wagnumbers.com.br O texto a seguir é uma transcrição (com algumas adaptações) do artigo das páginas 14 a 19 da
revista Cálculo, edição 12, da editora segmento. A revista tem outros artigos muito
interessantes, vale a pena lê-los.
NÃO EXISTE ERRINHO DE ÁLGEBRA
Que erros de álgebra nos cometemos com mais freqüência? Todo cuidado é pouco, pois
eles aparecem até mesmo em provas de estudantes nota 9.
Eis alguns dos erros mais comuns. É conhecer para evitar.
1. DIVIDIR POR ZERO
Normalmente o aluno sabe que 0 ÷ 3 = 0, mas nem sempre consegue entender o que há de
errado com:
3
3
= 3 !" = 0
0
0
Matemáticos dizem que a divisão por zero é indefinida. Isso é uma forma de dizer, de forma
mais simples, que: dividir por zero não faz sentido, e leva a contradições. Uma contradição muito
conhecida é:
Como primeiro passo, assume-se que essa
afirmação é verdadeira.
1
a= b
2
ab = a2
3
ab – b2 = a2 – b2
4
b(a – b) = (a + b)(a – b)
5
b=a+b
6
b= 2b
Como no princípio, assume-se que a = b
7
1=2
Dividimos os dois lados da equação por b. E
terminamos com uma contradição
Multiplicamos os dois lados por a, que é igual a b.
Subtraímos b2 dos dois lados.
Fatora-se os dois lados
Divide os dois lados por (a – b)
Neste caso o erro fatal foi cometido do passo 4 para o passo 5. Se a = b então a – b é igual a
zero. É proibido dividir por zero. Cuidado, pois nos casos reais, o erro pode não ser tão obvio.
Então, devemos manejar álgebra sempre pensando: “Será que não existe algum zero aqui? Será
que não estou dividindo por zero?”
1 wagnumbers.com.br 2. PARENTESES MAL COLOCADOS OU EM FALTA
Às vezes o aluno acha que consegue manter em mente onde estão os parênteses – ele tem
preguiça de escrevê-los no papel. Conforme a álgebra avança, ele esquece os parênteses, e então
aparecem os quatro erros comuns.
Erro de parênteses 1.
O aluno lê: “Eleve 4x ao quadrado”, simples né? Aí ele escreve:
4x2
Escreve isso e erra. O que ele deveria ter escrito é:
(4x)2 = (4x).(4x) = 42 . x2 = 16x2
Quando se lida com expoente, só o número ou variável ou incógnita imediatamente à esquerda
do expoente será multiplicado por si mesmo várias vezes. Então (4x)2 é bem diferente de 4x2; no
primeiro caso quem está imediatamente à esquerda é 4x e no segundo caso, é só x.
Erro de parênteses 2.
Outro caso simples: “Eleve -3 ao quadrado”. E ai ele escreve:
-(3).(3) = -9
Errou de novo porque esqueceu a regra: O número imediatamente à esquerda será elevado ao
tal índice. Ele deveria ter escrito:
(-3)2 = (-3).(-3) = 9
Muita gente sabe que elevar -3 ao quadrado significa multiplicar -3 por ele mesmo, mas não
escreve o parênteses e se confunde. Só para deixar bem claro:
-32 ≠ (-3)2
2 wagnumbers.com.br Erro de parênteses 3.
Leia agora: “Subtrair 4x – 5 de x2 + 3x – 5”. Na pressa, escreve algo do tipo:
x2 + 3x – 5 – 4x – 5 = x2 – x – 10
De novo errou porque não se deu ao trabalho de colocar o polinômio 4x – 5 dentro de
parênteses, e, no calor das contas, se confundiu com os sinais. Ele deveria ter feito as contas
assim:
x2 + 3x – 5 – (4x – 5) =
= x2 + 3x – 5 – 4x + 5 =
= x2 – x
Já pensou se fosse uma longa sequência de cálculos e o aluno cometesse esse errinho...
Erro de parênteses 4.
Agora veja: “Converta
5! num termo com expoente fracionário”. E, de novo, na pressa,
escrevemos
!
5! = 5! !
É o mesmo erro de sempre, se usássemos os parênteses teria sido melhor, veja:
!
!
!
5! = (5!)! = 5! . ! !
Qualquer um desses erros tende a invalidar um longo trabalho de álgebra.
3 wagnumbers.com.br 3. DISTRIBUIÇÃO IMPRÓPRIA
Devemos tomar cuidado ao usar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição.
E, nesse caso, os parênteses são mais essenciais do que nunca. Tendemos a cometer dois erros.
Erro de distribuição 1.
O aluno lê: “Multiplique 4 por (2x2 – 10)”. E aí ele faz as contas de cabeça:
4.(2x2 – 10) = 8x2 – 10
Os alunos cometem muito esse erro, eles multiplicam pelo primeiro termo e esquecem-se de
fazer o mesmo com o segundo. O certo é:
4.(2x2 – 10) = 8x2 – 40
Erro de distribuição 2.
O aluno lê: “Multiplique 3 por (2x – 5)2”. E ai, correndo como sempre, ele escreve:
3(2x – 5)2 = (6x – 15)2 = 36x2 – 180x + 225
Erro muito comum esse. Lembre-se a exponenciação deve ser resolvida antes da
multiplicação. Veja a maneira correta de resolver:
3(2x – 5)2 = 3(2x – 5).(2x – 5) = 3(4x2 – 20x + 25) = 12x2 – 60x + 75
Na verdade, eu poderia ter feito primeiro 3(2x – 5) e depois multiplicar por (2x – 5)
novamente, a ordem dos fatores (tratores) não altera o produto (viaduto), lembra?
4 wagnumbers.com.br 4. REGRA DE ADIÇÃO MAL APLICADA
É outro erro muito comum entre os alunos: eles aplicam uma versão simples da propriedade
distributiva da multiplicação sobre a adição para outras situações mais complicadas. Eles olham
para isso, que está correto;
2(x + y) = 2x + 2y
E acham que tudo funciona do mesmo jeito fácil. Veja a tabela a seguir que mostra o que se
vê e o que se interpreta:
O que o estudante vê
Como interpreta errado
(x + y)2
x2 + y2
!+!
!+ !
1
!+!
1 1
+
! !
cos(x + y)
cos(x) + cos(y)
Por incrível que te possa parecer, na matemática é mais fácil lidar com a multiplicação do que
com a adição. Para verificar que as expressões à direita estão erradas, basta substituir o x e o y
por números aleatórios. Com pouquíssimas exceções, os resultados à esquerda e á direita serão
diferentes.
5 wagnumbers.com.br 5. ERROS DE SIMPLIFICAÇÃO
Estudantes cometem os erros abaixo ao simplificar expressões racionais ou ao resolver
equações.
Ele lê: “Simplifique (3x3 – x)/x”, então escreve às pressas:
3! ! − !
= 3! ! − !
!
Outro erro comum e parente desse é:
3! ! − !
= 3! ! − 1
!
O que ele fez foi cancelar o x do denominador por só um dos x do numerador. O que ele
deveria ter feito é fatorar o numerador antes de prosseguir coma a simplificação, assim:
3! ! − ! !(3! ! − 1)
=
= 3! ! − 1
!
!
Talvez fique mais fácil entender reescrevendo a expressão original como a soma de duas
frações.
3! ! − ! 3! ! !
=
− = 3! ! − 1
!
!
!
Substitua o x por números e veja como a regra funciona.
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