auto-regressivos de ordem 1 [AR(1)].
– Teste de Phillips-Perron aceitou a hipótese de estacionaridade (p < 0,05) para
todas as séries.
12
Dados de produtividade
Dependência
• Teste de Durbin-Watson (Durbin e Watson, 1950, 1951);
– Com exceção dos municípios de Castro, Mangueirinha e Guarapuava, os demais
apresentaram séries com dados independentes (p > 0,05).
• Gráfico da função de autocorrelação (LAGES, 2004, p. 5).
– Os autocorrelogramas mostraram que as cidades Piraí do Sul, Tibagi,
Jaguariaíva, Sengés, Campo do Tenente e Verê apresentaram problemas de
dependência.
• Foi usado um modelo AR(1).
• Nova análise de autocorrelação
– As séries foram consideradas como não-autocorrelacionadas.
13
Dados de produtividade
Heterocedasticidade
• Teste de Breusch-Pagan (Breusch e Pagan, 1979)
– Séries de produtividade homocedásticas (p > 0,05),
– Com exceção dos municípios de Arapoti e São João
• Detectada a presença de uma heterocedasticidade leve,
• Não foram realizadas transformações.
14
Modelos de produtividade
Distribuições de probabilidade
• Série de produtividade
– Estacionária,
– Independente,
– Homocedástica.
• Ajuste de distribuições
– Normal,
– Skew-normal.
15
Modelos de produtividade
Família de distribuições de probabilidade normal
• Parâmetros (estimadores de máxima verossimilhança)
– Média populacional (μ)
– Variância (σ2)
• Função densidade de probabilidade
sendo
• Cálculo de probabilidades
– Integral definida no intervalo da variável aleatória objeto de estudo,
– Métodos numéricos de integração.
16
Modelos de produtividade
Família de distribuições de probabilidade skew-normal
• Parâmetros (estimadores de máxima verossimilhança)
– Média populacional (μ)
– Desvio-padrão (σ)
– Assimetria (α)
• Função densidade de probabilidade
em que
•
é a função densidade do modelo normal,
•
é a função de distribuição da normal.
• Cálculo de probabilidades – Métodos numéricos
17
Modelos de produtividade
Adequabilidade do ajuste
• Teste de Kolmogorov-Smirnov (Mood; Graybill; Boes, 1974)
– Investiga a significância da diferença entre a função distribuição empírica
observada e a função distribuição de referência.
• Modelo mais adequado
– Menor soma de quadrados do erro calculada a partir de cada um dos modelos
ajustados para cada uma das séries corrigidas.
18
Cálculo do pagamento esperado
Pagamento esperado por unidade de área do seguro agrícola
• Actual Production History (APH) (cálculo da produção histórica real)
(Ozaki,2005; Sherrick et al.,2004)
– União entre as funções densidade de probabilidade e a fórmula que estima o
valor do pagamento esperado do seguro.
• Pagamento de indenização
– Quando a produtividade real, fica abaixo da produtividade garantida (nível
garantido selecionado 70%, por exemplo)
• Indenização
– Diferença entre a produtividade garantida e a produtividade real com um preço
garantido que é definido no momento do plantio pela seguradora.
