```EQUILÍBRIO DINÂMICO DE UMA MASSA
EM TRANSLAÇÃO - 2º Lei de Newton
s

I
F j  mI  a
j 1
s

I
Fj  mI   I a A  I  ^ I rAB  I  ^  I  ^ I rAB   2I  ^ I v Rel  I a Rel 
j 1
FA-476 DINÂMICA
EQUILÍBRIO DINÂMICO DE UMA MASSA
EM ROTAÇÃO - Lei de Euler
I
H A I i ^  I J i   I i ^ mi I Vi 
H A    I i ^ mi I Vi 
n
I
i l
FA-476 DINÂMICA
H A    I i ^ mi I Vi 
n
I
i l
Vi IVA  I ^ I i  IVRel
I
VRel
I
d
 B i 
 T
dt
T
d
 B i   0
dt
Vi  IVA  I  ^ I i
I
FA-476 DINÂMICA
H A    I  i ^ mi  IVA  I  ^ I  i 
n
I
i 1
Expandindo a soma :
I
I
H A    I i ^ mi I VA     I i ^ mi  I  ^ I i 
n
n
i 1
i 1
n
n
i 1
i 1
H A    I i mi ^ IVA    I i ^ mi  I  ^ I i 
n
  I i
i 1
mi  

I
*
m

Centro de m assa
FA-476 DINÂMICA
n
*
H

m


^ IVA    I i ^ mi  I  ^ I i 
I
A
I
i 1
m  I  ^ IVA  0
*
n
I
H A    I i ^ mi  I  ^ I i 
i 1
FA-476 DINÂMICA
n
I
H A   I  i ^  I  ^ I  i   mi
i 1
n
Bn
H A   Bn  i ^  Bn  ^ Bn  i   mi
i 1
FA-476 DINÂMICA
n
Bn
H A   Bn  i ^  Bn  ^ Bn  i   mi
i 1
 x (t ) 




y
(
t
)


I
i
 z (t ) 


e
 (t )





(
t
)


I
 (t )


I
x
 


r

 y
Bn i
Bn
z
 
e
 x 
 


 y 
Bn
 
 z
H A   I r ^  I  ^ I r  dm
FA-476 DINÂMICA
I
Bn
H A   I r ^  I  ^ I r  dm
H A   Bn r ^  Bn  ^
  x  in
jn
 
y
Bn H A     y ^  x
z x
y
 
Bn
r  dm
kn 

 z   dx dy dz

z 
FA-476 DINÂMICA
  x  in
jn
 
y
Bn H A     y ^  x
z x
y
 
Bn
H A  
z
y
kn 

 z   dx dy dz

z 
in
jn
kn
x
y
z
 y z   z x  x z 

y
x
 x y 

  dx dy dz

 y 2 x  xy y  z 2 x  xz z

2
2
H


yx


x


z
 y  xz z
Bn
A
x
y
 
  zx  x 2  zy  y 2
x
z
y
z


 dx dy dz

FA-476 DINÂMICA


  dx dy dz

 y 2 x  xy y  z 2 x  xz z

2
2
H


yx


x


z
 y  xz z
Bn
A
x
y
 
  zx  x 2  zy  y 2
x
z
y
z




 y2  z2

Bn H A     yx
  zx




2
2

y

z
dx dy dz


Bn H A      yx dx dy dz

   zx dx dy dz
x
 xy
2
 z2
 xz   x 
 
 yz   y  dx dy dz

x 2  y 2  

 z


 zy

  xz dx dy dz   x 
 
2
2
 x  z dx dy dz   yz dx dy dz   y 
 
2
2
  zy dx dy dz
x

y
dx
dy
dz
  z 

  xy dx dy dz


FA-476 DINÂMICA




2
2

y

z
dx dy dz


Bn H A      yx dx dy dz

   zx dx dy dz
 I xx

Bn H A    I yx
  I zx

 I xy
 I yy
 I zy
  xz dx dy dz   x 
 
2
2
 x  z dx dy dz   yz dx dy dz   y 
 
2
2
  zy dx dy dz
x

y
dx
dy
dz
  z 

  xy dx dy dz


 I xz   x 
 
 I yz   y  

 I zz  

 z
FA-476 DINÂMICA

Bn

H A  I I A  Bn 
Bn
I 
Bn A

Bn
m
*
Bn  A 
VA 
Bn
H A Bn I A  Bn   m 
Bn
 ^ BnVA
*
A
Tensor de inércia do corpo, calculado em relação ao ponto “A”
(ponto em torno do qual se calcula a somatória de momentos). Este
tensor é descrito em um sistema se referência móvel “Bn” solidário
ao corpo.
