Revista Brasileira de Física , Vol. 8, NP 3, 1978
Análise da Moderação de Neutrons Considerando o Espalhamento Linearmente Anisotrópico no C.M.
A. SENRA MARTINEZ
Programa de Engenharia Nuclear, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro
L. PINGUELLI ROSA
iInstituto de Física da UFRJ, Rio de Janeiro
Recebido em 12 de Setembro de 1977
The e f f e c t o f the a n i s o t r o p y o f t h e d i f f e r e n t i a l s c a t t e r i ng c r o s s - s e c t i o n ,
i n t h e c e n t e r o f mass, o f neutrons by n u c l e i ,
studied.
i n n e u t r o n m o d e r a t i o n ,i s
The t r a n s p o r t e q u a t i o n i s s o l v e d u s i n g t h e B1
approximation
and t h e methods o f Selengut- Goertzel and G r e u l i n g - G o e r t z e l . T o d e t e r m i ne t h e mean v a l u e o f t h e s c a t t e r i n g a n g l e cosine,
treated
anisotropi-
c a l l y , we have made use o f t h e s c a t t e r i n g d i f f e r e n t i a l c r o s s - s e c t i o n o f
t h e r i g i d sphere model
.
The n e u t r o n spectrum was computed i n t h e cases
o f i s o t r o p i c and a n i s o t r o p i c s c a t t e r i n g ,
the results
being
then con-
f r o n t e d i n order t o estimate the e r r o r o f the i s o t r o p i c approximation.
We have a l s o computed,
i n b o t h cases, themean l e t a r g y incrementby neu-
t r o n col l i s i o n wi t h O16 n u c l e i
É
.
estudado o e f e i t o da a n i s o t r o p i a da seção de choque
diferencial
espalhamento, no c e n t r o de massa, de n e u t r o n s p o r núcleos, na
ção de neutrons. A equação de t r a n s p o r t e
de
modera-
é r e s o l v i d a u t i l i z a n d o a apro-
ximação B1 e os métodos de Selengut- Goertzel e G r e u l i n g - G o e r t z e l . Para
d e t e r m i n a r o v a l o r médio do coseno do â n g u l o de espalhamento,
quando
e s t e é t r a t a d o a n i s o t r o p i c a m e n t e , f o i u t i li z a d a a seção de choque d i f e r e n c i a l de espalhamento o b t i d a do modelo da e s f e r a r í g i d a .
O espec-
t r o de n e u t r o n s f o i c a l c u l a d o p a r a os casos de espalhamento i s o t r ó p i c o
e anisotrópico
e o s r e s u l t a d o s foram comparados com o o b j e t i v o d e ava-
l i a r o e r r o cometido na aproximação i s o t r ó p i c a . Também f o i
calculado,
em ambos os casos,
O
acréscimo médio de l e t a r g i a por c o l i s ã o
de
neu-
t r o n s com núcleos de O16.
O e f e i t o da a n i s o t r o p i a do espalhamento e l á s t i c o de neutrons p o r núcleos moderadores,
no sistema de c e n t r o de massa,
tem sido, há muito
tempo, o b j e t o de investigação na F í s i c a de Reatores. Um dos primei ros e
mais relevantes trabalhos sobre o assunto f o i o de Zweifel e ~ u r w i t z l .
Apesar de não s e r novo, e s t e assunto não f i c o u esgotado 2 ,
uma vez que
há problemas para aplicações p r á t i c a s dos formalismos e x i s t e n t e s e há
mui tos trabalhos que estudam a moderação de neutrons cons i derando o espalhamento i s o t r ó p i c o .
Este t r a b a l h o .teve o r i gent na anã1 i s e do código L E O P A R D ~ ,o qual calcul a o espectro de neutrons e o u t r o s parâmetros f Í s i c o s de
reatores nu-
cleares a água l e v e e tem s i d o bastante usado na anã1 i s e do comportamento dos reatores em instalações no'país.
