Cap.9 - Escoamento Externo
9.1 – O conceito de camada limite
9.2 – Espessuras da camada limite
9.3 – Camada limite laminar em placa plana
9.4 – Equação integral da quantidade de movimento
9.5 – Emprego da equação integral
9.6 – Gradientes de pressão no escoamento
9.7 – Arrasto
9.8 – Sustentação
PARTE A
CAMADAS LIMITE
9.1 – O conceito de camada limite
2x105  Re xCr  3x106
Re x 
Ux Ux



9.2 – Espessuras da camada limite
A camada limite é a região adjacente a uma superfície sólida
na qual as forças viscosas são importantes.
A espessura da camada-limite, d , é definida como a distância
da superfície ao ponto em que a velocidade situa-se dentro de 1 por
cento da velocidade de corrente livre.
A espessura de deslocamento, d* , é a distância da qual a
fronteira sólida teria que ser deslocada em um escoamento sem atrito
para dar a mesma diferença de vazão em massa que existe na
camada-limite.

Ud w   (U  u) w dy
*
0
Para escoamento incompressível:
d 
*

0
u

1  dy
 U
 u
d   1  dy
0
 U
*
d
A espessura de quantidade de movimento, q , é definida
como a espessura da camada de fluido, de velocidade U, para a qual
o fluxo de quantidade de movimento é igual ao déficit do fluxo de
quantidade de movimento através da camada-limite.

U q w   u(U  u) w dy
2
0
Para escoamento incompressível:
q

0
u u
1  dy
U U
u u
1  dy
0 U
 U
q
d

Área   u(U  u)dy
0

Área   (U  u)dy
0
Simplificações utilizadas no modelo de Blasius (camada limite
laminar na placa plana). Navier-Stokes bidimensional :
  2u  2u 
 u
u
u 
p
  u  v   gx 
  2  2 
x
y 
x
y 
 t
 x
  2v  2v 
 v
v
v 
p
  u  v   gy 
  2  2 
x
y 
y
y 
 t
 x
- Gradiente de pressão são iguais a zero
- Forças de origem gravitacional desprezíveis
- Regime permanente
v  u
e



x
y
u
u   2u
u v

x
y  y 2
u v

0
x y
(C.M.)
9.3 – Camada limite laminar em placa plana
A solução analítica para a camada limite laminar em placa plana
horizontal foi obtida por Blasius em 1908.
Escoamento bidimensional, permanente e incompressível com
gradiente de pressão igual a zero.
u v

0
x y
u
u   2u
u v

x
y  y 2
(C.M.)
Condições de contorno:
para
y0
u0
para
y
u  U,
du
0
dy
O modelo de Blasius considera que o perfil u/U é similar para toda
a extensão de x ao longo da placa plana.

y
d
u
 g()  função()
U
Blasius utilizou a correlação, d  x / U
variável adimensional :
y
U
x
Utilizando a definição de função corrente:
u
u   2u
u v

x
y  y 2
e estabeleceu a
u

y
e
v

x
  2   2
 3

 3
y xy x y 2
y
Apesar da equação a ser resolvida apresentar uma única variável
dependente, , a dificuldade em obter a solução ainda permanece.
Para contornar a dificuldade foi proposto o uso da função corrente
adimensional abaixo, como função a ser obtida de , alterando a forma da
equação da Q.D.M. :
f () 

U 
f ()  f  y


 x 

xU
  
u

y  y
v

 

x
 x
u
U d2 f


x
2x d2
u
u   2u
u v

x
y  y 2

xU
  xU f ()
f U
u  xU
 x
v
uU
f

u
 f
U

1 U  df


f
(

)

2 x  d

u
d2 f
 U U x 2
y
d
d3 f
d2 f
2 3 f 2 0
d
d
 2u U2 d3 f

2
y
x d3
para
0
para

f 
df
0
d
df
1
d
Perfis de velocidade
similares ao longo de x
(camada limite
laminar em placa
plana)
Solução de Blasius para camada limite laminar em placa plana
y

U
x
y
d
d  vx U
f ()  u U
A solução de Blasius mostra que u/U=0,99 quando =5 :
U
y
x
x
y
U
x
d( x )  5
U
d5
x 2
d5
Ux
d
5x
Ux 
x
Re x
A tensão de cisalhamento na parede pode ser expressa como:
W
u 
U d2 f 
    U

y  y 0
x d2  0
W  0,332 U U / x
W
 U2
 0,664
Re x
1
2
Assim, o coeficiente de tensão de cisalhamento na parede, ou
coeficiente local de atrito, será:
Cf 
W
0,664

