Óptica não-linear em fibras
Problema: descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra
conhecendo o pulso inicial E (z=0, t)
Solução: determine ∂E / ∂z (i.e., como E varia ao longo de z)
∆
 E = - ∂ B/ ∂t
∆
 H = Jf + ∂ D/ ∂t
•∆
D = ρf = 0
•∆
B=0
Equações constitutivas:
D = εo E + P
D, H fluxo elétrico e magnético
B = µo H + M
P descreve a resposta do material à presença do campo elétrico
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
#1
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Óptica não-linear em fibras
Elimina termos magnéticos B e H
 B = - ∂ / ∂t ( µo  H ) = - µo ∂2 (εo E + P) / ∂t2
∆
 (  E) = - ∂/∂t
∆
 (  E) = - 1/c2 ∂2 E /∂t2 - μo ∂2 P /∂t2
∆
∆
∆
∆
Para resolver para P precisa-se de
mecânica quântica. Longe de resonâncias,
vale a expansão de Taylor :
P = εo [ χ(1) E + χ(2) E•E + χ(3) E•E•E + …]
Aproximação de dipolo elétrico
(termos do tipo B  E, E. E, etc são desprezados)
∆
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5-6 novembro 2012
#2
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Óptica não-linear em fibras
∆ ∆
( •E) -
∆
 (  E) =
2E
∆
∆
Pulse propagation equation
2E
- 1/c2 ∂2 E /∂t2 = μo ∂2 P /∂t2
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#3
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∆
Assuma modos transversais: autoestados de propagação
Óptica não-linear em fibras
∆
Equação de onda para luz em materiais
2
2
E - 12 ∂ E = µ
c ∂ t2
o
2
∂ P
∂ t2
P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) E.E.E + ...
linear
não-linear
Caso linear: P ~ E
Seja Etot = E (z) exp (iωt) + E* (z) exp (-iωt)
2
2
2
∂ E + ∂ E + ∂ E + [1 + χ(1)] ω2 E = 0
∂ x2 ∂ y2 ∂ z2
c2
n2 (depende de ω = dispersão)
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#4
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n
ωα/c
Normal
dispersion
Anomalous
n decreases with ω
dispersion
ωo
ω
ω
Refractive index is well described far from resonances by:
Sellmeier equation
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5-6 novembro 2012
#5
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∆
Equação de onda para luz em materiais
2
E +
n 2 ω2
c2
∂ E = µ ∂2 P
∂ t2 o ∂ t2
Solução:
Separa variáveis e elimina x e y: E (r,t) = F(x,y) A(z,t) exp [i(βz-ωt)] x
Equação transversal: ∂2 F /∂x2 + ∂2 F /∂y2 + [ε(ω)Ko2 - β2] F = 0
Condições de contorno fazem aparecer modos
F(x,y) são funções de Bessel, combinadas em HEmn e EHmn
LP01
LP11
LP02
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#6
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Automodulação de fase
Assuma modos transversais: autoestados de propagação
P = o (1) E + o (3) E.E.E
Seja Etot = E (z) exp (iωt) + E* (z) exp (-iωt)
E.E.E = E 3 exp 3(iωt) + 3 E E* E exp (iωt) + 3 E* E E* exp (-iωt) + E *3 exp 3(-iωt)
THG
I
I
E.E.E = E 3 exp (i 3ω t) + 3 I E exp (iωt) + cc
O termo não-linear pode ser expresso como uma correção de n
P = o (1) E + (3 o (3) I.) E
Índice de refração depende da intensidade (n0 + n2I)
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5-6 novembro 2012
#7
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Consequências da automodulação de fase
• o índice de refração é alterado pelo próprio pulse de luz
• SPM depende da intensidade do pulso
• Na presença de SPM a onda se adianta ou se atrasa
• Isto se traduz na mudança da frequência do pulso
• O espectro se alarga: as caudas não sofrem SPM
o pico sofre SPM, λ muda
No SPM
λ
t
SPM
λ
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5-6 novembro 2012
#8
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Óptica não-linear em fibras
Pulso = cos (ωot-kz)
Fase instantânea = (ωot-kz) = (ωot-2πnz/λ)
Frequência instantânea
∂Φ/∂z = ωo
if n = no
ωo-2πn2z/λ dI/dz
if n = no + n2I
Chirp: varredura de frequências,
Desenvolvido durante a 2a guerra para compressão de radar
Com SPM o espectro alarga mesmo se a forma do pulso permanecer
constante (na ausência de dispersão)
Depende de dI/dT, altas intensidades criam um chirp grande
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
#9
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Automodulação de fase
cauda
frente
A frente do pulso se torna avermelhada
Time
ω+ δω
ω
A causa se desloca para o azul
Varredura linear onde o pulso é mais intenso
ωo
Varredura positiva: frequência aumenta
Time
ω - δω
Pulsos quadrados só tem SPM durante as rampas
Qual é o chirp induzido por um laser CW de 200 W ao longo de uma fibra de
1 km-long devido a SPM?
