7
Resultados de Medições
Indiretas
Fundamentos da Metrologia
Científica e Industrial
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Motivação
c ± u(c)
b ± u(b)

Como estimar a incerteza
do valor de uma
grandeza que é calculada
a partir de operações
matemáticas com os
resultados de outras
grandezas medidas?
A=b.c
u(A) = ?
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 2/52)
7.1
Considerações Preliminares
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Medições indiretas


O valor do mensurando é determinado a
partir de operações matemáticas envolvendo
resultados de duas ou mais grandezas de
entrada medidas separadamente.
Exemplos:


A área de um terreno calculada através do
produto entre sua largura pelo seu comprimento.
Determinação da corrente elétrica dividindo a
queda de tensão sobre um resistor pelo valor da
sua resistência.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 4/52)
O Modelo Matemático


É necessário um modelo matemático
que relacione as grandezas de entrada
com o valor do mensurando.
Exemplos:


A=l.h
V=d/t
d  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 5/52)
Dependência estatística &
correlação


Duas variáveis aleatórias são consideradas
estatisticamente independentes ou não
correlacionadas se as variações aleatórias da
primeira não guardam nenhum tipo de
sincronismo com as da segunda.
Exemplo:

a temperatura da água do mar na praia da
Joaquina e a cotação do dólar.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 6/52)
Dependência estatística


Duas variáveis aleatórias são consideradas
estatisticamente dependentes ou
correlacionadas se as variações aleatórias da
primeira ocorrem de forma sincronizada com
as variações aleatórias da segunda.
Exemplos:


Os valores em Real da cotação do Euro e do Dólar
(na verdade quem mais muda é o Real).
A temperatura da água do mar em duas praias
próximas.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 7/52)
Correlação direta

Na correlação direta as variações estão
sincronizadas de tal forma que:


(a) o aumento aleatório do valor da primeira
variável aleatória é acompanhado de um
aumento proporcional da segunda variável.
(b) a redução aleatória do valor da primeira
variável aleatória é acompanhado de uma
redução proporcional da segunda variável.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 8/52)
Correlação inversa

Na correlação inversa as variações estão
sincronizadas de tal forma que:


(a) o aumento aleatório do valor da primeira
variável aleatória é acompanhado de uma
redução proporcional da segunda variável.
(b) a redução aleatória do valor da primeira
variável aleatória é acompanhado de um
aumento proporcional da segunda variável.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 9/52)
Analogia da Gangorra ...
A
A
B
C
B
C
A e B possuem correlação direta
A e C possuem correlação inversa
B e C possuem correlação inversa
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 10/52)
Coeficiente de Correlação
sendo
(X,Y)
cov(X, Y)
X
Y
cov( X , Y )
 ( X ,Y ) 
 X . Y
o coeficiente de correlação entre X e Y
a covariância entre X e Y
o desvio padrão da variável aleatória X
o desvio padrão da variável aleatória Y
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 11/52)
Estimativa do Coeficiente de
Correlação
n
r ( X ,Y ) 
 ( x  x )( y
i 1
i
i
n
n
i 1
i 1
 y)
2
2
(
x

x
)
.
(
y

y
)
 i
 i
sendo
r(X, Y)
xi e yi
xey
n
estimativa do coeficiente de correlação para X e Y
i-ésimo par de valores das variáveis X e Y
valores médios das variáveis X e Y
número total de pares de pontos das variáveis X e Y
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 12/52)
Correlação direta e inversa
Correlação direta perfeita:
ρ(X, Y) = +1,00
 Correlação inversa perfeita:
ρ(X, Y) = -1,00
 Ausência total de correlação
ρ(X, Y) = 0,00

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 13/52)
Correlação entre múltiplas
variáveis aleatórias
A
A
D
B
C
B
C
A
B
C
D
D
A
+1
+1
-1
-1
B
+1
+1
-1
-1
C
-1
-1
+1
+1
D
-1
-1
+1
+1
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 14/52)
Nas medições indiretas há boas
chances de correlação quando:



Há erros sistemáticos consideráveis e não
compensados nas medições de ambas
grandezas;
Uma mesma grandeza de influência age
fortemente em ambos processos de medição;
Ambas grandezas são medidas pelo mesmo SM
em condições distintas das de calibração ou
muito tempo após a calibração ter sido
realizada.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 15/52)
Nas medições indiretas há boas
chances de não haver correlação se:


Ambos os sistemas de medição foram
recentemente calibrados e estão operando em
condições próximas das condições de calibração
e as respectivas correções estão sendo
aplicadas;
Distintos sistemas de medição são utilizados em
condições em que não há uma mesma grandeza
de influência presente que possa afetar
significativamente ambos os processos de
medição.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 16/52)
7.2
Estimativa da Incerteza
Combinada em Medições não
Correlacionadas (MNC)
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Adição e subtração de MNC