Nessa a n i l i s e f o i v e r i f i -
cado que seus c á l c u l o s , na f a i x a rápida de energia, são baseados na h i pótese de o espalhamento de neutrons por núcleos
ser
isotrópico
no
sistema c e n t r o de massa, embora incluam umà correção empírica devido à
a n i s o t r o p i a . E apresentado aqui um tratamento t e ó r i c o mais r i g o r o s o
e
g e r a l em s u b s t i t u i ç ã o a essa correção, o qual pode s e r
facilmente, in-
troduzido no código de c á l c u l o . O espectro de neutrons
e o acréscimo
médio de l e t a r g i a por c o l i s ã o de neutrons com~nÚcleosde 016 foram os
resultados escolhidos para comparar o tratamento apresentado neste t r a balho e o f o r n e c i d o no código LEOPARD.
2. ESPECTRO DE NEUTRONS
A equação de Transporte de neutrons, no estado estacionârio,emum meio
homogêneo, pode s e r expressa da seguinte forma 4 :
A função J($,u,z)
representa o f l u x o angular de neutrons, em uma p o s i -
+
ção r, com uma l e t a r g i a u e com a velocidade dos neutrons orientadapa3
ra uma d i r e ç ã o Q. As seções de choque macroscópicas defissão, de transf e r ê n c i a e t o t a l (absorção e espal hamento) são representadas r e s p e c t i 3
3
v a m n t e por C (u), z s ( u f + u , a f ~ ) e zt(u).
f
O p r i m e i r o termo
ã direita
da igualdade na equação ( I ) , c o r r e s p o n d e ao termo de f o n t e
em uma forma e x p l í c i t a , onde v(u) é o número & d i o
escrito
de neutrons p o r f i s -
são e ~ ( u )o espectro de f issão em função da l e t a r g i a . Esta equação pode ser r e s o l v i d a numericamente desde que sejam f e i t a s algumas a p r o x i mações, por exemplo a aproximação B 5. A dependência espacial do f l u x o
N
3
angular ( r , u , ~ ) pode s e r expressa em termos do buckting geométrico,
i s t o é:
A seção de choque de t r a n s f e r ê n c i a da equação (1) pode ser aproximada
no sistema l a b o r a t ó r i o por:
onde
v.
++
3
= Q-Q' é o coseno do ângulo e n t r e os vetores Q e
8'
referidos
ao sistema l a b o r a t ó r i o . Expandindo ~ ~ ( u , ? $ em s é r i e dos p o l inômios de
Legendre e s u b s t i t u i n d o na equação (1) juntamente com as equações (2) e
(3) são o b t i d o s os c o e f i c i e n t e s da expansão;
Fazendo m:=O e m=l estes c o e f i c i e n t e s são i n t e r p r e t a d o s fisicamente como sendo respectivamente o f l u x o e o mõdulo da c o r r e n t e de neutrons, e
as equaç&s
r e s u l t a n t e s serão as da aproximação B1
',
suposição
No código LEOPARD estas equações são s impl i f i cadas usando a
do espalhamento s e r i s o t r õ p i c o no c e n t r o de massa e u t i l i z a n d o os métodos de Greul i ng-Goertzel
e Selengut- Goertzel
respectivamente para a
moderação de neutrons por núcleos mais pesados do que o
Hidrogênio
e
por núcleos de H i d r i g ê n i o . A d i f e r e n ç a básica e n t r e os d o i s &todos
6
devida ao f a t o de um neutrom poder perder toda a sua energia em uma Ún i c a i n t e r a ç ã o com um núcleo de Hidrogênio, enquanto com os demais moderadores e l e perde 'apenas uma parcela de sua energia.
Na. equação (5) é imposta a condição de normalização do f l u x o de neutrons, igualando a i n t e g r a l do termo de f i s s ã o
unidade. Com
isso
é
r e t i r a d a a necessidade do conhecimento do f l u x o de neutrons na região
de t e rma1i zaçáo
.
