Ministério da Educação - MEC
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica (SETEC)
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará
CURSO FIC – COZINHEIRO
DISCIPLINA: MATEMÁTICA APLICADA
PROFESSOR: FERNANDO MACEDO
Ministério da Educação - MEC
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica (SETEC)
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará
MATEMÁTICA APLICADA
FERNANDO MACEDO
CURSO FIC – COZINHEIRO
CRÉDITOS
Presidente
Dilma Vana Rousseff
Coordenador Adjunto - Reitoria
Armênia Chaves Fernandes Vieira
Ministro da Educação
Aloizio Mercadante Oliva
Supervisão - Reitoria
André Monteiro de Castro
Daniel Ferreira de Castro
Secretaria de Educação Profissional e
Tecnológica
Marco Antonio de Oliveira
Reitor do IFCE
Virgilio Augusto Sales Araripe
Coordenador Adjunto - Campus
Fortaleza
Fabio Alencar Mendonça
Supervisores
Andréa Pinto
Pró-Reitor de Extensão
Zandra Maria Ribeiro Mendes
Dumaresq
Orientadores
Francisco Tearle Pinheiro
Pró-Reitor de Ensino
Reuber Saraiva de Santiago
Elaboração do conteúdo
Fernando Macedo
Pró-Reitor de Administração
Tássio Francisco Lofti Matos
Diagramação
Francisco Emanuel Ferreira Mariano
Pró-Reitor de Pesquisa, Pós Graduação
e Inovação
Auzuir Ripardo de Alenxandria
Diretor Geral Campus Fortaleza
Antonio Moises Filho de Oliveira Mota
Diretor de Ensino Campus Fortaleza
José Eduardo Souza Bastos
Coordenador Geral – Reitoria
Jose Wally Mendonça Menezes
O QUE É O PRONATEC?
Criado no dia 26 de Outubro de 2011 com a sanção da Lei nº 12.513/2011 pela
Presidenta Dilma Rousseff, o Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e
Emprego (Pronatec) tem como objetivo principal expandir, interiorizar e democratizar
a oferta de cursos de Educação Profissional e Tecnológica (EPT) para a população
brasileira. Para tanto, prevê uma série de subprogramas, projetos e ações de
assistência técnica e financeira que juntos oferecerão oito milhões de vagas a
brasileiros de diferentes perfis nos próximos quatro anos. Os destaques do Pronatec
são:
• Criação da Bolsa-Formação;
• Criação do FIES Técnico;
• Consolidação da Rede e-Tec Brasil;
• Fomento às redes estaduais de EPT por intermédio do Brasil Profissionalizado;
• Expansão da Rede Federal de Educação Profissional Tecnológica (EPT).
A principal novidade do Pronatec é a criação da Bolsa-Formação, que permitirá
a oferta de vagas em cursos técnicos e de Formação Inicial e Continuada (FIC), também
conhecidos como cursos de qualificação. Oferecidos gratuitamente a trabalhadores,
estudantes e pessoas em vulnerabilidade social, esses cursos presenciais serão
realizados pela Rede Federal de Educação Profissional, Científica e Tecnológica, por
escolas estaduais de EPT e por unidades de serviços nacionais de aprendizagem como
o SENAC e o SENAI.
Objetivos
•
•
•
•
Expandir, interiorizar e democratizar a oferta de cursos de Educação
Profissional Técnica de nível médio e de cursos e programas de formação
inicial e continuada de trabalhadores;
Fomentar e apoiar a expansão da rede física de atendimento da Educação
Profissional e Tecnológica;
Contribuir para a melhoria da qualidade do Ensino Médio Público, por meio
da Educação Profissional;
Ampliar as oportunidades educacionais dos trabalhadores por meio do
incremento da formação profissional.
Ações
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•
•
•
•
Ampliação de vagas e expansão da Rede Federal de Educação Profissional e
Tecnológica;
Fomento à ampliação de vagas e à expansão das redes estaduais de Educação
Profissional;
Incentivo à ampliação de vagas e à expansão da rede física de atendimento
dos Serviços Nacionais de Aprendizagem;
Oferta de Bolsa-Formação, nas modalidades:
Bolsa-Formação Estudante;
Bolsa-Formação Trabalhador;
Atendimento a beneficiários do Seguro-Desemprego.
INDICES
Conteúdo
Página
Introdução......................................................................................................................
02
Número natural.............................................................................................................
03
Expressões numéricas...................................................................................................
06
Fatoração – Decomposição de números naturais em fatores primos.......................
07
Máximo divisor comum – mdc....................................................................................
07
Mínimo múltiplo comum – mmc.................................................................................
08
Números racionais(frações).........................................................................................
09
Razão e proporção.......................................................................................................
21
Regra de três simples...................................................................................................
26
Porcentagem.................................................................................................................
27
Juros simples.................................................................................................................
31
Unidades de medidas....................................................................................................
31
Referências bibliográficas............................................................................................
38
1
INTRODUÇÃO
O intuito de relacionar a Matemática e a cozinha é que as diversas receitas utilizam em seus
processos números fracionários, como 1/2 (meia) xícara, 1/3 (um terço) copo americano, entre outras
medidas. A adição, a subtração, a multiplicação e a divisão são aplicadas nos processos. Observe as
receitas a seguir:
Pão de queijo – 30 porções
1/2 copo de óleo de soja
1 copo de leite
4 ovos
250 gr de queijo meia-cura
1/2 kg de polvilho doce
1 colher (sobremesa) de sal
Com base na receita padrão acima, sugira ao aluno que determine as medidas caso a porção seja
reduzida para 15 porções.
1/2 copo de óleo de soja
1/2 : 2 = 1/4
1 copo de leite
1 : 2 = 1/2
4 ovos
4:2=2
250 gr de queijo meia cura
250 : 2 = 125 gr
1/2 kg de polvilho doce
1/2 : 2 = 1/4 kg = 250 gr
1 colher (sobremesa) de sal
1 : 2 = 1/2
Portanto, a receita para 15 porções será:
1/4 copo de óleo de soja
1/2 copo de leite
2 ovos
125 gr de queijo meia-cura
1/4 kg de polvilho doce
1/2 colher (sobremesa) de sal
No caso de uma receita para 60 porções, teremos:
1 copo(s) de óleo de soja
2 copos de leite
8 ovos
500 gr de queijo meia-cura
1 kg de polvilho doce
2 colheres (sobremesa) de sal
2
NÚMERO NATURAL
Não levando em conta a qualidade dos elementos que constituem os conjuntos que estão em
correspondência biunívoca, verificamos que eles possuem uma propriedade comum – a quantidade de
elementos ou o número de elementos.
A propriedade comum aos conjuntos que podem ser colocados em correspondência biunívoca é
o que chamamos de número natural.
Os números naturais constituem um conjunto denominado conjunto dos números naturais .
indica-se pela letra N.
N = { 0, 1 ,2, 3 , 4 . . . }
N* = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . . . } é o conjunto dos números naturais excluído o 0.
Operações fundamentais com números naturais
ADIÇÃO
A reunião de dois conjuntos A e B disjuntos ( sem elementos comuns ) é constituída pelos
elementos que pertencem a A ou a B.
A
B
Sejam :
n(A) = 6 – número de elementos do conjunto A
n(B) = 5 – número de elementos do conjunto B
Daí resulta:
n(A U B ) = 11 número de elementos do conjunto reunião.
Vemos que : n(A) + n(B) = n (A U B ou 6 + 5 = 11
A operação que fizemos chama-se adição, 6 e 5 são as parcelas e o resultado da operação , 11 , é
a soma .
A adição faz corresponder a dois números dados em certa ordem ( par ordenado ) um único
número que é a soma do primeiro com o segundo.
Atividade de Classe:
1. Responda:
a) Como se chamam os termos de uma adição?
b) Na igualdade 36 + 64 = 100 , como é chamado o número 100 ?
c) Na igualdade 21 + 69 = 90 , como se chamam os números 21 e 69 ?
2. Calcule:
a) 85 + 135
b) 3025 + 4975
c) 2001 + 299
d) 3025 + 4975
e) 10906 + 3286
f) 43205 + 16895
3
3. Resolva os problemas:
a) Helena tinha um saldo de R$ 172 906,00 na sua caderneta de poupança.. No último trimestre,
recebeu R$43 218,00 de juros e correção monetária. Com que saldo ficou?
b) Júnior comprou um aparelho de som para o seu carro por R$ 165 400,00. A seguir, pagou R$ 13
500,00 para a sua instalação . Quanto gastou ao todo?
c) De acordo com o censo de 1980, Rondônia , o mais novo estado da Federação, tem uma
população urbana de 233 301 habitantes e uma população rural de 259 509 habitantes. Qual é a
população total de Rondônia ?
Propriedade estruturais
a) Fechamento : A soma de dois números naturais é um número natural .
5 N , 6  N  ( 5 + 6 )  N
b) Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma.
4  8  12
  4  8  8  4 4 + 8 = 12
8  4  12
c) Elemento neutro: No conjunto dos números naturais , zero é chamado elemento neutro da
adição.
5+ 0 = 5; 0 + 7 = 7
d)Associativa: A adição de três parcelas pode ser feita associando –se as duas primeiras ou as duas
últimas parcelas indiferentemente.
( 5 + 13 ) + 4 = 5 + ( 13 + 4 )
Atividade de Classe
1. Nas relações abaixo, diga qual é a propriedade estrutural que está sendo empregada:
a) 9  N , 15  N  ( 9 + 15 )  N
b) 8 + 7 = 7 + 8
c) 18 + 0 = 18
d) (22 + 15) + 17 = 22 ( 15 + 17 )
e) 0 + 9 = 9
f) 32 + 18 = 18 + 32
2. Copie as sentenças seguintes, completando-as para que fiquem verdadeiras:
a) Numa adição, a ordem das parcelas não altera a ..............................................
b) O elemento neutro da adição é o número .........................................................
c) A soma de dois números naturais é um número ...............................................
4
MULTIPLICAÇÃO
Produto de dois números
Consideremos a soma de 5 parcelas iguais a 3.
3 + 3 + 3 + 3 +3 = 15
Esta soma pode ser indicada por 3 x 5 = 15 ( ou 3 . 5 = 15 ) que se lê : “3 vezes 5 igual a 15”, e
recebe o nome de produto. Pode –se dizer que produto é a soma de parcelas iguais e a operação é a
multiplicação . Então:
MULTIPLICAR É SOMAR PARCELAS IGUAIS
A parcela que se repete, chama-se multiplicando; o número de parcelas repetidas, multiplicador
e o resultado, produto.
3 x 5 = 15
produto
multiplicador
}
são também chamados fatores
multiplicador
Não se pode falar em produto, se o multiplicador for 1 ou 0 . Entretanto , aceita-se que a
multiplicação de qualquer número por 1 dá o próprio número e a multiplicação de qualquer número
por zero dá zero. Assim:
3 x 1 = 3; 3 x 0 = 0
Pode-se dizer que a multiplicação faz corresponder a dois números dados em certa ordem ( par
ordenado ) um terceiro número que é o produto do primeiro pelo segundo.
X 15 ao par ordenado ( 3, 5 ) , a multiplicação faz corresponder o
Assim: ( 3 , 5 )
número 15 qual é o produto de 3 por 5
3. Calcule:
a) 83 x 35
b) 123 x 42
c) 75 x 39
d) 209 x 78
e) 47 x 26
f) 625 x 25
4. Resolva os problema:
a) Em junho de 1983, o litro de álcool hidratado custava R$ 1,78. O tanque de um Gol comporta
52 litros. Quanto se gastava para encher o tanque de um Gol?
b) Sabemos que 1 minuto tem 60 segundos. Quantos segundos há em 15 minutos
c) O salário – família recebido por um trabalhador é de Rr$ 1 738,00 por filho menor de 14 anos .
Quanto receberá um operário que tem 56 filhos nessa condições?
5
Propriedade estruturais
a) Fechamento : O produto de dois números naturais é sempre um número natural.
2  N, 5  N  2 x 5  N
b) Comutativa : A ordem dos fatores não altera o produto.
7 x 4 = 28
7x4=4 x 7
4 x 7 = 28
}
c) Elemento neutro: O numero 1 multiplicado por qualquer número e em qualquer ordem, dá por
produto aquele mesmo número.
5x1= 1x5=5
d) Associativa: Numa multiplicação de três fatores , podem-se associar os dois primeiros ou os dois
últimos, indiferentemente .
} ( 4 x 5 ) x 2 = 4 x (5 x 2 )
(4 x 5 ) x 2 = 20 x 2 = 40
4 x (5 x 2 ) = 4 x 10 = 40
Atenção! Se um produto de três ou mais fatores um deles é zero, o produto é igual a zero:
3 x 3 x 5 = 0 ; 8 x 12 x 0 x 7 = 0
e) Distributiva da multiplicação em relação à adição ( ou subtração ):
O produto de um número por uma soma ( ou diferença ) pode ser obtido, multiplicando –se o
número por cada um dos termos da soma ( ou diferença ) e adicionando-se ( ou subtraindo –se ) os
produtos parciais. Assim:
}
9x(3+2) =9x5
= 45
9 x 3 + 9 x 2 = 27 + 18 = 45
9x(3+2)=9x3+9x2
4 x (7 – 3 ) = 4 x 4 = 16
4 x 7 – 4 x 3 = 28 – 12 = 16
4x(7–3)=4x7 -4x3
}
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
São as expressões matemáticas que envolvem as operações matemáticas básicas (soma,
subtração, multiplicação e divisão), podendo envolver simultaneamente essas quatro
operações numa única expressão numérica.
Como maneira de separar e também organizar as expressões numéricas, é comum utilizar
símbolos matemáticos para separar partes da equação ou mesmo para evidenciar que uma
determinada operação matemática deve ser realizada antes que outra. Os símbolos
utilizados para esse fim são: parênteses → ( ), colchetes → [ ] e chaves → { }.
Para resolver essas expressões, deve-se obedecer a uma ordem de resolução, tanto das
operações matemáticas básicas como dos símbolos matemáticos. Essa ordem é indicada abaixo:
primeiro parênteses → ( ); depois: colchetes → [ ] e posteriormente as chaves → { }
Resolver:
a) 13 + [ 33 - ( 11 + 3) + 3 ] 13
b) 4 + { ( 4 + 2 ) + [ 10 + ( 4 + 4 + 8) ] + 3 }
c) [ (18 + 3 x 2) ÷ 8 + 5 x 3] ÷ 6
d) { [ ( 8 x 4 + 3 ) ÷ 7 + ( 3 + 15 ÷ 5 ) x 3 ] x 2 - ( 19 - 7 ) ÷ 6 } x 2 + 12
6
Fatoração - Decomposição de números naturais em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais
fatores.
Decomposição do número 24 num produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a
fatoração de 24 é 23 x 3.
De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior
que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.
Regra prática para a fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para
montar esse dispositivo:
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor
primo;
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo
menor divisor primo desse quociente e assim
sucessivamente até obter o quociente 1.
A figura ao lado mostra a fatoração do número
630.
Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
630 = 2 x 32 x 5 x 7.
Máximo Divisor Comum(MDC)
Os cozinheiros de um "buffet" tem que resolver o seguinte problema: O buffet foi contratado para
