Probabilidade - Conceitos Básicos
Anderson Castro Soares de Oliveira
Anderson
Probabilidade
Probabilidade
Probabilidade é o ramo da matemática que estuda
fenômenos aleatórios.
Probabilidade está associada a estatística, porque sua
teoria constitui a base de estatística inferencial.
Conceito de Probabilidade esbarra no conceito da palavra
aleatório
Anderson
Probabilidade
Determinístico vs Aleatório
Experimentos determinísticos são experimentos que
quando repetido nas mesmas condições, conduz ao
mesmo resultado.
Tome-se, por exemplo, a lei de Ohm, V = I.R. Se R e I
forem conhecidos, então V estará precisamente
determinado
Experimento aleatório é aquele que, se repetido sobre as
mesmas condições, não produz necessariamente o
mesmo resultado.
Podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmas
condições.
Não se pode adiantar um resultado particular, mas pode-se
descrever todos os resultados possíveis
Se repetidos muitas vezes apresentarão uma regularidade
em termos de frequência de resultados.
Anderson
Probabilidade
Experimentos Aleatórios
Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face
superior.
Resultados possíveis 1, 2, 3, 4, 5, 6
Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de
caras obtido.
Resultados possíveis 0, 1, 2, 3, 4
Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são
retiradas uma a uma (sem reposição) até que a última
defeituosa seja encontrada. Conta-se o número de peças
retiradas.
Resultados possíveis 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo gasto
até queimar.
Resultados possíveis [0, ∞)
Anderson
Probabilidade
Espaço Amostral
O espaço amostral (Ω) de um experimento aleatório é o
conjunto de todos os resultados possíveis (]Ω) desse
experimento.
Um espaço amostral é equiprovável se as frequências
relativas de seus elementos tendem a um mesmo valor
quando o número de vezes que o experimento é repetido
tende ao infinito
Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face
superior.
Ω = (1, 2, 3, 4, 5, 6) - espaço equiprovável.
Anderson
Probabilidade
Espaço Amostral
Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de
caras obtido.
Ω = (0, 1, 2, 3, 4) - espaço não equiprovável
0 - 1 possibilidade (Co,Co,Co,Co);
1 - 4 possibilidades (Co,Co,Co,Ca); (Co,Co,Ca,Co);
(Co,Ca,Co,Co); (Ca,Co,Co,Co);
2 - 6 possibilidades (Co,Co,Ca,Ca); (Co,Ca,Co,Ca);
(Co,Ca,Ca,Co); (Ca,Co,Co,Ca); (Ca,Co,Ca,Co);
(Ca,Ca,Co,Co)
3 - 4 possibilidades (Co,Ca,Ca,Ca); (Ca,Co,Ca,Ca);
(Ca,Ca,Co,Ca); (Ca,Ca,Ca,Co);
4 - 1 possibilidades (Ca,Ca,Ca,Ca)
Anderson
Probabilidade
Espaço Amostral
Um espaço amostral pode ser classificado como:
Finito
Infinitos
Enumeráveis (ou contáveis);
Não-enumeráveis (ou não contáveis.
Anderson
Probabilidade
Eventos
Os subconjuntos de Ω são chamados eventos aleatórios e
representam um resultado definido.
Seja E um experimento aleatório com um espaço amostral
associado Ω. Seja A um subconjunto de Ω. É dito que o
evento A ocorre se executado E, e o resultado for um
elemento de A.
Se A contém apenas um elemento, então A é um evento
elementar ou simples.
Se A pode ser decomposto em 2 ou mais sub-eventos,
então A é um evento composto.
Se A corresponde ao espaço amostral Ω, então A é um
evento certo
Se A corresponde ao conjunto vazio ∅, então A é um
evento impossível
Anderson
Probabilidade
Eventos
Todo subconjunto de um espaço amostral é um evento
apenas quando ele for finito ou infinito enumerável.
Se o espaço amostral é infinito não-enumerável é possível
construir subconjuntos que não são eventos.
Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo gasto
até queimar.
Ω = {t ∈ R/t ≥ 0}
Anderson
Probabilidade
Exemplos
Um baralho comum consiste de 52 cartas separadas em 4
naipes (♣, ♦, ♠, ♥) com 13 cartas de cada um. Para cada
naipe, os valores das cartas são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J,
Q, K e A. Um baralho comum é embaralhado.