1 U2
Re x
2
Exemplo : (a) Determine a espessura da camada limite em uma placa
plana de 1 m submersa em um escoamento laminar na atmosfera sob
velocidade do vento de 1 m/s e 10 m/s. (b) Calcule a tensão de
cisalhamento na parede no centro da placa nos dois casos.
d
5x
Re x
  1,5x105 [m2 / s]
0,0193
d
U
Ux
U
Re x 


1,5x105
5x
51

Ux 
U x1 1,5x105
d  0,0193 para
U  1 [m / s]
d  0,0061 para
U  10 [m / s]
Re  6,67x104
para
U  1[m / s] la min ar
Re  6,67x105
para
U  10 [m / s]
0,664 12 U
0,664 12 U
W 

Re x
U 0,5 / 
2
d
2
turbulenta
W  0,0022 [N / m2 ] para
U1
W  0,0707 [N / m2 ] para
U  10
9.4 – Equação integral da quantidade de movimento
(Gradiente de pressão nulo)

  
F  FC  FS  VC


FC x  FS x

 V dV
  
 V V.dA

SC
t
 
 
  u V.dA   u V.dA
1
2
w


 
 
FS x   u V.dA   u V.dA  FD
 FD  
1

2
w
dA   w
placa


w
dx
placa

FS x  ( ) U2 dA  (  ) u2 dA
1
2


FS x  FD  ( ) U2 dA  (  ) u2 dA
1
FD   U dA   u dA
2
1
d
Ubh   u bdy
0
2
2
(C.massa)
d
d
0
0
FD  b Uu dy  b u dy
2
2
d
FD  U bh   u2 bdy
2
0
d
U bh  b Uu dy
2
0
d
FD  b u(U  u) dy
0
Observa-se que o arrasto será nulo se o escomento for ideal (u=U). A equação anterior indica que
o escoamento na camada limite sobre uma placa plana é o resultado do equilíbrio de forças do arrasto e a
diminuição da quantidade de movimento do fluido.
Ao longo do comprimento da placa, d aumenta e o arrasto também. O aumento da espessura da
camada limite é necessária para equilibrar o arrasto provocado pela tensão de cisalhamento viscosa na placa.
Esta característica não ocorre no escoamento interno porque a quantidade de movimento do
escoamento interno é constante e a força de cisalhamento é equilibrada pelo gradiente de pressão negativo
ao longo do conduto fechado.
d
FD  b u(U  u) dy
0
u u
FD  U b  1   dy
0 U
 U
2
d
u u
1  dy
0 U
 U
q
d
FD  U2 bq
A distribuição de tensão de cisalhamento é obtida diferenciando-se a
equação anterior em relação a x:
dFD
dq
2
 U b
dx
dx
dq
2
 w b  U b
dx
dFD  w b dx
(Balanço de forças
infinitesimal na placa)
dq
 w  U
dx
2
Perfis de velocidade típicos utilizados na análise
integral da camada limite.
9.5 – Emprego da equação integral
Perfil de velocidade linear
Exemplo:
Considere o escoamento laminar de um fluido incompressível
sobre uma placa plana posicionada no plano com y=0. Admita que o perfil de
velocidade é linear, u = Uy/d para y < d e u = U para y > d .
Determine a tensão de cisalhamento utilizando a equação integral.
dq
 w  U
dx
2
Solução:
u u
1  dy
0 U
 U
q
W
d
u 
 
y  y  0
U
u y
d
W
U

d
Utilizando a definição da espessura de quantidade de movimento:
u u
1  dy
0 U
 U
q
d
d q d q d d 1 dd


dx dd dx 6 dx

d
0
ddd  
x
0
6
dx
U
q
d
0
W
y y
1  dy
d d
3
y
y
 2
2d 3d
U
2 1 dd
  U
d
6 dx
dq
 U
dx
2
d 2 6

x
2
U
q
2
12x
d 
U
2
d
q
0
6
ddd 
dx
U
12x 2
d 
Ux / 
2
d
6
3,46 x
d
Re x
A tensão de cisalhamento na parede pode ser obtida combinando as eq. anteriores:
 1 dd 
 W  U2 

