TRABAJO
1/6
Título
Planejamento de Redes de Distribuição de Energia Elétrica via
Programação Linear Convexa
Nº de Registro (Resumen)
99
Empresa o Entidad
Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia – PPGMNE
Universidade Federal do Paraná
Nombre
Francisco Bartosievicz Netto, M. Sc.
Autores del Trabajo
País
Brasil
e-mail
[email protected]
Arinei Carlos Lindbeck Silva, D. Eng.
Brasil
[email protected]
Neida Maria Patias Volpi, D. Eng.
Brasil
[email protected]
Palabras Clave
rede de distribuição de energia elétrica, programação linear convexa, otimização de custos
Na atualidade, a busca pela minimização dos custos em setores como indústria e comércio, entre
outros, tem motivado o estudo de ferramentas para alcançar tal objetivo. Nessa busca, também estão as
companhias de distribuição de energia elétrica, que além da diminuição dos custos, visam a melhoria do
atendimento aos seus clientes, tanto no aumento da demanda, quanto no atendimento a novos clientes.
Isso tem feito com que modelos matemáticos sejam desenvolvidos para a otimização dos recursos
utilizados no projeto, manutenção e expansão das redes de distribuição de energia elétrica, ou seja, os
modelos tentam apresentar o melhor planejamento para a rede. Estes modelos tem sido desenvolvidos,
estudados e analisados a mais de 40 anos no mundo todo. O presente trabalho teve a preocupação de
estudar estes modelos, propondo um novo modelo matemático, utilizando os princípios da Pesquisa
Operacional, através da Programação Linear Convexa, com o objetivo de atender a crescente demanda
durante um período de planejamento, minimizando os custos com instalação e manutenção de trechos
do sistema, as perdas de energia elétrica que ocorrem na rede, além de um indicador de confiabilidade,
a taxa de falha dos trechos. Neste modelo proposto, consideraram-se restrições de configuração radial,
limites de corrente nos trechos e tensão nos nós de demanda, capacidade das subestações, além do
atendimento às demandas. O modelo identifica se novos trechos ou subestações são necessários para
atender as demandas atuais e futuras. O algoritmo desenvolvido para executar o modelo utiliza dados
topológicos e técnicos, gerando com isso as restrições e a função objetivo a ser minimizada, retornando
após a execução do modelo, a solução ótima. Testes foram feitos com dados reais de uma subestação
da cidade de Curitiba – PR e de toda a cidade de Cascavel – PR.
_________________________
PAPER-99-28022010.DOC
1/6
TRABAJO
2/6
1 - INTRODUÇÃO
Um sistema de distribuição de energia
elétrica geralmente é projetado para atender a
demanda de energia em uma região por um
determinado período de tempo. Entretanto,
pode ocorrer uma expansão desordenada da
rede, causando perdas maiores de energia.
Estas perdas podem ser minimizadas através
de uma reconfiguração da rede e através de
expansões planejadas.
Têm-se várias técnicas de reconfiguração
e expansão, das quais se destacam as
baseadas em programação matemática. Neste
trabalho foi proposto um novo modelo de
reconfiguração e expansão derivado do modelo
de BARTOSIEVICZ NETTO (2006). O
planejamento da expansão de redes elétricas,
ao longo de um período de planejamento P foi
desenvolvido,
minimizando
custos
com
instalação e perdas elétricas nos cabos de
energia elétrica, e maximizando um dos
indicadores de confiabilidade da rede, que neste
2
caso é a taxa de falha nos trechos, por km .
Este trabalho se restringiu apenas à rede
primária
de
distribuição,
onde
foram
considerados os cabos já existentes, a
2
demanda por km e as demandas futuras,
considerando vários períodos de planejamento.
tornando o modelo matemático mais rápido no
seu cálculo. Esse novo enfoque apesar de
diminuir o número de restrições, continua
garantindo propriedades de convexidade úteis
para a função objetivo, como também permite
representar a radialidade da rede.
No modelo, também é considerada a taxa
de falha de cada trecho para a maximização de
um indicador de confiabilidade da rede. Taxas
de falha dos trechos são consideradas por km.
Para avaliar o custo das falhas, em valores
monetários, é preciso multiplicar o fluxo (KVA)
do trecho pelo seu comprimento, para se obter a
energia interrompida (kWh) e daí por um custo
médio da energia interrompida ($/kWh). Desta
forma, é obtida a taxa de falha em valores
monetários.
3 – MODELO MATEMÁTICO
Notação utilizada no modelo proposto:
i: nó
j: trecho
y s : trechos que partem da subestação s
j ci : trecho que chega ao nó i
j si : trecho que sai do nó i
p: período
2 - METODOLOGIA
b: bitola
Um dos modelos clássicos baseados
em programação matemática é o de AOKI
(1990). Por utilizar variáveis binárias (0 ou 1), a
resolução do modelo torna-se lenta em redes
maiores. O modelo de FARRAG (1999),
semelhante ao do Aoki, não utiliza variáveis
binárias. Farrag propôs o uso de variáveis
contínuas através da adição de restrições de
convexidade. Já o modelo de Bartosievicz,
seguindo a linha de Farrag, utilizou-se das
funções convexas para resolver o problema das
variáveis binárias. O modelo a ser proposto
neste trabalho, é uma extensão do trabalho de
Bartosievicz no sentido de simplificar o modelo,
mantendo a capacidade de resolução do
problema de planejamento de forma mais
eficiente.
h: ponto da linearização
No modelo proposto, foram simplificadas
as restrições de radialidade, obtendo o mesmo
efeito sobre a restrição com menos equações
s: subestação
N: número total de nós de demanda
N p : número total de nós de demanda no periodo
p
S: número total de subestações
A: número total de alimentadores (de todas as
subestações somadas)
J: número total de trechos
P: número total de períodos de planejamento
n: número total de pontos utilizados
linearização por partes da função custo
γ h : pontos do eixo do fluxo de energia (kVA)
utilizado na linearização por partes da função
custo
_________________________
PAPER-99-28022010.DOC
na
2/6
TRABAJO
3/6
c h : pontos do eixo dos custos ($/km) utilizado na
linearização por partes da função custo
Sujeito às seguintes restrições:
c n : maior custo de transmissão ($/km)
considerado para a Bitola de maior custo
1 – Radialidade: Essa restrição é para que haja
a configuração radial para a rede, dada pela
relação original: nº. de trechos = nº. de nós – 1.
cf: custo médio de energia interrompida ($/kVA)
– taxa de falha
∑α
ci s : custo de instalação da subestação s
2 – Convexidade: Garante que o fluxo dos
trechos seja representado através de uma
combinação convexa de fluxos ( γ h ), para todos
os trechos.
cia s : custo de instalação dos alimentadores da
subestação s
ci b : custo de instalação da Bitola b
∑α
t n : tensão nominal da rede
Amax j : capacidade de transmissão maxima do
cabo considerado no trecho j em Àmpére (A)
CS s : capacidade de distribuição da subestação
s
D ip : demanda no nó i no periodo p
do trecho j
do trecho
que chega à subestação s no período p
α hy p :
s
variável associada ao ponto γ h dos
trechos que saem das subestações no período
p
v ip : tensão no nó i no período p
v ipj : tensão no nó i de origem do trecho j no
periodo p
F ip : variável associada ao não atendimento da
demanda do nó i no periodo p
Modelo matemático:
Função Objetivo: consiste na minimização dos
custos envolvidos no planejamento da expansão
da rede:
 