Qual o tamanho do espaço amostral.
52
Seja o evento A - a carta é uma espada
O naipe de espada contém os valores (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, J, Q, K e A)
Seja o evento B: a carta é uma figura.
As figuras são J, Q, K e A, assim o evento B
=(J♣, Q♣, K ♣, A♣, J♦, Q♦, K ♦, A♦, J♠, Q♠, K ♠, A♠,
J♥, Q♥, K ♥, A♥)
Anderson
Probabilidade
Operações com Eventos
Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostra
Ω. Diz-se que ocorre o evento
O evento intersecção de A e B, denotado A ∩ B, é o evento
em que A e B ocorrem simultaneamente.
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos ou
disjuntos se eles não podem ocorrer simultaneamente
A ∩ B = ∅.
Anderson
Probabilidade
Operações com Eventos
O evento União de A e B, denotado A ∪ B, é o evento em
que A ocorre ou B ocorre (ou ambos).
O evento complementar de A, denotado Ac , é o evento em
que A não ocorre.
Anderson
Probabilidade
Exemplos
Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente,
temos o espação espaço amostral Ω, constituído pelos 12
elementos:
Ω = (Ca1, Ca2, Ca3, Ca4, Ca5, Ca6, Co1, Co2, Co3, Co4, Co5, Co6)
Considere os seguintes eventos A=(caras e face do dado
par ) B=(face do dado ser número primo), C=(coroas e
face do dado ímpar)
A = (Ca2, Ca4, Ca6)
B = (Ca2, Ca3, Ca5, Co2, Co3, Co5)
C = (Co1, Co3, Co5)
Anderson
Probabilidade
Exemplos
A = (Ca2, Ca4, Ca6), B = (Ca2, Ca3, Ca5, Co2, Co3, Co5)
C = (Co1, Co3, Co5)
Considere os seguintes eventos:
Ocorre em A ou B;
A ∪ B = (Ca2, Ca4, Ca6, Ca3, Ca5, Co2, Co3, Co5
Ocorre em B e C;
B ∩ C = (Co3, Co5)
Ocorre em A e C.
A∩C =∅
Não ocorre em A;
Ac = (Ca1, Ca3, Ca5, Co1, Co2, Co3, Co4, Co5, Co6)
Não ocorre em A e ocorre em C;
Ac ∩ C = (Co1, Co2, Co3)
Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos
A ∩ C = ∅ ⇒ são mutuamente exclusivos
Anderson
Probabilidade
Diagrama de Venn
Diagrama de Venn é uma representação para conjuntos
Anderson
Probabilidade
Probabilidade
Probabilidade é uma medida que quantifica a sua
incerteza frente a um possível acontecimento futuro.
Definição clássica de probabilidade
Seja A um evento de um espaço amostral Ω finito, cujos
elementos sao igualmente prováveis. Define-se a
probabilidade do evento A como
P(A) =
número de casos favoráveis
]A
=
número de casos possíveis
]Ω
Anderson
Probabilidade
Probabilidade
Definição frequentista de probabilidade
Considera-se um experimento que possa ser repetido nas
mesmas condições um numero grande n de vezes.
Novamente Ω denotara o espaço de resultados do
experimento. Seja A um evento cuja probabilidade se
deseje calcular. Neste caso o experimento sera repetido
varias vezes, estimando-se a probabilidade de A pela sua
frequência relativa de ocorrência, ou seja:
P(A) =
k
número de sucessos
=
número de repetições
n
Anderson
Probabilidade
Probabilidade
Uma urna contém 3 bolas vermelhas, 2 brancas e 1 azul.
Uma segunda urna contém 1 bola vermelha e 3 azuis.
Uma bola é selecionada ao acaso em cada urna.
Descreva o espaço amostral do experimento
Qual a probabilidade de ambas as bolas retiradas serem
da mesma cor.
