X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
CONSTRUÇÃO E UTILIZAÇÃO DO GEOPLANO CIRCULAR COMO
ALTERNATIVA PARA SE INTRODUZIR A GEOMETRIA PLANA
Welington R. da Silva
PMGuarapari/ Universidade Federal do Espírito Santo
[email protected]
Vânia M. Santos-Wagner
Universidade Federal do Espírito Santo
[email protected]
Resumo: Neste minicurso utilizaremos o geoplano circular em algumas atividades de sala
de aula de matemática, para explorar alguns conceitos em geometria. Pretendemos mostrar
a possibilidade de utilização do geoplano circular como uma alternativa para resolução de
problemas em matemática.
Palavras-chave: Matemática; Geoplano circular; Geometria; Resolução de problemas.
Público alvo: Professores de matemática de Ensino Fundamental e Ensino Médio, alunos
de curso de Licenciatura em Matemática e demais interessados no tema.
Número de participantes: 20
Material necessário: 01 base quadrada de madeira com 18 a 20 centímetros de lado; 25
preguinhos 10 x 10 sem cabeça; martelo; borrachinhas para dinheiro; folha de papel ofício;
régua; compasso; transferidor; data show.
Objetivos:
Geral: Compreender a estrutura de figuras geométricas planas, a partir da construção e
utilização do geoplano circular.
Específicos:

Estabelecer estrátegias para a construção do geoplano circular;

Construir livremente algumas figuras e explorar alguns conceitos geométricos;

Construir polígonos e analisar as características dos mesmos;

Utilizar o recurso didático como mediação entre a construção de conhecimento de
geometria.
INTRODUÇÃO
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Minicurso
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Alguns conceitos matemáticos são de difícil compreensão para os alunos,
especialmente aqueles de geometria. Algumas vezes no processo de ensino-aprendizagem
de geometria percebe-se que este se resume a mostrar figuras e modelos, analisar teoremas
e a resolução de problemas-padrão. O uso de recursos didáticos pode auxiliar este
processo. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais [PCN]
A recomendação do uso de recursos didáticos, incluindo alguns materiais
específicos, é feita em quase todas as propostas curriculares. No entanto, na
prática, nem sempre há clareza do papel desses recursos no processo ensinoaprendizagem, bem como da adequação do uso desses materiais, sobre os quais
se projetam algumas expectativas indevidas (BRASIL, 1998, p. 23).
Para amenizar algumas dificuldades do processo de ensino e aprendizagem de
geometria, propomos a utilização do geoplano circular. O geoplano foi introduzido nas
salas de aulas pelo professor Caleb Gattegno (1911-1988), um famoso educador
matemático da África. O geoplano é um recurso que permite explorar diversas ideias
matemáticas.
Como professores de matemática, preocupados em conhecer melhor a prática
docente, participamos de um grupo de estudos que se reúne semanalmente na Universidade
Federal do Espirito Santo – UFES. Este grupo é constituído por alunos e professores de
matemática do PPGE – Programa de Pós-Graduação em Educação. O objetivo principal do
grupo é a reflexão sobre a prática, permitindo-nos um olhar sobre as nossas próprias
concepções e crenças. Assim podermos rever nossas práticas, experimentar outras ideias
em sala de aula e exercer a docência de forma consciente.
Desenvolvendo um trabalho de pesquisa sobre o geoplano no grupo de estudos,
tivemos a oportunidade de conhecer um pouco mais sobre a vida e os trabalhos
desenvolvidos por Caleb Gattegno. O trabalho de Arthur Powell (2007), nos forneceu
vários dados sobre este educador quando nos traz informações de sua biografia.
Gattegno nasceu em 11.11.1911 em Alexandria, Egito, filho de um mercador
espanhol. Viveu em várias cidades e trabalhou por todo o mundo, atuando em
todos os continentes. Estudando por conta própria, fez exames externos no
Cairo e obteve, em 1931, licenças de ensino em química, física e em
matemática. Diplomou-se em estudos avançados em matemática no ano de
1936, todos pela Universidade de Marseilles, França. Ele era um autodidata
matemático cujos estudos independentes o levaram a obter doutorado em 1937
pela Universidade de Basle na Suiça. Em 1932, fundou o Seminário de
Matemática, os primeiros cursos modernos de Alexandria em nível
universitário. De 1937 até 1945, ele fundou e dirigiu o Centro de Estudos
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Científicos Avançados no Cairo, um centro para estudantes que não seriam
aceitos para cursos universitários em nível superior. Nesta época ele atuou em
jornais egícios, publicando textos sobre matemática e educação (Powell, 2007,
p. 97).