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5-6 novembro 2012
# 10
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Automodulação de fase
Qualitativamente: porque oscilações?
ω
Time
Mesma frequência, diferentes tempos
interferência
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5-6 novembro 2012
# 11
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Outros efeitos não-lineares de 3a ordem
Em fibras de vidro
P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) E.E.E + ...
Quando um campo intenso é aplicado
P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) Eappl Eappl E + ...
Kerr effect
Quando um campo DC é gravado (poling)
P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) Erec Eappl E + ...
(2)eff
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5-6 novembro 2012
# 12
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Outros efeitos não-lineares de 3a ordem
SHG com campo gravado
w
w
0dc
w
2w = w+w + 0
 (3)
w
2w
Efeito eletro-óptico com um campo DC gravado
w
dw
0dc
 (3)
Margulis e de Matos
w= w+dw+0
w
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w+dw
# 13
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Poling
Vidro é um material simétrico
P
Não exibe não-linearidade de segunda ordem
E
(2) = 0 in fibras
Quebrando a simetria: Grava-se um campo permanente DC!
Poling
P
Apesar de (2) ainda ser zero,
E
(3) EDC . E . E ~ (2)eff E . E
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5-6 novembro 2012
# 14
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Gravando o campo elétrico
IR, visible
(optical poling)
Visible + electric field
(optical-field assisted poling)
UV + electric field
(UV poling)
Fs + electric field
(fs poling)
-rays + electric field
(gamma-ray poling)
Heat + electric field
(thermal poling)
Ion implantation
Heat + electrostatic charging (thermal charging)
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5-6 novembro 2012
# 15
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Poling óptico
P2ω ~ Eω Eω Erec
SH
Fiber
Nd:YAG laser
IR.
Seeded
SH
Nd:YAG laser
Fiber
IR.
KTP
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5-6 novembro 2012
# 16
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SH Power (mW)
Poling óptico
10
1
0.1
0.01
1E-3
1E-4
1E-5
1E-6
1E-7
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
Time (minutes)
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 17
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Optical poling
Fibra atacada com HF e examinada num microscópio
Rede com QPM é gerada pelo campo óptico
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5-6 novembro 2012
# 18
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Poling térmico
+
280
oC
Poling fused silica
silica
-
R. Myers, S. Brueck et al,
Opt. Lett. 16, 1732 (1991)
w
2 mm
2w
Strong recorded electric field
~108 - 10 9 V/m !
Top layer < 15 µm
Margulis e de Matos
Create an effective (2)
(3) Edc . E . E ~ (2)eff E . E
5-6 novembro 2012
# 19
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Poling sobre um hot-plate
High voltage
280 oC
Active arm
3 dB
HOT-PLATE
~265 oC
3 dB
Reference arm
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 20
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Fibras electroópticas
Índice depende fracamente do campo aplicado

Antes do poling
Só efeito Kerr
P = PL + Eω Eappl Eappl
Applied field
Low amplitude
Small phase shift
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 21
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Fibras electroópticas
Índice depende do campo aplicado

Antes do poling
Só efeito Kerr
Depois do poling
Só efeito Kerr
P = PL + Eω Erec Eappl
P = PL + Eω Eappl Eappl
Low amplitude
Small phase shift
Margulis e de Matos
Erecorded
5-6 novembro 2012
Applied field
# 22
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Fibras electroópticas
Índice depende do campo aplicado

Antes do poling
Só efeito Kerr
Depois do poling
Só efeito Kerr
P = PL + Eω Erec Eappl
P = PL + Eω Eappl Eappl
Low amplitude
Large phase shift
Margulis e de Matos
Erecorded
5-6 novembro 2012
Applied field
# 23
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Caracterização
Mach-Zehnder
3 dB
3,0
0,08
2,5
0,06
0,04
2,0
0,02
1,5
0,00
1,0
-0,02
0,5
-0,04
0,0
0,010
Intensity [mV]
Voltage [kV]
3 dB
-0,06
0,015
0,020
0,025
0,030
Time [s]
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 24
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Componente a fibra polarizada
Modulador de fase electroóptico
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 25
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Modulador eletroóptico a fibra
Phase modulator
Phase shift ( radians
80
60
40
110 π phase shift
Χ(2) = 0.25 pm/V
Vπ = 110 V
20
0
-20
Typical values @ 1 µm
Vπ ~ 100 V
Electrical bandwidth: 20 MHz
Loss: 1 dB (fast axis)
10 dB (slow axis)
Χ(2) = 0.25 pm/V
-40
-60
-8 -6 -4 -2 0
2
4
6
8 10 12 14
Applied voltage (kV)
Slow
OE 17, 1553 (2009)
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5-6 novembro 2012
# 26
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Fast
Interferometro Mach-Zehnder a fibra
Depois do poling
2x2 push-pull
fiber switch/modulator
3 dB
ΔL = L2 – L1 ~ 200 µm
-2
Transmission (dB)
3 dB
U=0V
U = 38 V
0
-4
-6
-8
Vπ = 38 V
-10
-12
-14
1540
1545
1555
1550
Wavelength (nm)
Margulis e de Matos
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# 27
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1560
Transmissão de vídeo
Poled fibre modulator for video transmission
Video
source
1V
15Vpp
Fiber link
CW laser
Electrooptical
fiber interf.