Anderson
Probabilidade
Probabilidade
espaço amostral do experimento
(VV , VA, VA, VV , VA, VA, VV , VA, VA, BV , BA, BA,
BV , BA, BA, AV , AA, AA)
Anderson
Probabilidade
Probabilidade
Qual a probabilidade de ambas as bolas retiradas serem
da mesma cor. A = (VV , VV , VV , AA, AA)
]A
]Ω
5
P(A) =
= 0, 2778
18
P(A) =
Anderson
Probabilidade
Probabilidade
Repete-se esta experiência 100 vezes. Entre os 100 pares
de bolas retiradas e recolocadas, observam-se 30 pares
de bolas iguais e 70 diferentes.
k
n
30
P(A) =
= 0, 30
10
P(A) =
Anderson
Probabilidade
Propriedades de probabilidade
A probabilidade de ocorrência de Ω vale 1, ou seja,
P(Ω) = 1
Probabilidade de em evento certo e de um evento
impossível
P(Ω) = 1; P(∅) = 0
A probabilidade de ocorrência do evento A é não negativa,
ou seja, P(A) ≥ 0
Domínio da Probabilidade
0 ≤ P(A) ≤ 1
Regra da Adição de probabilidades de dois eventos A e B:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Probabilidade complementar
P(Ac ) = 1 − P(A)
Anderson
Probabilidade
Exemplo
Numa pesquisa sobre esporte na escola entrevistou-se
500 alunos, e obteve os seguintes dados:
200 alunos não praticam esporte (evento A);
150 alunos praticam futebol (evento B);
200 alunos praticam basquetebol (evento C)
Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso
praticar futebol e basquetebol?
Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso não
praticar esporte?
Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso
praticar futebol ou basquetebol?
Anderson
Probabilidade
Exemplo
200 + 150 + 200 = 550 ⇒ 550 − 500 = 50 (n de alunos
que praticam ambos esportes)
Diagrama de Venn
Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso
praticar futebol e basquetebol?
P(B ∩ C =
Anderson
50
= 0, 10
500
Probabilidade
Exemplo
Diagrama de Venn
Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso não
praticar esporte?
P(A) =
Anderson
200
= 0, 4
500
Probabilidade
Exemplo
Diagrama de Venn
Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso
praticar futebol ou basquetebol?
P(B∪C) = P(B)+P(C)−P(B∩C) =
Anderson
150 200 50
300
+
−
=
= 0, 60
500 500 500
500
Probabilidade
Exemplo
Um pesquisador queria avaliar o grau de satisfação ao
governo (ruim, bom e ótimo) de acordo com o sexo
(masculino, feminino). Para isso tomou uma amostra de
450 pessoas, conforme tabela abaixo.
Sexo
Feminino
Masculino
Total
Grau de Satisfação
Ruim Bom Ótimo
90
60
80
80
90
50
170
150
130
Total
230
220
450
Qual a probabilidade ter respondido que o governo é
ótimo?
Qual a probabilidade de ser homem e ter avaliado o
governo como ruim?
Qual a probabilidade de ser mulher ou ter avaliado o
governo com bom?
Anderson
Probabilidade
Exemplo
Qual a probabilidade ter respondido que o governo é
ótimo?
130
P(Otimo) =
= 0, 2889
450
Qual a probabilidade de ser homem e ter avaliado o
governo como ruim?
P(H ∩ Ruim) =
80
= 0, 1778
450
Qual a probabilidade de ser mulher ou ter avaliado o
governo com bom?
P(M∪Bom) = P(M)+P(Bom)−P(M∩Bom) =
Anderson
Probabilidade
230 150 60
320
+
−
=
= 0, 71
450 450 450
450
Probabilidade Geométrica
Probabilidade Geométrica pode ser definida como o ramo
da Probabilidade que usa elementos de geometria em
seus cálculos
Sejam X e Y pontos de uma determinada linha de
extremos A e B. Admite-se que a probabilidade de que um
ponto da linha AB pertença à linha XY (contida em AB) é
proporcional ao comprimento de XY e não depende da
posição dos pontos X e Y sobre AB. Portanto,
selecionando um ponto qualquer de AB, a probabilidade
de que ele pertença a XY será
P=
comprimento de XY
comprimento de AB
Anderson
Probabilidade
Probabilidade Geométrica
supondo que a figura plana B seja parte de outra figura
plana A e que se tenha escolhido ao acaso um ponto de A.
