RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
4x
Módulo 1: Noções de álgebra
PÁGINA
1
120
d)
e)
8
3
4
Escreva uma expressão algébrica para representar o
perímetro do retângulo ilustrado.
x
4
a) A
AB x 4
b) A
x
x
M
B
B
AB x x 2x
3x
c) A
AB 3x 4
4
B
2x
5
Desenhe em seu caderno os seguintes polígonos e
expresse algebricamente a área de cada um.
a)
B
Triângulo ABC, de base x
e altura relativa a essa
base igual a 7.
B
7
B
A
base altura
A ____________
2
C
7x
x 7 ___
_____
A
2
2
C
7
A
x
7
A
b)
C
7B
x
x
A
C
x�2
x
x�2
x�2
Quadrado de lado
x 2.
x�2
x�2
x�2
A lado lado
A (x 2) (x 2) (x 2)2
x �y2� 4
x�2
c)
y�4
x�2
y � 4 Retângulo de base igual a (x 2)
b
x�2
y�4
x �b 2 h
d)
x�2
b
Bh
b
h
B
h
B
xB� 2
e altura (y 4).
A base altura
A (x 2) (y 4)
x
Trapézio de base maior B,
base menor b e altura h.
x
(basex maior base menor) altura
A ________________________________
2
x�2
x (B b)
x h
__________
Ax �
2 y � 2
2
x x� 2
x
x
3P_YY_M7_RA_C06_079A110.indd 77
3
perímetro 2 base 2 altura V
V perímetro 2 2x 2 3 2(2x 3)
José pensou em um número, duplicou-o, subtraiu 4,
multiplicou esse resultado por 5 e adicionou 10.
Escreva uma expressão algébrica que traduza essas operações feitas por José.
Número em que José pensou x " (2 x 4) 5
10
Expresse algebricamente a medida do segmento
de extremidades A e B nos casos a seguir.
B
AB 4y y 8 ou AB 4y (y 8)
i) A diferença entre o dobro de um número e metade de outro.
y
1
2x __y 2x __
2
2
j) A terça parte da soma de um número com o triplo de outro.
(x 3y)
__1 (x 3y) ________
3
3
k) O quadrado da soma de dois números.
(x y)2
l) A soma dos quadrados de dois números.
x2 y 2
4y
y
A
g) O triplo da soma de um número com seu quadrado.
3 (x x2)
h) O produto de um número pelo seus três quartos.
3
3x2
x __x ____
4
4
C
B
AB 4x 6
Atividades para classe
Em cada item abaixo, escreva uma expressão algébrica, utilizando as letras x e y para representar
esses números.
a) O dobro de um número.
2x
b) O triplo de um número.
3x
c) O quadrado de um número.
x2
d) O cubo de um número.
x3
e) Metade da diferença de dois números.
xy
__1 (x y) _____
2
2
6
A
f) Cinco oitavos da soma de dois números.
5(x y)
5
__
(x y) ________
8
8
2
Capítulo 6
y�2
y�2
y�2
77
08.12.08 14:22:18
b
x�2
h
b
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 6
Bh
e)
B
x
x�2
Paralelogramo de base
(x 2) e altura relativa a essa base igual
a x.
x
A base altura (relativa ao lado)
2 2) x
Ax�
x (x
y�2
f)
x
y�2
Losango de diagonais x
e (y 2).
diagonal maior diagonal menor
A ______________________________
2
(y 2) x
__________
A
2
6
Escreva em seu caderno os pares de termos semelhantes, dentre os termos 2x2y, 3xy2, 4xy, 8x2y,
12xy2, 6xy.
2x2y e 8x2y são semelhantes.
3xy2 e 12xy2 são semelhantes.
4xy e 6xy são semelhantes.
a) Escreva uma expressão algébrica que represente
a quantidade de frutas que Carol comprou.
j l g j 2j j 3 4j 3
b) Se Carol comprou 12 limões, quantas frutas ela
comprou no total?
Se l 12 V 12 2j V j 6 e g j 3 V
Vg 6 3 3
Logo, Carol comprou 12 6 3 21 frutas ao
todo, sendo: 12 limões, 6 laranjas e 3 goiabas.
10 Caio desafiou Marcos a descobrir em qual número
estava pensando. Para isso fez este enigma: o quádruplo da minha idade, mais 15, menos o triplo da
soma da minha idade com 2, resulta no número que
estou pensando. Como Marcos não sabia a idade de
Caio, ele apenas escreveu uma expressão.
a) Qual foi essa expressão?
Idade de Caio C " 4 C 15 3(C 2) x, em
que x é o número em que Caio estava pensando.
b) Depois, Caio contou que tinha 14 anos. Em que
número ele estava pensando?
Como a idade de Caio é 14 anos V C 14 V
V 4 14 15 3(14 2) x V 56 15 3 16
x V 71 48 x V x 23
Logo, Caio estava pensando no número 23.
PÁGINA
7
8
9
t3
Calcule o valor numérico da expressão 7t 6
para os seguintes valores de t.
a) t 1
t3 7t 6 13 7 1 6 1 7 6
770
b) t 2
t3 7t 6 23 7 2 6
8 14 6 14 14 0
c) t 3
t3 7t 6 (3)3 7 (3) 6
27 21 6 27 27 0
d) t 4
t3 7t 6 43 7 4 6
64 28 6 70 28 42
e) t 0
t3 7t 6 03 7 0 6
0066
Seja x um número racional qualquer. Represente
algebricamente o que é pedido em cada item.
xÑQ
a) O produto desse número por ele mesmo.
xx
b) A soma desse número com ele mesmo.
xx
Carol foi à feira e comprou laranjas, limões e goiabas.
A quantidade de limões que ela comprou foi o dobro
da quantidade de laranjas, e o número de goiabas foi
três a menos que o número de laranjas.
Sejam: j a quantidade de laranjas, l de limões e g de
goiabas " l 2 j e g j 3
121
Atividades para casa
11 Represente com expressões algébricas o que se
pede em cada item.
a) O dobro de um número.
2n
b) O número dois somado com um número ao quadrado.
2 n2
c) O quadrado da soma de um número e do número
dois.
(n 2)2
d) A metade do triplo de um número.
3n
__1 3n ___
2
2
e) O triplo do dobro de um número.
3 2n 6n
f) O dobro da diferença de dois números.
2(n m)
g) A diferença dos dobros de dois números.
2n 2m
12 Determine o valor numérico da expressão
z2 2z 8, para os seguintes valores de z:
a) z 0
z2 2z 8 02 2 0 8 0 0 8 8
b) z 1
z2 2z 8 12 2 1 8 1 2 8 9
c) z 2
z2 2z 8 (2)2 2 (2) 8
4480
78
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08.12.08 14:22:19
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
d) z 3
z2 2z 8 32 2 3 8 9 6 8 5
x
2
e) z 1
z2 2z 8 (1)2 2 (1) 8
1 2 8 5
x2
224
2x
224
f) z 4
z2 2z 8 42 2 4 8 16 8 8 0
x2 1
22 1 4 1 5
x2 1
22 1 4 1 3
(x 3)(x 3)
(2 3)(2 3) 5 (1) 5
13 Copie a tabela abaixo e preencha-a com os valores
numéricos, de acordo com os valores indicados.
x
2
x2
2 2 0
2x
2 (2) 4
x2 1
(2)2 1 4 1 5
x2 1
(2)2 1 4 1 3
(x 3)(x 3)
(2 3)(2 3) 1 (5) 5
x
1
x2
1 2 1
2 (1) 2
2x
2
(1)2
1 1 1 2
2
(1)2
1 1 1 0
x 1
x 1
(x 3)(x 3)
(1 3)(1 3) 2 (4) 8
x
0
x2
022
2x
200
02
2
x 1
02
2
x 1
1011
1 0 1 1
(x 3)(x 3)
(0 3)(0 3) 3 (3) 9
x
1
__
2
5
1 4 __
__1 2 _____
2
2
2
1 __
2
__
2 1
2 2
x2
2x
x2 1
x2 1
(x 3)(x 3)
5
1 4 __
@ __21 # 1 __41 1 _____
4
4
3
14
__
@ __21 # 1 __41 1 _____
4
4
6
6 1_____
@ __21 3 # @ __21 3 # 1_____
2
2
5
35
7
__ @ __ # ___
4
2
2
2
2
x
1
x2
123
212
2x
2
12
2
2
x 1
1112
x 1
1 1110
(x 3)(x 3)
(1 3)(1 3) 4 (2) 8
Capítulo 6
14 Num terreno retangular, o comprimento tem 10 m
a mais que a largura. Se a largura mede x metros,
expresse:
a) O comprimento do terreno.
comprimento c x 10
b) O perímetro do terreno.
2c 2x 2 (x 10) 2x 20 2x 2x 4x 20
c) A área do terreno.
A c x (x 10) x
d) O valor numérico do perímetro quando
x 15 m.
perímetro 4x 20; como x 15 m, temos:
perímetro 4 15 20 80 m
e) O valor numérico da área para x 20 m.
área A (x 10) x; como x 20 m, temos:
A (20 10) 20 30 20 600 m2
15 Copie a tabela abaixo e preencha-a em seu caderno.
Termo
algébrico
Coeficiente
Parte literal
15xyz
15
xyz
12a2b
a2b
3zk2y6
12
5
__
7
3
zk2y6
12s3p2
12
s3p2
5 3
__
zy
7
zy3
16 Escreva a expressão: o quadrado de um número
somado ao quadrado de outro número. Calcule o
valor numérico dela para os números 5 e 10.
sejam a e b esses números V a2 b2
sendo a 5 e b 10, temos: 52 102 25 100
125
17 Calcule o valor numérico da expressão (a b)2,
para a 5 e b 10. É possível que o valor numérico da expressão algébrica a2 b2 seja igual ao
valor numérico da expressão (a b)2 para algum
valor de a e de b?
(a b)2 para a 5 e b 10 " (5 10)2
152 225
Para que os valores numéricos de a2 b2 e de (a b)2
sejam iguais, deve-se ter:
(a b)2 a2 b2 V a2 2ab b2 a2 b2 V
V 2ab 0 X a 0 ou b 0
Logo, (a b)2 a2 b2 somente quando a 0 ou
b 0.
79
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08.12.08 14:22:19
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 6
Total do bolo x2
18 Reduza os termos semelhantes de cada item a um
único termo.
a) 12y 5y
12y 5y 17y
2x2
Parte do neto mais velho ____
5
x2
1 2 __
__
Parte do neto mais novo x
5
5
2x2
x2
Parte do neto do meio x2 ____ __
5
5
5x2 2x2 x2 ____
2x2 __
2 2
______________
x
5
5
5
d) Se o bolo tem 40 cm de lado, qual é a área que
cada neto vai receber?
b) 4xy 6xy 8xy
4xy 6xy 8xy 2xy
c) 7abz 5abz abz
7abz 5abz abz 11abz
d) 3x 2x 7x
3x 2x 7x 8x
2
x 40 cm
2 402 2 1 600
O mais velho receberá: _______ ________
5
5
640 cm2.
O neto do meio receberá, igualmente, 640 cm2.
402
1 600
O neto mais novo receberá: ____ _____
5
5
320 cm2.
2
e) 30x y 6x y
30x2y 6x2y 24x2y
f) 6cx4 4cx4
6cx4 4cx4 10cx4
19 Simplifique as expressões algébricas:
a) 5(3 x)
5(3 x) 15 5x
b) 6(x 4) 2(x 3)
6(x 4) 2(x 3) 6x 24 2x 6
8x 18
c) 5(x 2) 3(4 x)
5(x 2) 3(4 x) 5x 10 12 3x
8x 2
d) 4(x 3) 2(3 x)
4(x 3) 2(3 x) 4x 12 6 2x
6x 18
e) 7(x 2) 5(x 3) 3(x 1)
7(x 2) 5(x 3) 3(x 1) 7x 14
5x 15 3x 3 9x 2
22 Represente cada expressão e diga quais delas são
iguais, qualquer que seja o número: o produto de
um número por ele mesmo; a soma de um número
com ele mesmo; um número ao quadrado; o dobro
de um número.
Seja x este número V x x; x x; x2; 2x. As expressões iguais são: x x x2 e x x 2x
Módulo 2: Equações
PÁGINA
1
f) (x 1) 3(2x 3) 2(x 4)
(x 1) 3(2x 3) 2(x 4) x 1 6x
9 2x 8 3x 16
20 Monte uma expressão para: metade de um número,
mais a terça parte desse número, menos 1. Depois
calcule o valor dessa expressão quando o número
mencionado for o 12.
1
1
x
x
Seja x este número V __x __x 1 __ __ 1
2
3
2 3
12 12
Para x 12 V __ __ 1 6 4 1 9
2
3
Atividades para classe
João e Gabriel gostam de brincar de jogar bolinhas
de gude. A quantidade de bolinhas de gude que Gabriel possui é igual à metade da quantidade de bolinhas de gude que João possui mais 12 unidades.
a) Representando por x a quantidade de bolinhas
de gude de João, copie e complete a tabela
abaixo em seu caderno.
Quantidade
de bolas de
João
Quantidade
de bolas de
Gabriel
x
x
__
12
2
Equação que
representa o
problema
x
x __ 12 27
2
b) Verifique se os valores x 8, x 10 e x 12 são
raízes da equação encontrada.
8
para x 8 " 8 __ 12 8 4 12 24
2
Portanto, 8 não é raiz.
10
para x 10 " 10 ___ 12 10 5 12 27
2
Portanto, 10 é raiz.
12
para x 12 " 12 __ 12 12 6 12 30
2
Portanto, 12 não é raiz.
21 Dona Maria quer dividir um bolo quadrado para
cada um de seus 3 netos. Sabe-se que o bolo tem
lado x e que o neto mais velho vai receber dois
quintos do bolo e o mais novo vai receber um quinto do bolo.
a) Represente a área do bolo todo com uma expressão algébrica.
Área lado lado " x x x2
b) Represente a expressão da área da parte do
bolo que o mais velho receberá.
2 2 ____
2x2
__
x
5
5
c) Represente a expressão que corresponde à parte
do bolo que o neto do meio receberá. Calcule subtraindo do total as partes dos outros dois netos.
124
2
Nas figuras, o perímetro
do triângulo é igual à
metade do perímetro do
hexágono. O hexágono
é regular e o triângulo é
equilátero.
x
x
80
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08.12.08 14:22:20
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
5(12 x)
d) _________ 3x 2, x 4
4
5(12 x)
_________
3x 2
4
Se x 4 V
5(12 4) 5 8 40
1o membro _________ _____ ___ 10
4
4
4
V
2o membro 3 4 2 12 2 10
10 10 V 1o membro 2o membro
Logo, 4 é raiz da equação.
a) Represente a situação descrita com uma equação.
Perímetro
hexágono
___________________
Perímetro triângulo V
2
6x
V ___ 3x
2
b) Que tipo de números não podem fazer parte do
conjunto universo dessa equação?
Dica: x representa uma medida.
x não pode ser negativo, pois representa a medida
do lado.
3
e) x3 12 0, x 3
x3 12 0
Se x 3 V
Transforme as seguintes sentenças em equações.
a) Um número tal que o triplo desse número adicionado a 20 é igual a 56.
3x 20 56
b) Um número cujo dobro excede esse número em
12 unidades.