TV
Det.
Acreo – ECOC 2004 exhibition
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 28
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Transmissão de vídeo
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 29
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Quasi-phase matching in poling óptico
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 30
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Quasi phase-matching
QPM in
Xtal
SHG
Phase
matched
Comprimento de
coerência:
QPM by
Erasure
• em cristais ~5 µm
Not phase
matched
Coherence
length
• em fibras ~40 µm
Length
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5-6 novembro 2012
# 31
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Apagamento periódico com UV
Metal-filled contacted fiber
Poling creates a uniform
χ (2) in the core
Periodic UV erasure
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 32
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Determinando o período necessário
P2ω ~ Eω Eω Erec
SH
Fiber
Nd:YAG laser
IR.
Seeded
SH
Nd:YAG laser
Fiber
IR.
KTP
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5-6 novembro 2012
# 33
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SH Power (mW)
Optical poling
10
1
0.1
0.01
1E-3
1E-4
1E-5
1E-6
1E-7
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
Time (minutes)
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 34
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Optical poling
Etched fiber under microscope
36.1 µm
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 35
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200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
500
80
70
60
Signal (nW)
Signal (nW)
Two sets of gratings
50
40
30
20
10
510
520 530 540
Wavelength (nm)
550
560
Margulis e de Matos
0
500
5-6 novembro 2012
510
520 530 540
Wavelength (nm)
# 36
550
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560
Signal (nW)
Reproducibility in wavelength
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
500
510
520 530 540
Wavelength (nm)
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
550
560
# 37
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Linearidade: período para QPM
38.0
QPM period (µm)
37.5
37.0
36.5
532.2 nm - 36.429 m
532.0 nm - 36.400 m
531.0 nm - 36.276 m
36.0
35.5
35.0
34.5
34.0
510 515 520 525 530 535 540 545 550
Wavelength (nm)
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 38
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Fibra poled periodicamente
High-average-power second-harmonic generation
from periodically poled silica fibers, A. Canagasabey et al, Opt Lett, 15 Aug 2009
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 39
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Espalhamento Raman
Stimulated Raman scattering (Blillouin…)
Energy is lost to vibrations (in silica peak ~440 cm-1)
Shift from 1.06 µm to 1.12 µm, and then 1.18 µm, 1.24 µm…
Shift at 1.48 µm is to 1.58 µm
At room temperature, most atoms are in their vibrational ground state
Laser excites vibrations (Stokes)
Laser de-excites vibrations extremely unlikely (no anti-Stokes peak seen)
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 40
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Espalhamento Raman
Ganho do espalhamento Raman
Margulis e de Matos
Espalhamento Raman estimulado
5-6 novembro 2012
# 41
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Espalhamento Raman estimulado
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 42
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∆
Equação de onda para luz em materiais
2
E +
n 2 ω2
c2
2
∂ E = µ ∂2 P
∂ t2 o ∂ t2
Na aproximação de envelope variando lentamente
∂A/∂z + β1 ∂A/∂t + i/2 β2 ∂2A/∂t2 + αA/2 = + i γ |A|2 A
Redefine time origin (travel with pulse referential)
i∂A/∂z = -iαA/2 + 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A
γ = n2ωo/cAeff nonlinear coefficient of the fiber (in STF γ ~2/W km)
β1 = 1/vG
β2 = GVD parameter
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 43
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i∂A/∂z = -iαA/2 + 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A
Absorption
Dispersion
Nonlinearity
Como estimar a importância destes efeitos?
(Govind rules ok!)