servir um coquetel de recepção de um evento com uma quantidade acima de 500 pessoas. A
organização não sabe corretamente quantos irão participar e por isso precisa que o buffet sirva todos
por igual e quer saber até quantas pessoas eles podem aceitar no coquetel além das 500. Bem, para o
coquetel foram escolhidos o seguintes salgados e doces, respectivamente, 1800 croquetes de camarão,
3000 pastélzinhos, 2400 brigadeiros e 3600 beijinhos. Então, quantas pessoas serão servidas por igual e
qual a quantidade de cada coquetel para cada participante da recepção?
Solução:
Como dividir toda esta quantidade por um certo número desconhecido? O caso descrito diz
respeito à encontrar um número que divida todos aqueles valores ao mesmo tempo, isto é: 1800, 3000,
2400 e 3600. Fazemos então a pergunta: Qual é o maior número que divide todos eles ao mesmo
tempo, ou melhor, qual é o Máximo Divisor Comum(MDC) entre os números citados?
7
Consideremos os conjuntos dos divisores, respectivamente, dos números 40 e 16.
D(40) = {1,2,4,5,8,10,20,40}
D(16) = {1,2,4,8,16}
Observando que D(40)D(16) = { 1,2,4,8}, podemos afirma que :
a)Os divisores comuns de 40 e 16 são 1,2,4,8.
b)O maior divisor comum de 40 e 16 é 8.
Então, o número 8 é chamado máximo divisor comum de 40 e 16, que será representado por
mdc ( 40 , 16 ) = 8.
Daí podemos dizer que : dados dois ou mais números , não simultaneamente nulos, chama-se
máximo divisor comum desses números o maior dos seus divisores comuns.
Atividade de classe
Determine:
a) D (15)
b) D (32)
c) D (54)
g)D (15)  D (18)
h)D (32)  D (28)
j) mdc( 54, 18, 24 )
k) mdc (45,36,27,18)
d) D (18)
e) D (28)
f) D (42)
i) D (54)  D (42)  D (24)
Técnicas para o cálculo do mdc
Vamos determinar o máximo divisor comum de 60 e 24.
Sabemos que:
D(60) = { 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
D(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24}
D (60)  D (24 ) = {1,2,3,4,6,12}
mdc ( 60 , 24 ) = 12.
Mínimo Múltiplo Comum(MMC)
Consideremos os conjuntos dos múltiplos, respectivamente, dos números 6,8 e 12:
M(6) = { 0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60 . . . }
M(8) = {0,8,16,24,32,40,48,56,64 . . .}
M(12) = { 0,12,24,36,48,60 . . . }
Observando que M (6)  M(8)  M(12) = {0,24,48 . . .}, podemos afirmar que :
a)Os múltiplos comuns de 6,8 e 12 são 0,24,48 . . .
b)O menor múltiplo comum, diferente de zero, de 6 ,8, e 12 é 24.
Então , o número 24 é chamado mínimo múltiplo comum de 6,18 e 12 , que representaremos por
mmc (6,8,12) = 24
Dados dois ou mais números, diferentes de zero, chama-se mínimo múltiplo comum desse
números o menor de seus múltiplos comuns, diferente de zero.
8
Atividade de Classe.
Determine o que pede:
a) M(9)
d) M (8)
g) mmc (9,6)
b) M(10)
e) M(9)  M(6)
h) mmc (10,8)
c) M(6)
f) M (10)  M (8)
Técnicas para o cálculo do mmc
Podemos determinar o mmc de dois ou mais números diferentes de 0 pelo processo da
decomposição em fatores primos, conforme a seguinte regra:
a)Decompõe-se cada número em fatores primos.
b)O mmc será o produto de todos os fatores comuns e não comuns, cada um deles elevados ao
maior expoente.
6
3
1
1
2
3
8
4
2
2
2
2
12
6
3
2
2
3
1
MMC = 23 x 3 = 24
Números racionais(Frações): são aqueles que podem ser escritos na forma de fração:
(i)As representações de números racionais em termos de figuras são de grande ajuda na compreensão e
manipulação destes números.
Exemplo:
Vemos que se o número 1 pode ser representado por por figuras diversas( um retângulo, um
círculo, um triângulo etc). Observando-se que 1 é um número inteiro, sua representação é dada,
portanto, pela figura inteiramente colorida.
9
Já a fração
m 1
 representada da seguinte maneira: dividimos a figura igualmente em 2 (n=2)
n 2
partes, colorindo uma (m=1) delas (isto é, colorindo qualquer parte...). A parte colorida representa
portanto a fração
1
.
2
A divisão de uma figura precisa ser feita em partes congruentes. No caso da figura em forma de
triângulo do Exemplo 1, para representarmos 1/3 não podemos dividí-la assim:
Porém, note que podemos tomar, por exemplo:
10
A idéia de número fracionário
Para exprimirmos o número de elementos de um conjunto finito, empregamos um só número
natural.
7
3
Para expressarmos, matematicamente , uma parte ou algumas parte iguais de um todo, vamos usar
um par ordenado de números naturais.
Lê-se: meio ou um meio
Indica-se: 1 .
2
Lê-se: três quintos
indica-se : 3 .
5
Os pares de números naturais 1 , 3 são chamados frações ou números fracionários.
2 5
Então:
Chama-se fração todo par ordenado de números naturais com o segundo  0 onde:
a) o primeiro número indica quantas partes tomamos do inteiro.
b) O segundo número indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido.
As frações possuem dois tipos de representação, uma geométrica (desenho) e outra na forma de
expressão matemática. É importante lembrar que fração é uma representação da parte de um todo.
Para termos uma representação fracionária devemos primeiramente constituir todo o inteiro.
A figura a seguir representa um inteiro. Podemos dividir a pizza em várias partes.
11
A pizza foi dividida em oito partes iguais, cada parte irá representar uma fração de acordo com o
inteiro. Se retirarmos um pedaço, ele corresponderá a um oitavo do inteiro.
Toda fração na forma de expressão matemática é representada de acordo com uma regra geral,
seus termos recebem nomes: numerador e denominador. O numerador tem o objetivo de representar
determinada parte do inteiro. O denominador representa a quantidade de partes que o inteiro foi
dividido. O numerador e o denominador são separados por uma barra, que também tem a finalidade de
expressar a operação da divisão.
Podemos representar as partes da pizza dividida da seguinte maneira:
Sabendo que uma fração deve ser representada por um numerador e um denominador, fica fácil
compreendermos a sua nomenclatura. A leitura de uma fração irá depender do seu denominador.
A nomenclatura de uma fração pode ser dividida em dois grupos:
- o primeiro compreende os denominadores iguais a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100, 1000.
- o segundo compreende os denominadores que não pertencem ao primeiro grupo, como 12, 20, 51.
Para denominadores iguais a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100, 1000, a leitura das frações fica da
seguinte forma:
12
Segundo grupo: considerando que o denominador seja qualquer outro número, acrescentamos na
sua leitura a palavra “avos”.
Atividade de Classe
Observando os exemplos dados, expresse qual fração da figura toda é a parte colorida:
a)
b)
c)
Um numeral misto é representado por uma parte inteira e uma parte fracionária (m/n, onde n > m)..
13
Escreva o número racional
17
em forma de numeral misto e desenhe sua representação em forma
3
de figura.
Escreva a fração correspondente à cada figura.
14
Represente cada situação abaixo em forma de fração.
15
Tipos de frações
própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.:
1
2
imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.:
7
2
mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: 3
7
2
16
aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.:
8
4
equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.:
4 1