2x x 12
V
4
Nos itens abaixo são dadas equações e um valor para
a incógnita. Verifique em cada caso se o valor fornecido é raiz da equação.
a) 5(x 4) (x 1) 40, x 6
5(x 4) (x 1) 40
Se x 6 V
1o membro 5(6 4) (6 1) 5 10 (5)
V 50 5 45
2o membro 40
45 40 V 1o membro 2o membro
Logo, 6 não é raiz da equação.
b) 3t2 4 16, t 2
3t2 4 16
Se t 2 V
1o membro 3 22 4 3 4 4
V 12 4 16
1o membro 33 12 27 12 15
2o membro 0
15 0 V 1o membro 2o membro
Logo, 3 não é raiz da equação.
5
Qual o conjunto universo da equação “x é igual ao dia
da semana que começa com s”?
U {os 7 dias da semana} {segunda-feira; terçafeira; quarta-feira; quinta-feira; sexta-feira; sábado e
domingo}
(Note que somente segunda-feira, sexta-feira e sábado são "raízes" da equação)
6
Copie a tabela abaixo e complete-a em seu caderno, seguindo o modelo.
c) Um número tal que o dobro da soma desse número com 5 resulta em 40.
2(x 5) 40
d) Um número tal que a metade da diferença desse
número e 5 é igual a 8.
x5
______
8
2
Pergunta
Equação e
conjunto
universo
Qual número
inteiro, elevado ao x2 49; U Z
quadrado dá 49?
Qual número
inteiro negativo
elevado ao
quadrado dá 49?
Qual número
inteiro elevado ao
quadrado dá 5?
c) 2z2 3z 14 0, z 2
2z2 3z 14 0
Se z 2 V
1o membro 2(2)2 3 (2) 14
V 2 4 6 14 0
2o membro 0
0 0 V 1o membro 2o membro
Logo, 2 é raiz da equação.
Resposta
ou conjunto
solução
x 7 ou x 7;
S {7; 7}
x2 49; U Z2 x 7; S {7}
S
x 5, U Z
2
(não há x inteiro
que satisfaça a
equação)
S
Qual número inteiro
positivo elevado ao
cubo dá 8?
x 8,
U Z
Qual número inteiro
elevado à quarta
potência dá 1?
x4 1; U Z
x 1 ou x 1;
S {1; 1}
Qual número
inteiro tem sua
metade igual à sua
terça parte?
x
x __
__
;UZ
2 3
x 0; S {0}
3
2o membro 16
16 16 V 1o membro 2o membro
Logo, 2 é raiz da equação.
Capítulo 6
Qual número
natural tem seu
triplo menor
que 12?
(não há x inteiro
positivo que
satisfaça a
equação)
x , 4 V x 0 ou
x 1 ou x 2 ou
3x 12, U N
x 3;
S {0; 1; 2; 3}
81
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
7
8
A altura de um triângulo tem 2 m a mais que a
base relativa a essa altura. Se x é o valor da medida da base, escreva uma equação para expressar
que a área do triângulo é igual a 24 m2.
altura x 2 e área 24 m2.
x (x 2)
base altura
Como área ____________, temos 24 __________
2
2
Do valor de seu salário, Joaquim gasta a terça parte com alimentos, um quarto com transporte, um
sexto com água, luz e telefone e ainda lhe restam
RS
|| 150,00. Escreva uma equação que represente
essa situação em relação ao salário do Joaquim.
Sendo x o salário de Joaquim, temos:
x
gasto com alimentos __
3
x
gasto com transporte __
4
x
gasto com água, luz e telefone __
6
Parte restante do salário RS|| 150,00
x
x
x
Logo, x __ __ __ 150.
3 4 6
PÁGINA
9
Capítulo 6
125
Atividades para casa
Os dois pratos de uma balança foram equilibrados
colocando-se 3 bolas grandes e duas pequenas num
prato e um peso com massa de 1 000 gramas no outro, como representado abaixo.
11 Escreva a equação correspondente a cada uma
das sentenças a seguir e determine as raízes das
equações obtidas para responder às questões:
a) Que número deve ser adicionado a vinte e três
para obter trinta?
x 23 30 V x 7
b) Que número inteiro elevado ao quadrado dá
100?
x2 100 V x 10 ou x 10
c) A metade do triplo de um número é 12. Que número é esse?
3x
___
12 V x 8
2
d) Quais são os dois inteiros consecutivos cuja
soma é igual a 31?
x (x 1) 31 V x 15, logo x 1 16
e) Que número elevado a 100 dá zero?
x100 0 V x 0
f) Quais são os dois números ímpares consecutivos cuja soma dá 44?
x y 44, x e y são ímpares consecutivos V
V x 2a 1 e y 2a 3 (a Ñ N) V
V (2a 1) (2a 3) 44 V a 10
Logo, x 21 e y 23.
g) Qual é o número inteiro cuja metade é igual ao
quadrado de quatro?
x
__
42 V x 32
2
h) A soma dos quadrados de 6 e 8 é igual ao quadrado de qual número?
62 82 x2 V x2 100 V x 10
12 Verifique se x 4 é raiz das equações seguintes.
a) Sabendo que cada bola grande tem massa igual
ao dobro da massa da pequena, represente com
uma equação a situação de equilíbrio da balança.
massa da bola grande " 2m
massa da bola pequena " m
3 2m 2m 1 000
b) Qual é a massa de cada bola?
6m 2m 1 000 V 8m 1 000 V m 125 g
10 Represente as sentenças a seguir utilizando equações.
a) O dobro de um número, menos seis, resulta em
32.
2x 6 32
b) O quíntuplo da soma de um número com dez é
igual a sessenta.
5(x 10) 60
c) A diferença entre o quadrado de um número e
esse mesmo número é igual a quarenta e dois.
x2 x 42
d) O quadrado da soma de um número com sete é
igual ao cubo da diferença entre esse número e
onze.
(x 7)2 (x 11)3
a) 4x 12 3
para x 4 V 4 4 12 3 V 16 12
3 V 4 3 " "F"
b) x3 64 0
para x 4 V 43 64 0 V 64 64
0 V 0 0 " "V"
c) (x 1)3 15
para x 4 V (4 1)3 15 V 53 15 V
V 125 15 " "F"
d) (2x 1)3 343
para x 4 V (2 4 1)3 343 V
V 73 343 V 343 343 " "V"
Logo, 4 é raiz das equações dos itens b) e d).
13 Determine o conjunto universo e o conjunto solução
das seguintes sentenças abertas.
a) t é um divisor natural de 6.
U N, S {1; 2; 3; 6}
b) z é um inteiro cujo módulo é 5.
U Z, S {5; 5}
c) k é um número natural, múltiplo de 5.
U N, S {0; 5; 10; 15; 20; ...}
ou S {x Ñ N | x 5a com a Ñ N}
82
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08.12.08 14:22:21
Resolução de atividades Capítulo 6
14 Copie e complete a tabela em seu caderno.
Equação
1o
2o
membro membro
2 é raiz?
4x 1 2 5 18
4x 1 2
18
4 ? 2 1 2 5 18 V
V 10 5 18 "F" V Não
6(k 1 3) 5
5 15k
6(k 1 3)
15k
6 ? (2 1 3) 5 15 ? 2 V
V 30 5 30 "V" V Sim
0
23 1 8 5 0 V 16 5
5 0 "F" V Não
s3
1850
s3
18
15 Considere a sentença “A quarta parte da soma de
um número inteiro com dois é igual à terça parte
desse número”.
a) Qual das equações representa essa sentença?
x
x
x 1 2 __
x
III) ______
5
I) __ 1 2 5 __
4
4
3
3
x
II) __ 1 2 5 3x
4
x 1 2 __
x
A sentença correta é a III: ______
5 .
4
3
x
x
Note que I V __
1 2 5 __
corresponde a: "A soma da
4
3
quarta parte de um número inteiro com
2 é igual à terça parte desse número".
x
II V __
1 2 5 3x corresponde a: "A soma da
4
quarta parte de um número inteiro com 2
é igual ao triplo desse número".
b) Qual é o conjunto universo da equação?
18 O dobro de um número é adicionado à sua terça
parte. Dessa soma é retirada a metade do número
inicial e verifica-se que o resultado é 25. Escreva
uma equação que represente esse problema e verifique se 6 é raiz da equação que você escreveu.
x
x
2 __
5 25
2x 1 __
3
2
6
6
Para x 5 6 V 2 ? 6 1 __ 2 __ 5 25 V (12 1 2) 2 3 5
3
2
5 25 V 14 2 3 5 25 V 11 5 25 " "F".
Logo, 6 não é raiz da equação.
@
16 Escreva sentenças que representem as equações a
seguir.
a) 10 2 2x 5 3x 1 15
A diferença entre 10 e o dobro de um número é
igual à soma do triplo desse número com 15.
Página
c) 4(3x 2 1) 5 68
O quádruplo da diferença entre o triplo de um número e a unidade é 68.
d)x100 5 1
A centésima potência de um número é igual a um.
17 Calcule mentalmente as raízes das equações abaixo e indique quais delas têm o mesmo conjunto solução.
3x
a) 3x 2 8 5 7
c) ___ 5 9
2
x 5 5 x 5 6
40 2 2x
5 10
b) 15 2 x 5 9
d) ________
3
x 5 6 x 5 5
Têm o mesmo conjunto solução os itens: a) e d);
S 5 {5} e b) e c); S 5 {6}.
#
126
Boxe Cálculo mental
Em uma balança cujos pratos estão equilibrados e
todos os cubos possuem a mesma massa, descubra a massa, em kg, de cada cubo.
5 5 3m 1 0,5 V 4,5 5 3m
m 5 4,5 ; 3 5 1,5 kg
Página
128
Atividades para classe
1 Determine o conjunto solução das seguintes equações, sabendo que o conjunto universo delas é o
conjunto dos números racionais.
a) 3x 5 7
2 3
1
1
7
7
3x 5 7 V __
? 3x 5 __
? 7 V x 5 __
Ñ Q V S 5 __
3
3
3
3
b) 6x 5 9
2
b) 2x 2 10 5 x 1 5
A diferença entre o dobro do quadrado de um número e 10 é igual à soma desse número com 5.
@
Módulo 3: Equações do 1o grau com uma incógnita
U 5 Z " conjunto dos números inteiros
c) 8 é raiz dessa equação?
10 8
8
8 1 2 __
5 V ___
5 __ "F".
Se x 5 8 V ______
4
4
3
3
Logo, 8 não é raiz dessa equação.
#
9
3
1
1
6x 5 9 V __ ? 6x 5 __ ? 9 V x 5 __ V x 5 __ Ñ Q V
6
6
6
2
3
V S 5 __
2
2 3
c) 25x 5 18
1
1
25x 5 18 V 2 __ ? (25x) 5 2 __ ? 18 V
5
5
18
18
V x 5 2 ___ Ñ Q V S 5 2___
5
5
4x
___
d) 5 10
3
3 4x __
3
30
4x
___
5 10 V __
? ___
5 ? 10 V x 5 ___
V
4
4 3
4
3
15
15
___
___
V x 5 Ñ Q V S 5
2
2
2 3
2 3
5x
e) 2 ___ 5 18
9
9
5x
5x
9
___
2 5 18 V 2 __ ? 2___
5 2__
? 18 V
5
5
9
9
@
# @ #
2
3
162
162
V x 5 2 ____ Ñ Q V S 5 2____
5
5
83
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12.12.08 13:44:40
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 6
6x
12
f) ___ ___
7
35
6x
6x
7 12
12
7
___ ___ V __ ___ __ ___ V
7
7
6
6 35
35
2
2
V x __ Ñ Q V S __
5
5
10
4x
g) ___ ___
7
49
10
4x
4x
7 10
7
___ ___ V __ ___ __ ___ V
4
4 49
7
7
49
@
@
i)
j)
#
5
5
V x ___ Ñ Q V S ___
14
14
9x 0
1
1
9x 0 V __ 9x __ 0 V x 0 Ñ Q V S {0}
9
9
3x
0 ___
47
3x
47 3x 47
0 ___ V 0 ___ ___ ___ V x 0 Ñ Q V
47
47 3
3
V S {0}
12x
____
1
5
5
5 12x
5
12x
___
1 V __ ___ __ 1 V x __ Ñ Q V
5
12 5
12
12
5
V S __
12
6x
___ 1
13
13
6x
6x
13
___
1 V __ ___ __ 1 V
13
6
13
6
@
# @
2 3
@
d) 16 4x 30
16 4x 30 V 16 16 4x 30 16 V
1
14
1
V 4x 14 V __ 4x __ 14 V x ___ V
4
4
4
2 3
7
7
V x __ Ñ Q V S __
2
2
e) 0 12 20x
0 12 20x V 12 20x 0 V 12 12 20x
1
0 12 V 20x 12 V ___ (20x)
20
3
3
1
12
___ (12) V x ___ V x __ Ñ Q V S __
5
5
20
20
f) 12 3x x
12 3x x V 12 12 3x x 12 V 3x
x 12 V 3x x x x 12 V 4x
1
12
1
12 V __ (4x) __ (12) V x __ V
4
4
4
V x 3 Ñ Q V S {3}
2 3
g) 7x 8 12 2x
7x 8 12 2x V 7x 2x 8 8
h)
#
2 3
2
2
V x __ Ñ Q V S __
3
3
Há quinze anos o pai de
Flávia tinha 42 anos.
Se hoje a idade dela é
a terça parte da idade
dele, qual é a idade de
Flávia?
P 42 15 V P 57 anos
57
P
F __ V F ___ V F 19 anos
3
3
3
V x 1 Ñ Q V S {1}
#
13
13
V x __ Ñ Q V S __
6
6
10
5x
___
___
l)
8
24
10
8 5x 8
10
5x
___
___ V __ ___ __ ___ V
5 8
5
8
24
24
2
5
1
1
V 5x 5 V __ (5x) __ 5 V x __ V
5
5
5
2 3
2 3
k)
8 5x 13 V 8 8 5x 13 8 V
#
2 3
h)
c) 8 5x 13
Resolva em U Q as seguintes equações.
a) 2x 5 9
2x 5 9 V 2x 5 5 9 5 V
1
1
V 2x 14 V __ 2x __ 14 V x 7 Ñ Q V S {7}
2
2
b) 6x 5 37
6x 5 37 V 6x 5 5 37 5 V
1
1
42
V 6x 42 V __ 6x __ (42) V x ___ V
6
6
6
V x 7 Ñ Q V S {7}
i)
1
1
2x 2x 12 8 V 5x 20 V __ 5x __ 20 V
5
5
20
V x ___ V x 4 Ñ Q V S {4}
5
6 4x 8 2x
6 4x 8 2x V 6 6 4x 2x
1
8 6 2x 2x V 2x 2 V __ (2x)
2
2
1
__ 2 V x __ V x 1 Ñ Q V S {1}
2
2
3 5x 8 3x
3 5x 8 3x V 3 3 5x 3x
1
1
8 3 3x 3x V 8x 5 V __ 8x __ 5 V
8
8
5
5
V x __ Ñ Q V S __
8
8
4x 13 x 20
4x 13 x 20 V 4x x 13 13 x x
1
1
20 13 V 3x 7 V __ 3x __ 7 V
3
3
7
7
V x __ Ñ Q V S __
3
3
10x 8 3x 55
10x 8 3x 55 V 10x 3x 8 8
1
3x 3x 55 8 V 7x 63 V __ 7x
7
63
1
__ (63) V x ___ V x 9 Ñ Q V
7
7
V S {9}
2 3
j)
2 3
k)
l) 12x 9 6x
12x 9 6x V 12x 6x 9 6x 6x V 18x
9
1
1
1
9 V ___ 18x ___ 9 V x ___ V x __ Ñ Q V
18
18
18
2
1
V S __
2
2 3
84
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08.12.08 14:22:22
Resolução de atividades Capítulo 6
4 Eliana foi a um determinado
supermercado e comprou 2x
dúzias de laranja e x dúzias
de banana, gastando 12 reais.
que P 1 G 5 1 000 e, por outro, que P 5 4G. Assim,
1 000
4G 1 G 5 1 000 V 5G 5 1 000 V G 5 _____
V
5
V G 5 200 V P 5 4 ? 200 V P 5 800
Logo, são fabricadas diariamente 200 caixas grandes e 800 caixas pequenas.
a) Determine o valor de x.