A partir das ideias de Caleb Gattegno, muitos outros pesquisadores em educação
matemática utilizam o geoplano como uma ferramenta para o ensino de geometria, sendo
usado inclusive para trabalho com alunos cegos.
O geoplano circular ainda é pouco explorado em aulas de matemática. O modelo de
geoplano que será produzido no minicurso, bem como os materiais que serão utilizados
para sua confecção são simples e de fácil aquisição. De acordo com pesquisadores como
Knijnik, Basso, Klüsener (2004) e Schons (2008) o geoplano é um modelo matemático
que permite traduzir ou sugerir idéias matemáticas. Segundo estes mesmos pesquisadores
os materiais concretos constituem-se em alternativas interessantes para que alunos
formulem hipóteses, troquem idéias, façam descobertas, em outras palavras, enriqueçam o
momento de aprendizagem. Além disso, a nossa experiência em sala de aula tem nos
mostrado que muitas das dificuldades que nossos alunos possuem no decorrer da
aprendizagem de geometria, devem-se ao uso excessivo do livro didático, em sala de aula,
como se este fosse o único recurso didático acessível para professor e alunos. Os trabalhos
desenvolvidos por Pavanello (1989, 1993) nos fazem perceber algumas limitações
existentes em materiais instruncionais como, por exemplo, os livros didáticos, para que os
alunos comparem as figuras, porque estas estão fixas no papel, sem qualquer mobilidade.
Esta limitação de observar figuras fixas no papel dentro de um livro ou em listas de
exercícios ou em desenhos no quadro de giz nos mostra que não é possível girá-las, ou
colocá-las em posições diferentes ou umas sobre as outras para facilitar a comparação de
figuras. O trabalho com geoplano permite que o aluno experimente as figuras geométricas
em diferentes posições.
Nas pesquisas que realizamos em algumas turmas de 3ª, 4ª e 5ª séries em 2008,
percebemos que o geoplano é um recurso a mais para auxiliar nesse aspecto pois, por meio
dele, podemos visualizar formas geométricas que, muitas vezes, não se encontram nas
mesmas posições em que elas são costumeiramente apresentadas em sala de aula. Neste
minicurso pretendemos construir o geoplano circular, propor algumas alternativas para se
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trabalhar com este recurso didático e ainda, apresentar alguns exercícios para serem
trabalhados em aula que abordam conteúdos de polígonos, simetria, área e perímetro.
CONSTRUINDO O GEOPLANO CIRCULAR OU DE POLÍGONOS REGULARES
Existem vários tipos de geoplano. Em sua maioria são formados por uma base de
madeira, onde são cravados pregos, construindo uma malha, que podem ter diversas
texturas. O nome dado ao geoplano está diretamente relacionado ao tipo de malha
utilizada. Por exemplo, se a malha for formada por quadrados o geoplano é dito
quadricular; se for formada por triângulos equiláteros temos o geoplano isométrico; se a
malha for formada por circunferências será o geoplano circular.
Trabalharemos no minicurso com uma série de ativididades, tendo por base as
possibilidades do geoplano circular para introduzir alguns conceitos de geometria plana.
Os participantes encontrarão uma variação no grau de dificuldade para a resolução dos
exercícios, indo desde os mais simples até aqueles que merecerão uma maior atenção.
Pretendemos discutir as possibilidades de utilizarmos o geoplano circular como alternativa
para trabalhar resolução de problemas e explorar conceitos geométricos. Inicialmente,
construíremos o geoplano circular com os cursistas e, em seguida, discutiremos alguns
conceitos iniciais concernentes ao geoplano circular. O objetivo dessa apresentação inicial
é revisar alguns conceitos de geometria como ponto, reta, plano, segmentos, região e
convexidade, curvas poligonais e polígonos, perímetro e figuras semelhantes. Finalmente
os participantes realizarão atividades por meio das quais poderão refletir sobre o potencial
do geoplano circular para introduzir conceitos de geometria.
