Disciplina de Física Aplicada A – 2012/2
Curso de Tecnólogo em Gestão Ambiental
Professora Ms. Valéria Espíndola Lessa
MECÂNICA
Nesta aula estudaremos a primeira parte da Física Clássica: a Mecânica. A Mecânica divide-se em
Cinemática, Dinâmica e Estática, em nosso curso nos estaremos estudando as duas primeiras partes. Iniciaremos os
nossos estudos pela Cinemática que é o estudo do movimento sem se preocupar com suas causas.
A Mecânica procura responder a questões como: o que é movimento? Como fazer para alterar o movimento
de um corpo? Como prever o movimento de um corpo? A previsão do movimento de um corpo é muito importante,
principalmente para questões ligadas a Astronomia, por exemplo, como a trajetória de um foguete ou de um
meteoro. No caso de um foguete, cálculos cuidadosos devem ser feitos para que haja certeza de que a nave
encontrará o planeta para o qual foi enviada.
Cinemática
Na cinemática iremos estudar os movimentos de um corpo utilizando conceitos de espaço e tempo. Para isso
é importante esclarecer o conceito de referencial, posição, tempo e deslocamento.
Neste instante você está em movimento ou parado (em repouso)? Depende. Podemos estar parados em
relação ao chão de nossa sala de aula, mas como todos estão na Terra, temos os movimentos que ela possui, ou seja,
rotação e translação. Portanto, em relação a um outro planeta qualquer, Marte, por exemplo, estamos em
movimento.
Afinal de contas, estamos parados ou em movimento? O problema é que a pergunta não está bem
formulada, e portanto devemos modifica-la da seguinte forma: Em relação à sala de aula estamos parados ou em
movimento?
O conceito de referencial é muito importante inclusive no que diz respeito a trajetórias de um movimento.
Ilustraremos a seguir duas pessoas observando um mesmo fenômeno, mas cada uma delas assiste uma trajetória
diferente. Este é o caso de um avião soltando uma bomba em campo aberto. Repare que para um observador fora
do avião verá a bomba caindo de forma curva (parábola). Já o piloto assiste a bomba caindo sempre abaixo de seu
avião e portanto assiste uma trajetória reta. Evidentemente que consideramos nula a resistência do ar.
A posição que um objeto ocupa ao longo de uma trajetória é representada pela letra d ou pela letra s. Um
objeto sempre inicia seu trajeto na posição zero. Veja na figura que a trajetória (numa direção horizontal) possui o
sentido indicado pela seta e que se o objeto vai no sentido contrário, considera-se um deslocamento negativo.
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Definida a posição de um móvel numa trajetória, associamos a esta posição um respectivo tempo. Na figura
abaixo, vemos que no instante t = 5s o garoto está na posição s = - 10m.
Imaginemos a seguinte situação: Em um certo instante t1, um garoto se encontra na posição s = - 10
m e no instante t2 ele se encontra em s = 10 m, o deslocamento ou variação do espaço desse garoto
no intervalo de tempo
t  t 2  t1 é igual a s  s2  s1
s  10  (10)  10  10  20
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Velocidade Escalar Média
Velocidade Média e
Velocidade Instantânea
Se você dirige um carro por 180 km, de acordo com um hodômetro, e se leva 2 horas para percorrer esta
distância, sua velocidade escalar média é de (180km) ÷ (2h) = 90km/h. Dessa forma, para uma partícula em
movimento que percorre uma distância d no intervalo de tempo ∆t, a velocidade escalar média vm (ou v ):
d
ve 
t
Total da distância
percorrida
A velocidade escalar não possui vetor, ou seja, não está associada à direção e sentido que o objeto faz seu
trajeto. Mas se levarmos em consideração a direção e o sentido do trajeto, deveremos utiliza a variação do
deslocamento
s  s2  s1
ou s  s f  si
Considere um carro movendo-se para frente e para trás na direção horizontal. A tabela mostra a posição do
carro no instante t.
Faça um esquema da situação:
Posição t(s) s(m)
A
0
30
B
10
52
C
20
38
D
30
0
E
40
-37
F
50
-53
Assim , o deslocamento do carro é descrito como s  s f  si  53  30  83m e sua velocidade média
é (-83m)÷(50s) = 1,66m/s
Agora passamos a calcular a Velocidade Média, não mais escalar:
v 
s
t
Quando usar?
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
TRAJETO NUM MESMO SENTIDO
VELOCIDADE MÉDIA
TRAJETO EM SENTIDOS CONTRÁRIOS
A velocidade instantânea é a velocidade do móvel num dados instante t. Quando viajamos de carro, a
velocidade deste não se mantém sempre constante devido a situações que encontramos na estrada como subidas,
descidas, sinais de trânsito e outros. A cada momento que olhamos o velocímetro, vemos uma velocidade diferente.
Exemplo 1: Uma família saiu para viajar às 6h da manhã. Depois de percorrer 300km, chegaram ao destino às 11h.
Determine a velocidade escalar média?
3
ve 
d
300km 300km