2x ? 3 1 x ? 2 5 12 V 6x 1 2x 5 12 V 8x 5 12 V
3
12 __
V x 5 __ 5
V x 5 1,5
2
8
b) Quantas laranjas e quantas bananas Eliana
comprou?
laranjas " 2x 5 3 dúzias ou 36 laranjas
bananas " x 5 1,5 dúzia ou 18 bananas
5 Determine a medida de
cada lado do retângulo
ilustrado sabendo que o
perímetro dele é igual a
42 centímetros.
10 Ana percorreu três quartos de uma trilha e faltam
400 m para ela chegar ao final.
Quantos metros tem essa trilha?
x�2
2x � 4
2 ? (2x 1 4 1 x 1 2) 5 42 V 2x 1 4 1 x 1 2 5 21 V
V 3x 1 6 5 21 V 3x 5 15 V x 5 5
x 1 2 5 7 e 2x 1 4 5 14
Os lados do retângulo são 7 e 14.
6 Márcia está fazendo uma dieta e precisa emagrecer 8 kg para ficar com 72 kg. Qual é a massa de
Márcia?
Seja m a massa de Márcia V m 2 8 5 72 V m 5
5 72 1 8 V m 5 80. A massa de Márcia é de 80 kg.
7 Numa prova de 36 testes, Paulo acertou o triplo do
que errou. Quantos ele errou?
Seja e a quantidade de testes que Paulo errou e a a
quantidade de testes que ele acertou V
a 1 e 5 36
V
V a 5 3e
36
V 3e 1 e 5 36 V 4e 5 36 V e 5 ___ V
e59
4
Logo, Paulo errou 9 testes.
2
8 Renata é dois anos mais nova que Aline e, há dez
anos, a soma da idade delas era igual a 46 anos.
Quantos anos tem cada uma?
Sejam: R 5 Idade de Renata hoje e A 5 idade de
Aline hoje V Há 10 anos Renata tinha R 2 10 e Aline,
A 2 10.
Como Renata é 2 anos mais nova que Aline, tem-se:
R 5 A 2 2.
Tem-se (R 2 10) 1 (A 2 10) 5 46. Substituindo
R 5 A 2 2 V (A 2 2 2 10) 1 (A 2 10) 5 46 V
V A 2 12 1 A 2 10 5 46 V 2A 2 22 5 46 V
V 2A 5 68 V A 5 34
Logo, R 5 34 2 2 V R 5 32, ou seja, Renata tem
32 anos e Aline tem 34 anos.
3
Seja t a distância total da trilha " __ t 1 400 5 t
4
(mmc 5 4) V 3t 1 4 ? 400 5 4 ? t V 3t 1 1 600 5 4t V
V 2t 5 21 600 V t 5 1 600
Logo, a trilha tem 1 600 m.
11 Haroldo e Bruno têm, juntos, RS|| 1 200,00. Se Haroldo tem RS|| 300,00 a mais que Bruno, quanto
tem Haroldo?
Sendo H a quantia de Haroldo e B o quanto Bruno
tem, temos que H 1 B 5 1 200 e H 5 B 1 300.
Substituindo H 5 B 1 300 em H 1 B 5 1 200:
B 1 300 1 B 5 1 200 V 2B 5 1 200 2 300 V 2B 5
5 900 V B 5 450 V H 5 450 1 300 V H 5 750
Logo, Haroldo tem RS|| 750,00
12 A soma de dois números inteiros consecutivos é
igual a 57. Quais são esses números?
Seja n o número inteiro, logo o seu consecutivo é
n 1 1. Assim, n 1 (n 1 1) 5 57 V 2n 5 57 2 1 V
V 2n 5 56 V n 5 28 e, portanto, n 1 1 5 29.
Os dois números procurados são 28 e 29.
13 Numa prova de 40 testes, o número de acertos de
Ana excedeu em 4 o número de erros. Quantos testes Ana acertou?
Sejam e o número de erros de Ana e a o número de
acertos V a 1 e 5 40 e a 5 4 1 e.
Assim, 4 1 e 1 e 5 40 V 2e 5 36 V e 5 18 V
V a 5 4 1 18 V a 5 22
Logo, Ana acertou 22 testes.
14 José, Raimundo e Pedro pescaram 40 peixes, sendo que Raimundo pescou dois terços da quantidade pescada por José, e este pescou 8 peixes a
menos que Pedro. Quantos peixes José pescou?
9 Uma fábrica produz diariamente 1 000 caixas, de tamanhos grande e pequeno, sendo que o número de caixas
pequenas é o quádruplo do número de caixas grandes.
Quantas caixas de cada tipo são fabricadas por dia?
Sendo P a quantidade de caixas pequenas e G a
quantidade de caixas grandes, temos por um lado
85
4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 85
12.12.08 13:45:34
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 6
J R P 40, em que J, R e P são as quantidades de peixe que José, Raimundo e Pedro pescaram,
respectivamente.
2
R __ J
3
JP8
2
Substituindo J P 8 em R __ J, tem-se:
3
16
2
2
__
__
___
R (P 8) V R P
3
3
3
16
2
Substituindo J P 8 e R __ P ___ em
3
3
@
#
16
2
J R P 40, tem-se: (P 8) __ P ___ P
3
3
40 V (mmc 3) V 3P 24 2P 16 3P
120 V 8P 40 120 V 8P 120 40 V 8P
160
160 V P ____ V P 20
8
Logo, J 20 8 V J 12
Portanto, José pescou 12 peixes.
PÁGINA
129
Atividades para casa
15 Determine o conjunto solução das seguintes equações em Q.
a) 3(x 10) 41
3(x 10) 41 V 3x 30 41 V 3x 30 30
1
1
41 30 V 3x 11 V __ 3x __ 11 V
3
3
11
11
V x __ Ñ Q V S __
3
3
2 3
b) 5(x 4) 2(x 8) 90
5(x 4) 2(x 8) 90 V 5x 20 2x 16
90 V 7x 4 90 V 7x 4 4 90 4 V
86
1
1
V 7x 86 V __ 7x __ 86 V x ___ Ñ Q V
7
7
7
86
___
VS
7
2 3
c) 4(x 5) 6 3(6 x) 4
4(x 5) 6 3(6 x) 4 V 4x 20 6
18 3x 4 V 4x 26 22 3x V 4x
3x 26 26 22 26 3x 3x V 7x
1
4
1
4 V __ 7x __ (4) V x __ Ñ Q V
7
7
7
4
V S __
7
2 3
d) 2(3x 4) 3(5 2x) 5(2x 3)
2(3x 4) 3(5 2x) 5(2x 3) V 6x 8
15 6x 10x 15 V 12x 7 10x 15 V
V 12x 10x 7 7 10x 10x 15 7 V
1
22
1
V 2x 22 V __ 2x __ (22) V x _____ V
2
2
2
V x 11 Ñ Q V S {11}
e) 3(4x 1) 2(x 3) 4(5 x) 20
3(4x 1) 2(x 3) 4(5 x) 20 V
V 12x 3 2x 6 20 4x 20 V 10x
23 20 V 10x 23 23 20 23 V
1
1
V 10x 3 V ___ 10x ___ (3) V
10
10
3
3
V x ___ Ñ Q V S ___
10
10
2 3
16 Determine o conjunto solução das seguintes equações, no universo dos racionais.
4x 15
a) ________ 15
3
4x
15
_______
15 V 4x 15 3 15 V 4x 15
3
45 V 4x 15 15 45 15 V 4x 30 V
30
15
1
1
V __ 4x __ 30 V x ___ V x ___ Ñ Q V
4
4
4
2
15
___
VS
2
9 x ______
x7
______
6
b)
2
3
9
x
x7
______
______ 6 V (mmc 6) V 3(9 x)
2
3
2(x 7) 6 6 V 27 3x 2x 14 36 V
V x 41 36 V x 41 41 36 41 V
V x 5 V 1 (x) 1 (5) V
V x 5 Ñ Q V S {5}
2 3
2x 3 x 3 x 5
c) _______ ______ ______
4
3
8
x5
2x 3 ______
x 3 ______
_______
V (mmc 24) V 6 (2x
4
3
8
3) 8 (x 3) 3 (x 5) V 12x 18 8x
24 3x 15 V 4x 6 3x 15 V 4x 3x
6 6 3x 3x 15 6 V x 9 Ñ Q V
V S {9}
x7 9x x4
d) ______ ______ ______ 5
4
6
3
9x
x4
x______
7
______ ______ 5 V (mmc 12) V
4
6
3
V 3 (x 7) 2 (9 x) 4 (x 4) 12 5 V
V 3x 21 18 2x 4x 16 60 V 3x
23 60 V 3x 23 23 60 23 V
1
1
V 3x 37 V __ (3x) __ 37 V
3
3
2
3
37
37
V x ___ Ñ Q V S ___
3
3
3
2x
x
10
163
5
x
e) ______ _______ ______ ____
6
8
3
24
3 2x ______
x 10 ____
163
5 x _______
______
V (mmc 24) V
6
8
3
24
V 4 (5 x) 3(3 2x) 8(x 10) 163 V
V 20 4x 9 6x 8x 80 163 V 18x
91 163 V 18x 91 91 163 91 V
1
1
V 18x 72 V ___ (18x) ___ 72 V
18
18
72
x ___ V x 4 Ñ Q V S {4}
18
17 Fernando comprou uma calça
e uma camisa e gastou com
isso RS|| 180,00. A calça custou o dobro do valor da camisa. Qual é o valor que Fernando pagou pela calça?
Sejam x preço da calça e y preço da camisa
V x y 180. Como x
2y, temos 2y y 180 V
V 3y 180 V
180 V y 60
V y ____
3
Logo, x 60 180 V x 120. Ou seja, Fernando
pagou RS|| 120,00 pela calça.
86
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08.12.08 14:22:24
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
18 Para comprar um presente para o professor, doze
alunos fizeram algumas contas e viram que cada
um deveria contribuir com 10 reais. Porém, quatro
alunos desistiram de última hora. De quanto será a
contribuição de cada um dos outros alunos, se eles
quiserem comprar o mesmo presente?
O presente custa 12 RS|| 10,00 RS|| 120,00
Como 4 alunos desistiram, restam 8 alunos V
V 120 : 8 15 V cada um dos 8 alunos deve contribuir com RS|| 15,00.
19 Humberto tem um número de CD‘s de rock que supera em seis os de música popular, e estes são 8 a
mais que os CD‘s de música sertaneja. Se o total de
CD‘s de Humberto é 52, quantos são os de rock?
Temos R P 6, P S 8 e R P S 52, em que
R é a quantidade de CD's de rock, P de música popular e S a quantidade de CD's de música sertaneja.
PS8VSP8
Assim, P 6 P P 8 52 V 3P 2 52 V
R
S
V 3P 54 V P 18 V R 18 6 V R 24 V
V Humberto tem 24 CD's de rock.
20 A soma de três números inteiros consecutivos é
igual a 153. Determine quais são esses números.
Seja x o menor número inteiro. Seus consecutivos
são: x 1 e x 2.
Logo, x (x 1) (x 2) 153 V 3x 3 153 V
150
V 3x 150 V x ____ V x 50 V x 1 51 e
3
x 2 52.
Portanto, os três números são: 50, 51 e 52.
21 Matheus tem 10 anos e Pedro tem 4 anos. Daqui a
quantos anos o dobro da idade de Matheus será o
quádruplo da de Pedro?
Hoje M 10 e P 4, em que M é a idade de Matheus
e P a de Pedro.
Note que, daqui a x anos, Matheus terá (10 x) anos
e Pedro (4 x) anos; então 2 (10 x) 4 (4
x) V 20 2x 16 4x V 2x 4x 16 20 V
V 2x 4 V x 2. Logo, daqui a 2 anos.
22 Num certo terreiro, se subtrairmos da quantidade
de patos a quantidade de galinhas, o resultado é 14.
Se somarmos essas quantidades, o resultado é 46.
Quantos patos e quantas galinhas há?
P G 14, em que P quantidade de patos e G de
galinhas
Por outro lado, P G 46 V P 46 G.
Capítulo 6
Substituindo-se P 46 G em P G 14 temos:
46 G G 14 V 46 2G 14 V
V 2G 32 V G 16. Logo P 46 16 V P 30
Portanto, são 30 patos e 16 galinhas.
23 A soma de dois números é igual a 55, e o maior
excede o menor em 13 unidades. Quais são esses
números?
Sejam x e y esses dois números, tais que x y V
V x y 55 e x y 13
Logo, y 13 y 55 V 2y 42 V y 21 V
V x 21 13 V x 34
Os dois números são 34 e 21.
24 De um barril cheio de água é retirada metade da
água e, depois, um terço do restante, ficando ainda
no barril 200 litros. Calcule a capacidade do barril.
Seja C a capacidade do barril.
C C
1
1 C C
Destes, retira-se __ V __ __ __
1o) C __ __
2
2
3
3 2 6
C
C
3C C
C C
Já foram retirados __ e __ V __ __ _______
2 6
2
6
6
2C
2C
4C ___
___
___
" Até agora retirou-se
.
6
3
3
2C ________
3C 2C __
C
___
Sobrou: C
200 V C 600
3
3
3
A capacidade do barril é 600 L.
25 Marina recebeu seu primeiro salário no seu novo
emprego. Dessa quantia ela gastou um terço com
mantimentos para o mês e, do que restou, gastou um oitavo com roupas novas, sobrando ainda
RS|| 350,00. Quanto Marina recebeu de salário?
Seja S salário de Marina.
1
Gastou com mantimentos __S.
3
3S 1S 2
1
Sobrou S __S _______ __S
3
3
3
1
2
1
2
__
__
com roupas V __S __
Destes S, gastou
3
8
3
8
1
2
___ S __S
24
12
4S S
1
1
Ao todo, gastou até agora __S __S _______
12
12
3
5
5
12S
5S
7
__S V Sobrou S __S _________ __S
12
12
12
12
12
7
__
__
350 V S 12 50 V
Assim, S 350 V S
7
12
V S 600
Logo, Marina recebeu RS|| 600,00.
26 Cristina queria comprar bonecas, todas iguais, para
distribuir no dia das crianças. Cristina observou
que, com o dinheiro que tinha, conseguiria comprar
80 bonecas. Porém, se o preço da boneca fosse
RS
| 10,00 a menos, ela conseguiria comprar 120 bonecas. Calcule quanto custa cada boneca e quanto Cristina tem em dinheiro para a compra das bonecas.
