UFBA – Universidade Federal da Bahia
ENG309 – Fenômenos de Transporte III
Prof. Dr. Marcelo José Pirani
Departamento de Engenharia Mecânica
CAPÍTULO 5 - CONDUÇÃO TRANSIENTE
Introdução
Trata da transferência de calor por condução em regime
não-estacionário, ou seja, dependente do tempo.
Objetivo
● Desenvolver procedimentos para determinar a
dependência da distribuição de temperaturas no
interior de um sólido em relação ao tempo durante um
processo transiente;
● Determinar a transferência de calor entre o sólido e a
vizinhança.
CAPÍTULO 5 - CONDUÇÃO TRANSIENTE
5.1. Método da Capacitância Global
Admite a hipótese de que a temperatura do sólido é uniforme
no espaço, em qualquer instante durante o processo transiente.
Rcond pequena
Rconv grande
E sai  qconv
E acu
Figura 5.1: Resfriamento de um metal quente
5.1. Método da Capacitância Global
Aplicando a equação da Energia
Eacu  Eent  Esai  Eg
(5.1)
dT
 hAs  T  T 
dt
(5.2)
Vc
  T  T
Fazendo
(5.3)
Vc d
 
hAs dt
Separando as variáveis e integrando a partir das
condições iniciais t  0 e T(0)  Ti
Vc
hAs
onde


i
d



i  Ti  T
t
dt
0
(5.4)
5.1. Método da Capacitância Global
Efetuando as integrações
Vc 
ln  t
hAs i
Vc i
t
ln
hAs

(5.5)
ou
  hAs  
 
t 
T  T

Vc
 
 e 


i Ti  T
(5.6)
5.1. Método da Capacitância Global
Interpretando Vc / hAs
de tempo térmica:
como uma constante
Vc  1 
t 

  Vc   R t Ct
hAs  hAs 
(5.7)
onde R t - Resistência a transferência de calor por convecção
Ct - Capacitância térmica global do sólido
5.1. Método da Capacitância Global
A distribuição de temperatura fica:
 T  T

e
i Ti  T
  1
 
  Vc
hAs
  1
 
T  T
R C
 e  t t


i Ti  T
  1
 
T  T

 e  t


i Ti  T
 
t 
 
 
t 
 

t




 Qualquer aumento em Rt ou Ct
causará uma resposta mais lenta
do sólido a mudanças em seu
ambiente térmico.
 Esse comportamento é análogo
ao decaimento da voltagem que
ocorre quando uma capacitor é
descarregado através de um
resistor em um circuito elétrico
RC
5.1. Método da Capacitância Global
Para determinar o total de energia transferida Q
Q

t
qdt  hAs
0

t
dt
0
Substituindo  da equação (5.6)
Q  hAs

t
i
  hAs  
 
t 

Vc
  dt
e 
o
integrando
Q   Vc  i 
Obs.:

t
0
  hAs  
 
t 

Vc
 
1  e 
at
e
e dt 
a
at
t
0

5.1. Método da Capacitância Global
ou
Q   Vc  i  1  e
 
1
 
  Vc
hAs

t






ou ainda
Q   Vc  i 
  t
 
R t Ct


1e




finalmente
Q   Vc  i 
  t
 
t


1e




(5.8a)
5.1. Método da Capacitância Global
Q está relacionada com a variação de energia
interna do sólido
Q  Eacu
Eacu    Vc  i 
(5.8b)
  1
 
t


1e
 
t 
 

5.2. Validade do Método da Capacitância Global
Seja considerada a figura a seguir
Para regime estacionário
kA
 Ts1  Ts2   hA  Ts2  T 
L
Rearranjando
Ts1  Ts2  L / kA  Rcond hL



