MATEMÁTICA II
Prof. Edézio
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Ementa




Derivadas
Aplicações das Derivadas
Integração
Livro Texto:
Murolo,A. & Bonetto,G.: Matemática
Aplicada
à Administração, Economia
e Contabilidade. Thomson, São Paulo,
2004.
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2
Derivadas



O conceito foi introduzido em meados
dos séculos XVII e XVIII em estudos de
problemas de Física.
Destacam-se Isaac Newton, Leibniz e
Lagrange.
Mais
tarde
essas
idéias
foram
introduzidas em outras áreas como
Economia e Administração.
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Derivadas


Considere uma função f(x) e sejam x0 e x1 dois
pontos de seu domínio
Sejam f(x0) e f(x1) as correspondente imagens
f(x1)
●
Δy
f(x0)
●
Δx
x0
x1
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Derivadas

Chamamos de taxa média de variação de f,
para x variando de x0 até x1, ao quociente
f ( x1 )  f ( x0 )
f

x
x1  x0
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Exemplo1

Seja a função f(x)=x2 , o ponto inicial de abscissa
x0=1 e a variação Δx=2 (isto é, x varia de 1 a 3).
A taxa média de variação de f para esses valores
é:
f f (3)  f (1) 32  12


4
x
3 1
2

Isso significa, que se x variar 2 unidades (a partir
de x0 =1), a variação de f será 4 vezes maior, pois
Δf=8, enquanto Δx=2.
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6
Exemplo 1
●
9
1
●
1
3
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Exemplo 2

Seja f(x)=x2 e calculemos a taxa média de
variação a partir de um ponto genérico de
abscissa x0=x e um acréscimo também
genérico Δx.
f f ( x  x)  f ( x) ( x  x)  x 2 x  x  (x)



 2 x  x
x
x
x
x
2
2
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2
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Exemplo 2

Assim, se quisermos a taxa média de
variação a partir do ponto x=5 e com
uma variação Δx=3, o resultado será
2.5+3=13.
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Exemplo 3



Suponhamos que um objeto seja abandonado
a 2.000 m de altura e que a função
f(t)=2.000-10t2 altura do objeto em relação
ao solo, t segundos após ele ser abandonado.
Temos:
f(0)=2.000 e f(5)=1.750
Δf1=-250. Logo,
nos 5 primeiros segundos, o objeto caiu 250
m.
Δf2=f(10) - f(5) =1.000 – 1.750=-750. Nos 5
segundos seguintes o objeto caiu 750m.
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Exemplo 3



Para uma mesma variação de t (5
segundos), a variação de altura é diferente.
A taxa média de variação da função
representa a velocidade média do objeto a
cada intervalo de tempo considerado.
1º intervalo: Velocidade média: f1   250  50 m / s
5

2º intervalo: Velocidade média:
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5
f 2  750

 150 m / s
5
5
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Velocidade Instantânea



Muitas vezes estamos interessados na
velocidade de um objeto num determinado
instante (velocidade instantânea)
No exemplo considerado, calculemos a
velocidade instantânea para t=5 segundos.
Para isso consideremos a velocidade média
(taxa média de variação) para amplitudes de
variação de tempo cada vez menores.
Consideraremos o intervalo [5; 5+Δt]:
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Velocidade Instantânea
f
f (5  x)  f (5)

t
x
f
[2000 10(5  t ) 2 ]  [2000 10(5) 2 ]

t
t
f
 100t  10(t ) 2

 100 10t
t
t
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Velocidade Instantânea

Calculemos a velocidade média para valores de Δt
cada vez menores:
Intervalo
[5;10]
[5;8]
[5;6]
[5;5,5]
[5;5,1]
[5;5,01]
Δt
5
3
1
0,5
0,1
0,01
Δf/Δt
-150
-130
-110
-105
-101
-100,1
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Velocidade Instantânea

Notamos que a velocidade média está se
aproximando de -100 m/s. A velocidade instantânea
é o limite para o qual tende a velocidade média
quando o intervalo de tempo tende a 0. Isto é, a
velocidade instantânea no ponto t=5 e dada por:
f
lim
 lim ( 100  10 t )  100 .
t  0 t
t  0

Esse limite da taxa média de variação quando Δt
tende a zero é chamado de derivada da função f(t)
no ponto t=5.
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Conceito de Derivada

Derivada de uma Função num Ponto


Seja f(x) uma função e x0 se existir e for finito,
limite dado por:
f ( x0  x)  f ( x0 )
df
dy
f
( x0 )  ( x0 )  f ( x0 )  lim  lim
.
x 0 x
x 0
dx
dx
x
Ex.: Qual a derivada de f(x)=x2 no ponto x0=3?
f (3  x)  f (3)
(3  x) 2  32
f (3)  lim
 lim
x 0
x 0
x
x
6x  ( x) 2
f (3)  lim
 lim (6  x)  6.
x 0
x 0
x
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Conceito de Derivada

Isso significa que um pequeno
acréscimo Δx dado a x, a partir de
x0=3, acarretará um correspondente
acréscimo Δf que é aproximadamente 6
vezes maior que o acréscimo Δx.
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Função Derivada


É a derivada calculada num ponto genérico x.
Exemplo: Qual a função derivada de f(x)=x2?
Temos,
f ( x  x)  f ( x)
( x  x) 2  x 2
f ( x)  lim
 lim
x 0
x 0
x
x
x 2  2 x.x  (x) 2  x 2
 lim
x 0
x
x(2 x  x)
 lim
 lim (2 x  x)  2 x
x 0
x 0
x
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Função Derivada