Se o preço é x, ela compra 80 bonecas.
Se o preço cai para (x 10), ela compra 120 bonecas.
Logo, 80 x 120 (x 10) V
V 80x 120x 1 200 V 40x 1 200 V
V x 30 e 80 x 80 30 2 400
Portanto, cada boneca custa RS|| 30,00 e Cristina
tem RS
| 2 400, 00.
87
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08.12.08 14:22:24
Resolução de atividades Capítulo 6
27 Numa prova de 50 testes, cada acerto vale 2 pontos e cada erro vale 21 ponto.
a) Se Vanessa acertou 30 testes, que nota ela
tirou?
30 testes certos V 20 testes errados V 30 ? 2 1
1 20 ? (21) 5 60 2 20 5 40 V sua nota foi 40.
b)Se Felipe teve nota 70, quantos testes ele
acertou?
c ? 2 1 e ? (21) 5 70
em que c 5 certo, e 5 errado e e 5 50 2 c
Logo, 2c 1 (50 2 c) ? (21) 5 70 V 2c 2 50 1
1 c 5 70 V 3c 5 120 V c 5 40 V Felipe acertou
40 testes.
28 Um lojista estava vendendo calças e camisas por um
mesmo preço. Caio pediu um desconto, e o dono da
loja diminuiu 10 reais no preço da camisa e 20 reais
no preço da calça. Caio levou 3 calças e 4 camisas
e o total da sua compra foi RS
| 250,00. Qual era o
preço de uma calça, antes do desconto?
Seja x o preço de cada calça e de cada camisa. Com
o desconto, o preço da camisa passou a ser x 2 10
e o da calça, x 2 20.
Na compra: 3(x 2 20) 1 4(x 2 10) 5 250 V 3x 2 60 1
1 4x 2 40 5 250 V 7x 2 100 5 250 V 7x 5 350 V
x 5 50. Antes do desconto a calça custava RS
| 50,00.
Módulo 4: Inequações
satisfazem essa inequação e que pertencem ao conjunto universo são:
25; 24 e 23 V S 5 {25; 24; 23}
2 Responda em cada caso se o número dado faz parte do conjunto solução da inequação dada, sendo
U 5 Q.
a) 4 1 2x . 8
(x 5 3)
4 1 2x . 8 V 4 2 4 1 2x . 8 2 4 V 2x . 4 V
1
1
2x . __ ?
4 V x . 2 V S 5 {x Ñ Q | x . 2}
V __ ?
2
2
Como 3 Ñ Q e 3 . 2, então 3 Ñ S.
ou
4 1 2x . 8, para x 5 3 V 4 1 2 ? 3 . 8 V
V 4 1 6 . 8 5 10 . 8 "V"
Como 3 Ñ Q e 3 torna a desigualdade verdadeira,
então 3 Ñ S.
(x 5 0)
b) 3x 2 4 , 12
3x 2 4 12 V 3x 2 4 1 4 12 1 4 V
16
1
1
V 3x 16 V __ ? 3x __ ? 16 V x ___ V
3
3
3
1
1
__
__
V x 5 V
S 5 x Ñ Q | x 5
3
3
1
__
Como 0 Ñ Q e 0 5 , então 0 Ñ S.
3
ou
2
131
Página Boxe Cálculo mental
Determine mentalmente as soluções das
inequações:
a) 3x . 12
1
1
3x . 12 V __ ?
3x . __ ?
12 V x . 4
3
3
S 5 {x Ñ Q | x . 4}
b) 5x , 30
1
1
5 x 30 V __ ?
5x __ ?
30 V x 6
5
5
S 5 {x Ñ Q | x 6}
c) 4x 1 8 . 12
4x 1 8 . 12 V 4x 1 8 2 8 . 12 2 8 V 4x . 4 V
Vx.1
S 5 {x Ñ Q | x . 1}
d) 5 2 2x , 7
5 2 2x 7 V 25 1 5 2 2x 7 2 5 V 22x 2 V
2x . 22 V x . 1
S 5 {x Ñ Q | x . 21}
132
Página Atividades para classe
1 O conjunto universo da inequação 4 2 3x . 6 é U 5
5 {25; 24; 23; 0; 1; 2; 3}. Qual é o conjunto solução
dessa inequação?
4 2 3x . 6 V 4 2 4 2 3x . 6 2 4 V 23x . 2 V
1
2
1
(23x) 2 __ ?
2 V x 2 __
V
os números que
V 2 __ ?
3
3
3
3
3x 2 4 12, para x 5 0 V 3 ? 0 24 12 V
V 0 2 4 12 V 24 12 "V". Como 0 Ñ Q e 0
torna a desigualdade verdadeira, então 0 Ñ S.
c) 4 ? (2x 2 1) , 9 (x 5 3)
4(2x 2 1) 9 V 8x 2 4 9 V 8x 2 4 1
13
1
1
1 4 9 1 4 V 8x 13 V __ ? 8x __ ? 13 V x __ V
8
8
8
5
5
V x 1 __ V S 5 x Ñ Q | x 1 __
8
8
5
__
Como 3 Ñ Q, porém 3 . 1 , então 3 É S.
8
ou
2
3
4 ? (2x 2 1) 9, para x 5 3 V 4 ? (2 ? 3 2 1) 9 V
V 4 ? (6 2 1) 9 V 4 ? 5 9 V 20 9 "F". Como
3 Ñ Q, porém faz com que a desigualdade seja
falsa, então 3 É S.
d)5 ? (1 2 x) . 10 (x 5 22)
5 ? (1 2 x) . 10 V 5 2 5x . 10 V
V 5 2 5 2 5x . 10 2 5 V 25x . 5 V
1
1
(25x) , 2 __ ?
5 V x , 21 V
V 2 __ ?
5
5
V S 5 {x Ñ Q | x , 21}
Como 22 Ñ Q e 22 , 21, então 22 Ñ S.
ou
5 ? (1 2 x) . 10, para x 5 22 V 5(1 2 (22)) . 10 V
V 5(1 1 2) . 10 V 5 ? (3) . 10 V 15 . 10 "V".
Como 22 Ñ Q e torna a desigualdade verdadeira,
então 22 Ñ S.
88
4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 88
12.12.08 13:46:55
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
e) 5x 8 12
(x 4)
5x 8 > 12 V 5x 8 8 > 12 8 V
1
1
V 5x > 20 V __ 5x > __ (20) V x > 4 V
5
5
V S {x Ñ Q | x > 4}
Como 4 Ñ Q e 4 . 4, então 4 Ñ S.
d) 12 x 8
12 x , 8 V 12 12 x , 8 12 V x , 4 V
V 1 (x) . 1 (4) V x . 4 V
V S {x Ñ Q | x . 4}
Como 7 Ñ Q e 7 . 4, então 7 Ñ S.
ou
ou
12 x , 8, para x 7 V 12 7 , 8 V 5 , 8 "V".
Como 7 Ñ Q e torna a desigualdade verdadeira,
então 7 Ñ S.
5x 8 > 12, para x 4 V 5 4 8 > 12 V
V 20 8 > 12 V 28 > 12 "V". Como 4 Ñ Q e
torna a desigualdade verdadeira, então 4 Ñ S.
f) 3 (2 3x) 15 (x 5)
3 (2 3x) < 15 V 6 9x < 15 V
V 6 6 9x < 15 6 V 9x < 9 V
4
O número 4 pertence ao conjunto solução de
6 (x 2) 5 (8 x) 3 (x 1) 2x 3?
Para x 4 V 6 (4 2) 5(8 4) . 3 (4 1)
243V6254.3383V
V 12 20 . 9 8 3 V 8 . 14 "F"
Logo, 4 não é solução da inequação.
5
Resolva as seguintes inequações, em U Q.
1
1
V __ (9x) > __ 9 V x > 1 V
9
9
V S {x Ñ Q | x > 1}
Como 5 Ñ Q, porém 5 , 1, então 5 É S.
ou
a) x 7 0
x 7 . 0 V x 7 7 . 0 7 V x . 7 V
3 (2 3x) < 15, se x 5 V 3 (2 3 (5)) < 15 V
V 3(2 15) < 15 V 3 (17) < 15 V 51 < 15 "F".
Como 5 Ñ Q porém torna a desigualdade falsa,
então 5 É S.
3
V S {x Ñ Q | x . 7}
b) 12 x 9
12 x > 9 V 12 12 x > 9 12 V x > 3 V
V 1 (x) < 1 (3) V x < 3 V
V S {x Ñ Q | x < 3}
O número 7 pertence ao conjunto solução de quais
inequações abaixo? Se U Q.
a) 3x 22
1
1
1
22
3x . 22 V __ 3x . __ 22 V x . ___ V x . 7__ V
3
3
3
3
1
V S x Ñ Q | x 7__
3
1
Como 7 Ñ Q, porém 7 , 7__, então 7 É S.
3
ou
c) 0 3 x
0 . 3 x V 0 x . 3 x x V x . 3 V
V S {x Ñ Q | x . 3}
3
2
d) 12 5 x
12 < 5 x V 12 5 < 5 5 x V 7 < x V
V x > 7 V S {x Ñ Q | x > 7}
3x . 22, para x 7 V 3 7 . 22 V 21 . 22 "F".
Como 7 Ñ Q torna a desigualdade falsa, então
7 É S.
e) 13 x x
13 x > x V 13 13 x x > x x 13 V
1
1
V 2x > 13 V __ (2x) < __ (13) V
2
2
13
13
V x < __ V S x Ñ Q | x < __
2
2
b) 4x 30
30
15
1
1
4x < 30 V __ 4x < __ 30 V x < ___ V x < ___ V
4
4
4
2
1
1
__
__
V x < 7 V S x Ñ Q| x < 7
2
2
1
__
Como 7 Ñ Q e 7 7 , então 7 Ñ S.
2
ou
4x < 30, para x 7 V 4 7 < 30 V 28 < 30 "V".
Como 7 Ñ Q e torna a desigualdade verdadeira,
então 7 Ñ S.
2
3
c) 5x 10 20
5x 10 . 20 V 5x 10 10 . 20 10 V
1
1 5x . __
30 V x . 6 V
V 5x . 30 V __
5
5
S {x Ñ Q | x . 6}
Como 7 Ñ Q e 7 . 6, então 7 Ñ S.
ou
Capítulo 6
2
3
f) x 5 14
x 5 , 14 V x 5 5 , 14 5 V
V x , 19 V 1 (x) . 1 19 V x . 19 V
V S {x Ñ Q | x . 19}
6
Resolva as seguintes inequações, em U Q.
a) 4x 12
1
1
4x . 12 V __ 4x . __ 12 V x . 3 V
4
4
V S {x Ñ Q | x . 3}
b) 2x 50
5x 10 . 20, para x 7 V 5 7 10 . 20 V
V 35 10 . 20 V 25 . 20 "V". Como 7 Ñ Q e
torna a desigualdade verdadeira, então 7 Ñ S.
1
1
2x , 50 V __ (2x) . __ 50 V x . 25 V
2
2
V S {x Ñ Q | x . 25}
89
3P_YY_M7_RA_C06_079A110.indd 89
08.12.08 14:22:26
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 6
6
36
c) ___x ___
5
10
6
36
10 36
10 6
___
___
x .
V ___ ___x . ___ ___ V x . 12 V
5
5
10
6 10
6
V S {x Ñ Q | x . 12}
d) 4x 40
1
1
4x , 40 V __ (4x) . __ (40) V x . 10 V
4
4
V S {x Ñ Q | x . 10}
e) 26 4x
1
1
26 > 4x V 4x < 26 V __(4x) > __ 26 V
4
4
13
13
V x > __ V S x Ñ Q | x > __
2
2
3
2
7
Determine o conjunto solução das seguintes
inequações, sendo U Z, depois verifique se há
algum número inteiro que é solução das quatro
inequações.
a) 5x 2 3
5x 2 , 3 V 5x 2 2 , 3 2 V 5x , 1 V
1
1
1
V __ 5x , __ 1 V x , __
5
5
5
1
Logo, S x Ñ Z | x , __ {... 3; 2; 1; 0}
5
b) 6x 12 18
3
2
6x 12 , 18 V 6x 12 12 , 18 12 V
1
1
V 6x , 30 V __ 6x , __ 30 V x , 5
6
6
Logo, S {x Ñ Z | x , 5} {... 3; 2; 1; 0; 1; 2;
3; 4}
c) 4x 9 9
4x 9 > 9 V 4x 9 9 > 9 9 V
0
1
1
V 4x > 0 V __ 4x > __ 0 V x > __ V x > 0
4
4
4
Logo, S {x Ñ Z | x > 0} N {0; 1; 2; 3; ...}
d) 40 3x 6
40 3x . 6 V 40 40 3x . 6 40 V
1
1
V 3x . 34 V __ (3x) , __ (34) V
3
3
34
1
V x , ___ V x , 11__
3
3
1
S x Ñ Z | x , 11__ {... 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3;
3
2
3
4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}
Há um único número inteiro que pertence aos
quatro conjuntos soluções: é o 0 (zero).
8
Determine o menor número inteiro que satisfaz a inequação 3x 2 (2 x) 1 x.
3x 2 (2 x) , 1 x V 3x 4 2x , 1 x V
V 5x 4 , 1 x V 5x x 4 4 , 1 x
1
1
x 4 V 4x , 3 V __ (4x) . __ (3) V
4
4
3
V x . __
4
3
x . __ Ñ Z {1; 2; 3; 4; 5; ...} o menor deles é o 1.
4
9
Determine o menor número natural que satisfaz a
inequação 2x 10 4x 2.
2x 10 . 4x 2 V 2x 4x 10 10 . 4x
1
1
4x 2 10 V 6x . 12 V __ 6x __ (12) V
6
6
V x . 2
x 2 Ñ N {0; 1; 2; 3; ...}; o menor deles é o
0 (zero).