19
Cálculo do pagamento esperado
• A produtividade garantida que ficar abaixo do nível de produtividade
esperado tem uma função de pagamento por unidade de área dada por
• Pagamento esperado por unidade de área, para o APH
20
Resultados
MARIÓPOLIS
PATO BRANCO
1000
2000
-1000
-500
0
500
1000
1500
1000
1500
4e-04
3e-04
2e-04
2000
-3000
0
500
1000
Produtividade corrigida
1500
2000
0
TIBAGI
1000
2000
500
1000
6e-04
Densidade
4e-04
5e-04
-500
-1000
PONTA GROSSA
2e-04
2e-04
-1000
-2000
Produtividade corrigida
0e+00
0e+00 1e-04
2e-04
0e+00
500
1000
3e-04
Densidade
6e-04
4e-04
Densidade
0
Produtividade corrigida
0
Produtividade corrigida
6e-04
8e-04
6e-04
5e-04
4e-04
3e-04
2e-04
-500
-1000
PIRAÍ DO SUL
0e+00 1e-04
-1000
Densidade
-2000
Produtividade corrigida
CASTRO
-1500
0e+00
0e+00
-1500
Produtividade corrigida
4e-04
0
1e-04
2e-04
1e-04
2e-04
0e+00 1e-04
-1000
3e-04
Densidade
4e-04
3e-04
Densidade
4e-04
5e-04
5e-04
6e-04
5e-04
4e-04
3e-04
Densidade
2e-04
1e-04
0e+00
-2000
Densidade
CATANDUVAS
6e-04
IBEMA
-1500
-1000
-500
0
500
Produtividade corrigida
1000
1500
-1500
-1000
-500
0
Produtividade corrigida
Figura 1 Distribuições normal (___) e normal-assimétrica (_ _ _) ajustadas
para produtividade de milho corrigida nos municípios do Paraná, 19812007 (continua)
21
Resultados
GUARANIAÇU
-1000
0
1000
2000
3000
5e-04
-2000
-1000
0
1000
2000
6e-04
2e-04
0e+00
1e-04
0e+00
-3000
4e-04
Densidade
3e-04
Densidade
3e-04
Densidade
2e-04
1e-04
0e+00
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
-1000
0
1000
Produtividade corrigida
Produtividade corrigida
Produtividade corrigida
Produtividade corrigida
CÉU AZUL
SÃO JOÃO
SENGÉS
RENASCENÇA
2000
-1000
0
Produtividade corrigida
1000
2000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
Produtividade corrigida
1000
2000
4e-04
3e-04
Densidade
1e-04
0e+00
0e+00
1e-04
1e-04
0e+00
0e+00
-2000
2e-04
5e-04
4e-04
3e-04
Densidade
2e-04
2e-04
Densidade
2e-04
1e-04
Densidade
3e-04
3e-04
4e-04
6e-04
-2000
2e-04
4e-04
4e-04
5e-04
0.00030
0.00020
Densidade
0.00010
0.00000
-3000
CLEVELÂNDIA
8e-04
ARAPOTI
6e-04
VITORINO
-1000
-500
0
500
1000
1500
Produtividade corrigida
2000
2500
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
Produtividade corrigida
Figura 1 Distribuições normal (___) e normal-assimétrica (_ _ _) ajustadas
para produtividade de milho corrigida nos municípios do Paraná, 19812007 (continua)
22
Resultados
MARILÂNDIA DO SUL
0
500
1000
1500
5e-04
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
-1000
0
1000
2000
Produtividade corrigida
FLORESTÓPOLIS
MANGUEIRINHA
VERÊ
PALMEIRA
1000
2000
3000
Densidade
3e-04
Densidade
2e-04
-1500
-1000
-500
0
500
Produtividade corrigida
1000
1500
4000
1000
1500
0e+00
0e+00
0e+00
1e-04
2e-04
4e-04
Densidade
4e-04
6e-04
0.00030
0.00020
0
Produtividade corrigida
3000
2e-04 3e-04 4e-04 5e-04 6e-04 7e-04
Produtividade corrigida
5e-04
Produtividade corrigida
0.00010
-1000
3e-04
Densidade
1e-04
-1000
Produtividade corrigida
0.00000
-2000
2e-04
4e-04
2000
0e+00
0e+00
-500
0e+00
1e-04
2e-04
2e-04
3e-04
Densidade
Densidade
4e-04
4e-04