 Bi (5.9)
Ts2  T 1/ hA  Rconv
k
onde
Bi 
hL
k
É o Número de Biot
5.2. Validade do Método da Capacitância Global
Bi  Fornece uma medida da queda de temperatura no
sólido em relação a diferença de temperatura entre
a superfície e o fluido
Para a utilização do Método da
Capacitância Global, deve-se ter:
Bi 
hLc
 0,1
k
(5.10)
onde
Lc  Escala de comprimento correspondente a
máxima diferença espacial de temperatura
5.2. Validade do Método da Capacitância Global
Bi  Fornece uma medida da queda de temperatura no
sólido em relação a diferença de temperatura entre
a superfície e o fluido
5.2. Validade do Método da Capacitância Global
Por conveniência define-se:
V
Lc 
As
onde
V
Volume do sólido
As  Área superficial do sólido
5.2. Validade do Método da Capacitância Global
Retomando a equação (5.6)
  hAs  

t


T  T
Vc  
 e 


i Ti  T
Escrevendo o expoente da equação em função de Lc
hAs t
ht

Vc cLc
Multiplicando o numerador e o denominador por Lck
hAst
hLc k t
hLc  t
ht



2
Vc cLc
k c Lc
k L2c
5.2. Validade do Método da Capacitância Global
Definindo
Fo 
t
L2c
hLc
e lembrando que Bi 
k
resulta:
hAst hLc  t

Vc
k L2c
hAst
 Bi  Fo
Vc
Então
 T  T
Bi Fo 

 e
i Ti  T
(5.13)
Exemplo 5.1
Uma placa de alumínio [k=160W/(moC),  =2790 kg/m3,
cp=0,88kJ/(kg oC) ] com L=3cm de espessura e uma
temperatura uniforme T0=225 oC é repentinamente imersa
em um fluido agitado, mantido a uma temperatura
constante Too =25 oC. O coeficiente de transferência de
calor entre a placa e o fluido é h=320 W/(m2 oC). Determine
o tempo necessário para que o centro da placa atinja 50oC.
Exemplo 5.1
 Verificação do número de Biot
Lc 
V L.A L

  1, 5 cm
A 2.A 2
h.Ls 320 .0, 015
Bi 

 0, 03
k
160
A capacitância global pode ser aplicada pois Bi é menor
que 0,1
Utilizando a equação (5.6)
  hAs  
 
t 
T  T
Vc  
 e 


i Ti  T
  h  
 
t 
 c Lc  
 e 
Exemplo 5.1
 substituindo os valores
Vc i
t
ln
hAs

 c Lc  i
t
ln
h

2790 .880 .0, 015 225  25
t
ln
320
50  25
t  239 s  4min
Exercícios
Exercício 5.5 do Incropera
Bolas de aço com 12mm de diâmetro são temperadas
pelo aquecimento a 1150K seguido pelo resfriamento
lento até 400K em um ambiente com ar a T∞=325K e
h=20W/m2K. Supondo que as propriedades do aço sejam
k=40W/mK, =7800kg/m3 e c=600J/kgK. Estime o tempo
necessário para o processo de resfriamento.
Exercícios
Exercício 5.7 do Incropera
O coeficiente de transferência de calor para o ar
escoando sobre uma esfera deve ser determinado pela
observação do comportamento dinâmico da temperatura
de uma esfera, que é fabricada de cobre puro. A esfera
que possui 12,7mm de diâmetro, encontra-se a 66oC
antes de ser inserida em uma corrente de ar que tem a
temperatura de 27oC. Um termopar sobre a superfície
externa da esfera indica 55oC após 69s da inserção da
esfera na corrente de ar. Admita e então justifique, que a
esfera se comporta como um objeto espacialmente
isotérmico e calcule o coeficiente de transferência de
calor.
5.3. Análise Geral Via Capacitância Global
Seja considerada a figura a seguir
Vizinhanças
Tviz
acu
5.3. Análise Geral Via Capacitância Global
Aplicando o balanço de energia, tem-se:
qs As,a  Eg   qconv  qrad  As(c,r)  Vc


dT
dt
(5.14)
dT
4 
(5.15)
qs As,a  Eg  h  T  T    T4  Tviz
As(c,r)  Vc


dt
As,a
5.3. Análise Geral Via Capacitância Global
Uma solução exata pode ser encontrada, admitindo-se
a ausência de fluxo térmico, de geração de energia e
de convecção na equação (5.15), ou seja:

dT
4
Vc
 As,r  T4  Tviz
dt

(5.16)
Separando as variáveis e aplicando a integral
As,r 
Vc
 
t
dt 
o
T
dT
4
(T
viz
Ti
4
T )
(5.17)
5.3. Análise Geral Via Capacitância Global
Repetindo a equação
As,r 
Vc
 
t
dt 
o
T
dT
4
4
(T

T
)
viz
Ti
Efetuando a integral, resulta:

t
ln
3
4As,r Tviz 
Vc
Tviz  T
 ln
Tviz  T

 1  T 
Tviz  Ti
1  Ti   
 2 tg 
  tg 
 
Tviz  Ti

 Tviz 
 Tviz   
(5.18)
Obs.:

 xa  1
1 x

ln 

tg

4
4
3
3
a
 x  a  2a
x a
4a
dx
1
5.3. Análise Geral Via Capacitância Global
Para a situação onde Tviz=0 (radiação para o espaço
infinito) , da equação (5.17)
As,r 
Vc
As,r 
Vc
 
 
t
T
dt 
4
4
(T

T
)
viz
Ti
o
t
dt  
o
dT
T
dT
4
T
Ti
Resolvendo, tem-se:
Vc
t
3As,r 
 1
1 
 3 3
T
Ti 

(5.19)
5.3. Análise Geral Via Capacitância Global
Outra situação onde se pode encontrar uma solução
exata ocorre se, na equação (5.15), for desprezada a
radiação e se h for independente do tempo. Nessa
situação:


dT
4
4


(5.15)
qs As,a  Eg  h  T  T    T  Tviz As(c,r)  Vc


dt
d
 a  b  0
dt
hAsc
Onde:   T  T , a 
Vc
(5.20)
e
b
(qs As,a  Eg )
Vc
5.3. Análise Geral Via Capacitância Global
Eliminando a não homogeneidade pela introdução
da transformação:
b
   
a
d
 a  b  0
dt
d
 a  0
dt
(5.21)
Torna-se:
(5.22)
Separando as variáveis e integrando de 0 até t ( i até  )

 eat
i
(5.23)
5.3. Análise Geral Via Capacitância Global
Substituindo as definições de  e  ,
T  T  (b / a)
 eat
Ti  T  (b / a)
(5.24)
Donde
T  T
b/a 
at
at 
e 
1e

Ti  T
Ti  T 
(5.25)
5.4. Efeitos Espaciais
Quando os gradientes de temperatura no interior do meio
não são desprezíveis a aplicação do Método da
Capacitância Global é inadequada e outras alternativas de
abordagem devem ser utilizadas.
Em problemas de condução transiente de calor uma
alternativa é a solução da equação do calor desenvolvida
no Capítulo 2.
No caso de coordenadas retangulares a equação de calor
tem a forma:
  T   T   T
T
(2.17)
k

k

k
  q  cp
x x  y  y  z  z 
t
5.4. Efeitos Espaciais
Considerando uma parede plana, sistema unidimensional,
sem geração interna e k constante, a equação de calor
toma a forma:
 2T
1 T

2
 t
x
(5.26)
Para resolver a equação (5.26) é necessário especificar
uma condição inicial e duas condições de contorno:
T(x,0)  Ti
(5.27)
T
0
 x x0
(5.28)
T
k
 h[T(L, t)  T ]
 x x L
(5.29)
5.4. Efeitos Espaciais
As temperaturas na parede dependem de uma série de
parâmetros físicos, como segue:
T  T(x, t,Ti ,T ,L,k, ,h)
Para reduzir a quantidade de parâmetros físicos e facilitar o
tratamento do problema a adimensionalização das
equações pode ser utilizada, como segue:
5.4. Efeitos Espaciais
Temperaturas adimensional
 T  T
*  
i Ti  T
Coordenada espacial adimensional
x
x* 
L
Tempo adimensional
t* 
t
2
L
 Fo
5.4. Efeitos Espaciais
A equação da condução de calor juntamente com as
condições de contorno na forma adimensional tomam a
forma
 2 *
 *