3. ESPALHAMENTO ISOTRÓPICO NO CENTRO DE MASSA
A ÜI tima i n t e g r a l da equação
( 5 ) expressa o número de neutrons que se
moderam de uma l e t a r g i a u' para a l e t a r g i a f i n a l u, devido
çÕes com os diversos núcleos moderadores.
a
intera-
Sendo o Hidrogênio um f o r t e
moderador, é conveniente escrever a r e f e r i da i n t e g r a l , separando a cont r i b u i ç ã o do Hidrogênio, i s t o
6:
onde cH e
E
i
são respectivamente os ganho máximo de l e t a r g i a do neutron
em uma c01 isão com núcleos de Hidrogênio e núcleos mais pesados do que
o Hidrogênio.
de de &deração
O p r i m e i r o termo da equação acima, associado à densidade neutrons por nücleos de Hidrogênio, quando o espa-
Ihamento é i s o t r õ p i c o no C.M.,
O segundo termo, associado
pode s e r e s c r i t o na forma6p7
à densidade de moderac:ão
p o r núcleos mais
pesados do que o do H i droggnio pode ser representado por
onde
zH
S
i
e 1 são respectivamente as seções de choque macroscÓpicas
S
espal harnento e l á s t i c o do Hidrogênio e dos elementos moderadores
mais pesados do que o Hidrogênio.
onde A .
2
de
"iI',
O parâmetro a,. è dado p e l a relação,
1.
é o nümero de massa do elemento rwderador "ii1.
Apl icando o tratamento de Greul ing- Goertzel ao termo q .(u) e em seguida somando a c o n t r i b u i ç ã o de todos os elementos moderadores "ii1
resulta,
onde
sendo
540
i é
O parâmeti-o 1
um nümero associado a.cada elemento moderador "i",
sendo dado p e l a rela ç ão 6 :
De posse das equações a u x i l i a r e s
(7)
e
(9)o c ó d i g o
mericamente o sistema de equações acopladas
LEOPARD r e s o l v e nu-
da aproximação
B1
,
das
quais sao determinados o f l u x o e a c o r r e n t e de neutrons. A c o r r e ~ ã o f e i t a no r e f e r i d o código, para l e v a r em conta o e f e i t o da a n i s o t r o p i a da
seção de choque de espalharnento no C.M.,
râmetro X
tron,
resume-se em
m d i f i c a r o pa-
Este parâmetro acima d e f i n i d o independe da energia do neu-
i'
apenas dependendo do número de massa do elemento moderador.
t r e t a n t o , o parâmetro ,Ai
fornecido na b i b l i o t e c a de dados
do
En-
código
L E O P A R D ~ ' ~ ~s,o f r e uma variação com a energia para l e v a r em conta a a n i s o t r o p i a . Esta correção empirica não tem um c a r á t e r g e r a l ,
ela
v i s t o que
é f e i t . a em alguns i n t e r v a l o s de energia e para alguns elementos
considerados moderadores na composição do r e a t o r PWR.
Embora
troduza assim uma correção devido à a n i s o t r o p i a , as equações
se
in-
(9)e
(101,
como será v i s t o adiante, são v á l i d a s apenas no caso i s o t r ó p i c o .
4. ESPALHA,MENTO LINEARMENTE ANISOTRÓPICO
Em s u b s t i t i i i ç ã o a essa correção será considerado o espalhamento 1 i n e a r mente a n i s u t r ó p i c o no sistema c e n t r o de massa.
A p r o b a b i l i d a d e de um neutron, com uma l e t a r g i a i n i c i a l u',
ter
após
uma c o l i s ã o com um núcleo de número de massa
Ai, sua l e t a r g i a compre-
endida e n t r e u e u+du, quando o espalhamento é linearmente a n i s o t r õ p i c o no c e n t r o de massa, é dada por5.
onde G.(ui)
Z
é o v a l o r médio do coseno do ângulo de espalhamento (u) no
sistema c e n t r o de massa.