10 Resolva em Q as inequações a seguir.
a) 3 (x 5) x 12
3 (x 5) , x 12 V 3x 15 , x 12 V
V 3x x 15 15 , x x 12 15 V 2x , 3 V
3
1
1
V __ 2x , __ (3) V x , __ V
2
2
2
3
V S x Ñ Q | x , __
2
b) 7 (x 3 ) 2x 3 (x 4)
7 (x 3) , 2x 3 (x 4) V 7x 21 , 2x
3x 12 V 7x 21 21 , 5x 12
21 V 7x 5x , 5x 5x 9 V 2x , 9 V
9
1
1
V __ 2x , __ 9 V x , __ V
2
2
2
9
V S x Ñ Q | x , __
2
c) 9 (x 6) 2 (x 5) 3 (10 x)
9 (x 6) 2 (x 5) , 3 (10 x) V 9x
54 2x 10 , 30 3x V 7x 64 , 30 3x V
V 7x 3x 64 64 , 30 3x 3x 64 V
1
1
V 10x , 34 V ___ 10x , ___ (34) V
10
10
34
17
17
V x , ___ V x , __ V S x Ñ Q | x , __
5
5
10
d) 3 (x 1) 2 (4 x) 9 x
3 (x 1) 2 (4 x) > 9 x V 3x 3 8
2x > 9 x V 5x 5 > 9 x V 5x 5 5
1
1
x > 9 5 x x V 6x > 4 V __ 6x > __ 4 V
6
6
4
2
2
V x . __ V x > __ V S x Ñ Q | x > __
6
3
3
e) 5 (x 1) 4 (x 2) 6 (x 1)
5 (x 1) 4(x 2) < 6(x 1) V 5x 5
4x 8 < 6x 6 V 9x 13 < 6x 6 V
V 9x 6x 13 13 < 6x 6x 6 13 V 3x < 7 V
1
7
7
1
V __ 3x < __ 7 V x < __ V S x Ñ Q | x < __
3
3
3
3
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
f) 2 (3x 4) x 2 2x 14
2 (3x 4) x 2 . 2x 14 V 6x 8
x 2 . 2x 14 V 7x 10 . 2x 14 V
V 7x 2x 10 10 . 2x 2x 14 10 V
1
1
24 V
V 5x . 24 V __ 5x . __ 24 V x . ___
5
5
5
24
V S x Ñ Q | x . ___
5
3
1
11
g) __ (x 4) __ (2 8x) __
2
2
2
3
11
1
4 6
__1 (x 4) __
(2 8x) . __ V __x __ __
2
2
2
2
2 2
1x 4 6 24x
11
24
11
___x . __ V 2 ________________ . 2 __ V
2
2
2
2
V x 4 6 24x . 11 V 25x 2 . 11 V
3
2
@
#
V 25x 2 2 . 11 2 V 25x . 13 V
13
1
1
V ___ 25x . ___ 13 V x . ___ V
25
25
25
13
V S x Ñ Q | x . ___
25
2
3
90
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08.12.08 14:22:26
Resolução de atividades Capítulo 6
11 As medidas dos lados de um retângulo, em centímetros, são expressas por (2x 1 3) e (x 2 1).
a) Escreva em seu caderno a expressão que representa o perímetro desse retângulo.
O perímetro desse retângulo é p 5 2 ? (2x 1 3) 1
1 2 ? (x 2 1).
b) Calcule qual deve ser o menor valor de x para que
o perímetro do retângulo seja no mínimo 34 cm.
Como p > 34 V 2 ? (2x 1 3) 1 2 ? (x 2 1) > 34 V
V 4x 1 6 1 2x 2 2 > 34 V 6x 1 4 > 34 V
V 6x 1 4 2 4 > 34 2 4 V 6x > 30 V
30
1
1
x>5
V __ ? 6x > __ ? 30 V x > ___ V
6
6
6
Logo, o menor valor possível para x é 5.
12 O carro de Pedro faz 9 quilômetros com um litro de
álcool. Com quantos litros, no mínimo, Pedro deverá abastecer seu carro para realizar uma viagem de
300 quilômetros?
Se o carro faz 9 quilômetros com 1L de álcool, com x
litros ele faz 9 ? x quilômetros.
Então, tem-se:
100
300
V
V
x . ____
x . 33,333... L
9x . 300 V x . ____
9
3
Portanto, para rodar 300 km ele gastará cerca de
33,3 L.
13 Um taxista cobra uma taxa fixa de RS
|| 3,00, chamada de bandeirada, mais RS
|| 1,50 a cada quilômetro
rodado.
V 5S 1 8S 1 8 000 1 4 980 < 20S V
V 13S 1 12 980 < 20S V 13S 2 20S 1
1 12 980 2 12 980 < 20S 2 20S 2 12 980 V
1
1
V 27S < 2 12 980 V 2 __ ? (27S) > 2 __ ? (212 980) V
7
7
V S > 1 854, 29
O salário deve ser, no mínimo, de RS|| 1 854,29.
133
Página Atividades para casa
15 Copie a tabela abaixo e preencha-a em seu caderno.
Inequação
1o membro
2o membro
40x 1 2 . 22
40x 1 2
22
3x 1 8 . 12 2 x
3x 1 8
12 2 x
4t > 4 ? (12 2 9t)
4t
4 ? (12 2 9t)
3y 1 2 ? (4 2 5y) < 0
3y 1 2 ? (4 2 5y)
0
16 Resolva as seguintes inequações, no conjunto universo dos racionais.
a) 2x 2 30 . 66
2x 2 30 . 66 V 2x 2 30 1 30 . 66 1 30
96
1
1
V 2x . 96 V __ ? 2x . __ ? 96 V x . ___ V
2
2
2
V x . 48 V S 5 {x Ñ Q | x . 48}
b) 12 2 8x , 39
12 2 8x , 39 V 12 2 12 2 8x , 39 2 12 V
1
27
1
V 28x , 27 V 2 __ ? (28x) . 2 __ ? 27 V x . 2 ___ V
8
8
8
27
___
V S 5 x Ñ Q | x . 2
8
c) 3 ? (5x 1 18) , 46
2
3
3(5x 1 18) , 46 V 15x 1 54 , 46 V
Qual é o menor número inteiro de quilômetros que
o taxista deverá percorrer para receber, no mínimo, um valor igual a RS
|| 50,00 numa corrida?
3 1 1,5 ? x > 50 V 3 2 3 1 1,5x > 50 2 3 V
1
47
1
V 1,5x > 47 V ___
? 1,5x > ___ ? 47 V x > ___ V
1,5
1,5
1,5
V x > 31,33...
Como x > 31,333... e x Ñ Z, o menor x possível é 32;
ou seja, o taxista deverá percorrer 32 km.
14 Felícia quer arrumar um emprego tal que, com o
1
salário que receber, possa gastar __ com alimenta4
2
ção, __
com aluguel e 400 reais com roupas e lazer,
5
de modo a sobrar, no mínimo, 249 reais. Para tudo
isso, quanto deve ser, no mínimo, o salário de Felícia?
1
Seja S o salário V gasto com alimentação 5 __ S;
4
2
__
gasto com aluguel 5 S
5
2
1
__
__
1 S 1 400 1 249 < S V (mmc 5 20) V
Assim, S
4
5
V 15x 1 54 2 54 , 46 2 54 V 15x , 28 V
8
1
1
15 x , ___ ?
(28) V x , 2 ___ V
V ___ ?
15
15
15
8
V S 5 x Ñ Q | x , 2 ___
15
d) 8x 2 14 . 230
2
3
8x 2 14 . 230 V 8x 2 14 1 14 . 230 1 14 V
1
1
8x . __ ?
(216) V x . 22 V
V 8x . 216 V __ ?
8
8
V S 5 {x Ñ Q | x . 22}
e) 9x 1 120 , 26
9x 1 120 , 26 V 9x 1 120 2 120 , 26 2 120 V
126
1
1
9x , __ ?
(2126) V x , 2 ____ V
9x , 2126 V __ ?
9
9
9
V x , 214 V S 5 {x Ñ Q | x , 214}
f) 6 . 12 ? (3x 2 20)
6 . 12(3x 2 20) V 6 . 36x 2 240 V
V 6 2 6 2 36x . 36x 2 36x 2 240 2 6 V
1
1
V 236x . 2246 V 2 ___ ? (236x) , 2 ___ ? (2246) V
36
36
246
41
41
V x , ____ V
x , ___ V
S 5 x Ñ Q | x , ___
36
6
6
2
3
91
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 6
17 Resolva, sendo U N, as seguintes inequações.
2 3
a) x __ __
3 4
3
2
x __ . __ V (mmc 12) V 12x 8 . 9 V
4
3
V 12x 8 8 . 9 8 V 12x . 1 V
1
1
1
V __ 12x ___ 1 V x . __ V
12
12
12
3
2
1
V S x Ñ N | x . __ {1; 2; 3; 4;...}
12
b) 8 x 1
8 < x 1 V 8 8 x < x x 8 1 V
V x < 7 V 1 (x) > 1 (7) V x > 7 V
V S {x Ñ N | x > 7} {7; 8; 9; 10;...}
c) 19 11 x
19 > 11 x V 19 19 x > 11 19 x x V
V x > 8 V S {x Ñ N | x > 8} N
d) 4 x 5 x
4 x , 5 x V 4 4 x x , 5 4
1
1
x x V 2x , 1 V __ (2x) . __ 1 V
2
2
1
1
V x . __ V S x Ñ N | x . __ N
2
2
2
3
18 Determine o maior número inteiro que satisfaz a inequação 3(x 4) 12(x 1) 30.
3(x 4) 12(x 1) , 30 V 3x 12
12x 12 , 30 V 15x 24 , 30 V 15x 24
1
1
24 , 30 24 V 15x , 54 V ___ 15x , ___ 54 V
15
15
54
18
3
V x , ___ V x , ___ V x , 3__
5
15
5
3
Como x , 3__ e x Ñ Z, o maior valor inteiro que x
5
pode assumir é 3.
19 Quantos números inteiros satisfazem simultaneamente as inequações 3x 4 2 e 5 x x 7?
3x 4 < 2 V 3x 4 4 < 2 4 V 3x < 6 V
1
1
V __ 3x < __ 6 V x < 2 V S1 {x Ñ Z | x < 2}; isto é,
3
3
S1 {... 3; 2; 1; 0; 1; 2}
5x<x7V55xx<xx75V
1
1
V 2x < 2 V __ (2x) > __ 2 V x > 1 V
2
2
800 100x . 1 000 80x V 800 800
100x 80x . 1 000 800 80x 80x V
1
1
V 20x . 200 V ___ 20x . ___ 200 V x . 10
20
20
Logo, serão necessários 10 meses.
21 Para obter lucro, uma fábrica deve produzir x peças por dia, de modo que seja satisfeita a desigualdade 4x 1 200 162 2x. Quantas peças a fábrica deverá produzir diariamente para ter lucro?
4x 1 200 > 162 2x V 4x 2x 1 200
1 200 > 162 2x 2x 1 200 V 6x > 1 362 V
1
1
V __ 6x > __ 1 362 V x > 227
6
6
A fábrica deverá produzir, no mínimo, 227 peças.
22 No dia primeiro de janeiro, Pedro e Beto têm guardado em seus cofrinhos 500 e 700 reais, respectivamente. Se, a partir do dia primeiro de cada mês
subsequente, Pedro depositar 20 reais em seu cofrinho e Beto retirar 20 reais de seu cofrinho, em
quantos meses o total acumulado por Pedro ultrapassará o montante de Beto?
Seja x a quantidade de meses procurada.
500 20x . 700 20x V 500 500 20x
20x . 700 500 20x 20x V 40x . 200 V
1
1
V ___ 40x . ___ 200 V x . 5
40
40
Logo, a quantia acumulada por Pedro será maior
que o montante de Beto daqui a 5 meses.
23 A empresa de telefonia A cobra, por mês, uma
assinatura de RS
|| 52,00 mais RS
|| 0,40 por minuto utilizado. A empresa de telefonia B cobra, por
mês, uma assinatura de RS|| 40,00 mais RS|| 0,50
por minuto utilizado. A partir de quantos minutos
de utilização o plano da empresa A passa a ser
mais vantajoso para os clientes do que o plano da
empresa B, ou seja, a partir de quantos minutos o
cliente pagará um valor menor no plano A do que o
valor no plano B?
empresa A " 52 0,40x
empresa B " 40 0,50x,
em que x é a quantidade de minutos procurada V
V 52 0,40x , 40 0,50x V 52 52
Temos:
V S2 {x Ñ Z | x > 1} V S2 {1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}
Comparando S1 e S2, os elementos comuns são {1;
0; 1; 2}, ou seja, 4 números inteiros satisfazem simultaneamente as 2 inequações.
0,40x 0,50x , 40 52 0,50x 0,50x V
1
1
V 0,10x , 12 V ____ (0,10x) . ____ (12) V
0,10
0,10
12
V x . ____ V x . 120
0,10
Logo, a empresa A passa a ser mais vantajosa a partir de 120 min.
20 Duas fábricas de bonecas A e B produzem respectivamente 1 000 e 800 bonecas por mês. A partir de
um certo mês, a fábrica A vai aumentar sucessivamente a produção em 80 bonecas por mês e a fábrica B vai aumentar sucessivamente a produção em
100 bonecas por mês.
Em quantos meses a produção da fábrica B superará a produção da fábrica A?
24 Na escola de Artur, a média final para aprovação
em matemática é 5. Se a média final é a média aritmética dos 4 bimestres, e Artur tirou notas 3, 4 e
6 nos três primeiros bimestres, quais notas ele deverá tirar no último bimestre para ser aprovado?
Seja x a nota do último bimestre V
Seja x a quantidade de meses procurada.
346x
13 x
V Média _____________ 5 V ______ > 5 V
4
4
92
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
V (mmc 4) V 13 x > 20 V 13 13 x > 20 13 V
V x > 7. Artur deverá tirar, no mínimo, nota 7; isto é,
7 < x < 10.
PÁGINA
2
2 xx yy 1115 " yx 132
x y 28
b) 2
x y 22
x y 28
2 x y 22 " yx 253
x y 36
c) 2
x y 15
x y 36 x 25,5
2 x y 15 " y 10,5
1
4 000 , x __x , 5 000 V (mmc 3) V
3
V 12 000 3x x , 15 000 V 12 000 , 2x , 15 000 V
1
1
1
V __ 12 000 , __ 2x , __ 15 000 V
2
2
2
V 6 000 , x , 7 500
Logo, o salário original é superior a RS|| 6 000,00, porém inferior a RS|| 7 500,00.
PÁGINA
1
134
Boxe Desafio
3
c massa do cubo.
b massa da bola.
4c 3b 13 (I)
4c 3b 10 3
V
3c 4b 12 3
3c 4b 15 (II)
13 3b
de (I): 4c 3b 13 V 4c 13 3b V c _______
4
(13
3b)
_________
em (II): 3c 4b 15 V 3
4b 15 V
4
V 39 9b 16b 60 V 7b 21 V b 3 kg
13 9
13 3b
Substituindo em (I): c _______ V c ______ V
4
4
V c 1 kg
2
2
Represente em seu caderno cada uma das seguintes situações por uma equação.
a) A soma de um número x com um número y é
igual a 45.
x y 45
2
Dentre as equações dadas abaixo, identifique
aquelas que são do 1o grau com duas incógnitas.
a) x y2 z
Do 2o grau, com 3 incógnitas.
b) x2 x 1 0
Do 2o grau, com 1 incógnita.
c) 2x y 3
Do 1o grau, com 2 incógnitas.
d) x 5y 1 0
Do 1o grau, com 2 incógnitas.
3
Verifique quais dos pares ordenados abaixo é solução da equação 3x y 1.
a) (4; 5)
(4; 5) V x 4 e y 5 V 3 4 5 1 V
V 17 1 "F"
Logo, (4; 5) não é solução dessa equação.
10
12
Atividades para classe
c) Antonio tem x DVDs e Paula, y DVDs. A soma da
quantidade de DVDs de Paula com o triplo da de
Antonio é igual a 12.
y 3x 12
Em uma balança cujos pratos estão equilibrados, calcule a massa, em kg, de cada cubo e de cada bola.
3
138
b) A diferença entre o preço y de uma caneta e o
preço z de um caderno é igual a dois reais.
yz2
Módulo 5: Sistema de duas equações do 1o grau
com duas incógnitas
PÁGINA
Boxe Cálculo mental
Determine mentalmente os valores de x e de y que
são soluções dos sistemas abaixo.
x y 15
a)
x y 11
25 O pagamento do salário de Osvaldo no último mês
de abril veio com um abono de um terço do salário. Calcule entre quais valores está o salário original de Osvaldo, sabendo que a quantia que ele
recebeu foi maior que RS|| 4 000,00 e menor que
RS|| 5 000,00.