Assim, se quisermos a derivada no ponto
x0=5, calculamos f´(5)=2.5=10.
f
Obs.: f ( x)  , para
Δx
pequeno.
x
Para x=5 e Δx= 0,1 temos:
Δf = f(5,1) - f(5) = (5,1)2 - 52 = 1,01
f 1,01

 10,1
x 0,1
Portanto
f
f (5) 
.
x
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Exercícios
1.
2.
Para cada função f(x), determine a derivada f´(x0)
no ponto x0 indicado:
a) f(x)=x2, x0=4.
b) f(x)= 2x+3, x0=3.
c) f(x)=-3x, x0=1.
d) f(x)= x2-3x, x0=2.
e) f(x)= 1/x, x0=2.
f) f(x)= x2 – 3x + 4, x0=6.
Determine a função derivada para cada função do
exercício anterior.
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Derivada das Principais Funções Elementares


Derivada da Função Constante
Se f(x)=c (função constante), então f´(x)=0, para
todo x.
Ex.: Se f(x)=5 então f´(x)=0.
Derivada da Função Potência
Se f(x)=xn, então f´(x)= nxn-1.
Exs.: f ( x)  x8  f ( x)  8 x 7
1
3
3
4
f ( x)  3  x  f ´(x)  3 x  4
x
x
1
1
1
f ( x)  x  x 2  f ´(x)  12 x 2 
2 x
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Derivada das Principais Funções Elementares


Derivada da Função Logarítmica
Se f(x)=ln x, então f´(x)=1/x , x>0.
Derivada das funções seno e cosseno
Se f(x)=sen x, então f´(x)= cos x para todo x
real.
Se f(x)= cos x, então f´(x)= -sen x para todo
x real.
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Propriedades Operatórias





Se
Se
Se
Se
f(x)=k.g(x) então f´(x)=k.g´(x).
f(x)=u(x)+v(x) então f´(x)=u´(x)+v´(x).
f(x)=u(x)-v(x) então f´(x)=u´(x)-v´(x).
f(x)=u(x).v(x) então
f´(x)=u´(x).v(x)+u(x).v´(x)
Se f(x)=u(x)/v(x) então
u´(x).v( x)  u ( x).v´(x)
f ´(x) 
[v( x)]2
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Exercícios
a) f ( x)  10
b) f ( x )  x
g ) f ( x)  x.sen x
h) f ( x)  x . ln x
5
2
c) f ( x)  10x
i) f ( x)  (2 x  3x  5)(2 x  1)
x 1
2
3
d ) f ( x)  x  x
j ) f ( x) 
x2
2 5
3
2
e) f ( x )  5 x  2 x  6 x  7 k ) f ( x )  5  2
x2 x
f ) f ( x)  10 ln x  5
l ) f ( x)  x 3
5
2
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Função Composta – Regra da Cadeia

Considere a função y = f(u)=u3 e u=g(x)=x-5. Temos que a
função composta (f ◦ g)(x) é dada por:
y(x)=f(g(x))=(x2 - 5)3


Questão: É possível calcular a derivada da composta (f ◦ g)´(x)
usando apenas as derivadas de f e g separadamente (sem o
calculo prévio da composta}?
Regra da Cadeia: Se y é uma função de u e existe f´(u), e se u
é uma função de x e existe g´(x), então y é uma função de x e
existe y´(x), sendo dada por
y´(x)=f´(u).u´= f´(g(x)).g´(x)
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Função Composta – Regra da Cadeia

No exemplo dado, temos:
y´(x)=3u2.u´=3(x2-5)2.2x=6x(x2-5)2.

Qual a derivada de f(x)=ln(3x+6)?
Fazendo u=3x+6, temos f(u)=ln u . Assim:
1
1
3
y´(x)  f ´(u )  u´  u´
3 
.
u
3x  6
3x  6
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Derivada da Função Exponencial
Se f(x)=ax, então f´(x)=ax.ln a, para todo x real
(com a>0 e a≠1).
Demonstração: Consideremos a função:

h( x)  ln f ( x)  ln a  x ln a
x
1
h´(x) 
 f ´(x)
f ( x)
Pela regra da cadeia:
Por outro lado:
h´(x)  ln a
Portanto:
f ´(x)
 ln a  f ´(x)  f ( x)  ln a  a x ln a.
f ( x)
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Exemplos



f(x)=3x então f´(x)=3x ln x;
f(x)=ex então f´(x)=ex ln e = ex.
x 2  3 x 5
2
f ( x)  e
fazendou  x  3x  5 tem os:
f ´(x)  e  u´ e
u
x 2  3 x 5
 (2 x  3)
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Exercícios
1.
Obtenha a derivada das seguintes funções:
4
a ) f ( x )  ( 2 x  1) 3
g ) f ( x)  3 x
b) f ( x )  (5 x 2  3 x  5) 6
h) f ( x ) 
2x 1
c ) f ( x )  ln(3 x 2  2 x )
i ) f ( x) 
x
d ) f ( x)  2 x
j ) f ( x)  e x  e  x
e) f ( x )  e x  3 x
k ) f ( x) 
2
x 1
1
( x 2  3 x  2) 5
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