PROCEDIMENTOS NECESSÁRIOS PARA A CONSTRUÇÃO DO GEOPLANO
CIRCULAR
Como dissemos, o geoplano é um material didático manipulável, que pode ser
constituído por uma base quadrada de madeira com 18 a 20 centímetros de lado, sobre a
qual se traça uma circunferência com 8,5 a 9,5 centímetros de raio. Esta circunferência é
dividida por pregos 10 X 10 sem cabeça em 24 arcos de 15º. O centro da circunferência
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também será ocupado por um prego, de preferência removível. Realizaremos construções
geométricas utilizando borrachinhas para dinheiro formando linhas sobre esse material
construido. Os cursistas deverão dispor de uma base de madeira como descrita
anteriormente, 25 pregos 10 X 10 sem cabeça, martelo, régua, compasso, transferidor,
lápis, borracha, folhas de papel, etc.
Passos para construir o geoplano circular:
a. Desenhar um quadrado em folha de papel usando a base de madeira como
molde.
b. Marcar o centro deste quadrado (propriedade das diagonais).
c. Usando o compasso, traçar a circunferência com mesmo centro do quadrado e
raio com medida conveniente.
d. Dividir a circunferência em PARTE
RICA EM CONTEÚDOS GEOMÉTRICOS: DIVISÃO
DA CIRCUNFERÊNCIA, MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO
24 arcos.
DE RETA, ARCO OU ÂNGULO E OUTROS CONCEITOS,
i. usando o compasso ou
CONFORME ORIENTAÇÃO DO PROFESSOR.
ii. usando o transferidor
e. Sobrepor o desenho (gabarito) obtido à base de madeira e marcar os pontos
onde serão fixados os pregos.
f. Fixar os pregos, concluindo a construção do geoplano circular.
Agora desenvolveremos algumas atividades com o material que acabamos de construir.
ATIVIDADES
COM
GEOPLANO
CIRCULAR
OU
DE
POLÍGONOS
REGULARES
Acreditamos que o geoplano oferece uma alternativa para introduzir alguns
conceitos de geometria plana. No minicurso vamos discutir algumas atividades de
geometria a serem desenvolvidas na sala de aula de matemática, tais como:
a) Construção e nomenclatura de polígonos.
b) Classificação de triângulos.
c) Medidas do ângulo central e do ângulo inscrito em relação ao arco por eles
compreendido.
Ângulo central: vértice no centro da circunferência  mesma medida do arco.
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Ângulo inscrito: vértice na circunferência  metade da medida do arco.
(Verificar que todo triângulo inscrito na circunferência que tem por um lado o diâmetro é
retângulo).
d) Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono - Si.
POLÍGONO
NÚMERO DE
LADOS
SI - SOMA DAS MEDIDAS
NÚMERO DE TRIÂNGULOS
DOS ÂNGULOS
INTERNOS
Triângulo
Si =
Quadrilátero
Si =
Pentágono
Si =
Hexágono
Si =
.
.
.
.
n-ágono
Si =
e) Cálculo do número de diagonais (d) de um polígono.
NÚMERO
NÚMERO DE DIAGONAIS QUE
POLÍGONO
d - NÚMERO DE
DE LADOS
SAEM DE CADA VÉRTICE
DIAGONAIS
.
.
.
Triângulo
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
.
n-ágono
d=
REFERÊNCIAS
BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclo do ensino
fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.
KNIJNIK, G., BASSO, M.V. E KLÜSENERM R. Aprendendo e ensinando matemática
com o geoplano. Ijui, RS: Ed. UNIJUI, 2004.
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PAVANELLO, R. M. O abandono da geometria: uma visão histórica. 1989. 201 f.
Dissertação (Mestrado em Educação) – Programa de Pós-Graduação da Faculdade de
Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.
______. O abandono do ensino da geometria no Brasil: causas e conseqüências.
Zetetiké, Campinas, CEMPEM/FE/UNICAMP, Ano 1 – n° 1, p. 7-17, mar. 1993.
POWELL; A. B. Caleb Gattegno (1911-1988): A famous mathematics educator from
Africa. Revista Brasileira de História da Matemática, Rio Claro, SBHM, Especial n° 1,
p. 199-209, dez. 2007.
SCHONS, L. M. de B. O geoplano como recurso didático para a aprendizagem de
conceitos e aplicações de triângulos e quadriláteros. 2008. 111 f. Dissertação (Mestrado
em Ensino de Matemática). Programa de Pós-Graduação do Centro Universitário
Franciscano, Santa Maria.
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