15/06/2015
5a Lista de GAAL-COMPUTAÇÃO, LICENCIATURA
Geometria Analı́tica
1. Obtenha 2⃗u e k⃗v sendo ⃗u = (1, 2, −3) e ⃗v = (2, −4, 5).
2. Calcule o módulo de ⃗v = (−5, 2, 4). Verifique se o vetor é unitário. Caso o vetor não seja unitário, calcule o seu
versor e verifique qual o valor do módulo do versor.
3. Obtenha o módulo do vetor (1, −1). Verifique se o vetor obtido é unitário.
4. Calcule o produto escalar entre s vetores ⃗u = (−1, 2, 5) e ⃗v = (−1, 4, 10). Verifique se esta operação é comutativa.
5. Ache x de modo que ⃗u seja perpendicular a ⃗v , em que ⃗u = (x, 0, 3) e ⃗v = (1, x, 3).
6. Ache ⃗u ortogonal a ⃗v = (4, −1, 5) e a w
⃗ = (1, −2, 3) e que satisfaz ⃗u · (1, 1, 1) = −1.
7. Prove que ABC é um triãngulo retângulo, sendo A(3, −2, 8), B(0, 0, 2) e C(−3, −5, 10).
8. Ache a medida em radianos do ângulo entre ⃗u = (1, 0, 1) e ⃗v = (−2, 10, 2).
√
9. Determine o valor de a para que seja 60o o ângulo entre os vetores ⃗u = (1, a, 3) e ⃗k.
10. Calcule a distância entre dois pontos A1 (x1 , y1 , z1 ) e A2 (x2 , y2 , z2 ).
11. Sabendo que a distância entre os pontos A(−1, 2, 3) e B(1, −1, m) é 7, calcule m.
12. Sabendo que a distância entre os pontos A(2, x, 3) e B(1, −1, m) é 8, calcule x.
13. Calcule o produto vetorial dos vetores ⃗u × ⃗v e de ⃗v × ⃗u em que ⃗u = 5⃗i + 4⃗j + 3⃗k e ⃗v = ⃗i + ⃗k.
14. Determine um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores ⃗u = 2⃗i − 6⃗j + 3⃗k e ⃗v = 4⃗i + 3⃗j + ⃗k.
15. Determine um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores ⃗u = (1, 3, −3) e ⃗v = (4, 2, 5).
16. Sejam os vetores ⃗u = 3⃗i +⃗j − ⃗k e ⃗v = a⃗i + 2⃗k, calcular o valor de a para que a área do paralelogramo determindo
por ⃗u e ⃗v seja 2.
17. Sejam os vetores ⃗u = 3⃗i−⃗j +2⃗k e ⃗v = (1, a, 3), calcule o valor de a para que a área do paralelogramo determindo
√
por ⃗u e ⃗v seja 2 6.
18. Calcule o produto vetorial entre os vetores ⃗u = (−1, 2, 5) e ⃗v = (−1, 4, 10).
19. Dados os vetores ⃗u = (−2, 1, 2), ⃗v = (1, −1, 1) e w
⃗ = (1, 1, 1), determine:
a) (⃗u, ⃗v , w);
⃗
b) (w,
⃗ ⃗u, ⃗v );
c) (⃗u, w,
⃗ ⃗v ).
20. Qual o valor de x para que os vetores ⃗u = (3, x, −2), ⃗v = (3, 2, 0) e w
⃗ = (1, −3, 1) sejam coplanares?
21. Mostre que os pontos A(4, 5, 1), B(−4, 4, 4), C(0, −1, −1) e D1 = (3, 9, 4) são coplanares.
22. Mostre que os pontos A(1, 2, 4), B(−1, 0, −2), C(0, 2, 2) e D1 = (−2, 1, −3) estão no mesmo plano.
23. Qual deve ser o valor de m para que os vetores ⃗u = (m, 2, −1), ⃗v = (1, −1, 3) e w
⃗ = (0, −2, 4) sejam coplanares?
24. Calcular a área do triângulo de vértices:
a) A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1), C(0, 1, 3)
b) A(1, 0, 1), B(4, 2, 1), C(1, 2, 0)
c) A(2, 3, −1), B(3, 1, −2), C(−1, 0, 2)
25. Calcular a área do paralelogramo cujos lados são determiados pelos vetores 2⃗u e −⃗v , sendo ⃗u = (2, −1, 0) e
⃗v = (1, −3, 2).
26. Determinar o vetor projeção do vetor ⃗u = (1, 2, −3) na direção de ⃗v = (2, 1, −2).
27. Qual o comprimento do vetor projeção de ⃗u = (3, 5, 2) sobre o eixo dos x?
28. Os vetores ⃗u = (2, −1, −3), ⃗v = (−1, 1, −4) e w
⃗ = (m + 1, m, −1) determinam um paralelepı́pedo de volume
42. Calcular m.
29. Dados os pontos A(1, −2, 3), B(2, −1, −4), C(0, 2, 0) e D1 = (−1, m, 1) determinar o valor de m para que seja
−−→ −→ −−→
de 20 unidades de volume o volume do paralelepı́pedo determinado pelos vetores AB, AC, AD.
30. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados:
a) A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) e D1 = (4, 2, 7);
b) A(−1, 3, 2), B(0, 1, −1), C(−2, 0, 1) e D1 = (1, −2, 0)