LD = To2 /|β2| Comprimento de dispersão
LNL = 1/γPo
Comprimento de não-linearidade
Equação não-linear de Schroedinger (when α~0)
i∂A/∂z = 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 44
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i∂A/∂z = 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A
Third order dispersion
n(I) leads to ∆β(ω)
Self-steepening
Delayed material response
Raman SFS
Normalizing for pulse duration and power
t = T/To
A(z,t) = √Po exp(-αz/2)U(z,t)
i∂U/∂z = ± 1/2LD ∂2U/∂T2 – 1/LNL exp(-αz) |U|2 U
(sign of β2)
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 45
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Quatro regimes de pulsos
Four regimes:
1) L<<LD and L<<LNL no dispersion, no nonlinearity
2) L>LD and L<<LNL
dispersion, no nonlinearity
3) L<<LD and L>LNL
no dispersion, nonlinearity
4) L>LD and L>LNL
dispersion, nonlinearity
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 46
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Caso 1
LD = To2/β2 large: long pulse (or low dispersion)
LNL =1/γPo large: low power (or low nonlinearity)
i∂U/∂z = ± 1/2LD ∂2U/∂t2 – 1/LNL exp(-αz) |U|2 U
i∂A/∂z = -iαA/2 + 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A
i∂A/∂z = -iαA/2
A = Ao exp(- αz)
time
time
λ
λ
Pulso apenas se atenua
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 47
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Caso 2: dispersão
No nonlinearity (intensity or γ too low)
For example, To = 1 ps, Po = 1 mW
L>LD and L<<LNL
dispersion, no nonlinearity
GVD governs propagation: i∂U/∂z = β2/2 ∂2U/∂T2
Solve using Fourier transform
The phase depends on the frequency (and propagated distance)
Red and blue are phase shifted by different amounts
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 48
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Caso 2: dispersão
red
blue
time
time
dispersion
λ
λ
What happens to a chirped pulse when it propagates under a regime dominated by GVD?
Predispersed
If the pulse is chirped to start with, the pulse duration can narrow due to GVD
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 49
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Dispersão cromática
Chromatic dispersion
Broadband
optical output
Broadband
optical input
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 50
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Problema em telecom
Input
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
Output
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 51
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0
Caso 3: não-linearidade (SPM)
α=0
No dispersion but SPM; L<<LD and L>LNL
∂U/∂z = i/LNL |U|2 U
Typically for SMF: LNL ~1 km (at 1W power)
Solution: U gains a nonlinear phase along z
U(z,T) = U(0,T) exp (iΦNL(z,T))
where
ΦNL(z,T) = 1/LNL |U(0,T)|2
How does the shape of the pulse change under SPM only?
|U(z,T)|2 = |U(0,T)|2 exp(iΦNL(z,T) exp(-iΦNL(z,T)
zeff
No change!
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 52
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Caso 3: não-linearidade (SPM)
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 53
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Caso 3: não-linearidade (SPM)
SPM broadens spectrum of unchirped pulse
New frequencies appear on front and trailing edges
The pulse becomes less coherent
In the absence of dispersion, no change in pulse shape in time
time
time
SPM
λ
λ
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 54
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Caso 4: dispersão e não-linearidade
SPM and Dispersion; L>LD and L>LNL
i∂U/∂z = ± 1/2LD ∂2U/∂t2 – 1/LNL |U|2 U
The sign of β2 is decisive:
- the effects of dispersion and SPM add to each other (normal regime)
+ the effects of dispersion and SPM can cancel each other (anomalous)
Soliton!
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5-6 novembro 2012
# 55
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Caso 4: dispersão e não-linearidade
Regime de dispersão normal, β2 positivo (D negativo)
Pulso alarga
Espectro alarga
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# 56
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Caso 4: dispersão e não-linearidade
Dispersão anômala, β2 negativo (D positivo)
Pulso e espectro atingem
Um regime estacionário
Forma do pulso U(t) = sech (t)
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5-6 novembro 2012
# 57
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Dispersion
No dispersion
Soliton
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5-6 novembro 2012
# 58
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Cross-phase modulation
Refractive index at λ1 is affected by the presence of pulse at λ2
PNL(ω1) = χeff ( |E1|2 + 2|E2|2)E1
PNL(ω2) = χeff ( |E2|2 + 2|E1|2)E2
PNL(2ω1- ω2) = χeff E12 E2*
PNL(2ω2- ω1) = χeff E22 E1*
Parametric mixing, four-photon mixing
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5-6 novembro 2012
# 59
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Parametric amplification
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5-6 novembro 2012
# 60
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Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 61
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The end
Margulis e de Matos
5-6 novembro 2012
# 62
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