α
α
(
1
)
(
1
)
ci
−
+
−

∑ ∑
∑p ∑ 1jp cias
1 jp  s

S < j ≤( ∑ y s )+S
 p  j ≤S

 
 

 

+ ∑ ∑  ∑ α hjp c h l j  + ∑ ∑  ∑ α hjp γ h l j cf 
p  j >S  h
  p  j >S  h




 

+ ∑ P − ∑ α 1 jp ci b  + 10c n ∑ ∑ Fip  (1)
j >S 
p
 
p i

_________________________
PAPER-99-28022010.DOC
(2)
hjp
= 1, ∀j , ∀p
(3)
3 – Capacidade dos cabos: Para garantir que a
quantia de fluxo de energia que é transmitida
por um cabo não exceda sua capacidade
nominal:
γ ≤ A max j v ipj , ∀j > S + 1, ∀p
hjp h
(4)
h
no período p
α hsp : variável associada ao ponto γ h
≥ J − (N p + S ), ∀p
h
∑α
l j : comprimento do trecho j
α hjp : variável associada ao ponto γ h
1 jp
j
4 – Capacidade das subestações: uma
subestação não pode transmitir mais energia
que sua capacidade.

∑  ∑ α
ys
h

hyp
γ h  ≤ CSs , ∀s, ∀p
(5)