6
dx


W
d
1

12
1

 2 U 

6
Ux
/



2
12
x
U
W
dd 1 12 1

dx 2 U x
U2
 0,577
Ux / 
1
2
Perfil de velocidade como função de y/d
Considerando uma função geral para o perfil de velocidade
adimensional u/U, tem-se:
u
y
 g()  g 
U
d
p/
u
1 p/
U
0  1
1
Condições de contorno:
g(0)  0 ,
FD  U bq
2
y

d
g(1)  1 e
dq
 w  U
dx
2
dg / d  0
W
d u
u 
u
 
q   1  dy
0 U
y  y  0
 U
d
dy  d( x) d q   u 1  u dy
0
U
q  d  g1 gd
1
0
U
q  d C1
p/ 1
q   g1  gd( x)d
1
0
FD  U2 b d( x) C1
A tensão de cisalhamento na parede pode ser escrita como:
W
u 
 
y  y  0
u du dg d
dg 1

U
y dg d dy
d d
y
u  Ug()  Ug 
d
U dg
d d   0
W  
dq
 w  U
dx
2
q  d C1
pagina anterior
 C2
dx  ddd
U C1
2
x
2C2
2
d 
Ux /  C1

x
0
W
dq dd

C1
dx dx
d
 C2
dx   ddd
0
U C1
d( x ) 
2C2
C1
x
Re x
U
  C2
d
U
2 dd
 C2  U
C1
d
dx
 C2
d2
x
U C1
2
 w  2C1C 2
U2
Re x
1
2
d( x ) 
2C2
C1
Re x
d

x
x
Re x
2C 2
C1
 w  2C1C 2
U2
Re x
1
2
w
Re x 
1 U2
2
c f Re x  2C1C2
FD  U b 2C1C2
2
x
Re x
FD
Re x 
1 U2 bL
2
CDf
Re x  2 2C1C 2
Exemplo:
Um fluido escoa sobre uma placa plana de 0,5 por 0,5 [m2] com
velocidade de aproximação igual a 1 m/s.
Determine a força de arrasto devido ao atrito, considerando os seguintes
fluidos: (a) água a 20 oC , (b) Ar no estado padrão e (c) glicerina a 20 oC .
Re x 
Ux

0,5 / 1,16x10 6

Re  0,5 / 1,56x10 5
0,5 / 1,19x10 3

FD
Re L 
1 U2 bL
2
CDf
CDf
Re L  1,328
FD  CDf
1
2
4,3 x105

Re  3,2x10 4
4,2x10 2

CDf a  0,0020
1,328


 CDf b  0,0074
Re L
C  0,0648
 Df c
U2 bL
FD a  0,0020 1.000 0,125

FD  CDf  0,125   FDb  0,0074 1,230 0,125
F  0,0648 1.262 0,125
 Dc
 FD a  0,25 [N]

 FD b  0,0011 [N]
 F  10,22 [N]
 Dc
Transição de camada limite laminar para turbulenta.
Perfis típicos de
velocidade para os
regimes laminar, de
transição e turbulento do
escoamento
na camada limite sobre
uma placa plana.
2x105  Re xCr  3x106
Re x Cr  5x105
(valor adotado)
Exemplo:
Um fluido escoa sobre uma placa plana com velocidade de
aproximação igual a 3,1 m/s.
Determine a distância em relação ao bordo de ataque da placa em que
ocorre a transição do regime laminar para o turbulento e estime a espessura da
camada limite neste local.
Considere os seguintes fluidos: (a) água a 20 oC , (b) Ar no estado
padrão e (c) glicerina a 20 oC .
Re x 
Ux

Re x Cr
x
d5
Re x
3,1 L a / 1,16 x10 6

 5 x105  3,1 L b / 1,56 x10 5
3,1 L / 1,19 x10 3
c

L a  0,187 [m]