sistema móvel “Bn”.
Massa Total do Corpo.
Vetor com origem no ponto em torno do qual se calcula a
quantidade de movimento angular, (origem A na base local), e fim
no centro de massa do corpo. Sua representação é feita na base
móvel “Bn”.
Velocidade linear absoluta do ponto em torno de qual se calcula a
FA-476angular
DINÂMICA
móvel “Bn”.
EULER
n
d
M A   Bn H A  Bn  A ^ Bn H A

Bn
dt
i 1
d
 Bn I A  Bn   m 

Bn M A 
dt
i 1
n
*


Bn A ^ BnVA 
 Bn  A ^  Bn I A  Bn   m 
FA-476 DINÂMICA
*


Bn A ^ BnVA
EULER
n
d
 Bn H A 

Bn M A 
dt
i 1
Bn
H A Bn I A  Bn   m 
n
d

Bn M A 
dt
i 1

Bn
I  Bn   m 
Bn A
FA-476 DINÂMICA
 ^ BnVA
Bn
*
A
 ^ BnVA  
*
A
n
d

Bn M A 
dt
i 1
n
 Bn M A 
i 1

Bn I A  Bn   m 
*

Bn A ^ BnVA  
d
 Bn I A  Bn   Bn I A d  Bn    d mBn  *A ^ BnVA  m d
dt
dt
dt
dt
 m Bn  *A ^
d
 BnVA 
dt
FA-476 DINÂMICA

Bn
 *A ^ BnVA 
n
 Bn M A 
i 1
d
 Bn I A  Bn   Bn I A d  Bn    d mBn  *A ^ BnVA  m d
dt
dt
dt
dt
 m Bn  *A ^
Bn
 *A ^ BnVA 
d
 Bn  A*   0
dt
d
 BnVA 
dt
d
m   0
dt
d
 Bn I A   0
dt

n
d
 BnVA   Bn a A
dt
d
 Bn  

Bn M A  Bn I A
dt
i 1
FA-476 DINÂMICA
EULER
s
d
*




M

I




^
I



m


^ Bn a A

Bn
Ai
Bn A
Bn
Bn
Bn A Bn
Bn
dt
i j
s

Bn
M Ai 
i j
I 
Bn A
d
 Bn   
dt
Somatória dos momentos provocados pelas forças “s” (externas e
de reação) em relação ao ponto “A”, representadas no sistema
solidário ao corpo.
Tensor de inércia do corpo, calculado em relação ao ponto “A”
(ponto em torno do qual se calcula a somatória de momentos). Este
tensor é descrito em um sistema se referência móvel “Bn” solidário
ao corpo.
angular absoluta do corpo Bn e da base “Bn”, Bn, forem
diferentes, este vetor não coincide com a aceleração angular
absoluta do corpo.
FA-476 DINÂMICA
EULER ( GERAL)
s
d
*
 Bn   Bn  ^  Bn I A Bn    m Bn  A ^ Bn a A

Bn M Ai  Bn I A 
dt
i j
Bn

m
Bn  A 
*
Bn
aA 
no sistema móvel “Bn”.
Massa Total do Corpo.
Vetor com origem no ponto em torno do qual se calcula a
quantidade de movimento angular, (origem A na base local), e fim
no centro de massa do corpo. Sua representação é feita na base
móvel “Bn”.
Aceleração linear absoluta do ponto em torno do qual se calcula a
quantidade de movimento angular do corpo e, também, realiza-se a
somatória de momentos. Sua representação é feita na base móvel
“Bn”.
FA-476 DINÂMICA
```