5 – Lei de Kirchhoff para os nós de demanda:
para que o equilíbrio do fluxo de energia na rede
se mantenha e a variável F ip garante que o
modelo sempre seja factível, identificando onde
ocorrem problemas com a demanda na rede.
∑ (α
hj ci p
)
− α hjsi p γ h = Dip − Fip , ∀i , ∀p
(6)
h
6 – Tensão minima: Se a tensão em cada nó de
demanda for pequena, a diferença de tensão
será pequena, que acarretará em um baixo nível
de fluxo de potência na rede, e portanto, o não
atendimento da demanda da rede. Logo, se faz
necessária a inclusão desta restrição técnica da
rede no modelo.
v ip ≥ 0.93t n , ∀i , ∀p
(7)
4 – IMPLEMENTAÇÃO E EXECUÇÃO:
Além do desenvolvimento do modelo
teórico, tinha-se como objetivo, aplicar o modelo
proposto a um problema real. Neste caso, se
justifica o esforço em se fazer à implementação
computacional do modelo.
3/6
TRABAJO
4/6
Como entrada de dados, são necessaries
elementos topológicos e técnicos.
• grafo com as localizações dos nós de
demanda;
• Número total de nós de demanda
subestações e alimentadores;
• grafos com as possibilidades de trechos
entre os nós de demanda;
• Adjacências: este dado é para definir
com quantos nós de demanda mais próximos a
cada nó de demanda deve-se considerar como
trecho possível, por exemplo, cada nó de
demanda deve ter trechos possíveis com os 10
nós de demanda mais próximos a ele;
• grafos com as soluções periodo a
periodo do planejamento.
• Localização das subestações e seus
alimentadores com seus dados técnicos e dos
nós de demanda: através de suas coordenadas
geográficas;
• Número
total
de
períodos
planejamento, de bitolas, de pontos
linearização por partes da função objetivo;
do
na
• Taxa de falha, tensão nominal,
informações técnicas das bitolas (resistência,
custos, etc.), conjunto dos pontos utilizados na
linearização por partes da função objetivo e as
demandas dos nós em cada periodo.
Os pontos utilizados para fazer as
linearizações estarão num vetor como no
exemplo abaixo (o primeiro elemento do vetor
sempre deverá ser o zero). Por exemplo, na
figura 1, os valores dos parâmetros são: 0,
1500, 3250 e 5000
5 – APLICAÇÕES E RESULTADOS:
Nesta seção, serão mostrados alguns
testes feitos com o modelo proposto neste
trabalho após sua devida implementação, com o
objetivo de mostrar a sua aplicabilidade. Os
dados utilizados foram da subestação Batel, na
região do bairro Água Verde, cidade de Curitiba
– PR, e com os dados da cidade de Cascavel –
PR inteiro.
Ambos os testes foram realizados em um
notebook HP Pavilion dv1000, com processador
Intel Centrino 1.83GHz, Cache L2 2MB, 1GB de
mem. RAM. Os tempos de execução do
primeiro teste ficaram abaixo de um minuto, e
no teste para a rede da cidade de Cascavel, o
tempo de duração foi de aproximadamente dois
minutos e meio.
No primeiro teste, foram considerados
seis alimentadores e há dezesseis nós de
demanda a serem atendidos em três períodos
de planejamento. Foram consideradas duas
bitolas diferentes e há a possibilidade de
trechos entre todos os nós de demanda, com
isso, o número total de trechos no
planejamento, a cada período, é de
quatrocentos e noventa e três.
O grafo a seguir apresenta a localização
dos nós de demanda e os trechos possíveis no
planejamento.
Figura 1: Exemplo de linearização por partes da
função custo de cabo de bitola b.
Após a execução do programa obtem-se:
• valor das variáveis que representam os
trechos e que indicam o não atendimento da
demanda nos nós de demanda;
Figura 2: Localização dos nós de demanda e os
trechos possíveis no planejamento – rede Batel.
_________________________
PAPER-99-28022010.DOC
4/6
TRABAJO
5/6
Após o primeiro e o Segundo periodo, a
seguinte configuração para a rede é
apresentada.
Figura 5: Localização dos nós de demanda –
rede Cascavel.
Figura 3: Solução do planejamento para o
primeiro e o segundo períodos.
E no terceiro períodos de planejamento
obtem-se o seguinte grafo como resultado final
para o planejamento:
O grafo abaixo apresenta todas as
possibilidades de trechos entre os nós de
demanda, mas, dado o número de nós de
demanda, o grafo fica incompreensível, gerando
a “núvem” mostrada na figura 6, que exemplifica
o aumento do número de trechos possíveis com
o aumento da quantia de nós de demanda e a
solução está apresentada na figura 7 em
seguida.
Figura 4: Solução do planejamento.
Como pode ser observado na figura 3,
houve a formação de um loop na rede,