 L b  2,516 [m]
 L  192 [m]
 c
 da  1,32 [mm ]
d
 7,1x103 L  db  17,8 [mm ]
5x105
d  1,36 [m]
 c
5L
Camada limite turbulenta
Considere o escoamento turbulento de um fluido incompressível sobre
uma placa plana.
Admitindo que o perfil de velocidade na camada limite é dado por u/U =
(y/d)1/7 , determinaremos as espessuras da camada limite d e q , a tensão de
cisalhamento na parede w e o coeficiente de atrito médio na parede, CDf .
Este perfil é próximo daqueles obtidos experimentalmente em placas
planas exceto na região muito próxima a placa.
Admitiremos que a tensão de
cisalhamento na parede é dada por :
U2
 w  0,045
4 Ud 
1
2
ao invés da expressão para fluidos
newtonianos, anteriormente utilizada na
modelagem da camada limite laminar
sobre plana plana.
a tensão de cisalhamento na parede, dada pela conservação da quantidade de
movimento, pode ser utilizada para escoamento laminar ou turbulento:
dq q  d u 1  u dy


 w  U

0 U
 U
dx
1
0
U2
2 7 dd
 w  0,045
 w  U
4 Ud 
72 dx
1
2
0,241
d dd  4
dx
U/ 
1
4
0,383 4 5
d 5
x
U/ 
dd 0,383 4  15
5
x
dx
U/  5
FD  U bq
2
d
d
0
1
4
dd  
x
0
0,241
dx
4
U/ 
0,383
d 5
x
Ux / 
w 
1
1
7
1
7

7
d
d q 
72
0,0225
7 dd

4
Ud /  72 dx
4 5 4 0,241
d 4
x
5
U/ 
0,383
d
x
5 Re
x
14 dd
72 dx
w
0,0596

1 U2
5 Re
2
x
7 0,383 L
72 5 Re L
FD
0,074

1 U2 bL
5 Re
2
L
2
2 U
FD  U2 b

q  d  1  
2
Coeficiente médio
de atrito
para uma placa
plana
posicionada
paralelamente ao
escoamento.
Exemplo:
Determine a força de arrasto devido ao atrito em dois casos de
escoamento de fluidos sobre uma placa plana de 10 por 10 [m2]: na situação (a)
com velocidade de aproximação igual a 4,2 m/s (aprox. 15,1 km/h) com fluido
água e na situação (b) com velocidade de aproximação igual a 42 m/s (aprox.
151 km/h) com fluido ar.
UL
Re L 

3,62x107
Re  
7
2,69x10
42,0 / 1,16x10 6
Re L  
5
420 / 1,56x10
FD
0,455

C

Df
2,58
1 U2 bL
(log
Re
)
2
L
FD  CDf
1
2
CDf a  0,00246

CDf a  0,00258
U2 bL
FD a  0,00246 1.000 8,82x102

4
F

0
,
00258
1
,
230
8
,
82
x
10
 Da
FD a  2.170 [N]

 FD a  280 [N]
9.6 – Gradientes de pressão no escoamento
PARTE B
ESCOAMENTO SOBRE CORPOS SUBMERSOS
9.7 – Arrasto
V
FD
Coeficiente de Arrasto
FD
CD 
1 V 2 A
2
Dois objetos com formas diferentes
mas que apresentam o mesmo
coeficiente de arrasto (cilindro e
aerofólio com CD=0,12.
Exemplo:
Um grão de areia, com diâmetro
K=0,1 mm e densidade igual a 2,3 decanta para o
fundo de um lago. Determine a velocidade do
movimento do grão de areia admitindo que a água
do lago está estagnada.
m/s
Exemplo: Um vento forte pode remover a bola de golfe de seu apoio
(observe que é possível o pivotamento em torno do ponto 1. Determine a
velocidade do vento necessária para remover a bola do apoio.
FD  CD
FD

1
2
M
0
P

V2 A
0
FD .r  P.m  0
FD.21,5  P.5,1  0
P.5,1 0,441
FD 

 0,1046 [N]
21,5 4,216
0,1046  CD
Adotando
inicialmente

1
2

1,23 V 2  0,02152
CD  0,5
VD 15,3 0,043
Re 


1,5x105
0,1046  CD

1
2
CD V 2  117,13
V 2  234,26  V  15,3 [m / s]
Re  4,4x104
CD  0,45

1,23 V 2 A
V  16,1 [m / s]
Comportamento do coeficiente de atrito em função de Re para vários corpos
(escoamento bidimensionais)
Tendência histórica da redução do coeficiente de
arrasto dos automóveis
9.8 – Sustentação
relação (ou razão) de aspecto = ar = b2 / Ap
b
Ap=área
relação (ou razão) de aspecto = ar = b2 / Ap
b
Ap=área