Integral de…nido - De…nição e propriedades
INTEGRAL DEFINIDO
QUESTÃO:
Como calcular a área da região representada na …gura?
3
2 .5
Para obter uma aproximação do valor da área da …gura
2
1 .5
podemos somar as áreas dos rectângulos inscritos na região.
1
0 .5
0
0 .5
1
1 .5
x
2
2 .5
3
3
2 .5
2
Quanto menor for a largura dos rectângulos,
1 .5
1
melhor é a aproximação obtida.
0 .5
0
0 .5
1
1 .5
x
2
2 .5
3
De…nição: Uma partição de um intervalo [a; b] é qualquer subdivisão do intervalo [a; b] num número
arbitrário de subintervalos por meio dos pontos x0 ; x1 ; x2 ; :::; xn
a = x0 < x1 < x2 < ::: < xn
1 ; xn
1
tais que
< xn = b
A amplitude da partição é a maior das amplitudes dos subintervalos obtidos, ou seja,
max (xk+1
xk ) com 0
k
n
1:
De…nição: Seja f uma função limitada no intervalo [a; b] e seja p uma partição de [a; b] : Uma soma de
Riemann de f em relação a p é qualquer expressão da forma
n
X1
f (yk ) (xk+1
k=0
onde yk 2 [xk ; xk+1 ] :
Caso f seja não negativa,
f (yk ) (xk+1
xk ) é a área do rectângulo
de altura f (yk ) e base (xk+1
xk ).
xk )
De…nição: A função f diz-se integrável em [a; b] se as somas de Riemann de f tiverem um limite I
quando a amplitude da partição tender para zero
I=
lim
max(xk+1 xk )!0
n
X1
f (yk ) (xk+1
xk )
k=0
para todos os yk possíveis. I chama-se integral de…nido ou integral de Riemann de f em [a; b] e representa-se
por
Z
I=
b
f (x) dx
a
designando-se f por função integranda e [a; b] por intervalo de integração.
Teorema: Seja f uma função contínua no intervalo [a; b]. Então existe e é único o número real
Z b
I=
f (x) dx:
a
Corolário: Seja f uma função contínua e positiva em [a; b]. A área da …gura limitada pelo grá…co da função
f , pelas rectas verticais x = a e x = b e pelo eixo dos xx é igual a
A=
Z
b
f (x) dx
a
Integral de…nido de funções limitadas mas descontínuas no intervalo [a; b]
O que acontece se a função f for limitada mas descontínua em [a; b]?
Teorema: Seja f uma função limitada com um número real …nito de descontinuidades em [a; b]. Se as
descontinuidades forem todas de 1a espécie (apesar de serem distintos, os limites laterais existem e são …nitos),
Z b
então existe e é único o número real I =
f (x) dx:
a
Exemplo: No exemplo da …gura, f tem uma descontinuidade de 1a espécie em c 2 [a; b].
Seja
g(x) =
f(c)
8
>
< f (x)
se a
x<c
y=f(x)
lim f(x)
x →c −
>
: lim f (x) se x = c
x!c
então g é contínua em [a; c] e tem-se
Z
a
b
f (x) dx =
0
Z
a
c
g(x) dx +
Z
c
a
b
f (x) dx
c
b
PROPRIEDADES DO INTEGRAL DEFINIDO
Propriedade 1:
O integral depende da função integranda e do intervalo de integração, mas é independente da variável de
integração, isto é,
Z
b
f (x) dx =
Z
b
f (t) dt
a
a
Propriedade 2:
Sejam f integrável em [a; b] e c 2 ]a; b[. Então f é integrável em [a; c] e [c; b] e tem-se
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx:
a
a
c
Propriedade 3: (Aditividade)
Sejam f e g duas funções integráveis em [a; b]. Então f + g é integrável em [a; b] e tem-se
Z b
Z b
Z b
[f (x) + g(x)] dx =
f (x) dx +
g(x) dx:
a
a
a
Propriedade 4: (Homogeneidade)
Sejam f integrável em [a; b] e k uma constante real. Então kf é integrável em [a; b] e tem-se
Z b
Z b
[kf (x)] dx = k f (x) dx:
a
a
Propriedade 5: Seja f uma função integrável em [a; b] tal que f
Z
0, isto é, 8x 2 [a; b] ; f (x)
0: Então
b
f (x) dx
0:
a
Propriedade 6: Sejam f e g duas funções integráveis em [a; b] tais que f
Então
Z
Z
b
f (x) dx
a
g, isto é, 8x 2 [a; b] ; f (x)
b
g(x) dx:
a
Propriedade 7:
Seja f integrável em [a; b]. Então tem-se
Z a
Z
f (x) dx =
b
Exercício: Utilizando o resultado
Z9
b
f (x) dx:
a
1
p dx = 2 e as propriedades dos integrais de…nidos, determine:
x
4
(a)
Z9
4
1
p dt;
t
(b)
Z9
4
1
p dx;
2 x
(c)
Z4
9
1
p dx;
x
(d)
Z6
4
1
p dx +
x
Z9
6
1
p dx:
x
g(x):