Lista 1 - Bases Matemáticas
Lógica e linguagem matemática
OBS: caso continue com dificuldades ou queira estudar mais, sugiro resolver também
a lista dos professores Daniel e Armando (link na página do curso).
1 - Escreva as seguintes proposições na forma simbólica:
a) Existe um número real x tal que x2 = x.
b) Existe um número real x tal que x.y = 0 para todo número real y.
c) O quadrado de qualquer número inteiro é um número natural.
d) Se x é um número inteiro e seu quadruplo é par, então x é par.
e) Se o quadrado de um número inteiro x é par, então o próprio número x é par.
f) Um número inteiro qualquer é par se e somente se seu quadrado é par.
g) Se x é um número inteiro e 3x é par, então x é par.
h) O fatorial de qualquer número natural é par.
i) A soma de dois números racionais quaisquer é um número racional.
j) Para quaiquer números naturais p e q, 10p + q é divisı́vel por 3 se e somente se p + q é divisı́vel
por 3.
k) Existe um número racional que é maior que qualquer número natural.
l) Para todo número natural n, n3 − n é divisı́vel por 6.
m) (Conjectura de Legendre) Para todo número natural n diferente de 0, existe um número primo
entre n2 e (n + 1)2 .
2 - Escreva a negação das proposições do problema 1 tanto na linguagem natural como
na linguagem matemática.
3 - Apresente uma demonstração (prova direta, contrapositiva ou por contradição), ou
dê um contra-exemplo quando for o caso, para as proposições (a)-(j) do problema 1.
4 - Dê uma prova direta, contrapositiva ou por contradição para as seguintes proposições:
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a) O quadruplo de qualquer número par é um número par.
b) Para todo numero natural n maior que 1 existe um número primo que divide n!.
c) Sejam a, b, c ∈ Z. Se a divide b e a divide c, então a divide b + c.
d) Se x, y, z ∈ R e x + y + z é ı́mpar, então um número ı́mpar de inteiros em x, y, z é ı́mpar.
e) Se x, y ∈ R e xy é irracional, então x ou y é irracional.
f) A raiz cúbica de 2 é irracional.
g) Seja x ∈ Z. Se x2 é ı́mpar, então x também é ı́mpar.
h) Mostre que o produto de um número racional não-nulo com um número irracional é irracional.
i) Sejam x, y, z ∈ Z, com z 6= 0. x divide y se e somente se xz divide yz.
j) Todo número natural n > 1 pode ser escrito como um produto de números primos.
5(*Difı́cil) - Demonstre as seguintes proposições:
(Dica: nos itens (c),(d),(e) abaixo, utilize o resultado do item (b))
a) Não há solução racional para a equação x5 + x4 + x3 + x2 + 1 = 0.
b) Dados m, n 6= 0 ∈ N, então m é múltiplo de n ou existem q, r ∈ N tais que m = qn + r, com
0 < r < n.
c) Existe um número racional que é maior que qualquer número natural.
d) A raiz quadrada de 5 é irracional.
e) Para todo número natural n, n3 − n é divisı́vel por 6.
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