O termo rl .(u)
para o espalhamento a n i s o t r õ p i c o assume a seguinte ex-
L.'
pressão:
U
rli(U)
=
1
U-E
1
3ii(U1)
( i --
dui :E (u') 4 0 ( ~ ' )
i
I -ai
1 -ai
Seguindo o tratamento dado p o r Greul i n g - ~ o e r t z e l ! 5 ? no
8 caso do espal hamento i s o t r ó p i co, quando f o r f e i t a a soma sobre .todos os elementos mode radores "ireta
" i- se na equação
w l o r de q(u) para
sendo
onde
(9),
bastando que s e j a redef i n i do o
O t r a t a m m t o i n t r o d u z i do f i c a completamente equacionado quando d e t e r minado o v a l o r médio do coseno do ângulo de espalhamento
no
sistema
c e n t r o de massa. Tal v a l o r é d e f i n i d o por
onde
6
a segão de choque d i f e r e n c i a l de espalhamnto no s i s t e -
ma c e n t r o de massa. E conveniente para a nossa a n á l i s e expressar a se-
ção de ch,oque em termos dos polinômios de Legendre,
Esta expressão é truncada no segundo termo, a f i m de que a seção de choque de espalhamento possa s e r aproximada p o r uma forma l i n e a r do coseno do ângulo de espalhamento, no sistema c e n t r o de massa.Resulta então
que,
Para determinar os c o e f i c i e n t e s da equação (18) f o i usado um modelo f Ís i c o da seção de choque de espalhamento. O modelo e s c o l h i d o f o i o
e s f e r a rigida11912, não só por e l e s e r esfericamente s i m é t r i c o ,
da
logo,
permi t e representar a dependência angular em função dos pol inõmios de
Legendre, mas também porque e l e é a p l i c á v e l a baixas energias. Tomando
apenas os termos R=O e R=1 da expressão da amplitude de espalhamentoem
ondas p a r c i a i s deste modelo, obteremos
o módulo do v e t o r de propagaas defasagens e K = =/A
e
O
onde m é a massa reduzida do sistema neutron e núcleo moderador.
sendo 6
çãoll
Sendo R o r a i o da e s f e r a r í g i d a e levando em conta que para baixas energias KR<<~,é o b t i d a para a seção de choque uma aproximação
1inear
em li,
s
= ~2
+
2 k 2 ~ 4 ~
(19)
O v a l o r do r a i o R (aproximadamente i g u a l ao r a i o do núcleo do elemento
m d e r a d o r ) é dado por13:
o que conduz ao seguinte v a l o r médio do coseno do ângulo de espalhamento de neutrons p o r núcleos.
onde
K é a razão e n t r e a massa do núcleo espalhador e a massa do neu-
tron.
5. RESULTADOS E COMPARAÇAO
O formalismo apresentado na seção 3 deste t r a b a l h o
6 r e s o l v i d o numeri-
camente p e l o código LEOPARD, na f a i x a rápida de energia. O código LEO-
PARD anal i s a a d i f u s ã o dos neutrons em um r e a t o r PWR, sendo que o i n t e r v a l o de energia e s t á compreendido e n t r e O e 10 MeV. A f a i x a térmica,
ou r e g i ã o de termal ização, compreende as energias e n t r e '0 e 0.625e~,
sendo o r e s t a n t e da escala energética denominada de f a i x a rápida ou re-
g i ã o de moderação.
Na f a i x a térmica o c á l c u l o de m u l t i g r u p o é e s t r u -
turado em 172 microgrupos e na rápida em34 microgrupos, sendo que após
serem f e i t o s todos os c ã l c u l o s , os resultados são consensados em 4 macrogrupos; um térmico i t r ê s rápidos.
As equações para o espalhamento ani s o t r õ p i co, apresentadas na seção 4,
foram por nós incorporadas ao código LEOPARD em s u b s ~t iu i ção ao t r a t a mento por e s t e apresentado. A e s t a versão que usa o modelo t e ó r i c o da
seção 4 denominamos de LEOPARD/l
.
Para f i n s de comparação r e t i ramos o tratamento .aproximado da ani s o t r o p i a apresentado no LEOPARD, resultando uma nova versão do código,
qual não i n c l u i o e f e i t o da a n i s o t r o p i a . A e s t a
a
versão chamaremos de
LEOPARD/O.