6e-04
5e-04
5e-04
4e-04
3e-04
Densidade
2e-04
1e-04
0e+00
-1000
Densidade
NOVA PRATA DO IGUAÇU
CAMPO DO TENENTE
6e-04
IPIRANGA
-3000
-2000
-1000
0
1000
Produtividade corrigida
2000
3000
-1000
-500
0
500
Produtividade corrigida
Figura 1 Distribuições normal (___) e normal-assimétrica (_ _ _) ajustadas
para produtividade de milho corrigida nos municípios do Paraná, 19812007 (continua)
23
Resultados
CAMPO BONITO
BALSA NOVA
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
4e-04
0e+00
0e+00
2e-04
2e-04
Densidade
4e-04
Densidade
6e-04
6e-04
8e-04
8e-04
1e-03
8e-04
6e-04
4e-04
0e+00
2e-04
Densidade
LARANJEIRAS DO SUL
-1000
Produtividade corrigida
0
1000
2000
3000
Produtividade corrigida
Produtividade corrigida
GUARAPUAVA
4e-04
Densidade
2e-04
4e-04
0e+00
2e-04
0e+00
Densidade
6e-04
6e-04
8e-04
PRANCHITA
-2000
-1000
0
1000
Produtividade corrigida
2000
-1000
-500
0
500
1000
1500
Produtividade corrigida
Figura 1 Distribuições normal (___) e normal-assimétrica (_ _ _) ajustadas
para produtividade de milho corrigida nos municípios do Paraná, 19812007 (conclusão)
24
Resultados
Tabela 1 Valores das somas dos quadrados dos erros para as distribuições normal e normal-assimétrica ajustadas para as séries corrigidas dos
municípios do Paraná.
Município
Normal
Normal-assimétrica
Mariópolis
21864284
21864278
Ibema
7446391
7446387
Catanduvas
17111482
17111476
Pato Branco
25778779
25778775
Castro
7999119
7999114
Piraí do Sul
10798113
10798108
Ponta Grossa
11952740
-Tibagi
8728477
8728473
Vitorino
29674761
29674757
Arapoti
19266160
19266155
Jaguariaíva
ks
-Guaraniaçu
29613430
29613424
Clevelândia
13860732
13860729
Céu Azul
27501327
-São João
27248751
27248748
Sengés
18469095
18469090
Renascença
28301750
28301744
Marilândia do S.
12325812
12325809
Ipiranga
9847609
9847602
Campo do Tenente
12814034
12814028
Nova Prata do Iguaçu
22291792
-Florestópolis
34581821
34581814
Mangueirinha
10595520
10595515
Verê
23673437
23673434
Palmeira
9493398
9493392
Campo Bonito
10290144
10290142
Balsa Nova
7033049
7033044
Laranjeiras do S.
13740905
-Pranchita
14685681
14685677
Guarapuava
5956707
5956702
(--) Não houve convergência do estimador de máxima verossimilhança da normal-assimétrica.
(ks) Teste de Kolmogorov-Smirnov não apresentou ajuste estatisticamente significante, ao nível de 10%.
25
Resultados
• A densidade skew-normal apresentou as menores somas de quadrados
dos erros para todas as distribuições de produtividade dos municípios em
que foi possível ajustar a densidade.
• Pode-se concluir que a normal-assimétrica foi a distribuição com melhor
ajuste para todas as séries em que foi possível o ajuste das duas
distribuições analisadas.
26
Resultados
• A tabela 2 mostra os valores estimados (em R$/ha) para o pagamento
esperado do seguro agrícola para cada um dos municípios selecionados do
Paraná com base no APH.
• Para obter os valores estimados foi usado o indicador Cepea/Esalq – Milho
(31-01-2011) com um preço do milho de R$ 32,11 por saca de 60
quilogramas para ilustrar os cálculos e simular o preço do milho previsto
em contrato.