 60km / h
t (11  6)h
5h
Exemplo 2: Uma partícula em movimento ao longo de um eixo horizontal está localizada no ponto si = 12m em ti = 1s
e no ponto sf = 4m em tf = 3s. Faça um esquema da situação. Encontre seu deslocamento e sua velocidade média
durante esse intervalo de tempo.
deslocamento: s  s f  si  4  12  8m
Velocidade Média: v 
s
 8m
 8m


 4m / s
t (3  1) s
2s
Exemplo 3: Uma corredora corre em linha reta, com um módulo de velocidade média de 5m/s durante 4min e
depois com módulo de velocidade média de 4m/s durante 3 min. (a) Qual é o módulo do deslocamento final desde
sua posição inicial? (b) Qual é o módulo de sua velocidade média durante todo esse intervalo de tempo de 7 min?
s
t
5m
 240s  1200m
s
4m
s2 
 180s  720m
s
Deslocamento total: s  s1  s2  1920m
(a) v 
 s  v  t 
(b) Velocidade Média: v 
s1 
s 1920m 1920m


 4,57m / s
t 7 min
420s
Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)
Quando uma partícula percorre um trecho da trajetória com velocidade constante, dizemos que seu
movimento foi uniforme. No MRU não faz sentido em usarmos o conceito de velocidade média, pois a velocidade é
única e constante.
Exemplo 4: Um trem, em movimento uniforme, está prestes a iniciar a travessia de uma ponte. o trem mede 120m
de comprimento e o vão da ponte é de 80 m. em quanto tempo ele a atravessa se a sua velocidade escalar for de 72
km/h?
O trem atravessa a ponte quanto tiver percorrido todo seu comprimento mais o comprimento da ponte:
d = 120m + 80m = 200m
Vamos transformar 72km/h em m/s -> 20m/s
v 
d
t
 t 
d
v
 t 
200m
 10s
20m / s
Exemplo 5: Uma pessoa, em movimento uniforme, dá passos cadenciados de 80 cm. A cada 3s, dá dois passos.
Considere o percurso AB com 160m de comprimento. (a) Quantos passos ela dá de A até B? (b) Quanto tempo
demorará? (c) Calcule a velocidade média?
(a) 160m ÷ 0,8m = 200 passos
(b) 3s x 200 passos = 600 s
4
(c) v 

d 160m

 0,267m / s
t 600s
Equação Horária no Deslocamento
É possível estabelecer uma equação matemática, a partir de alguns dados de uma situação, para descrever o
deslocamento de um objeto. Para isso vamos considerar que o instante inicial vale zero, ou seja, t0 = 0. (Lembre-se
de que ti = t0 e tf = t)
s
 s  v  t  s  s0  v  t  t0   s  s0  v  t  0  s  s0  v  t
t
 s  s0  v  t
v
s  s0  v  t
Exemplo 6: Considere uma partícula passando pela posição 2m no instante t = 0. Seu movimento é uniforme e ele
está dotado de uma velocidade escalar de 3m/s. Como fica a equação horária?
2m no instante t = 0 significa que s0 = 2m
Então:
s  s0  v  t  s  2  3  t
Assim, a equação permite que se descubra a posição da partícula que qualquer instante. Esta é uma função do 1º
grau, e portanto, podemos construir um gráfico.

Gráficos da Equação Horária
Deslocamento em função do tempo (s x t)
Velocidade em função do tempo (v x t)
5
Propriedade do Gráfico da Velocidade em função do Tempo
A área abaixo da reta que representa a velocidade
constante é obtida pela multiplicação da base e altura,
pois é um retângulo:
A=b.h
A = ∆t . V
Mas sabemos que ∆t . V = ∆s
Logo A = ∆s
A área é o deslocamento
Exemplo 7: Um móvel realiza um movimento uniforme sobre uma trajetória em que foram impressas as posições a
cada metro. no instante t1 = 2s ele passou pelo ponto s1 = 20m e no instante t2 = 6s ele passou pelo ponto s2 = 30m.
(a) Construa um gráfico das posições em função do tempo.
(b) Determine a velocidade média.
(c) Determine a posição inicial s0 e depois escreva a equação horária.
(d) Construa o gráfico da velocidade escalar.
(a)
(b) v 
s 30  20 10

  2,5m / s
t
62
4
(c) Usando a fórmula para a equação horária, vamos inserir os valores de um dos pontos do gráfico e da velocidade,
por exemplo, t = 2 e s = 20, daí temos
s  s0  v  t  20  s0  2,5  2  s0  20  5  15m
Isso significa que a reta corta o eixo do s no ponto 15.
Equação horária: s  15  2,5  t
d)
O gráfico é uma reta paralela ao eixo do tempo, pois como sabemos, a velocidade é constante.