Na tabela 1 são apresentados os f l u x o s de neutrons o b t i d o s pelos códigos LEOPAR.D/O, LEOPARD e LEOPARD/l
para alguns grupos de energia, cu-
j o s l i m i t e s i n f e r i o r e s são também apresentados nesta tabela.
s i ç ã o para e s t e caso exemplo
r a t u r a s do moderador e da p a s t i l h a respectivamente
e 727?C, e a concentração de
A compo-
é fornecida na tabela 2, sendo as tempe-
u~~~
iguais
a 306?C
no elemento combustivel de 1,8%.
E notado a través de uma simples comparação dos resultados apresentados
na tabela 1, que o e f e i t o da a n i s o t r o p i a da seção de
choque
de espa-
lhamento na moderação de neutrons 6 maior nas energias mais elevadasda
f a i x a rápida.
Quali tativamente pode-ser a f i rmar que o espal hamento de
neutrons F o r núcleos moderadores é a n i s o t r ó p i co para neutrons com energ i a s maiores do que 1 ,O MeV.
Na f i g u r a 1 são comparados os acréscimos médios de l e t a r g i a por c01isão com nÜcleos de 016, ca1cu1ados nos códigos LEOPARD/O
e
LEOPARD/l
com o f o r n e c i d o pela b i b l i o t e c a de dados do código LEOPARD. O
t r o 5 . calculado no código LEOPARD/O é dado a n a l i t i c a m e n t e pela
Z
ção (1 I ) , enquanto o parâmetro calculado p e l o código LEOPARD/l
-
parâmeequa-
é obti -
do através da expressão E .-i;
I
sendo I
e vi anal i t i camente fornez iil'
i1
c i d o s respectivamente nas equaçoes (15) e (21). No caso i s o t r ó p i c o como era de se esperar o acréscimo médio de l e t a r g i a p o r c o l i s ã o
é cons-
ENERGIA INFERIOR
LEOPARD
DO GRUPO (eV)
Tabela 1
-
Fluxo de Neutrons.
t a n t e em relação à energia do neutron. Para o caso do espalharnento 1inearmente a n i s o t r õ p i c o ,
é v e r i f i c a d o que t a l parâmetro decresce, com o
crescimento da energia, em relação ao f o r n e c i d o p e l o c a s o i s o t r ó p i c o . A
variação apresentada p e l o parâmetro calculado p e l o LEOPARD/l êmaior do
que a do f o r n e c i d o p e l o LEOPARD. A redução sensível do a c r é s c i m médio
'RL-~LT_
PASTI LHA
REVESTIMENTO
MODERADOR
EXTRA
ELEMENTOS
i a b e l i3 2
-
Composição do Reator.
Fig.1
-
Acréscimo médio de letargia por colisão com um núcleo de 0-16.
de l e t a r g i a p o r c o l i s ã o , quando é suposta a a n i s o t r o p i a n o s i s t e m a cent r o de massa, i m p l i c a em d i z e r que o processo de moderação
é
afetado
p e l a a n i s o t r o p i a do espalhamento. Fisicamente i s s o se deve ao f a t o de
que os núcleos moderadores f i c a m menos e f i c a z e s na redução da e n e r g i a
dos n e u t r o n s . A redução do acréscimo médio de l e t a r g i a r e f l e t e a p r e domi nânc i a do espa 1hamento p a r a d i reções que e s t e j a m pouco a f a s t a d a s da
d i r e ç ã o de i n c i d ê n c i a do n e u t r o n .
Conclui-se que a a n i s o t r o p i a do espalhamento deve ser levada em consideração, no estudo da moderação de neutrons, na medida em que se desej e representar adequadamente o fenômeno f i s i c o . Embora o o b j e t i v o p r i n c i p a l dos códigos de simulação, por exemplo o LEOPARD, s e j a
alcançado
quando correções empiricas são realizadas, é Ú t i l . usar modelos f í s i c o s
mais r e a l i s t a s a f i m de que o sucesso dos métodos não dependam do cancelamento eventual dos erros.
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