COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ
Portal Professor / Interpretações Algébrica e Gráfica de Sistemas Lineares / 2009
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA
www.cap.ufrj.br/matematica
Autor
Letícia Guimarães Rangel
Co-autor(es):
Fernando Celso Villar Marinho
Lílian Káram Parente Cury Spiller
Rita Maria Cardoso Meirelles
Tipo de Pesquisa Ensino Médio – Números e Operações
Componente Curricular Matemática
Tema: Sistemas Lineares
Título: Sistemas Lineares no CAp UFRJ: Interpretações Algébrica
e Gráfica
Professor, quanto mais recursos para se entender um conceito, melhor. A proposta
aqui é apresentar duas interpretações para os sistemas lineares com duas
incógnitas: uma algébrica e outra gráfica. Assim, o estudante pode ter uma visão
mais ampla e compreender melhor o conceito estudado.
A partir da análise dessas duas interpretações, o estudante pode fazer conjecturas
a respeito da relação existente entre os coeficientes das equações de um sistema e
a sua solução, chegando até ao conceito de determinante de uma matriz 2×2.
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Sistema Possível e Determinado (SPD)
Um sistema linear é possível e determinado quando possui uma única solução.
Um par ordenado (a,b) é solução de um sistema linear com duas incógnitas quando
é solução de cada equação que compõe o sistema.
Exemplo:
é uma das infinitas soluções da equação
, já que
é uma das infinitas soluções da equação
Porém, o sistema linear
ordenado
, já que
possui apenas uma solução, que é o par
.
Graficamente, a solução do sistema linear
é o ponto de interseção
entre as retas correspondentes às equações do sistema.
x ¡ 4y = ¡14
O ponto
2x + 3y = 5
é a solução do sistema.
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Sistema Possível e Indeterminado (SPI)
Um sistema linear é possível e indeterminado quando possui infinitas soluções.
Exemplo:
As infinitas soluções da equação
, são também soluções da equação
, já que a 2ª equação é igual à primeira multiplicada por 3. (Você
lembra que o conjunto solução de uma equação não muda quando multiplicamos
ou dividimos a equação por qualquer número real diferente de zero?)
possui infinitas soluções.
Logo, o sistema linear
Solução geral:
Algumas soluções:
,
,
Graficamente, a solução do sistema linear
é composta por todos os
pontos de interseção entre as retas correspondentes às equações do sistema.
Como as duas equações representam a mesma reta, elas têm infinitos pontos
em comum (todos os pontos da reta).
2x + 3y = 5 ou 6x + 9y = 15
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Sistema Impossível (SI)
Um sistema linear é impossível quando não possui solução.
Exemplo:
Não existe nenhuma solução em comum entre as infinitas soluções da equação
e as infinitas soluções da equação.
Logo, o sistema linear
não possui solução.
Solução:
Graficamente,
as
retas
correspondentes
às
equações
do
sistema
são paralelas, por isso não há pontos em comum entre elas.
x+y =5
2x + 2y = 9
linear
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Exercícios:
Dados os sistemas lineares a seguir:
a)
b)
½
x + y = 15
2x + 3y = 21
c)
½
2x + 4 = y
¡7 + y = ¡4x
d)
½
x = 4y
x + 4y = 2
e)
½
3x ¡ y = 4
9x ¡ 3y = 12
f)
½
x + 2y = 1
2x + 4y = 4
a) Resolva-os algebricamente.
b) Resolva-os graficamente (se possível utilizando o software Winplot).
c) Compare as soluções encontradas pelos dois métodos.
Professor, após a realização desses exercícios, você pode levar seus alunos ao
laboratório de informática e deixar que eles criem sistemas 2×2 livremente. Com o
auxílio do software winplot, eles podem representar graficamente as equações dos
sistemas criados e observar se são determinados, indeterminados ou impossíveis.
Deixe que percebam como devem ser os coeficientes das equações para que essas
três situações ocorram.
A saber:
Para que um sistema 2×2 seja determinado não deve haver uma proporcionalidade
entre os coeficientes das equações.
Exemplo:
2
3
6=
1
¡4
Para que um sistema 2×2 seja indeterminado deve haver uma proporcionalidade
entre os coeficientes e termos independentes das equações.
Exemplo:
2
3
5
= =
6
9
15
Para que um sistema 2×2 seja impossível deve haver uma proporcionalidade entre
os coeficientes, mas não entre os termos independentes das equações.
Exemplo:
1
5
1
= 6=
2
2
9
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Essas observações podem levar a um padrão que se repete e permite determinar a
existência de uma solução única para um sistema. Tal padrão é definido como
determinante de uma matriz 2×2.
Observe:
Considere o sistema de incógnitas x e y:
Multiplicando a 1ª linha por
(a1 b2 ¡ a2 b1 )x = c1 b2 ¡ c2 b1.
b2
 a1 x + b1y = c1

a2 x + b2y = c2
e a 2ª por
e uma expressão explícita para x =
−b1
e eliminando a incógnita y, temos:
c1 b2 ¡ c2 b1
.
a1 b2 ¡ a2 b1
Analogamente a expressão explicita para y =
c1 a2 ¡ c2 a1
.
a1 b2 ¡ a2 b1
Todo sistema 2×2 será possível e determinado se, e somente se, a1 b2 ¡ a2 b1 6= 0.
A expressão a1 b2 ¡ a2 b1 só tem um valor diferente de zero quando não há
proporcionalidade entre os coeficientes das equações do sistema.
Definimos, então, o valor da expressão (a1 b2 ¡ a2 b1) como sendo o determinante da
matriz A dos coeficientes do sistema:
a
A= 1
 a2
b1 

b2 
e
det A = A =
a1
b1
a2
b2
= a1b2 − a2b1
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Resolução dos Exercícios
a)
S = f(1; 3)g
(1; 3)
2x + 3y = 11
x+y =4
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b)
S = f(24; ¡9)g
x + y = 15
2x + 3y = 21
(24; ¡9)
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c)
S=
½µ
1
;5
2
¶¾
2x + 4 = y
µ
¶
1
;5
2
¡7 + y = ¡4x
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d)
½µ
¶¾
1
S=
1;
4
x = 4y
µ
¶
1
1;
4
x + 4y = 2
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e)
S = f(x; 3x ¡ 4) j x 2 Rg
Sistema Indeterminado
3x ¡ y = 4
9x ¡ 3y = 12
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f)
S=f g
Sistema Impossível
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O que o aluno poderá aprender com esta aula
1) Interpretar algebricamente e graficamente um sistema linear com duas
incógnitas.
2) Um conceito matemático pode ter mais de uma representação.
3) Utilizar o software Winplot para representar gráficos.
4) Utilizar o software Winplot para fazer conjecturas a respeito da relação
existente entre os coeficientes das equações de um sistema linear.
5) Relação entre o determinante da matriz dos coeficientes de um sistema
linear e a existência ou não de uma única solução para esse sistema.
Duração das atividades
06 aulas de 50 minutos
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno
Gráficos de equações lineares.
Estratégias e recursos da aula
Se for possível, trabalhar a interpretação gráfica dos sistemas com o auxílio de um
software. O software usado para construir os gráficos desta aula foi o Winplot.
Recursos complementares(opcional)
Avaliação
A avaliação dever ser feita durante as aulas, observando as atividades realizadas
em sala de aula e/ou laboratório de informática.
Pode ser feita uma avaliação escrita solicitando que os alunos escrevam o que
entenderam sobre a relação entre as interpretações algébrica e gráfica de um
sistema linear, dando exemplos.