8 2
irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.:
unitária: o numador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo.
7
2
1
4
decimal: o denominador é uma potência de 10.
Ex.: 437
100
composta: fração cujo numerador e denominador são frações:
5
6
4
3
contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais (a0,a1,a2,a3,...,ak,...) da
seguinte maneira
a0 
1
a1 
1
a2 
1
a3 
1
...
Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta
fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional.
Operações com frações
Multiplicação
Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si.
3 2 3x2 6 3 2 3x2 6
. 

. 

5 7 5 x7 35 5 7 5 x7 35
Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo
denominador é igual a 1. Ex.: 3.
1 3 1 3
 . 
4 1 4 4
É importante notar que, muitas vezes, a multiplicação dos numeradores e denominadores resulta
em frações redutíveis. Esta fração deve ser reduzida a uma fração irredutível:
1 5 5 1 5 5
. 
. 
4 3 12 4 3 12
17
Costuma ser mais prático simplificar antes de efetuar a multiplicação
1.9=1.9=3
3 2 3 2 2
Divisão
Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para
resolver uma divisão entre frações:
3 7

5 2
Primeiramente inverte-se o divisor da segunda fração. Com isto, tem-se a inversão da operação,
isto é, passará a haver uma multiplicação:
3 7 3 2 6
  . 
5 2 5 7 35
Que se resolve como mostrado acima.
Adição
Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor
múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:
2 3

3 5
Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o
resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que:
15
15
 5, portanto: 5 x2  10 e   3, portanto: 3x3  9
3
5
Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores:
10 4 10  4 14
 

5 5
5
5
Mantendo-se, portanto, o denominador comum.
Resolver as seguintes frações:
2 4 13
a)  
=
3 3 3
2 5 9
c)   =
3 3 4
2 3 4
b)   
3 2 5
d)
12 3 4
  
5 2 3
18
Subtração
A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição. Resolva as frações abaixo:
a)
13 4 1
  =
3 3 3
c)
11 5 1
  =
3 2 9
d)
11 5 1
12 3 4
   c)   =
3 2 9
5 2 3
d)
12 3 4
  