O quadrado da incerteza combinada da
adição ou subtração de MNC é
calculado pela soma dos quadrados das
incertezas padrão de cada termo:
[u(X 1  X 2    X n )]  [u(X 1 )]  [u(X 2 )]  ...  [u(X n )]
2
2
2
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 18/52)
2
Exemplo: Adição de MNC
mT = m1 + m2
MNC
1
2
[u(mT)]2 = [u(m1)]2 + [u(m2)]2
[u(mT)]2 = [3]2 + [4]2 = 25
m1 = (1000 ± 6) g
m2 = (2000 ± 8) g
u(m1) = 6/2,0 = 3 g
u(m2) = 8/2,0 = 4 g
u(mT) = 5 g
U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g
mT = (3000 ± 10) g
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 19/52)
Exemplo: Subtração de MNC
mC = m2 – m1
MNC
1
2
[u(mc)]2 = [u(m1)]2 + [u(m2)]2
[u(mT)]2 = [3]2 + [4]2 = 25
m1 = (1000 ± 6) g
m2 = (2000 ± 8) g
mC + m1 = m2
u(mT) = 5 g
U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g
mC = (1000 ± 10) g
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 20/52)
Multiplicação de MNC

Na multiplicação de MNC o quadrado da
incerteza combinada relativa é calculado
pela soma dos quadrados das incertezas
padrão relativas de cada fator:
2
2
 u(X 1.X 2 )   u(X 1 )   u(X 2 ) 

 
 

X
.X
X
X
 1 2   1   2 
2
u 2R (X1.X 2 )  u 2R (X1 )  u 2R (X 2 )
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 21/52)
Divisão de MNC

Na divisão de MNC o quadrado da incerteza
combinada relativa é calculado pela soma
dos quadrados das incertezas padrão
relativas do divisor e do dividendo:
2
2
 u(X 1/X 2 )   u(X 1 )   u(X 2 ) 

 
 

 X1/X 2   X1   X 2 
2
u 2R (X1/X 2 )  u 2R (X1 )  u 2R (X 2 )
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 22/52)
Generalizando: Multiplicação
e Divisão de MNC

Na multiplicação e/ou divisão de qualquer
número de MNC o quadrado da incerteza
combinada relativa é calculado pela soma
dos quadrados das incertezas padrão
relativas de cada termo por:
1
1
1
n
u (X 1 .X 2  X )  u (X1 )  u (X 2 )    u (X n )
2
R
2
R
2
R
2
R
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 23/52)
Exemplo: Divisão de MNC
V
R
V
I
R
I
Determine a corrente
elétrica que passa por um
resistor de (500,0 ± 1,0) 
sobre o qual foi medida
uma queda de tensão de
(150,0 ± 3,0) V.
u(R) = 1,0/2,0 = 0,5 Ω
u(V) = 3,0/2,0 = 1,5 V
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 24/52)
GEI - Divisão - Exemplo
V
2
2
 u(I)   u(V)   u(R) 
 I   V   R 

 
 

2
R
I
V = (150,0 ± 2*1,5) V
2
 u(I)   1,5   0,5 
 0,300   150    500 
 


 
2
2
2
R = (500,0 ± 2*0,5) 
 u(I) 
 0,300   0,0001  0,000001


V 150
I 
 0,300 A
R 500
u(I) = 0,0030 A
I = (300 ±6) mA
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 25/52)
Caso Geral de MNC
G  f ( X 1 , X 2 ,, X n )
2
2
 f

 f
  f

u (G ) = 
u ( X 1 )   
u ( X 2 )     
u ( X n ) 
 X 1
  X 2

 X n

2
f
= coeficiente de sensibilidade
X i
Podem ser calculados analitica ou numericamente
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 26/52)
2
Exemplo: Caso Geral de MNC

Na determinação da massa específica (ρ) de
um material usou-se um processo indireto,
medindo-se em um laboratório, com uma
balança, a massa (m) de um cilindro cujo
diâmetro (D) e altura (h) foram determinados
por um micrômetro e um paquímetro
respectivamente. Após a compensação dos
erros sistemáticos, foram encontrados os
seguintes resultados e os respectivos
números de graus de liberdade para cada
grandeza de entrada:
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 27/52)
Medições Realizadas
Para a massa:
m = (1580 ± 22) g
νm = 14
h
D
Para o diâmetro:
D = (25,423 ± 0,006) mm
νD = ∞
Para a altura:
h = (77,35 ± 0,11) mm
νh = 14
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 28/52)
Massa Específica
 = f ( m, D , h )
h
D
m
=
Vol
4m
=
 D2 h
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 29/52)
Considerando que as medições foram efetuadas em
condições de laboratório e as componentes sistemáticas foram
compensadas, é muito provável que as medidas das três
grandezas sejam não correlacionadas.
A incerteza padrão associada a cada grandeza envolvida será
calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t
de Student:
u(m) = U(m)/t14 = 22/2,20 = 10 g
u(D) = U(D)/t = 0,006/2,00 = 0,0030 mm
u(h) = U(h)/t14 = 0,11/2,20 = 0,050 mm
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 30/52)
Cálculo da incerteza combinada
2
2
 f
  f
  f

u (  ) = 
u (m)   
u ( D )   
u (h) 
 m
  D
 h

2
2
 4
   8m
   4m

2
u (  ) =  2 u ( m)    3 u ( D )    2 2 u ( h) 
 D h
  D h
  D h

2
2
2
 u (  )   u ( m)   u ( D )   u ( h) 

 = 
  2
 

    m   D   h 
2
2
2
2
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 31/52)
Cálculo da incerteza combinada
2
2
2
2
 u (  )   u ( m)   u ( D )   u ( h) 

 = 
  2
 

    m   D   h 
2
2
2
 u (  )   10   0,0030   0,050 

 = 
 

  2
    1580   25,423   77,35 
2
2
 u(  ) 
 = 4005,8  5,57  41,8.108  4053,2.108
u (  )  
  
2
R
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 32/52)
Cálculo da incerteza combinada
4 .m
4 .1580
3
=


0,040239
g/
mm
 . D 2 .h 3,14159 .(25,423 )2 .77,35
u (  )   . u R (  )  0,040239 . 4053,2.10 8  0.0002562 g/mm 3
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 33/52)
Cálculo do número de graus de
liberdade efetivos
u R4 (  )
 ef

u R4 (m)
m

4
u R4 ( D )
D

u R4 (h)
h
4
 0,0002562 
 10   0,0030   0,050 


 


 
 0,040239    1580    25,423    77,35 
 ef
14

14
 ef  14,3  14
4
4
t  2,20
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 34/52)
Valor da massa específica:
U() = 2,20 . u()
U() = 2,20 . 0,0002562 = 0,000564 g/mm3
 = (0,04024  0,00056) g/mm3
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 35/52)
7.3
Estimativa da Incerteza
Combinada de Medições
Correlacionadas (MC)
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Adição de MC

Com correlação direta perfeita:
u(x 1  x 2 )  u(x 1 )  u(x 2 )

1
2
Com correlação inversa perfeita:
u(x 1  x 2 )  u(x 1 )  u(x 2 )
2
1
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 37/52)
Adição de MC

Soma de múltiplos termos:
D
B
A C
Z=A+B+C+D
E=A+C
u(E) = u(A) + u(C)
F=B+D
u(F) = u(B) + u(D)
F
Z=E+F
u(Z) = |u(E) – u(F)|
E
u(Z) = |u(A) – u(B) + u(C) – u(D)|
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 38/52)
Subtração de MC

Com correlação direta perfeita:
u(x 1  x 2 )  u(x 1 )  u(x 2 )

1
2
Com correlação inversa perfeita:
u(x 1  x 2 )  u(x 1 )  u(x 2 )
2
1
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 39/52)
Subtração de MC

Para múltiplos termos:
D
B
A C
Z = A - B - C – D = (A - C) – (B + D)
G=A-C
u(G) = |u(A) - u(C)|
H=B+D
u(H) = u(B) + u(D)
H
Z=G-H
u(Z) = u(G) + u(H)
G
u(Z) = |u(A) – u(C)| + u(B) + u(D)
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 40/52)
Multiplicação de MC

Com correlação direta perfeita:
u(x 1. x 2 ) u(x 1 ) u(x 2 )


x1. x 2
x1
x2
u R (x1. x 2 )  u R (x1 )  u R (x 2 )

1
2
Com correlação inversa perfeita:
u R (x1. x 2 )  u R (x1 )  u R (x 2 )
2
1
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 41/52)
Multiplicação de MC

Para múltiplos termos:
D
B
A C
Z=A.B.C.D
K=A.C
uR(K) = uR(A) + uR(C)
L=B.D
uR(L) = uR(B) + uR(D)
L
Z=K.L
uR(Z) = |uR(K) – uR(L)|
K
uR(Z) = |uR(A) – uR(B) + uR(C) – uR(D)|
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 42/52)
Divisão de MC

Com correlação direta perfeita:
u(x 1 / x 2 ) u(x 1 ) u(x 2 )


x1 / x 2
x1
x2
1
2
u R (x1 / x 2 )  u R (x1 )  u R (x 2 )

Com correlação inversa perfeita:
u R (x1 / x 2 )  u R (x1 )  u R (x 2 )
2
1
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 43/52)
Divisão de MC

Para múltiplos termos:
D
B
A C
Z = A . B / (C . D) = (A/C) . (B/D)
M = A/C
uR(M) = |uR(A) - uR(C)|
N = B/D
uR(N) = |uR(B) - uR(D)|
N
Z=M.N
uR(Z) = |uR(M) – uR(N)|
M
uR(Z) = ||uR(A) – uR(C)| - |uR(B) - uR(D)||
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 44/52)
Caso Geral de MC
Incerteza máxima possível
G  f ( X 1 , X 2 ,..., X n )
f
f
f
u (G ) =
u( X1 ) 
u ( X 2 )  ... 
u( X n )
X 1
X 2
X n
f
= coeficiente de sensibilidade
X i
Pode ser calculado analitica ou numericamente
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 45/52)
Caso Geral de MC
Incerteza máxima possível
G  f ( A, B )  A  B
u(A) = 3 e u(B) = 4
(a) Não correlacionadas:
u (G )  u 2 ( A)  u 2 ( B )  32  4 2  25  5
(b) Correlação direta:
u(G) = u(A) + u(B) = 3 + 4 = 7
(c) Correlação inversa:
u(G) = |u(A) - u(B)| = |3 – 4| = 1
(d) Máxima possível:
f
f
u (G ) 
u ( A) 
u ( B )  1.u ( A)  1.u ( B )  3  4  7
A
B
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 46/52)
7.4
Estimativa da Incerteza
Combinada Quando o Coeficiente
de Correlação é Conhecido
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Caso Geral
G  f ( X 1 , X 2 ,..., X n )
2
n 1 n
 f  2
f f
 u ( X i )  2 
u (G )   
u ( X i ).u ( X j ).r ( X i , X j )
i 1  X i 
i 1 j  i 1 X i X j
n
2
f
= coeficiente de sensibilidade
X i
Pode ser calculado analitica ou numericamente
r ( X i , X j )  coeficient e de correlação entre X i e X
j
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 48/52)
Medições correlacionadas e não
correlacionadas

Para múltiplos termos:
A B
D
C
G=A+B+C+D
r
A
B
C
D
A
+1
-1
0
B
+1
-1
0
C
-1
-1
D
0
0
0
0
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 49/52)
Medições correlacionadas e não
correlacionadas
 f 
 f 
 f  2
 f  2
u 2 (G )    u 2 ( A)    u 2 ( B)  
u
(
C
)



 u ( D) 
 A 
 B 
 C 
 D 
f f
f f
f f
2
u ( A).u ( B).r ( A, B)  2
u ( A).u (C ).r ( A, C )  2
u ( A).u ( D).r ( A, D) 
A B
A C
A D
f f
f f
f f
2
u ( B).u (C ).r ( B, C )  2
u ( B).u ( D).r ( B, D)  2
u (C ).u ( D).r (C , D)
B C
B D
C D
2
2
2
2
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 50/52)
Medições correlacionadas e não
correlacionadas
u 2 (G )  u 2 ( A)  u 2 ( B)  u 2 (C )  u 2 ( D) 
 2 u ( A).u ( B).1  2 u ( A).u (C ).( 1)  2 u ( A).u ( D).0 
 2 u ( B).u (C ).( 1)  2u ( B).u ( D).0  2u (C ).u ( D).0
u 2 (G )  u 2 ( A)  u 2 ( B)  u 2 (C )  u 2 ( D)  2 u ( A).u ( B)  2 u ( A).u (C )  2 u ( B).u (C )
u 2 (G )  u ( A)  u ( B )  u (C )  u 2 ( D )
2
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 51/52)
Correlação parcial
G  f ( h, )  2h sin ( )
com r(h, α) = -0,5
2
 f  2
f f
 f  2
2
 u (h)  
u (G )  
u (h).u ( ).r (h, )
 u ( )  2
 h 
  
 h
2
u 2 (G )  2 sin ( )  u 2 ( h)   2h cos( )  u 2 ( )  2( 2 sin ( ))( 2h cos( ))u ( h).u ( ).( 0,5)
2

2
u 2 (G )  4 sin 2 ( ) . u 2 (h)  h 2 cos 2 ( ) . u 2 ( )  h sin(  ) cos( ) . u (h).u ( )

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 52/52)