problema que persiste nos modelos até hoje
propostos. Sugestões para este problema estão
listadas nas conclusões.
Figura 6: Trechos possíveis no planejamento –
rede Cascavel.
No segundo teste, a rede é dotada de
cinco subestações, vinte e quatro alimentadores
(soma de todos os alimentadores das cinco
subestações) e cento e oitenta e oito nós de
demanda. São consideradas duas bitolas.
O grafo apresentado na figura 5
apresenta a localização dos nós de demanda e
das subestações (pontos maiores e mais
escuros).
Figura 7: Solução do planejamento
_________________________
PAPER-99-28022010.DOC
5/6
TRABAJO
6/6
O teste realizado com esta rede foi com
apenas um período para ver o comportamento
do modelo ante uma rede de distribuição de
porte maior.
A configuração obtida através da
aplicação do modelo matemático foi muito
satisfatória, sendo que alguns loops se
apresentaram porém a configuração radial
apresentou-se
de
forma
comportada,
distribuindo de forma quase igual a quantia de
nós de demanda para cada subestação. Todos
os nós de demanda foram atendidos, e com
isso, não houve a necessidade da penalização
da rede por não atender a alguma demanda
através da variável F ip .
6 – CONCLUSÕES:
Este trabalho teve por objetivo propor um
novo modelo matemático simplificado em
comparação ao desenvolvido por Bartosievicz
(2005) envolvendo novos itens, tais como:
otimizar o tamanho e a quantidade de dados de
entrada do modelo proposto e a capacidade real
de fazer planejamento para mais de um período.
Os resultados obtidos pelo trabalho não
foram muito diferentes dos já apresentados por
outros modelos, mas a tentativa de apresentar
um modelo com menos restrições que
mantenha as características do problema foi
satisfatória, para a construção de novas idéias,
e simplificação do problema, já que o interesse
das aplicações são para redes de distribuição
de energia elétrica entre várias subestações, ou
até mesmo cidades inteiras, como no teste
apresentado com a cidade de Cascavel - PR.
A apresentação de loops era um item não
desejado, porém esperado, dado a não
utilização de variáveis binárias. Por isso, as
sugestões para trabalhos futuros apresenta
algumas idéias para resolver este problema:
• dos trechos que formam loops, retirar o
que menos contribui no atendimento da
demanda daquele nó de demanda, ou seja, o
que apresentar o menor fluxo de demanda, e
então
executar
novamente
o
modelo
matemático, realizando este processo até obter
uma solução sem loops;
AGRADECIMENTOS
O primeiro autor agradece à CAPES –
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal
de Nível Superior – pela bolsa de mestrado
durante o biênio de 2006/2007.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
AOKI K.; NARA K.; SATOH T.; KITAGAWA M.;
YAMANAKA K.; New Aproximate Optimization
Method for Distribution System Planning, IEEE
Transactions on Power System, Vol.5, 1990.
BARTOSIEVICZ NETTO F.; Expansão de
Redes Elétricas Via Modelos Matemáticos,
Matemática Industrial, Universidade Federal do
Paraná, Dez 2005.
BARTOSIEVICZ NETTO F.; VOLPI N.M.P.;
WILHELM
V.E.;
Modelo
Matemático
Multiperíodo para Expansão de Redes Elétricas
incluindo Confiabilidade, Cidel2006, Sesión 3, n°
100, Nov 2006.
BARTOSIEVICZ NETTO F.; Planejamento de
Redes de Distribuição de Energia Elétrica via
Programação Linear Convexa, Programa de
Pós-Graduação em Métodos Numéricos em
Engenharia, Universidade Federal do Paraná,
Abr 2008.
FARRAG M.A.; EL-METWALLY M.M.; ELBAGES M.S; A New Model for Distribution
System Planning, Electrical Power and Energy
Systems, Vol.21, 1999.
KUWABARA H.; NARA K.; Multi-year and MultiState Distribution Systems Expansion Planning
by Multi-Stage Branch Exchange, IEEE
Transactions On Power Delivery, Vol.12, nº.1,
Jan 1997, p.457-463.
TANG Y., Siemens Power Corporation; Power
Distribution System Planning With Reliability
Modeling And Optimization, IEEE Transactions
On Power System, Vol.11, nº.1, Feb 1996,
pp.181-187.
VECCHI T.P.B.; Um Estudo de Modelos
Matemáticos para Expansão de Redes de
Distribuição de Energia Elétrica, Pós-Graduação
em Métodos Numéricos em Engenharia,
Universidade Federal do Paraná, Dez 2004.
• caso um nó de demanda seja atendido
por n trechos, dividir este nó em outros n nós de
demanda com a mesma localização e com sua
demanda dividida da mesma forma em que os n
trechos atendem o nó de demanda original.
_________________________
PAPER-99-28022010.DOC
6/6