5 2 3
11 5 1
  =
4 2 3
d)
12 3 4
 
5 2 5
11 5 1
  =
4 2 3
d)
12 3 4
 
5 2 5
d)
b)
13 4 1
14 3 4
   a)   =
3 3 3
3 2 5
d)
b)
14 3 4
  
3 2 5
Mais exercícios de frações
1) Observe a figura:
a) Em quantas partes iguais o retângulo foi dividido?
b) Cada uma dessas partes representa que fração do retângulo?
c) A parte pintada representa que fração do retângulo?
R: 8 partes
R: 1/8
R: 5/8
2) Observe as figuras e diga quanto representa cada parte da figura e a parte pintada:
a)
b)
3) Um sexto de uma pizza custa 3 reais, quanto custa:
3
a) da pizza
6
5
b) da pizza
6
c) a pizza toda
4) Se
c)
R: R$ 9,00
R: R$15,00
R: R$ 18,00
4
3
do que eu tenho são 195 reais, a quanto corresponde do que eu tenho? R: R$ 455,00
7
5
5) Coriolano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser feitos com
18 metros de couro?
R: 30 cintos
19
6) Qual é o número cujos 4/5 equivalem a 108 ?
R: 135
7) Dona Solange pagou R$ 5.960,00 por 4/7 de um terreno. Quanto pagaria por 4/5 desse terreno?
R$ 8.344,00
8) Luciano fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8 do
novo resto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcular quantos quilômetros
percorreu a cavalo ?
R: 165 km
9)A soma de dois números é 850. Um vale 12/5 do outro. Quais são eles ?
R: 600 e 250
10)Se dos 2/3 de um número subtrairmos seus 3/7, ficaremos com 45. Qual é o número? R: 189
11)Se 7/8 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual é o valor de 5/48 do mesmo terreno?
R: R$ 2.500,00
12)Qual é o número que se da metade subtrairmos 8 unidades ficaremos com 1/3 dele mesmo?
R: 48
13)A diferença entre dois números é 90; um é 3/13 do outro. Calcular os números.
R: 117 e 27
14) Marieta tinha R$ 240,00. Gastou um quinto dessa quantia, e, depois, a terça parte do resto.
Com quanto ficou?
Simplificação de frações
Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si.
Ex.: 8
4
Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração
que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:
8:4=2=2
4:4 1
Comparação entre frações
Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso
é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.
Compare :
2 3
e
5 7
O MMC entre 5 e 7 é 35.
Portanto: 35 = 7 e 7 . 2 = 14 ;
5
35 = 5 e 5 . 3 = 15
7
Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:
14 15
2 3
<
e, assim, afirmamos que: 
35 35
3 7
20
A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que
são equivalentes entre si, pois:
14 2
15 3
=
e que:

35 7
35 7
Conversão entre frações impróprias e mistas
Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.
Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração
mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se
que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:
7
1
2
3
3
Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o
resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1
é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.
Razão e Proporção
A razão de duas grandezas é o quociente dos números que medem essas grandezas numa mesma
unidade.
Os termos de uma razão são denominados antecedente e conseqüente. Assim, em 3: 4 ou
3
4
temos:
como antecedente : 3
como conseqüente : 4
Razões equivalentes
Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguinte maneira:
Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo
número racional (diferente de zero), obtemos uma razão equivalente.
Exemplos:
são razões equivalentes.
são razões equivalentes.
21
Razões entre grandezas da mesma espécie
O conceito é o seguinte:
Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os números
que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.
Exemplos:
1) Calcular a razão entre a altura de dois anões, sabendo que o primeiro possui uma altura h1= 1,20m
e o segundo possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por:
2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a
quadra de vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquete possui uma área de 240m2.
Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete:
.
Razões entre grandezas de espécies diferentes
O conceito é o seguinte:
Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, determina-se o
quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da
notação que relaciona as grandezas envolvidas.
Exemplos:
1) Consumo médio:
 Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros
de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa
razão? Solução:
Razão =
92km
 11,5 km/l
8l
Razão = 11,5 km/l (lê-se "11,5 quilômetros por litro").
Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km.

2) Velocidade média:
Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas
grandezas? O que significa essa razão?
Solução:
Razão =
450km
 90 km/h
5h
Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora").
Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.
22
3) Densidade demográfica:
 O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua
área é de 145.694 km2. Determine a razão entre o número de habitantes e a área desse estado. O
que significa essa razão?
Solução:
Razão =
6.701.924 hab
 46 hab/km2
2
145.694 km
Razão = 46 hab/km2 (lê-se "46 habitantes por quilômetro quadrado").
Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes.
Proporções
Consideremos a seguinte situação: Rogerio e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerio
pesa 120kg e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg e seu cão, 16kg. Observe a razão entre o
peso dos dois rapazes:
Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:
Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade
120 40
é uma proporção. Assim: Proporção é uma igualdade entre duas razões.

48 16
Elementos de uma proporção
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma
proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:
ou a:b=c:d
(lê-se "a está para b assim como c está para d")
Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

b e c os meios da proporção.

a e d os extremos da proporção.
23
Exemplo:
Dada a proporção
3 27
, temos:

4 36
Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.
Meios: 4 e 27
Extremos: 3 e 36
Propriedade fundamental das proporções
Observe as seguintes proporções:
Produto dos meios = 4.30 = 120
Produto dos extremos = 3.40 = 120
Produto dos meios = 9.20 = 180
Produto dos extremos = 4.45 = 180
Produto dos meios = 8.45 = 360
Produto dos extremos = 5.72 = 360
De modo geral, temos que:
Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Aplicações da propriedade fundamental
Determinação do termo desconhecido de uma proporção
Exemplos:

Determine o valor de x na proporção:
Solução:
5 . x = 8 . 15
5 . x = 120
(aplicando a propriedade fundamental)
x = 24
Logo, o valor de x é 24.

Determine o valor de x na proporção:
24
Solução:
5 . (x-3) = 4 . (2x+1)
5x - 15 = 8x + 4
5x - 8x = 4 + 15
-3x = 19
3x = -19
x= 
19
3
Logo, o valor de x é 

(aplicando a propriedade fundamental)
19
.
3
Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.
Solução:
(aplicando a propriedade fundamental)
5 . x = 8 . 35
5x = 280
x = 56
Logo, o valor de x é 56.
Resolução de problemas envolvendo proporções

Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para
obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?
Solução:
A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada.
Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:
Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3.
(aplicando a propriedade fundamental)
1 . 2 = 0,04 . x
0,04x = 2
x = 50 m3
Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.
25
Exercício
Calcule o valor desconhecido em cada proporção:
a) 3 = 2 .
x
4
b) x = 3 .
7
21
c) 3 = 12 .
x
8
d) 21 = 7 .
7
x
f) x + 7 = 5 .
2
1
g) x = 5 .
3–x
4
h) 8x = x + 1
5
2
Regra de três simples
Vamos considera a seguinte situação:“Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$ 1200,00. Quanto
pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço ?” Observe que estão relacionados dois
valores da grandeza camisetas com dois valores da grandeza preço. Vamos organizar esses dados numa
tabela:
Camisetas
2
5
preços ($)
1 200
x
Note que nessa tabela conhecemos três de seus elementos e procuramos o valor do quarto.
Problemas desse tipo são chamados de problemas de regra de três simples. Veja que as grandezas
camisetas e preço são diretamente proporcionais; assim, podemos escrever o proporção:
3 = 1 200
5
x
Aplicando a propriedade fundamental , temos:
3x = 1 200 . 5
x = 1 200 . 5
3
x = 2 000
logo, Binca pagaria R$ 2 000,00 pela cinco camisetas. Podemos estabelecer um processo prático que
facilite a resolução de problemas desse tipo. Acompanhe essas etapas nos problemas resolvidos a
seguir.
Com velocidade média de 500 km por hora, uma avião percorre uma distância entre duas cidades
em 3 horas. Que tempo levaria uma aeronave que desenvolve 800 Km por hora de velocidade média
para percorrer o mesmo espaço?
Organizam –se os dados:
Velocidade( Km/h)
500
800
tempo (h)
3
x
26
As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. Assim, as flechas terão sentidos
discordantes:
Velocidade (Km/h)
500
800
tempo(h)
3
x
Escreve-se a proporção ,invertendo-se os termos de umas das razões ; calcula-se o valor da
incógnita.
500 x
3.500


