Adição de probabilidades
O número de elementos da união dos conjuntos A e B n(AUB) = n(A∩B)
Dividindo os dois membros por n(E):
Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos se, e somente se, A∩B = Ø.
Nesse caso, P(AUB) = P(A) + P(B)
Exemplo:
Dado o espaço amostral E={1,2,3,4,5,6,7,8} e os
Eventos A={1,3,4,5} e B={2,4,5,7,8}, determinar a probabilidade de ocorrer o evento
AUB.
Solução
A probabilidade de ocorrer AUB é dada pela fórmula
Os dados do exercício permitem escrever
E={1,2,3,4,5,6,7,8} → n(E) =8
A={1,3,4,5} → n(A)=4
B={2,4,5,7,8} → n(B)=5
A∩B={4,5} → n(A∩B)= 2
Então,
Exemplo 2:
Um baralho completo é constituído de 52 cartas, sendo 26 vermelhas e 26 pretas.
Existem 13 cartas de cada um dos seguintes naipes: ouros, copas, espadas e paus.
Escolhendo uma dessas cartas, ao acaso, qual é a probabilidade de:
A- ocorrer um ás de ouros?
B- ocorrer um ás?
C- ocorrer uma carta de copas?
D- ocorrer uma carta vermelha?
E- ocorrer um ás ou uma carta de copas?
F- ocorrer uma carta que não seja rei?
G- ocorrer uma dama ou um valete ou um rei?
Solução:
O espaço amostral E é constituído pelas 52 cartas do baralho, portanto n(E)=52. Os
índices o, c, p, e indicarão, respectivamente, os naipes de ouros, copas, paus e
espadas.
A- Evento A: “ocorrer um ás de ouros.”
Existe um único ás de ouros entre as 52 cartas do baralho, portanto o evento A é um
conjunto unitário:
A={um ás de ouros} =
B- Evento B: “ocorrer um ás.”
Existem 4 ases entre as 52 cartas do baralho: de ouros, de copas, de paus e de
espadas, portanto o evento B é o conjunto
C- Evento C: “ocorre uma carta de copas.”
Existem 13 cartas de copas entre as 52 cartas do baralho, portanto o evento C é o
conjunto constituído por essas 13 cartas.
D- Evento D: “ocorrer uma carta vermelha”
Existem 26 cartas vermelhas entre as 52 cartas do baralho, portanto o evento D é o
conjunto constituído por essas 26 cartas.
Assim, n(D)=26
E- Evento E: “ocorrer um ás ou uma carta de copas”.
Esse evento é a união de dois eventos:
B: “ocorrer um ás.” e C: “ocorrer uma carta de copas”.
Portanto, “ocorrer um ás ou uma carta de copas” é equivalente a BUC.
Assim, P(BUC) = P(B) + P© - P(B∩C),
Sendo P(B) =1/13 e P(C)= 1/4 (veja as soluções a e b)
Necessitamos ainda de calcular P(B∩C), para que possamos calcular P(BUC).
F- Os eventos:
F: “ocorrer uma carta que não seja um rei.” e
B: “ocorrer um rei.” são complementares. → P(B)= 1/13 (veja o item b)
Isto é, P(F) + P(B) = 1
P(F) + 1/13 = 1 → P(F)= 12/13
G- Evento G: “ocorrer uma dama ou um valete ou um rei”.
Esse evento é a união de 3 eventos:
X: “ocorrer uma dama.”
Y: “ ocorrer um valete.”
Z: “ ocorrer um rei.”
Portanto, ele é equivalente a XUYUZ, cuja probabilidade é dada pela fórmula
Probabilidade condicional
Uma caixa contém 12 esferas numeradas de 1 a 12.
Ao retirar uma esfera dessa caixa, ficou-se sabendo que ela possuía um número par.
Qual seria então, a probabilidade de que essa esfera fosse um múltiplo de 3?
O espaço amostral pode ser considerado, inicialmente, como o conjunto constituído por
todas as esferas numeradas de 1 a 12.
E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
Entretanto, ao retirar uma esfera, ficou-se sabendo que ela possuía um número par. Isso
nos mostra que é possível definir um novo espaço amostral A, constituído pelas “esferas
pares”.
A={2,4,6,8,10,12} → n(A)=6
O evento B: “ocorrer uma esfera com número múltiplo de 3.” é o conjunto B={3,6,9,12}.
Os múltiplos de 3 que são também múltiplos de 2 pertencem à interseção dos eventos A
e B.
Logo, a probabilidade de ocorrer o evento B, já tendo ocorrido o evento A, é igual a
Essa probabilidade indicada por P(B/A) é chamada probabilidade condicional do evento
B, já tendo ocorrido o evento A.
A fórmula para calcular P(B/A) (lê-se: “probabilidade de B, tendo ocorrido A”) é a
seguinte:
Exemplo:
No lançamento de dois dados obteve-se, nas faces voltadas para cima, a soma dos
pontos iguais a 6. Determinar a probabilidade de que, nas faces desses dados, o maior
número observado seja igual a 3.
Solução:
Já tendo ocorrido o evento A: “ soma dos pontos é igual a 6.” O espaço amostral inicial
fica reduzido ao evento A.
A={(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
Para calcular a probabilidade condicional
, necessitamos de n(A∩B).
Cálculo de n(A∩B)
Sendo o evento B: “o maior número observado ser igual a 3”. temos
A={(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} → n(A)=5
B={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
Então,
A∩B={(3,3)} → n(A∩B)=1 Logo, P(B/A)= 1/5
Cálculo da probabilidade condicional em função das probabilidades relativas ao espaço
amostral inicial E
Considere o espaço amostral E finito e não-vazio, os eventos
A e B e a probabilidade condicional
Exemplo:
Considere todos os números naturais de 3 algarismos distintos, formados com os
algarismos 1, 2 e 3. Um deles foi escolhido e observou-se que ele é maior que 150.
Determinar a probabilidade de que o número escolhido seja ímpar.
Solução
O espaço amostral é o conjunto E
E={123, 132, 213, 231, 312, 321} → n(E)=6
O evento A: “ não maior que 150” é o conjunto A={213, 231, 312, 321} → n(A)=4
O evento B: “ número ímpar” é o conjunto B={123, 213, 231, 321} → n(B)=4
O evento A∩B={213, 231, 321} → n(A∩B)=3
Vamos calcular P(B/A) por meio das duas fórmulas:
Eventos independentes e multiplicação de probabilidades
A e B são eventos independentes de um espaço amostral E, se a probabilidade de
ocorrer um deles não depender de ter ou não ocorrido o outro.
Expressamos esse fato escrevendo P(B/A) = P(B).
Isto é, a probabilidade de B, tendo ocorrido A, é igual à probabilidade de B.
Resumindo: Se B independe de A, então A independe de B, isto é, se P(B/A) = P(B),
então P(A/B) = P(A).
Multiplicação de probabilidades
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral E, sendo A ≠ Ø, B ≠ Ø e E ≠ Ø, diz-se
que A e B são independentes se, e somente se, P(A∩B) = P(A) . P(B)
P(A∩B) = P(A) . P(B) ↔ A e B não são independentes.
Exemplo 1:
Exemplo 2: