Universidade Federal da Bahia
Instituto de Ciências Ambientais e Desenvolvimento Sustentável
Terceira Prova de Fı́sica IV − T01 − 2/2008
Prof. Angelo Marconi Maniero
Data: 17 de Dezembro de 2008
Nome:
Matrı́cula:
Observações:
•
LEIA AS QUESTÕES ATENTAMENTE
• Respostas sem justificativas ou que não incluam os cálculos necessários não serão consideradas;
• Prova individual e sem consulta;
• Os cálculos devem ser explicitados.
• Dados:
(1 + x)n = 1 +
nx n(n − 1)x2
+
+ ...
1!
2!
(|x| < 1) ,
cos(2θ) = cos2 θ − sen 2 θ
,
√
3 ≈ 1, 732
Questão n0 01 − (4,0 pontos) Este problema ilustra o Princı́pio da Correspondência de Bohr, que é muito usado
para conferir cálculos da mecânica quântica. Tal princı́pio é dividido em duas partes:
1. As previsões da teoria quântica para o comportamento de qualquer sistema fı́sico devem corresponder às previsões
da fı́sica clássica no limite no qual os números quânticos que especificam o estado de um sistema tornam-se muito
grandes.
2. Uma regra de seleção é válida para todos os números quânticos possı́veis. Portanto, todas as regras de seleção
que são necessárias para obter a correspondência exigida no limite clássico (n grande) também se aplicam no
limite quântico (n pequeno).
Ou seja, quando o número quântico, n, é pequeno, a mecânica quântica fornece resultados muito diferentes dos
obtidos pela fı́sica clássica. Quando n é grande, a diferença entre esses resultados é desprezı́vel e os dois métodos são
“correspondentes”. De fato, quando Bohr estudou o problema do átomo de hidrogênio pela primeira vez, ele procurou
determinar a freqüência ν em função de n de modo a obter um resultado correspondente ao da fı́sica clássica para
valores de n elevados. A freqüência de revolução ν0 de um elétron em uma órbita de Bohr segue das equações do raio
e da velocidade do elétron no átomo hidrogenóide:
n2 ~2
n = 1, 2, 3, . . .
mZe2
n~
1 Ze2
v=
=
n = 1, 2, 3, . . .
mr
4πε0 n~
rn = 4πε0
Assim, para Z = 1, que é o átomo de hidrogênio, podemos escrever
2
v
1
me4 2
ν0 =
=
2πrn
4πε0
4π~3 n3
De acordo com a fı́sica clássica, a freqüência de luz emitida nesse caso é igual a ν0 , ou seja, a freqüência de revolução.
A fı́sica quântica prevê que a freqüência ν da luz emitida, quando o elétron salta de um nı́vel mais interno (ni ) para
um mais externo (nf ) é dado pelo segundo postulado de Bohr.
(a) Demonstre que esta freqüência é, para o átomo de hidrogênio (Z = 1),
!
2
me4
1
1
1
ν=
− 2
4πε0
4π~3 n2f
ni
Mas, pelo Princı́pio da Correspondência, para que a expressão acima seja igual a ν0 , devemos ter ni − nf = 1, como
uma regra de seleção para grandes números quânticos.
(b) Para verificar isso, faça ni − nf = 1 com ni = n e nf = n − 1 e então mostre que se n → ∞ então ν → ν0
(c) Determine a diferença relativa entre as freqüências ν e ν0 , ou seja
erro =
ν − ν0
ν
Desta forma, para n = 5 o erro, para o átomo de hidrogênio, é de 29 %, enquanto que para n = 10000 o erro é igual
0,015 %. É interessante observar que apenas a primeira parte do princı́pio da correspondência é compatı́vel com a
experiência para o átomo de hidrogênio. Isto porque a experiência nos mostra que a regra de seleção ni − nf = 1,
que era necessária para satisfazer à primeira parte do princı́pio para n grande, não se aplica ao átomo de hidrogênio
para n pequeno. Observam-se transições ocorrendo entre estados com n pequeno nos quais os números quânticos
diferem por um valor maior que um. Isto ilustra o fato de que a antiga teoria quântica nem sempre pode ser posta em
acordo com as experiências, por mais que a modifiquemos. Quando aplicada a átomos, a teoria antiga é na realidade
bem sucedida apenas para átomos de um elétron. Os elementos alcalinos (Li, Na, K, Rb, Cs) podem ser tratados
de forma aproximada, mas apenas porque eles são sob muitos aspectos, similares a um átomo de um elétron. A
teoria falha clamorosamente mesmo quando aplicada ao átomo de He neutro, que contém apenas dois elétrons. A
teoria de Schrödinger (nova teoria quântica) é sob alguns aspectos bem diferente da velha teoria quântica. O modelo
da estrutura atômica fornecida pela mecânica quântica é a antı́tese do modelo usado na antiga teoria quântica, de
elétrons movendo-se em órbitas bem definidas. No entanto, a antiga teoria quântica é ainda freqüentemente utilizada
como primeira aproximação à descrição mais precisa dos fenômenos quânticos consideravelmente menos complicados
do que os utilizados na mecânica quântica, e que a antiga teoria quântica é freqüentemente útil para visualização de
processos que dificilmente são visualizáveis em termos da linguagem bem abstrata da mecânica quântica sob alguns
aspectos bem diferentes.
Justifique os seus resultados.
Questão n0 02 − (3,0 pontos) Considere um fóton que sofreu dois sucessivos espalhamentos Compton produzidos
por elétrons inicialmente em repouso. Na primeira colisão o ângulo de espalhamento do fóton é igual a θ1 e na segunda
é θ2 .
(a) Determine o deslocamento total do comprimento de onda desse fóton,
θ
(b) Geralmente, quando ocorrem dois espalhamentos sucessivos com ângulos iguais a , o resultado é o mesmo
2
que ocorreria para um único espalhamento com ângulo igual a θ? Justifique. Caso sua resposta tenha sido
◦
negativa, existem valores especı́ficos de θ, além de θ = 0 , para os quais os deslocamentos totais sejam os
mesmos? Justifique
(c) Use o resultado do item (a) para calcular o deslocamento total do comprimento de onda de um fóton que sofreu
h
dois sucessivos espalhamentos Compton de 30◦ cada. Expresse sua resposta em termos de
mc
(d) Qual é o deslocamento do comprimento de onda produzido por único espalhamento de 60, 0◦ ? Compare sua
resposta com o resultado encontrado no item (c).
Questão n0 03 − (3,0 pontos) Elétrons com velocidades elevadas são usados para sondar a estrutura dos núcleos
h
dos átomos. Para tais elétrons a relação λ = continua válida, porém devemos usar a expressão relativı́stica para o
p
mv
momento linear, p = r
v2
1− 2
c
(a) Mostre que a velocidade de um elétron que possui o comprimento de onda de De Broglie λ é dada por
v=s
c
2
mcλ
1+
h
h
é igual a 2, 426 × 10−12 m e é chamada de comprimento de onda de Compton do elétron. Se λ
mc
h
, o denominador da expressão encontrada no item (a) é aproximadamente igual
é pequeno em comparação a
mc
a 1 e a velocidade v é aproximadamente igual a c. Nesse caso, é conveniente escrever v = (1 − ∆)c e expressar
h
a velocidade do elétron em termos de ∆ em vez de v. Encontre uma expressão para ∆ válida quando λ .
mc
(b) A grandeza