26 Carlos vai comprar um terreno retangular para
construir sua casa. Se ele quer um terreno de no
mínimo 330 m2 com uma frente de 15 m de comprimento, a partir de qual largura ele pode comprar o
terreno?
comprimento largura área V c l A V
V como o terreno deverá ter, no mínimo, 330 m2,
1
1
15 l > 330 V ___ 15 l > ___ 330 V l > 22
15
15
O terreno deverá ter, no mínimo, 22 m de largura.
137
Capítulo 6
b) (1; 2)
(1; 2) V x 1 e y 2 V 3 1 (2) 1 V
V 3 2 1 V 1 1 "V"
Logo, (1; 2) é solução dessa equação.
c) (1; 0)
(1; 0) V x 1 e y 0 V 3 1 0 1 V
V 3 1 "F"
Logo, (1; 0) não é solução dessa equação.
93
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08.12.08 14:22:28
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 6
d) (5; 1)
(5; 1) V x 5 e y 1 V 3 5 (1) 1 V
V 15 1 1 V 14 1 "F"
Logo, (5; 1) não é solução dessa equação.
Assim, temos
Substituindo A 10 M na 2a equação, temos:
4(10 M) 2M 34 V 40 4M 2M 34 V
V 2M 6 V M 3
Substituindo M 3 em A 10 M, temos:
A 10 3 V A 7
Logo, são 7 automóveis e 3 motos.
e) (0; 1)
(0; 1) V x 0 e y 1 V 3 0 1 1 V
V 1 1 "V"
Logo, (0; 1) é solução dessa equação.
f) (3; 0)
(3; 0) V x 3 e y 0 V 3 3 0 1 V
V 9 1 "F"
Logo, (3; 0) não é solução dessa equação.
4
5
2 x3xyy210
b)
c)
d)
2 x2xy 3y 6 15
(2; 2) não é solução, pois
2 22 2236 2 15
(2; 2) não é solução, pois
2 22 2224 7
2 2xx y y47
2 5xx y y012
(2; 2) é solução, pois
e)
f)
2 32 2222 10
2 2x3x 4y5y 116
Na banca de João, 2 abacates e 3 peras custam
RS|| 7,00. João diz que 3 abacates e 1 pera também
custam RS|| 7,00.
Quanto custa um abacate? E uma pera?
Sejam: a a quantidade de abacates e p a de peras V
2a 3p 7
V
3a 1p 7 V p 7 3a
2
Substituindo p 7 3a na 1a equação:
2a 3(7 3a) 7 V 2a 21 9a 7 V
V 7a 14 V a 2
Cada abacate custa RS|| 2,00.
Substituindo a 2 em p 7 3a V p 7 3 2 V
Vp1
Cada pera custa RS|| 1,00.
Verifique se o par ordenado (2; 2) é solução dos
sistemas de equações a seguir.
(2; 2) não é solução, pois
6
8
Determine em seu caderno o valor de x para que o
par ordenado (x; 5) seja solução da equação 2x
y 35.
(x; 5) é solução V y = 5 e 2x y 35 V
V 2x 5 35 V 2x 30 V x 15
a)
9
Resolva os sistemas de equações a seguir, utilizando o método da substituição.
a)
2 23 22 45 22 116
(2; 2) não é solução, pois
2
2 2x4x y5y310
b)
2
7
Em um estacionamento há automóveis e motos, de
modo que no total há 10 veículos e 34 rodas.
Quantos automóveis e quantas motos há nesse estacionamento?
A M 10, em que A é a quantidade de automóveis
e M a quantidade de motos.
Cada automóvel tem 4 rodas e cada moto tem duas
rodas V 4A 2M 34.
2 x3x 2y y 20
2 x3x 2y y 20
Substituindo a 1a equação na 2a equação:
3(2y) y 20 V 6y y 20 V
V 5y 20 V y 4
Substituindo y 4 na 1a equação:
x 2 (4) V x 8
S {(8; 4)}
2223
4 2 5 2 10
Determine em seu caderno dois números naturais
cuja soma é igual a 102 e cuja diferença é igual a 26.
x y 102
Sejam x e y esses números V
x y 26
2x 128 V x 64
Substituindo x 64 na 1a equação, temos:
64 y 102 V y 38
2 x3xyy1014
2 3xx yy1014 V y 14 3x
Substituindo y 14 3x na 1a equação:
x (14 3x) 10 V 2x 4 V x 2
Substituindo x 2 em y 14 3x:
y 14 3 2 V y 8
S {(2; 8)}
2 25 2220 12
(2; 2) não é solução, pois
A M 10 V A 10 M
2 4A
2M 34
c)
2 2x3x y3y21
2 2x3x y3y21 V y 2 3x
Substituindo y 2 3x na 1a equação:
2x 3 (2 3x) 1 V 2x 6 9x 1 V
V 7x 7 V x 1
Substituindo x 1 em y 2 3x:
y 2 3(1) V y 1
S {(1; 1)}
94
3P_YY_M7_RA_C06_079A110.indd 94
08.12.08 14:22:29
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
d)
2 3xx 2y4y511
2 3xx 2y4y511V x 5 2y
Substituindo x 5 2y na 2a equação:
3(5 2y) 4y 11 V 15 6y 4y 11 V
V 2y 4 V y 2
Substituindo y 2 em x 5 2y:
x522Vx1
S {(1; 2)}
10 Resolva os sistemas de equações a seguir, utilizando o método da comparação.
5x y 17
a)
4x y 14
2
2 5x4x yy 1714 VV yy 1714 5x4x V
V Comparando as duas equações V
V 17 5x 14 4x V x 3 V x 3
Substituindo x 3 na 1a equação:
5 3 y 17 V y 17 15 V y 2
S {(3; 2)}
3x y 2
b)
x y 6
3x y 2 V y 2 3x
V
x y 6 V y 6 x
V Comparando as duas equações V
V 2 3x 6 x V 4x 8 V x 2
Substituindo x 2 em y 6 x:
y62Vy4
S {(2; 4)}
4x y 22
c)
3x y 17
4x y 22 V 4x 22 y
V
3x y 17 V 3x 17 y
V Comparando as duas equações V
V 4x 22 3x 17 V x 5
Substituindo x 5 em 3x 17 y:
3 5 17 y V 2 y
S {(5; 2)}
4x y 11
d)
2x 3y 13
2
2
2
2
V Comparando as duas equações V
1 5y
V 3y ______ V (mmc 2) V 6y 1 5y V
2
V y 1 V y 1
Substituindo y 1 em x 3y:
x 3 (1) V x 3
S {(3; 1)}
3x 5y 1
f)
5x 2y 11
1 5y
3x 5y 1 V x ________
3
V
11 2y
5x 2y 11 V x _______
5
V Comparando as duas equações V
2
2
1 5y 11 2y
V ________ _______ V (mmc 15) V
5
3
V 5(1 5y) 3(11 2y) V
V 5 25y 33 6y V 19y 38 V y 2
11 2y
Substituindo y 2 em x _______ :
5
11 2(2)
15
11 4
__________
______
x
Vx
V x ___ V x 3 V
5
5
5
S {(3; 2)}
11 Resolva os sistemas de equações a seguir, utilizando o método da adição.
4x y 10
a)
5x y 17
2
2 5x4x yy 1710
27
V x ___ V x 3
9
Substituindo x 3 na 1a equação: 4 3 y
10 V y 10 12 V y 2 V S {(3; 2)}
9x
b)
2
24
V x ___ V x 2
12
Substituindo x 2 na 2a equação: 5 2 2y
12 V 2y 12 10 V 2y 2 V y 1 V
V S {(2; 1)}
c)
2
2
x 3y 0 V x 3y
V
1 5y
2x 5y 1 V x ______
2
2 4x3x y3y2018
( 3)
V
2 9x4x 3y3y 60
18
78
13x 78 V x ___ V
13
Vx6
Substituindo x 6 na 1a equação V 3 6 y
20 V y 20 18 V y 2 V S {(6; 2)}
Substituindo x 2 em y 11 4x:
x 3y 0
e)
2x 5y 1
24
2 4x3x y3y2018
V 33 12x 13 2x V 10x 20 V x 2
y 11 4 2 V y 5 3
S {(2; 3)}
27
2 5x7x 2y2y 1212
2 5x7x 2y2y 1212
12x
2
4x y 11 V y 11 4x
V
13 2x
2x 3y 13 V y _______
3
V Comparando as duas equações V
13 2x
V 11 4x _______ V (mmc 3) V
3
Capítulo 6
d)
2 8x4x5yy 111
y 11
2 4x
8x 5y 1
( 2)
V
2 8x8x 5y2y 122
7y 21 V y 3
Substituindo y 3 na 2a equação: 8x 5 3
1 V 8x 1 15 V 8x 16 V x 2 V
V S {(2; 3)}
95
3P_YY_M7_RA_C06_079A110.indd 95
08.12.08 14:22:30
Resolução de atividades Capítulo 6
2
3x 2 2y 5 2 (? 3)
9x 2 6y 5 6
2
V 2
1
8x 1 6y 5 62
4x 1 3y 5 31 (? 2)
3x 2 2y 5 2
e)
4x 1 3y 5 31
17x 5 68 V x 5 4
Substituindo x 5 4 na 1a equação: 3 ? 4 2 2y 5
5 2 V 22y 5 2 2 12 V 22y 5 210 V y 5 5 V
V S 5 {(4; 5)}
4x 1 5y 5 7
f)
2x 1 3y 5 3
2
2
2
4x 1 5y 5 7
4x 1 5y
5 7
V
1
24x 2 6y 5 26
2x 1 3y 5 3 (? 22)
2y 5 1 V y 5 21
a
Substituindo y 5 21 na 1 equação: 4x 1 5 ? (21) 5
5 7 V 4x 2 5 5 7 V 4x 5 12 V x 5 3 V
V S 5 {(3; 21)}
12 Em uma sala de aula há 40 estudantes. Se dobrar
a quantidade de meninos e subtrair dessa quantidade 11, o resultado será igual à quantidade de
meninas.
Quantos meninos e quantas meninas há nessa sala
de aula?
Sejam a e o as quantidades de meninas e meninos,
respectivamente.
a 1 o 5 40
Assim,
2 ? o 2 11 5 a V a 5 2o 2 11
Substituindo a 5 2o 2 11 na 1a equação: 2o 2 11 1
1 o 5 40 V 3o 5 40 1 11 V 3o 5 51 V o 5 17
Substituindo o 5 17 em a 5 2o 2 11 V
V a 5 2 ? 17 2 11 V a 5 34 2 11 V a 5 23.
São 23 meninas e 17 meninos.
2
139
Página Atividades para casa
13 Verifique se o par ordenado (24; 1) é solução do
5x 1 y 5 0
sistema x2y52
2
2
5x 1 y 5 0
x2y52
Substituindo x 5 24 e y 5 1 na primeira equação:
5 ? (24) 1 1 5 220 1 1 5 2 19 0
Logo, (24; 1) não é solução do sistema.
14 Resolva os sistemas de equações a seguir, utilizando o método da substituição.
2
4x 2 3y 5 26
2
x1y59Vx592y
4x 2 3y 5 26
a)
x1y59
Substituindo x 5 9 2 y na 1a equação:
4(9 2 y) 2 3y 5 26 V 36 2 4y 2 3y 5 26 V
V 27y 5 242 V y 5 6
Substituindo y 5 6 em x 5 9 2 y:
x 5 9 2 6 V x 5 3 V S 5 {(3; 6)}
2
2
5x 1 y 5 38
b) 4x 1 2y 5 34
5x 1 y 5 38 V y 5 38 2 5x
4x 1 2y 5 34
Substituindo y 5 38 2 5x na 2a equação: 4x 1
1 2(38 2 5x) 5 34 V 4x 1 76 2 10x 5 34 V
V 26x 5 242 V x 5 7
Substituindo x 5 7 em y 5 38 2 5x:
y 5 38 2 5 ? 7 V y 5 38 2 35 V y 5 3 V
V S 5 {(7; 3)}
2
x 1 2y 5 6 V x 5 6 2 2y
2 3x 2 y 5 11
x 1 2y 5 6
c) 3x 2 y 5 11
Substituindo x 5 6 2 2y na 2a equação:
3(6 2 2y) 2 y 5 11 V 18 2 6y 2 y 5 11 V
V 27y 5 27 V y 5 1
Substituindo y 5 1 em x 5 6 2 2y V x 5 6 2 2 ? 1 V
V x 5 4 V S 5 {(4; 1)}
2
3x 1 2y 5 5
2 5x 1 y 5 21 V y 5 21 2 5x
3x 1 2y 5 5
d) 5x 1 y 5 21
Substituindo y 5 21 2 5x na 1a equação:
3x 1 2(21 2 5x) 5 5 V 3x 2 2 2 10x 5 5 V
V 27x 5 7 V x 5 21
Substituindo x 5 21 em y 5 21 2 5x :
: y 5 21 25 ? (21) V y 5 21 1 5 V y 5 4
S 5 {(21; 4)}
2
2x 2 y 5 14 V 2x 2 14 5 y
2 3x 1 2y 5 14
2x 2 y 5 14
e) 3x 1 2y 5 14
Substituindo y 5 2x 2 14 na 2a equação:
3x 1 2 (2x 2 14) 5 14 V 3x 1 4x 2 28 5 14 V
V 7x 5 42 V x 5 6
Substituindo x 5 6 em y 5 2x 2 14 V y 5 2 ? 6 2 14 V
V y 5 22
S 5 {(6; 22)}
2
x1y57Vx572y
2 2x 1 3y 5 16
x1y57
f) 2x 1 3y 5 16
Substituindo x 5 7 2 y na 2a equação: 2 (7 2 y) 1
1 3y 5 16 V 14 2 2y 1 3y 5 16 V y 5 16 2 14 V
Vy52
Substituindo y 5 2 em x 5 7 2 y:
x5722Vx55
S 5 {(5; 2)}
15 Resolva os sistemas de equações a seguir, utilizando o método da comparação.
x 1 y 5 312
a) x 2 y 5 20
x 1 y 5 312 V x 5 312 2 y
V
x 2 y 5 20 V x 5 20 1 y
2
2
96
4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 96
12.12.08 16:36:24
Resolução de atividades Capítulo 6
2
4x 1 y 5 23
f)
x 1 2y 5 4
4x 1 y 5 23 V y 5 23 2 4x
V
42x
x 1 2y 5 4 V y 5 ______
2
V Comparando as duas equações:
42x
V 23 2 4x 5 ______
(mmc 5 2) V
V
2
V 46 2 8x 5 4 2 x V 27x 5 242 V x 5 6
Substituindo x 5 6 em y 5 23 2 4x:
y 5 23 2 4 ? 6 V y 5 21 V S 5 {(6; 21)}
V Comparando as duas equações:
V 20 1 y 5 312 2 y V 2y 5 292 V y 5 146
Substituindo y 5 146 em x 5 20 1 y:
x 5 20 1 146 V x 5 166 V S 5 {(166; 146)}
2
2
x 1 5y 5 47
b)
3x 1 2y 5 50
2
x 1 5y 5 47 V x 5 47 2 5y
V
50 2 2y
3x 1 2y 5 50 V x 5 ________
3
V Comparando as duas equações:
50 2 2y
(mmc 5 3) V 141 2 15y 5
V
V 47 2 5y 5 ________
3
5 50 2 2y V 2 13y 5 50 2 141 V 213y 5 291 V
Vy57
Substituindo y 5 7 em x 5 47 2 5y:
x 5 47 2 5 ? 7 V x 5 47 2 35 V x 5 12 V
V S 5 {(12; 7)}
16 Resolva os sistemas de equações a seguir, utilizando o método da adição.
2x 1 5y 5 16
a) 3x 2 5y 5 21
2x 1 5y 5 16
1
3x 2 5y 5 21
2
2
5x 5 15 V x 5 3
Substituindo x 5 3 na 1a equação: 2 ? 3 1 5y 5
5 16 V 5y 5 10 V y 5 2 V S 5 {(3; 2)}
4x 2 3y 5 13
b)
5x 1 3y 5 77
4x 2 3y 5 13
1
5x 1 3y 5 77
2
5x 1 2y 5 21
c) 4x 1 3y 5 9
2
2
2
21 25x
5x 1 2y 5 21 V y 5 _______
2 V
9 2 4x
4x 1 3y 5 9 V y 5 _______
3
V Comparando as duas equações:
9x 5 90 V x 5 10
Substituindo x 5 10 na 2a equação: 5 ? 10 1 3y 5
5 77 V 3y 5 27 V y 5 9 V S 5 {(10; 9)}
3x 1 2y 5 67
c)
4x 2 3y 5 27
3x 1 2y 5 67 (? 3)
9x 1 6y 5 201
V
1
8x 2 6y 5 214
4x 2 3y 5 27 (? 2)
9 2 4x
21 2 5x _______
5
V
(mmc 5 6) V 3(21 2 5x) 5
V ________
2
3
5 2(9 2 4x) V 23 2 15x 5 18 2 8x V 27x 5 21 V
V x 5 23
2
2
21 2 5x
:
Substituindo x 5 23 em y 5 ________
2
17x 5 187 V x 5 11
Substituindo x 5 1 na 1a equação: 3 ? 11 1 2y 5 67 V
V 2y 5 34 V y 5 17 V S 5 {(11; 17)}
6x 1 3y 5 18
d)
5x 2 2y 5 51
6x 1 3y 5 18 (? 2)
12x 1 6y 5 36
V
1
15x 2 6y 5 153
5x 2 2y 5 51 (? 3)
21 2 5(23)
21 1 15
14
y 5 ___________
V
V
y 5 ________
y 5 ___ V y 5 7 V
2
2
2
V S 5 {(23; 7)}
2
2
2
6x 1 5y 5 8
d)
x1y51
2
8 2 5y
6x 1 5y 5 8 V x 5 _______
6
V
x1y51Vx512y
V Comparando as duas equações
8 2 5y
5
1 2 y V (mmc 5 6) V
_______
6
V 8 2 5y 5 6 2 6y V y 5 22
Substituindo y 5 22 em x 5 1 2 y:
x 5 1 2 (22) V x 5 3 V S 5 {(3; 22)}
2
3x 1 4y 5 19
e)
x 1 2y 5 7
2
19 2 4y
3x 1 4y 5 19 V x 5 ________
3
V
x 1 2y 5 7 V x 5 7 2 2y
V Comparando as duas equações:
19 2 4y
5
7 2 2y V (mmc 5 3) V
V ________
3
V 19 2 4y 5 21 2 6y V 2y 5 2 V y 5 1
Substituindo y 5 1 em x 5 7 2 2y:
x 5 7 2 2 ? 1 V x 5 5 V S 5 {(5; 1)}
2
2
27x
5 189 V x 5 7
Substituindo x 5 7 na 2a equação: 5 ? 7 2 2y 5
5 51 V 22y 5 16 V y 5 28 V S 5 {(7; 28)}
3x 1 7y 5 2
e)
4x 1 3y 5 28
3x 1 7y 5 2 (? 23)
29x 2 21y 5 26
V
1
28x 1 21y 5 196
4x 1 3y 5 28 (? 7)
2
2
2
19x 5 190 V x 5 10
Substituindo x 5 10 na 1a equação: 3 ? 10 1 7y 5
5 2 V 7y 5 228 V y 5 24 V S 5 {(10; 24)}
2x 1 9y 5 7
f)
5x 1 7y 5 64
2x 1 9y 5 7 (? 5)
V
5x 1 7y 5 64 (?22)
10x 1 45y 5 35
1
V 210x 2 14y 5 2128
2
2
2
31y 5 293 V y 5 23
Substituindo y 5 23 na 1a equação: 2x 1 9 ? (23) 5
5 7 V 2x 5 7 1 27 V 2x 5 34 V x 5 17 V
V S 5 {(17; 23)}
97
4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 97
12.12.08 14:21:55
Resolução de atividades Capítulo 6
17 Determine em seu caderno os valores de x e y nos
retângulos a seguir.
a)
3x � y
4
c 5 quantidade de coelhos (4 patas cada)
g 5 quantidade de galinhas (2 patas cada)
c 1 g 5 77 V c 5 77 2 g
4c 1 2g 5 206
2
2x � 3y
17
2
2
3x 1 y 5 17 (? 3)
9x 1 3y 5 51
1
V
2x 2 3y 5 4
2x 2 3y 5 4
11x
5 55 V x 5 5
Substituindo c 5 77 2 g na 2a equação: 4(77 2 g) 1
12g 5 206 V 308 2 4g 1 2g 5 206 V
V 22g 5 2102 V g 5 51
Substituindo g 5 51 em c 5 77 2 g: c 5 77 2 51 V
V c 5 26
São 51 galinhas e 26 coelhos.
a
Substituindo x 5 5 na 1 equação: 3 ? 5 1 y 5
5 17 V y 5 17 2 15 V y 5 2 V S 5 {(5; 2)}
b)
x�6
x
y�2
2y
20 Em um quintal há coelhos e galinhas, num total de
77 animais e 206 patas. Quantos são os coelhos e
quantas são as galinhas?
1 6 5 2y
2 xx 5y22
Substituindo a 2a equação na 1a:
y 2 2 1 6 5 2y V 2y 5 24 V y 5 4
Substituindo y 5 4 na 2a equação:
x 5 4 2 2 V x 5 2 V S 5 {(2; 4)}
18 Em uma prova composta de 50 testes, cada teste respondido corretamente recebe 5 pontos e
cada teste respondido incorretamente recebe
22 pontos. Um estudante fez essa prova e obteve 110 pontos. Calcule quantos testes esse estudante respondeu corretamente.
c 1 e 5 50 em que c 5 resposta certa e e 5
resposta errada
2
c 1 e 5 50 V e 5 50 2 c
V 5 ? c 1 (22) ? e 5 110 V 5c 2 2e 5 110
Substituindo e 5 50 2 c em 5c 2 2e 5 110 V
V 5c 2 2(50 2 c) 5 110 V 5c 2 100 1 2c 5 110 V
V 7c 5 210 V c 5 30
Logo, ele respondeu corretamente 30 testes.
19 Mariana vendeu sua coleção de 92 revistas.
Algumas foram vendidas por RS
|| 12,00 e outras
por RS
|| 8,00. No total, ela arrecadou a quantia de
RS
|| 896,00. Quantas revistas de RS
|| 12,00 Mariana
conseguiu vender?
Seja x a quantidade de revistas que Mariana vendeu
por RS
|| 12,00 cada e y a que ela vendeu por RS|| 8,00
cada.
x 1 y 5 92 V y 5 92 2 x
Assim,
12 ? x 1 8 ? y 5 896
2
Substituindo y 5 92 2 x na 2a equação:
12x 1 8(92 2 x) 5 896 V 12x 1 736 2 8x 5 896 V
V 4x 5 160 V x 5 40
Ela vendeu 40 revistas por RS|| 12,00 cada.
21 Determine a idade de duas pessoas, sabendo que há
10 anos a idade de uma delas era equivalente a 4 vezes a idade da outra, e dentro de 20 anos a idade da
primeira será apenas o dobro da idade da segunda.
Sejam x e y as idades, hoje V
2
2
x 2 10 5 4(y 2 10)
x 2 10 5 4y 2 40
V
V
V x 1 20 5 2y 1 40
x 1 20 5 2(y 1 20)
2
2
2x 1 4y 5 30
x 2 4y 5 230 (?21)
V
1
V x 2 2y 5 20
x 2 2y 5 20
2y5 50 Vy525
Substituindo y 5 25 em x 2 2y 5 20: x 2 2 ? 25 5 20 V
V x 5 20 1 50 V x 5 70
As idades são 25 anos e 70 anos.
22 A largura de um retângulo, cujo perímetro é igual a
2
56 m, corresponde a __ do comprimento. Determi5
ne em seu caderno as dimensões desse retângulo.
2
Sendo c 5 comprimento e l 5 largura V
2c 1 2l 5 56
V
2
l 5 __ c
5
2c
56 V
Substituindo a 2a equação na 1a: 2c 1 2 ? ___ 5
5
4c
___
56 V (mmc 5 5) V 10c 1 4c 5 280 V
2c 1 5
5
V 14c 5 280 V c 5 20
2
2
Substituindo c 5 20 em l 5 __ ? c: l 5 __ ? 20 V l 5 8
5
5
Logo, o retângulo tem 20 m de comprimento e 8 m de largura.
23 A diferença entre as dimensões de um retângulo
é igual a 2 cm. Aumentando 2 cm cada lado desse
retângulo, o perímetro fica valendo 24 cm. Qual é
a medida dos lados desse retângulo?
Sendo c 5 comprimento e l 5 largura V
c2l52
V
2 (c 1 2) 1 2(l 1 2) 5 24
a
Da 1 equação: c 5 2 1 l
Substituindo c 5 2 1 l na 2a equação: 2(2 1 l 1 2) 1
12(l 1 2) 5 24 V 2(4 1 l) 1 2(l 1 2) 5 24 V
V 8 1 2l 1 2l 1 4 5 24 V 4l 5 24 2 12 V 4l 5 12 V
Vl53
Substituindo l 5 3 em c 5 2 1 l: c 5 2 1 3 V c 5 5
Logo, o retângulo tem 5 cm de comprimento e 3 cm
de largura.
2
98
4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 98
12.12.08 14:21:55
Resolução de atividades Capítulo 6
24 A soma dos dois algarismos de um número é 8. Adicionando 18 unidades a esse número, o resultado é formado pelos
mesmos algarismos em ordem inversa. Determine o número.
Sejam a o 1o algarismo do número, e b o 2o.
2
2
2
a 1 b 5 8 (I)
a1b58
a 1 b 5 8 1
V
V
10a 1 b 1 18 5 10b 1 a (II)
9a 2 9b 5 218
a 2 b 5 22
Substituindo em (I) V 3 1 b 5 8 V b 5 5
O número é 35.
2a 5 6 V a 5 3
25 Um comerciante verificou que, se vendesse 25 caixas de bombons por dia durante x dias, o estoque duraria 2 dias a
mais do que se vendesse 30 caixas por dia durante y dias.
Determine quantas caixas de bombons esse comerciante tinha no estoque para vender.
x521y
25x 5 30y
2
Substituindo a 1a equação na 2a: 25(2 1 y) 5 30y V 50 1 25y 5 30y V 25y 5 250 V y 5 10 V
V 30y 5 30 ? 10 5 300 caixas.
Resolução de problemas
O cercado para os bois de Humberto
Humberto deseja cercar uma parte de sua fazenda com arame para que seus bois não fujam. Para isso, ele reservou um terreno grande, de forma triangular, com dois lados iguais e um diferente.
O vendedor da cerca disse a Humberto que precisa saber quanto mede cada lado do terreno que será cercado
para poder calcular o valor do arame a ser vendido.
Mas Humberto criou um desafio matemático para o vendedor e resolveu passar as medidas, em metros, utilizando uma incógnita: 5x 1 20; 3x 1 76 e x 1 196. Será que o vendedor conseguirá calcular quais são as medidas
dos lados desse terreno em forma de triângulo isósceles?
140
Página Caracterização do problema
É possível imaginar a situação descrita acima? Humberto criou um problema com solução possível para o vendedor resolver? Para responder a essas perguntas, é necessário compreender que situações como a descrita
acima podem apresentar mais de uma solução. Para resolvê-la, é necessário representá-la a partir dos dados
fornecidos no enunciado.
140
Página Representando a situação
Deve-se, para resolver esse problema, começar desenhando os possíveis triângulos isósceles com as medidas
que Humberto disse.
a) Humberto definiu quais são os lados congruentes?
Não, Humberto não definiu quais são os lados congruentes.
99
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12.12.08 14:21:56
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 6
b) Existe mais de uma possibilidade para as medidas do terreno que Humberto pretende cercar? Justifique sua
resposta.
Sim, existem 3 possibilidades:
5x 20 e 3x 76 são congruentes, ou
3x 76 e x 196 são congruentes, ou
x 196 e 5x 20 são congruentes.
c) Reproduza em seu caderno os desenhos abaixo para representar as possíveis situações. Não se esqueça de
inserir em seu desenho as equações que representem a igualdade entre os lados de cada triângulo isósceles.
3x � 76
x � 196
5x � 20
5x � 20
1o caso:
PÁGINA
141
3°- caso
2°- caso
1°- caso
3x 76 x 196
2o caso:
3o caso:
5x 20 x 196
PÁGINA
b) Considerando o segundo caso, monte a equação
que representa essa situação e determine quais
são as medidas dos lados do terreno.
2o caso: 5x 20 x 196 V 4x 176 V
V x 44 V
Medidas 5x 20 5 44 20 240 m
dos
x 196 44 196 240 m
lados 3x 76 3 44 76 208 m
c) Considerando o terceiro caso, monte a equação
que representa essa situação e determine quais
são as medidas dos lados do terreno.
3o caso: 5x 20 3x 76 V 2x 56 V
V x 28 V
5x 20 5 28 20 160 m
3x 76 3 28 76 160 m
x 196 28 196 224 m
d) Quantas soluções foram encontradas no desafio
matemático de Humberto? Por que esse problema não tem apenas uma única solução?
Foram encontradas 3 soluções; porque Humberto
não deu informações suficientes ao vendedor.
e) O que Humberto poderia ter dito ao vendedor
para que o seu desafio tivesse apenas uma única solução? Quais seriam, então, as medidas e o
perímetro do terreno?
5x 20 3x 76
Humberto precisaria ter dado mais alguma informação, que poderia ser: a medida da área, o perímetro, ou quais são os lados congruentes.
Se Humberto tivesse dito que a resposta correta
é a que deixa o perímetro do terreno menor, teríamos:
1o caso " 256 256 320 832 m
2o caso " 240 240 208 688 m
3o caso " 160 160 224 524 m
O menor perímetro seria 524 m, com medidas
160 m, 160 m e 224 m.
a) Observando os triângulos que você reproduziu
no caderno, é possível montar as equações que
representam a congruência dos lados. Considerando o primeiro caso, monte a equação que
representa essa situação e determine quais são
as medidas dos lados do terreno.