2
 Fo
 x*
(5.34)
Condições iniciais e de contorno.
 *(x*,0)  1
(5.35)
 *
0
 x * x* 0
(5.36)
 *
 Bi  *(1, t*)
 x* x*1
(5.37)
5.4. Efeitos Espaciais
A dependência funcional fica:
*  f (x*,Fo,Bi)
(5.38)
Comparando com a equação (5.30)
T  T(x,t,Ti ,T ,L,k, ,h)
Para uma dada geometria a distribuição transiente de
temperatura é uma função universal de x*, Fo e Bi
5.5. A Parede Plana com Convecção
Figura 5.6a: Sistema unidimensional com temperatura
inicial uniforme submetido subitamente a
condições convectivas.
5.5. A Parede Plana com Convecção
5.5.1. Solução exata
A solução da equação (5.34) com as
condições iniciais e de contorno
dadas pelas equações de (3.35),
(5.36) e (5.37) é dada por:

* 

Cn e
n 1
Onde: Fo 
n2 Fo
cos(n x*) (5.39a)
t
L2
4sen  n
Cn 
2  n  sen(2 n )
(5.39b)
n tgn  Bi
(5.39c)
5.5. A Parede Plana com Convecção
5.5.2. Solução aproximada
Para Fo > 0,2 * pode ser aproximado pelo 1º termo da série
*  C1 e
ou
12 Fo
cos(1 x*)
*  *o cos(1 x*)
(5.40b)
2
onde
1 Fo
*
o  C1 e
C1 
4sen 1
2 1  sen(2 1 )
1 tg1  Bi
(5.40a)
5.5. A Parede Plana com Convecção
5.5.3. Transferência total de energia
Eent  Esai  Eacu
fazendo:
Eent  0
Eacu  E(t)  E(0)
Esai  Q
segue
Q  [E(t)  E(0)]
ou
Q    c[T(x, t)  Ti ]dV

5.5. A Parede Plana com Convecção
5.5.3. Transferência total de energia

Q    c[T(x, t)  Ti ]dV
Adimensionalisando com a grandeza
Qo   cV(Ti  T )
resulta
Q

Qo

[T(x, t)  Ti ] dV 1

Ti  T
V V

(1  *) dV
Utilizando * dado pela Eq (5.40b) e integrando, resulta:
Q
sen1 *
 1
o
Qo
1
5.6. Sistemas Radiais com Convecção
Para um cilindro ou uma esfera com raio ro (Figura 5.6b)
inicialmente a uma temperatura uniforme, resultados
semelhantes aos obtidos para parede plana podem ser
obtidos.
Figura 5.6b: Cilindro infinito ou esfera.
5.6. Sistemas Radiais com Convecção
5.6.1. Soluções Exatas
 Cilindro Infinito (válido para L/ro10)

* 

 n2 Fo
2
J1 (  n )
Cn e
J o (  n r*)
(5.47a)
n1
Cn 
Fo 
 n J o2 (  n )  J 12 (  n )
t
ro2
(5.47b)
h ro
Bi 
k
J1(  n )
n
 Bi
J0 (  n )
J1 e Jo são funções de Bessel
(5.47c)
5.6. Sistemas Radiais com Convecção
5.6.1. Soluções Exatas
 Esfera
* 


Cn e
 n2 Fo
n 1
1
sen (  n r*)
n r*
4sen(  n )   n cos( n )
Cn 
2 n  sen( 2 n )
Fo 
t
ro2
(5.48a)
(5.48b)
h ro
Bi 
k
1   n cot g(  n )  Bi
(5.48c)
5.6. Sistemas Radiais com Convecção
5.6.1. Soluções Aproximadas
 Cilindro Infinito (Válida para Fo 0,2)
 *  C1 e
 12 Fo
J o (  1 r*)
(5.49a)
 *   o* J o (  1 r*)
(5.49b)
 12 Fo
*
 o  C1 e
(5.49c)
Fo 
t
ro2
5.6. Sistemas Radiais com Convecção
5.6.1. Soluções Aproximadas
 Esfera (Válida para Fo 0,2)
 *  C1 e
 *   o*
1
sen (  1 r*)
1 r*
1
sen (  1 r*)
1 r*
o*  C1 e
Fo 
 12 Fo
t
ro2
 12 Fo
(5.50a)
(5. 50b)
(5. 50c)
5.6. Sistemas Radiais com Convecção
5.6.1. Soluções Aproximadas
 Coeficientes 1 e C1 para parede plana, cilindro e esfera
5.6.3. Transferência total de energia
 Cilindro Infinito
2  o*
Q
 1
J1 (  1 )
Qo
1
(5.51)
 Esfera
3  o*
Q
sen(  1 )   1 cos( 1 )
 1
3
Qo
1
(5.52)
EXERCÍCIOS
Exercício 5.37 - Incropera
Têmpera é um processo no qual o aço é reaquecido e, então,
resfriado para ficar menos quebradiço. Seja o estágio de
reaquecimento para uma placa de aço com 100mm de
espessura (=7830kg/m3, c=550J/kgK, k=48W/mK) que está
inicialmente a uma temperatura uniforme de Ti=200oC e deve
ser aquecida a uma temperatura máxima de 550oC. O
aquecimento é efetuado em um forno de fogo direto, onde
produtos de combustão a T∞=800oC mantém um coeficiente
de transferência de calor de h=250W/m2K em ambas as
superfícies da placa. Quanto tempo a placa deve ser deixada
dentro do forno?
EXERCÍCIOS
Exercício – Prova de 2008.1
Considerar o processo de preparação de ovos cozidos. Um ovo comum
pode ser aproximado por uma esfera com 55mm de diâmetro e
propriedades iguais as da água (=999kg/m3, c=4184J/kgK, k=0,598W/mK).
Inicialmente, os ovos apresentam temperatura uniforme, igual a 6oC,
quando são colocados em água fervente, a 100oC. O coeficiente de
transferência de calor da água em ebulição é estimado em 1400W/m2oC e
os ovos podem ser considerados cozidos depois de permanecer um
minuto com temperatura mínima de 75oC. Contudo, o aquecimento acima
de 80oC leva a um endurecimento indesejado do produto.
a) Admitindo que seja válido, aplicar o método da capacitância global para
determinar o tempo mínimo de cozimento dos ovos e se os mesmos
terão endurecido demais até o final do processo;
b) Levando em conta os efeitos espaciais, determinar o tempo mínimo de
cozimento;
c) Admitindo que o resultado do item anterior seja 20 minutos (pode não
ser), determinar qual a espessura da camada que fica endurecida
demais no processo;
d) Discutir, tendo como base as resistências de condução e de convecção
da superfície, qual a validade das soluções obtidas nos itens anteriores.
5.7. Sólido Semi-Infinito
Idealização de um sólido finito de grande espessura
Figura 5.7: Sólido Semi-Infinito, três condições de superfície.
5.7. Sólido Semi-Infinito
Governado pela Equação (5.26)
 2T
1 T

2
 t
x
(5.26)
T(x,0)  Ti
(5.27)
T(x  ,0)  Ti
(5.53)
5.7. Sólido Semi-Infinito
Figura 5.7: Distribuições de temperatura em um sólido semi-infinito
para as três condições na superfície
5.7. Sólido Semi-Infinito
Caso 1: Temperatura na superfície constante
 x 
T  x, t   Ts
 erf 


Ti  Ts
 2 t 
qs 
k  Ts  Ti 
t
T 0 , t   Ts
(5.57)
(5.58)
 x 
Função erro de Gauss tabelada no apêndice B
erf 

 2 t 


5.7. Sólido Semi-Infinito
Caso 2: Fluxo Térmico na superfície constante qs  qo
2qo  t / 
T  x, t   Ti 
e
k
 x2
4 t
qo x

erfc
k
 x  (5.59)


 2 t 
T
 h  T  T  0, t  
Caso 3: Convecção na superfície k
 x x0
T  x, t   Ti
T  Ti
 h x h2 t 



  k k2 
erfc
  e
 x
 erfc 
 2 t 


 x
h t 



k 
 2 t
(5.60)
erfc    1  erf  
Função erro complementar de Gauss