800 3
800
então, x = 15  x = 1h 52 mim 30 Seg
logo, a aeronave levaria 1h52 mim 30 Seg para percorrer o mesmo espaço.
Exercício
1. Em cada problema seguinte , arme o esquema, a proporção resultante e calcule o valor desconhecido:
a)Se 15 operários levam 10 dias para completar um certo trabalho, quantos operários farão esse
mesmo trabalho em 6 dias?
b)Com 10 Kg de trigo podemos fabricar 65 Kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são
necessários para fabricar 162,5 Kg de farinha ?
c)Roseli comprou 2m de tecido para fazer um vestido. Quantos metros de tecido seriam necessários
para que Roseli pudesse fazer 7 vestidos iguais ?
d)Num acampamento, há 48 pessoas e alimento suficiente para um mês . Retirando–se 16 pessoas,
para quantos dias dará a quantidade de alimento ?
e)Cinco pedreiros constroem uma casa em 300 dias. Quantos dias serão necessários para que 10
pedreiros construam essa mesma casa?
f)Reinaldo trabalhou 30 dias e recebeu $ 15 000,00 . Quantos dias terá que trabalhar para receber
$ 20 000,00 ?
g)Um carro com velocidade constante de 100Km/h , vai da cidade A até a cidade B em 3 horas.
Quanto tempo levaria esse mesmo carro par ir de A até B, se sua velocidade constante fosse
160Km/h ?
h)Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas torneiras seriam necessárias para encher
a mesma piscina em 2 horas?
Porcentagem
A porcentagem é um cálculo muito utilizado e útil em nosso dia a dia. È muito comum ouvirmos
em nosso cotidiano situações como:
 A carne teve um aumento de 5,4%;
 A Bolsa de valores teve forte alta de 7,5%;
 Promoção: Tudo com 40% de desconto;
 Venda de automóveis com taxa de 1,9%
 Os juros baixaram 0,5%;
 O candidato x obteve 34% dos votos.
 O crescimento no número de matricula no ensino fundamental foi de 24%.
 A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano. Desconto de 25% nas compras à vista.
27
Vamos começar a entender o que é Porcentagem: toda fração de denominador 100, representa uma
porcentagem. Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um
determinado valor.
Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100).
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100
unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80,
isto é: 8
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou
quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
.A gasolina teve um aumento de 5%, significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$5,00
.O cliente recebeu um desconto de 7% em uma compra de uma calça Jeans, significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$ 7,00.
.Em um bar, 60% dos clientes são não fumantes, significa que em cada 100 clientes que estão no
bar, 60 são não fumantes.
Razão centesimal:
Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100.
Exemplos:
(lê-se 10 por cento)
(lê-se 150 por cento)
Exemplo
1: Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa
R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?
Solução:
O desconto será de 10% do valor de R$120,00.
Logo:
Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108
Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.
2: Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de
meninos?
Solução:
A quantidade de meninas será:
E a de meninos será: 100 - 40 = 60.
28
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.
Exemplos:
Calcular 10% de 300.