Se admite que a probabilidade de que esse ponto
pertença a B é proporcional à área de B e não depende
do lugar que B ocupa em A, então a probabilidade de que
o ponto selecionado esteja em B será
P=
Anderson
área de B
área de A
Probabilidade
Exemplo
Qual é a probabilidade de que uma pessoa, (de olhos
vendados) ao arremessar um dardo, atinja o disco central
de 10 cm de raio (r) de um alvo circular de 40 cm de raio
(R)? E se for agora um quadrado de 10 cm de lado (l),
colocado num interior de um quadrado de lado 20 cm (L),
qual a probabilidade que tenha atingido o quadrado
menor?
PG1 =
PG2 =
Área do círculo menor
Área do círculo menor
=
Área do quadrado menor
Área do quadrado maior
Anderson
πr 2
102
=
= 0, 0625 = 6, 25%
πR 2
402
=
l2
102
= 2 = 0, 25 = 25%
2
L
20
Probabilidade
Atividade 1 - Lançamento de dois dados
Descrição da atividade
PASSO 1 - Determinar o espaço amostral, do experimento
aleatório lançamento de dois dados.
PASSO 2 - Utilizando a tabela abaixo, marcar com a letra
correspondente, onde ocorre os eventos abaixo
relacionados
Evento A - Soma das faces ser maior que 6;
Evento B - Menor face ser igual a 5;
Evento C - Soma das faces ser maior que 6 e menor face
ser diferente de 5;
Evento D - Ter face par no dado verde;
Evento E - das faces ser maior que 6 ou face impar no dado
verde.
Anderson
Probabilidade
Atividade 1 - Lançamento de dois dados
Descrição da atividade
PASSO 3 - Determinar as seguintes probabilidades:
Qual a probabilidade da soma das faces ser maior que 6?
Qual a probabilidade da menor face ser igual a 5?
Qual a probabilidade da soma das faces ser maior que 6 e a
menor face ser diferente de 5;
Qual a probabilidade de ter face par no dado verde;
Qual a probabilidade de face ser maior que 6 ou face impar
no dado verde.
Anderson
Probabilidade
Atividade 1 - Lançamento de dois dados
Descrição da atividade
PASSO 4 - Responder as seguintes perguntas:
O evento C é composto com qual operação entre os eventos
A e B?
O evento E é composto com qual operação entre os eventos
A e D?
Quais eventos são disjuntos?
Anderson
Probabilidade
Atividade 2 - Problema do macarrão
Descrição da atividade
PASSO 1 - Distribuir um espaguete de macarrão para todos
os participantes (n) e pedir para dividi-lo aleatoriamente em
três pedaços, sem ainda explicar a finalidade da divisão.
PASSO 2 - Pedir para que todos os participantes tentem
formar um triângulo com os três pedaços, anotar o número
de sucessos (k ) obtidos e calcular o valor de PF ,
utilizando-se o conceito de probabilidade frequentista, ou
seja, PF = kn .
PASSO 3 - Comparar e discutir o valor de PF , com o valor
PG = 0, 25, sendo este valor (PG) fixo, determinado por
meio do método da probabilidade geométrica (para
maiores detalhes, ver Wagner 1997).
Anderson
Probabilidade
Atividade 3 - Problema do macarrão
Descrição da atividade
PASSO 1 - Estabelecer a família de retas paralelas. Pode
ser utilizada uma folha de papel pautada, a cerâmica na
sala de aula (devendo-se apenas ter o cuidado de
estabelecer se as retas serão as da largura ou as do
comprimento) ou qualquer outro tipo de material, sendo
necessário apenas que a distância "a"entre as retas
paralelas seja fixa.
PASSO 2 - Lançar uma agulha ou uma vareta de madeira,
de comprimento l (l < a) 50 vezes (n) e, a cada
lançamento, anotar se a agulha (vareta) intercepta uma
das retas, determinado assim o número de k sucessos.
PASSO 3 - Probabilidade de que a agulha intercepte uma
das retas. Calcular o valor de P, utilizando-se o conceito de
probabilidade frequentista, ou seja, por meio da fórmula
PF = kn
Anderson
Probabilidade
Atividade 3 - Problema do macarrão
Descrição da atividade
PASSO 4 - Determinar o valor de π . Utilizar o conceito de
probabilidade geométrica, em que
P=
2l
πa
(para maiores detalhes, ver TUNALA, 1995 e substituir o
valor de P obtido no PASSO 3, determinando, dessa forma,
assim o valor de π pela fórmula
π=
Anderson
2nl
ka
Probabilidade