27
Resultados
Tabela 2 Pagamento esperado (em Reais por hectare) por unidade de área da cultura de milho para cidades do Paraná, cobertura de 70%,
1981-2007
Município
Normal
Normal-assimétrica
Mariópolis
10,70493
12,07344
Ibema
0,1985859
0,1978225
Catanduvas
14,45295
16,61428
Pato Branco
2,809048
2,917147
Castro
0,7567108
0,7932405
Piraí do Sul
54,65214
40,44970
Ponta Grossa
1,410876
-Tibagi
5,540277
5,27399
Vitorino
0,5070298
0,4216994
Arapoti
11,41671
12,72312
Jaguariaíva
ks
-Guaraniaçu
17,49157
15,47649
Clevelândia
1,802261
1,167653
Céu Azul
6,783582
-São João
3,606921
3,934251
Sengés
68,44152
63,05922
Renascença
1,028588
0,7941647
Marilândia do S.
0,01902890
0,01532165
Ipiranga
15,57037
18,882
Campo do Tenente
23,80958
14,3778
Nova Prata do Iguaçu
18,31154
-Florestópolis
66,65323
77,0081
Mangueirinha
1,825512
1,947399
Verê
0,01780649
0,01551144
Palmeira
2,646129
1,982869
Campo Bonito
2,487175
1,893065
Balsa Nova
34,2689
27,84263
Laranjeiras do S.
18,24871
-Pranchita
0,01203237
0,01201180
Guarapuava
4,559823
4,075864
(--) Não houve convergência do estimador de máxima verossimilhança da normal-assimétrica.
(ks) Teste de Kolmogorov-Smirnov não apresentou ajuste estatisticamente significante, ao nível de 10%.
28
Resultados
• Os pagamentos esperados com o uso da distribuição skew-normal foram
maiores que os estimados pela distribuição normal em 11 dos 25
municípios.
• Este fato sugere alguma assimetria positiva na distribuição skew-normal.
• Skew-normal X normal
–
–
–
–
Possibilidade de assimetria,
Pode não ocorrer convergência no algoritmo que estima os parâmetros,
Skew-normal ainda não foi considerada em estudos,
Bimodalidade? Multimodalidade?
29
Resultados
Conclusão
• Não foi possível comparar os resultados obtidos com dados reais de
pagamentos esperados de seguradoras.
• Os resultados mostraram que a densidade skew-normal é um modelo
competitivo e alternativo à distribuição normal para explicar as
distribuições de produtividade agrícola de milho.
• Espera-se que os resultados possam contribuir para o progresso do seguro
agrícola brasileiro e que sejam úteis para outros pesquisadores da área.
30
Referências
•
ATWOOD, J.; SHAIK, S.; WATTS, M. Can normality of yields be assumed for crop insurance?. Canadian Journal of Agricultural
Economics, v. 50, p. 171-184, 2002.
•
ATWOOD, J.; SHAIK, S.; WATTS, M. Are Crop Yields Normally Distributed? A Reexamination. American Journal of
Agricultural Economics, v. 85, p. 888-901, November 2003.
•
BREUSCH, T. S.; PAGAN, A. R. A simple test for heteroscedasticity and random coefficient variation. Econometrica, v. 47(5),
1979.
•
CARRIQUIRY, M. A.; BABCOCK, B. A.; HART, C. E., Using a farmer’s beta for improved estimation of expected yields.
Journal of Agricultural and Resource Economics, v. 33, p. 52-68, 2008.
•
DURBIN, J.; WATSON, G. S. Testing for serial correlation in least squares regression: I. Biometrika, v. 37(3/4), p. 409-428,
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Agradecimentos
• Prof. João Domingos Scalon – DEX/UFLA
• Prof. Vitor Augusto Ozaki – ESALQ
• Departamento de Matemática da Universidade Federal de São João delRei (DEMAT/UFSJ)
Obrigada pela atenção!
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A Distribuição Skew-Normal
Aplicada ao Seguro Agrícola
Caroline Oliveira Santos
DEX/UFLA e DEMAT/UFSJ
João Domingos Scalon - DEX/UFLA
Vitor Augusto Ozaki – ESALQ/USP
27/11/2012
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