Calcular 25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
Como calcular porcentagem em uma calculadora?
Vamos a um exemplo: Quanto é 30% de 700?
Digite: 700
Aperte a tecla de multiplicação: X
Digitem: 30
Aperte a tecla de porcentagem: %
O resultado, como pode ser visto, é 210.
Fator multiplicante
Para facilitar o cálculo, quando temos um acréscimo de certa porcentagem sobre um determinado
valor, um acréscimo de, por exemplo, 10%, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse
valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e
assim por diante. Veja a tabela a seguir:
Acréscimo ou Lucro
10%
15%
20%
47%
67%
Fator Multiplicante
1,10
1,15
1,20
1,47
1,67
Exemplo: aumentar 30% no valor de R$10,00. Devemos realizar:
10 * 1,30 = R$ 13,00
No caso de haver um decréscimo ou desconto, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
Desconto
Fator Multiplicante
10%
0,90
25%
0,75
34%
0,66
60%
0,40
90%
0,10
29
Exemplo: Descontando 20% no valor de R$10,00 teremos:
1 – 0,2 = 0,8
10 * 0,80 = R$ 8,00
Exemplo 1
Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta um lucro de
17%?
Solução:
100%
17 %
555
X
X = 555x17 /100 = 9435/100, logo: X = 94,35
Temos o valor da mercadoria: R$ 555,00 + R$ 94,35
Preço Final: R$ 649,35
Obs. Este cálculo poderia ser resolvido também pelo fator multiplicador: R$ 555,00 * 1,17 = R$ 649,35
Exemplo 2
Um imposto foi criado com alíquota de 2% sobre cada transação financeira efetuada pelos
consumidores. Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 15.250,00, receberá líquido
quanto?
100%
0,7%
15.250
X
Neste caso, use diretamente o sistema de tabela com fator multiplicador. O capital principal que é
o valor do cheque é :
1 – 0,02 = 0,98 (fator multiplicante)
R$ 15.250,00 * 0,98 = R$ 14.945,00
Assim, o valor líquido do cheque após descontado a alíquota será de R$ 14.945,00. Sendo que os
2% do valor total representam a quantia de R$ 305,00.
Somando os valores: R$ 14.945,00 + R$ 305,00 = R$ 15.250,00
Exemplo 3
(FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Em uma loja, o metro de um determinado tecido teve seu preço
reduzido de R$ 5,52 para R$ 4.60. Com R$ 126,96, a porcentagem de tecido que se pode comprar a
mais é de :
a) 19,5 %
b) 20%
c) 20,5%
d) 21%
e) 21,5%
Resolução:
Cenário 1:
30
1m -------> R$ 5,52
X --------> R$ 126,96
5,52x = 126,96, portanto: X = 126,96 / 5,52, ou X = 23 m
Cenário 2:
1m --------> R$ 4,60
X ---------> R$ 126,96
4,60x = 126,96, portanto: X = 126,96 / 4,60 ou X = 27,60
Temos então:
23m --------> 100% (Total do metro encontrado com preço maior)
27,6 ---------> x (Total do metro encontrado com preço menor)
23x = 100 x 27,6
23x = 2760, portanto: X = 2760 / 23 = 120%
Desta forma: 120% - 100% = 20%. Resposta correta: letra “b”.
Exemplo 4
Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de
lucro obtida?
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em
relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.
Juros simples
Considere a seguinte situação :
“A importância de $ 100 000,00 foi emprestado por um Banco ao cliente Epaminondas da Silva. O
Banco cobrará do cliente 10% e juros mensal. Quanto será cobrado?
Vamos denominar e convencionar uma representação para cada deado do problema:
 O dinheiro emprestado, $ 100 000,00, chama-se quantia principal. Representa-se por C
 A retribuição periódica pela cessão do dinheiro, eu corresponde à quantia que será cobrada pelo
Banco, é o aluguel que se paga em cada período. Recebe o nome de juro e representa-se por j
 A taxa de juro , 10% é a taxa que funciona como o aluguel que o cliente pata por 100 unidades de
31
dinheiro que o Banco lhe empresta; representa-se por i.
 A referência de tempo. Um mês em que o dinheiro ficou aplicado, representa-se por t.
Problemas desse tipo podem ser resolvidos utilizando-se uma regra de três. Vamos estabelecer um
problema genérico e obter uma formula que permite obter a solução de problemas semelhantes.
“Quem aplica $ 100,00 à taxa de 1% ao período ( ano, ou mês, ou dia etc.) recebe no fim do período $
1,00 de juros. Se aplicasse um capital C à taxa i ao período, então receberia o juros j”.
Monta-se uma regra de três composta:
Capital
100
C
taxa
1
i
tempo
1
t
juro
1
j
Como são grandezas diretamente proporcionais em relação à grandeza juro, podemos escrever:
100 . 1 . 1 = 1 .
C
i t
j
J=Cit
100
Vamos calcular o juros pago por uma pessoa que tomou emprestada quantia de $ 50 000,00,durante 8
meses, a uma taxa de 1,2% ao mês:
Dados
C = $ 50 000,00
I = 1,2% ao mês
t = 8 meses
j=?
j=Cit
100
j = 50 000 . 1,2 . 8
100
j = 4 800
foram pagos $ 4 800,00 de juro.
Vamos, agora , determinar a quantia que deve ser aplicada por uma pessoa a uma taxa de 6% ao
ano, para que após 2 anos receba $ 18 000,00 de juro.
Dados
C=?
I = 6% ao ano
t = 2 anos
j = $ 18 000,00
j=C i t
100
18 000 = C . 6 . 2
100
12 . C = 1 800 000
C = 18 000 000
12
C = 150 000
A quantia que deve ser aplicada é de $ 150 000,00.
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Exercícios
1. Resolva os seguintes problemas :
a) Qual o juro sobre $ 25 000,00 à taxa de 1% ao mês, em 16 meses?
b) A que taxa foi depositado o capital de $ 15 000,00 que em 4 anos produziu $ 6 000,00 de juros?
c) Qual o capital que, aplicado a 3% ao mês , produz $ 6 000,00 de juro em 10 meses?
d) Uma pessoa toma emprestado de um Banco $ 54 000,00 e após 6 meses e 15 dias devolve
$ 60 000,00 . A que taxa foi tomado o empréstimo ?
e) Uma pessoa empregou $ 50 000,00 . Sabendo-se que após 10 meses ela irá receber
$ 100 000,00 calcule a que taxa de juro foi empregado este dinheiro.
f) Qual o capital que aplicado a 8% ao mês, num período de 6 meses , produz $ 24 000,00 de juro?
g) A que taxa foi empregado o capital de # 25 000,00 ,sabendo
h) Uma pessoa toma emprestado $ 10 000,00 durante 5 meses. Qual a taxa de juro que essa pessoa
pagou, sabendo-se que ela devolveu $ 15 000,00?
Unidades de Medidas
A necessidade de medir é muito antiga e remonta à origem das civilizações. Por longo tempo, cada
país, cada região, teve o seu próprio sistema de medidas, baseado em unidades arbitrárias e imprecisas,
como aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé, polegada, braça, côvado. Isso criava muitos
problemas para o comércio.
Em 1789, numa tentativa de resolver o problema, o governo francês pediu à Academia de Ciências