Velocidade Relativa
Sejam dois móveis A e B movendo-se numa mesma trajetória, com velocidades escalares VA e VB ,
respectivamente. A velocidade relativa de A em relação a B é a diferença entre as velocidades de A e de B.
VAB = VA - VB
Isso significa que tudo se passa como se o móvel B estivesse parado e o móvel A se movendo com velocidade
VAB.
6
Exemplo 8: Duas partículas se movem na mesma direção e sentido. A que está mais a frente, partícula B, tem
velocidade de 10m/s e a que está mais atrás, partícula A, tem velocidade de 12m/s. Em determinado instante a
distância entre elas é de 22m. (a) Qual é a velocidade relativa de A em relação a B? (b) Determine o instante que a
partícula B vai alcançar a partícula A.
(a) Como as duas estão no mesmo sentido, iremos subtrair as velocidades:
VAB  VA  VB  12  10  2m / s
(b) Vamos encontrar a equação horária para descrever cada um dos movimentos:
s  s0  v  t 
s A  0  12t 
s A  s B  0  12t  22  10t  2t  22  t  11s
s B  22  10t 
Lista de Exercícios
1. Você faz determinado percurso em 2 horas, de automóvel, se sua velocidade média for 75km/h. Se você fizesse a
viagem a uma velocidade de 100km/h, você ganharia quantos minutos?
2. (UFPel-RS)Um dos fatos mais significativos nas corridas de automóveis é a tomada de tempos, isto é, a medida do
intervalo de tempo gasto para dar uma volta completa no circuito. O melhor tempo obtido no circuito de Suzuka, no
Japão, pertenceu ao austríaco Gerard Berger, piloto da equipe Mclaren, que percorreu os 5874 m da pista em cerca
de 1 min 42 s. Qual a velocidade escalar média em km/h desenvolvida pelo carro do piloto austríaco em sua melhor
volta no circuito ?
3. (PUC-SP)A figura abaixo esquematiza a trajetória aproximada da Terra no seu movimento de translação em torno
do Sol. Estime o tempo necessário para que a luz do Sol alcance a Terra.
Dado: velocidade da luz no vácuo = 3,0 x 108 m/s
4. Um carro percorreu 20 km com velocidade média de 60 km/h e 60 km a 90 km/h. Determine a velocidade escalar
média do carro nos 80 km percorridos.
5. Um trem anda sobre trilhos horizontais retilíneos com velocidade constante igual a 80 km/h. No instante em que o
trem passa por uma estação, cai um objeto, inicialmente preso ao teto do trem.
Pergunta-se:
(a) Qual a trajetória do objeto, vista por um passageiro parado dentro do trem ?
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(b) Qual a trajetória do objeto, vista por um observador parado na estação ?
(suponha que o trem vai em sentido da estação)
6. Após chover na cidade de São Paulo, as águas da chuva descerão o rio Tietê até o rio Paraná, percorrendo cerca de
1000 km. Sendo 4 km/h a velocidade média das águas, o percurso mencionado será cumprido pelas águas da chuva
em aproximadamente:
(a) 30 dias; (b) 10 dias; (c) 25 dias; (d) 2 dias; (e) 4 dias.
7. Um móvel descreve um movimento retilíneo uniforme, de acordo com a função horária:
s = −20 + 5t (unidades: m e s)
Para esse móvel determine:
(a) a posição inicial e sua velocidade escalar;
(b) a posição no instante t = 10s;
(c) o instante em que ele passará pela origem da posição, ou seja, o início do deslocamento. Faça um gráfico.
8. Um trem de 100m de comprimento, a uma velocidade constante de 10 m/s demora 1 min para
atravessar uma ponte. Determine o comprimento da ponte.
9. Dois carros, A e B, se deslocam numa pista retilínea, ambos no mesmo sentido e com velocidades constantes. O
carro que está na frente desenvolve 72 km/h e o que está atrás desenvolve 126 km/h. Num certo instante, a
distância entre eles é de 225 m.
(a) Quanto tempo o carro A gasta para alcançar o carro B ?
(b) Que distância o carro que está atrás precisa percorrer para alcançar o que está na frente ?
10. Duas estações A e B estão separadas por 200 km, medidos ao longo da trajetória. Pela estação
A passa um trem P, no sentido de A para B, e simultaneamente passa por B um trem Q, no sentido
de B para A. Os trens P e Q têm movimentos retilíneos e uniformes com velocidades de valores
absolutos 70 km/h e 30 km/h, respectivamente. Determine o instante e a posição do encontro.
11. Um móvel se desloca segundo o diagrama da figura. Determine:
(a) a função horária do movimento;
(b) a posição do móvel no instante t = 30 s;
12. O diagrama horário representa o comportamento da velocidade escalar de um móvel em função do tempo. No
instante t = 0, o móvel encontra-se na posição s0 = 3 m.
(a) Escreva a função horária para o deslocamento.
(b) Determine o deslocamento do corpo no instante de 10 s.
(d) Construa um esboço do gráfico s x t deste movimento.
Referências
LEMES, M.R.; SBRUZZI, L.F. Física Mecânica. Apostila Colégio Idesa.
RAYMOND, A.S.; JEWETT, J.Jr. Princípios de Física: mecânica clássica. v.1. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
SAMPAIO, J.L.; CALÇADA, C.S. Universo da Física 1.: Mecânica. 2.ed. São Paulo: Atual, 2005.
TIPLIER, P.A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros. v.1. 6.ed. Rio de janeiro: LTC, 2011.
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