da França que criasse um sistema de medidas baseado numa “constante natural”. Assim foi criado
o Sistema Métrico Decimal.
Posteriormente, muitos outros países adotaram o sistema, inclusive o Brasil, aderindo à
“Convenção do Metro”. O Sistema Métrico Decimal adotou, inicialmente, três unidades básicas de
medida: o metro, o litro e o quilograma.
Mesmo sendo o quilograma a unidade oficial do Sistema Internacional de Unidades, cada ramo de
atividade, ou em certas localidades, têm uso ainda muito difundido: a tonelada, a arroba, a onça, o
quilate (em joalheria e ourivesaria) e xícara e colher (em culinária).
Os ingredientes das receitas são medidos com xícaras e colheres padronizadas. Veja como medir
alguns tipos de ingredientes:
■ Gordura: meça sempre a temperatura ambiente. Coloque na xícara ou na colher de medida, até
chegar à borda. Depois, se necessário, passe a faca para nivelar a superfície.
■ Líquido: despeje até a linha do recipiente de medida que corresponde à quantidade na receita.
■ Ingrediente seco: despeje no medidor até ultrapassar um pouco a borda, sem apertar. Em seguida,
com a faca, nivele a superfície. O açúcar mascavo é o único ingrediente seco que deve ser
comprimido na hora de medir.
33
Xícara usada na medição das preparações
PESOS E MEDIDAS
1 Litro
4 copos americanos 1000 ml
1 Xícara
16 colheres (sopa)
240 ml
1 Colher (sopa) 3 colheres (chá)
15 ml
1 Colher (chá)
5 ml
1/3 colher (sopa)
INGREDIENTES
(1 XÍCARA DE CHÁ)
PESO
Açúcar
160 g
Araruta
150 g
Arroz cru
210 g
Amêndoas, nozes e castanhas. 140 g
Aveia
80 g
Banha
230 g
Chocolate em pó
90 g
Coco seco ralado
80 g
Farinha de mandioca
150 g
Farinha de rosca
80 g
Farinha de Trigo
120 g
Fubá
120g
Maisena
150 g
Manteiga
230 g
Mel
300 g
Polvilho
150 g
Queijo ralado
80 g
Uva Passa
140 g
34
1 litro
EQUIVALÊNCIAS (grama)
equivale a 6 xícaras(chá) ou 4 copos
1 garrafa
equivale a 3 e ½ xícaras(chá) ou 2 e ½ copos
1 copo de água comum
equivale a 250 g
1 prato fundo nivelado
equivale a 200 g
1 xícara (chá) de liquido
equivale a 150 g ou 20 colheres (sopa)
1 xícara de chá rasa de açúcar
equivale a 120 gramas
¼ xícara de chá de liquido
equivale a 5 colheres (sopa)
1/3 xícara de chá de liquido
equivale a 6 colheres (sopa)
1/2 xícara de chá de liquido
equivale a 10 colheres (sopa)
2/3 xícara de chá de liquido
equivale a 12 colheres (sopa)
¾ xícara de chá de liquido
equivale a 15 colheres (sopa)
1 cálice
equivale a 9 colheres de sopa de liquido
1 quilo
equivale a 5 e ¾ Xícaras de chá
250 g de manteiga
equivale a 1 e ¼ Xícara de chá
¼ de xícara de chá de manteiga ou margarina equivale a 4 colheres de sopa
1 xícara de chá de amendoim torrado
equivale a 140 gramas
1 xícara de chá de farinha de rosca
equivale a 150 gramas
1 colher se sopa de farinha de rosca
equivale a 11 gramas
1 xícara de chá de coco ralado seco
equivale a 75 gramas
1 xícara de chá de óleo
equivale a 170 gramas
1 colher de sopa de óleo
equivale a 10 gramas
1 colher se sopa de sal
equivale a 13 gramas
1 colher de chá de sal
equivale a 5 gramas
1 colher de sopa de fermento em pó
equivale a 12 gramas
1 colher de chá de fermento em pó
equivale a 5 gramas
1 xícara de chá de maisena
equivale a 120 gramas
1 colher de sopa de maisena
equivale a 8 gramas
1 colher de chá de maisena
equivale a 2 gramas
1 pitada é o tanto que se pode segurar entre as pontas de dois dedos ou 1/8 de colher
35
LÍQUIDOS(LEITE, ÁGUA, ÓLEO, BEBIDAS ALCOÓLICAS,
CAFÉ, ETC.) (ML)
1 Xícara
240 ml
½ xícara
120 ml
1/3 xícara
80 ml
¼ xícara
60 ml
1 colher sopa
15 ml
1 colher chá
5 ml
CHOCOLATE EM PÓ(CACAU
EM PÓ)
1 Xícara
90 g
½ xícara
45 g
1/3 xícara
30 g
¼ xícara
20 g
1 colher sopa
6g
MANTEIGA(MARGARINA E GORDURA VEGETAL)
1 xícara
200 g
½ xícara
100g
1/3 xícara
65 g
¼ xícara
16g
1 colher de sopa
20 g
AÇÚCAR
1 Xícara
180 g
½ xícara
90 g
1/3 xícara
60 g
¼ xícara
45 g
1 colher sopa
12 g
1 colher de chá
4g
FARINHA DE TRIGO
1 Xícara
120 g
½ xícara
60 g
1/3 xícara
40 g
¼ xícara
30g
1 colher de sopa
10 g
1 colher de chá
3g
36
TABELA DE CONVERSÃO DE FERMENTOS
Essa tabela de conversão é aplicável aos três tipos de Fermento: Fresco, Instantâneo e Seco.
DICAS:
Pães Caseiros: 10 g (de Fermento) para 1 kg de Farinha de Trigo.
Pizzas ou Massas Doces: 20 g (de Fermento) para 1 kg de Farinha de Trigo.
OBSERVAÇÃO:
10 g equivale a 1 colher de (sopa).
FERMENTO
INSTANTÂNEO
5 gramas
10 gramas
20 gramas
FERMENTO
SECO
5 gramas
10 gramas
20 gramas
FERMENTO
FRESCO
15 gramas
30 gramas
60 gramas
ENTENDENDO A TABELA ACIMA:
5 g de Fermento Instantâneo
Equivale a UNIDADE de 1/2 colher (sopa) ou 1/2 sachê
5 g de Fermento Seco
Equivale a UNIDADE de 1/2 colher (sopa)
15 g de Fermento Fresco
Equivale a UNIDADE de 1 tablete pequenos
10 g de Fermento Instantâneo Equivale a UNIDADE de 1 colher (sopa) ou 1 sachê
10 g de Fermento Seco
Equivale a UNIDADE de 1 colher (sopa)
30 g de Fermento Fresco
Equivale a UNIDADE de 2 tabletes pequenos
20 g de Fermento Instantâneo Equivale a UNIDADE de 2 colheres (sopa) ou 2 sachês
20 g de Fermento Seco
Equivale a UNIDADE de 2 colheres (sopa)
60 g de Fermento Fresco
Equivale a UNIDADE de 4 tabletes pequenos (1 tira)
CONCLUINDO:
5 g de Fermento Instantâneo = 5 g de Fermento Seco = 15 g de Fermento Fresco.
10 g de Fermento Instantâneo = 10 g de Fermento Seco = 30 g de Fermento Fresco.
20 g de Fermento Instantâneo = 20 g de Fermento Seco = 60 g de Fermento Fresco.
DICA PARA MEDIDAS EM XÍCARA:
Quando a receita pede uma quantidade em xícara, você deve proceder assim: passe uma faca na
superfície, alisando e retirando o excesso. O ideal é que se tenha medidores em xícaras e colheres,
próprios para receitas culinárias.
Temperaturas do forno
Forno brando
Forno regular
Forno quente
Forno muito quente
de 140º a 150ºC
de 175º a 190ºC
de 200º a 230ºC
de 240º a 275ºC
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Referências bibliográficas:
ABDONOUR, O João. Matemática – Estudo e Ensino I. São Paulo
ABDONOUR, O João, HARIKI,S. - Matemática Aplicada – administração , economia e
Contabilidade. Editora Saraiva, 2003 - São Paulo
BONORA JR, D. ; BARONE, M. A. et al. Matemática: Complementos e Aplicações nas áreas de
Ciências Contábeis, Administração e Economia. 4ª Edição São Paulo: Ícone 2006
Wikipedia - http://pt.wikipedia.org
www.somatematica.com.br
http://culinariadateka.blogspot.com.br/2009/10/tabela-de-conversao-de-medidas-de.html
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