1o caso: 3x 76 x 196 V 2x 120 V
V x 60 V
Medidas 3x 76 3 60 76 256 m
dos
x 196 60 196 256 m
lados 5x 20 5 60 20 320 m
3x � 76
x � 196
3x � 76
Resolução do problema
Medidas
dos
lados
5x � 20
x � 196
141
Comunicação de resultados
Faça uma história em quadrinhos contando o problema do cercado para os bois de Humberto. Invente um desfecho, não se esquecendo de apresentar a
resolução do problema.
Resposta pessoal
PÁGINA
141
Faça você
1
As medidas dos lados de um triângulo isósceles
são expressas por (4x 4), (x 11) e (2x 8).
Determine em seu caderno a expressão que representa o perímetro desse triângulo.
perímetro 4x 4 x 11 2x 8 7x 15
2
Três pontos A, B e C estão sobre a mesma reta r.
Se a distância entre o ponto A e o ponto B é igual
a 46 cm e a distância entre o ponto B e o ponto
C é igual a 32 cm, determine a distância entre os
pontos A e C.
___
Se B Ñ AC V
A
B
46 cm
C
V
32 cm
V dA, C 46 32 78 cm
___
Se B É AC V
A
C
B
V
32
V dA, C 46 32 14 cm
46
100
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08.12.08 14:22:34
Resolução de atividades Capítulo 6
___
___
___
3 Três semirretas,
OA ,
OB e
OC , são coplanares, de
modo que o ângulo AO
B
tem medida igual a 108º e
BO
C
igual a 43º. Nessas condições, faça uma figura
em seu caderno e determine a medida do ângulo AO
C
.
B
O
43º
108º
Caso 1 V
V A
O C 5 108°2 43° 5 65°
C
A
C
O
43º
Caso 2 V
108º
A
C
V A O
5 108° 1 43° 5
5 151°
B
4 Quantas soluções tem a inequação 4x 1 5 < 53,
no conjunto universo dos números naturais?
4x 1 5 < 53 V 4x < 48 V x < 12 V
V S 5 {x Ñ N | x < 12} 5
5 {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} V n(S) 5 13
Ou seja, a inequação admite 13 soluções distintas em N.
5 Três amigos têm juntos RS
|| 180,00. Sabe-se que
dois deles têm quantias iguais e que o outro tem
RS
|| 40,00. Quantos reais tem cada um desses amigos?
Sejam A, B e C as quantias que cada um deles tem V
V A 1 B 1 C 5 RS
|| 180, 00
A 1 B 1 C 5 180
V
A 5 B e C 5 40
V A 1 A 1 40 5 180 V 2A 5 140 V A 5 70
Logo, as quantias são: RS
|| 70,00; RS
|| 70,00 e RS
|| 40,00.
2
123
6 Paulo, Márcio e Fernando têm juntos RS|| 180,00.
Sabe-se que dois deles têm quantias iguais e que
a soma das quantias que eles possuem é 100 reais.
Quantos reais tem cada um deles?
A 1 B 1 C 5 180 (I)
A 5 B
(II)
A 1 B 5 100
(III)
Substituindo (II) em (III) " A 1 A 5 100 V A 5 50 e
B 5 50
Substituindo em (I) " 50 1 50 1 C 5 180 V C 5 80
Dois deles têm RS|| 50,00 e o outro tem RS|| 80,00.
Página
144
Questões globais
1 Em cada item, calcule o valor numérico da expressão considerando o valor fornecido para a variável.
a) n2 1 2n 2 30, para n 5 5
para n 5 5 V 52 1 2 ? 5 2 30 = 25 1
1 10 2 30 = 5
n 1 22
, para n 5 50
b) _______
4
50 1 22 ___
72
para n 5 50 V ________
5 5 18
4
4
c) (2t 1 1)2 ? (t 2 1), para t 5 3
para t 5 3 V (2 ? 3 1 1)2 ? (3 2 1) 5
5 72 ? 2 5 49 ? 2 5 98
2 Considere a equação 2x 2 y 5 14, sendo que x e
y são números naturais. Seja S o conjunto solução
dessa equação.
a) O valor x 5 3 fornece um par (x; y) pertencente
ao conjunto solução?
Substituindo x 5 3 V 2 ? 3 2 y 5 14 V 2y 5 8 V
V y 5 28 É N
Logo, (3; y) 5 (3; 28) É S.
b) Se x 5 10, (x; y) pertence ao conjunto solução da
equação?
Substituindo x 5 10 V 2 ? 10 2 y 5 14 V
V 2y 5 26 V y 5 6 Ñ N V (10; 6) Ñ S.
c) Qual é o menor valor de x para o qual (x; y) pertence ao conjunto solução?
2x 2 y 5 14 V 2y 5 14 2 2x V y 5 2x 2 14.
Como y Ñ N V 2x 2 14 Ñ N V 2x 2 14 > 0 (pois
0 é o menor número natural) V 2x > 14 V x >
> 7. Para x 5 7 (7 é o menor valor que x pode ter),
2 ? 7 2 y 5 14 V 14 2 y 5 14 V y 5 0 Ñ N V
V (7; 0) Ñ S.
Logo, o menor valor que x pode ter é 7.
3 Resolva as equações abaixo, sendo U 5 Q.
a) 4x 2 10 5 18
4x 5 28 V x 5 7 Ñ Q V S 5 {7}
b) 3x 1 91 5 124
3x 5 33 V x 5 11 Ñ Q V S 5 {11}
c) 5x 2 13 5 228
5x 5 215 V x 5 23 Ñ Q V S 5 {23}
d)11 1 7x 5 213
2 3
24
24
7x 5 224 V x 5 2 ___ Ñ Q V S 5 2___
7
7
4 Escreva duas equações diferentes, mas que tenham como solução S 5 {12}.
Exemplo de uma resposta possível:
x 1 1 5 13 e x 2 2 5 10
5 Escreva em seu caderno duas inequações diferentes cujo conjunto solução seja S 5 {x Ñ Q | x . 21}.
Exemplo de uma resposta possível:
x18.7ex25.26
6 Determine quatro números inteiros consecutivos,
sabendo que sua soma é igual a 450.
x 1 (x 1 1) 1 (x 1 2) 1 (x 1 3) 5 450 V 4x 1 6 5
5 450 V 4x 5 444 V x 5 111 V x 1 1 5 112, x 1 2 5
5 113 e x 1 3 5 114
Logo, os 4 números são 111, 112, 113 e 114.
7 É comum, no cálculo da quantidade de lajotas necessárias para revestir um determinado piso, o uso
da seguinte fórmula: Q 5 (área) 1 20% ? (área).
Ana pretende revestir uma sala retangular de 3 m
de comprimento por 2 m de largura. Qual quantidade de piso Ana deverá comprar?
Como Área 5 2 ? 3 5 6m2, temos Q 5 6 1 20% ? 6 V
V Q 5 6 1 0,2 ? 6 V Q 5 6 1 1,2 V Q 5 7,2 m2 V Ana
deve comprar 7,2 m2.
101
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15.12.08 09:39:15
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
8
9
Capítulo 6
Do meu salário, gastei a terça parte com aluguel,
um quinto com alimentação e um oitavo com roupas e ainda me sobraram RS
|| 210,00. Quanto é o
meu salário?
1
1
1
S __S __S __S 210 V (mmc 120) V 120S
5
3
8
40S 24S 15S 25 200 V 120S
79S 25 200 V 41S 25 200 V S 614,63 V
V O meu salário é RS
||614,63.
Gabriela não pode gastar mais do que RS
|| 620,00
nas suas compras para o Natal. Se ela já gastou
RS
|| 350,00, quantos brinquedos de RS
|| 15,00 ainda
poderá comprar?
270
620 350 270 e ____ 18 V Gabriela poderá
15
comprar 18 brinquedos.
10 Numa viagem de ecoturismo, Cida percorreu um
terço do caminho de bicicleta, um quarto a pé e
um sexto do caminho foi de barco, faltando ainda
5 km para completar a viagem. Quantos quilômetros no total tinha a viagem?
1
1
__1 x __
x __x 5 x V (mmc 12) V 4x 3x
4
3
6
2x 60 12x V 9x 12x 60 V
V 3x 60 V x 20
A viagem tinha, no total, 20 km.
11 A idade de Norberto adicionada aos dois terços dessa idade é igual a 25. Calcule a idade de Norberto.
2
n __ n 25 V (mmc 3) V 3n 2n 75 V
3
V 5n 75 V n 15 V Norberto tem 15 anos.
12 Cláudio tem 37 anos, e as idades de seus três filhos
somam 25 anos. Daqui a quantos anos a soma das
idades dos filhos será igual à idade de Cláudio?
Sendo a, b e c as idades dos 3 filhos, temos: a b c
25 e (a x) (b x) (c x) 37 x, onde x é a
quantidade de anos V a b c 3x 37 x V 25
3x 37 x V 2x 12 V x 6 V Daqui a 6 anos.
13 O dono da empresa "Maravilhus" resolveu organizar
suas contas. Para isso, elaborou algumas fórmulas.
O total de sua receita (em reais) depende da quantidade de produtos vendidos, e as despesas (em reais)
dependem do número de dias trabalhados. Veja as
fórmulas:
Receita 2 p (sendo p o número de produtos
vendidos)
Despesas 30d 200 (sendo d a quantidade de
dias trabalhados)
Se durante os meses de março e abril foram vendidos 2 500 produtos, qual valor é maior, o da receita
ou o das despesas?
Receita 2 2 500 5 000 V Receita RS
|| 5 000,00
Despesas 30 (31 30) 200 V 30 61 200
dias do mês de abril
2 030 V
dias do mês de março
V Despesa RS|| 2 030,00
Lucro Receita Despesa V
V Lucro 5 000 2 030 2 970
A empresa teve lucro de RS|| 2 970, 00.
14 Sandra e Adolfo estão planejando uma viagem de cinco dias, mas têm dúvida se visitarão "Boniteza" ou
"Mimosa". Adolfo propôs que fizessem uma previsão dos gastos e optassem pela cidade “mais barata”. Os gastos serão basicamente com pedágios,
gasolina e hospedagem. O valor de cada pedágio
é RS
|| 9,60, e o preço do litro de gasolina é RS
|| 2,30.
Adolfo equacionou as despesas da seguinte forma:
2,30 d
Despesas 9,60 p ________ 5 h
8
Analise a tabela abaixo, calcule os gastos e diga
para qual cidade o casal irá.
Cidade
No de
Distância
pedágios (p)
(d)
valor da
diária (h)
Boniteza
3
250
320,00
Mimosa
4
120
400,00
2,30 d
Despesas 9,60 p _______ 5 h
8
Viajando para Boniteza, a despesa será:
2,30 250
D 9,60 3 __________ 5 320 V
8
575
V D 28,8 ____ 1 600 V D 28,8 71,875
8
1 600 V D RS|| 1 700,68
Viajando para Mimosa, a despesa será:
2,30 120
D 9,60 4 _________ 5 400 V D 38,4
8
276
____ 2 000 V D 38,4 34,5 2 000 V
8
V D RS|| 2 072,9
Temos 1 700,68 , 2 072,9 V O casal irá para a cidade
de Boniteza.
PÁGINA
145
Questões globais
15 Resolva os sistemas abaixo por substituição de incógnitas. Sendo U Z.
x 2y 5
a)
2x y 7
2
2 2xx 2yy 75 V x 5 2y
Substituindo x 5 2y na 2a equação: 2 (5 2y)
y 7 V 10 4y y 7 V 3y 3 V y 1
Substituindo y 1 em x 5 2y:
x 5 2 1 V x 3 V S {(3; 1)}
b)
x y 18
2 10x
2y 12
x y 18 V x 18 y
2 10x
2y 12
Substituindo x 18 y na 2a equação:
10(18 y) 2y 12 V 180 10y 2y 12 V
V 8y 168 V y 21.
Substituindo y 21 em x 18 y:
x 18 21 V x 3 V S {(3; 21)}
c)
2 x20x y3y9 4
xy9Vy9x
2 20x
3y 4
102
3P_YY_M7_RA_C06_079A110.indd 102
08.12.08 14:22:35
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Substituindo y 9 x na 2a equação:
20x 3(9 x) 4 V 20x 27 3x 4 V
V 23x 23 V x 1
Substituindo x 1 em y 9 x:
y 9 1 V y 8 V S {(1; 8)}
2
2 3xx 5y2y3812V x 38 5y
3x 2y 12
d)
x 5y 38
Substituindo x 38 5y na 1a equação:
3(38 5y) 2y 12 V 114 15y 2y 12 V
V 17y 102 V y 6
Substituindo y 6 em x 38 5y:
x 38 5 6 V x 8 V S {(8; 6)}
e)
2 5x9xy 5y23 13
5x y 23 V 5x 23 y
2 9x
5y 13
Substituindo y 5x 23 na 2a equação: 9x
5(5x 23) 13 V 9x 25x 115 13 V
V 16x 128 V x 8
Substituindo x 8 em y 5x 23 V
V y 5 8 23 V y 17 V S {(8; 17)}
f)
2 3xx 2y4y86
2 3xx 2y4y86V x 8 2y
Substituindo x 8 2y na 1a equação:
3(8 2y) 4y 6 V 24 6y 4y 6 V
V 10y 30 V y 3
Substituindo y 3 em x 8 2y:
x 8 2 3 V x 2 V S {(2; 3)}
16 O perímetro de um triângulo isósceles é de 15 cm.
A base do triângulo mede a metade de cada um
dos lados congruentes. Encontre a medida de cada
um dos lados desse triângulo.
a
a a __ 15 V (mmc 2) V 2a 2a a 30 V
2
V 5a 30 V a 6
Logo, os dois lados iguais medem 6 cm cada e o ou6
tro lado mede __ 3 cm.
2
17 Em uma caixa de doces, o número de balas de
menta é o dobro do de balas de limão, e o número
de balas de laranja é o triplo do número de balas de
menta e limão juntas. Se no total há 312 balas na
caixa, determine quantas balas há de cada sabor.
Sendo a, b, c o no de balas de menta, limão e laranja,
respectivamente, temos: a 2b; c 3(a b) e
a b c 312 V
123
a 2b
(I)
c 3(a b) V c 3a 3b (II)
a b c 312
(III)
Substituindo (I) em (II): c 3 2b 3b V
V c 6b 3b V c 9b
Capítulo 6
Substituindo c 9b e (I) em (lII): 2b b 9b 312 V
V 12b 312 V b 26 V a 2 26 V a 52 e
c 3 52 3 26 V c 156 78 V c 234
Há 26 balas de limão, 52 de menta e 234 de laranja.
18 Um recipiente está cheio de água. Retira-se a metade da água e depois a metade do que restou, de
modo que sobram no recipiente 200 litros. Calcule
a capacidade do recipiente.
C C
C
C __ __ Destes __ restantes retira-se a metade V
2
2
2
C __1 __
C __
C __
C _______
2C C __
C
__
V
4
4
2 2 2
2 4
C
C
Logo, C __ __ 200 V (mmc 4) V
4
2
V 4C 2C C 800 V C 800 V A capacidade
do recipiente é de 800 L.
19 Quinze amigos estão reunidos numa festa de aniversário. Há três meninas a mais que meninos. Calcule o número de meninos e meninas usando um
sistema de duas equações.
a o 15
ao3
Substituindo a 2a equação na 1a: o 3 o 15 V
V 2o 12 V o 6 V a 6 3 V a 9 V
V São 9 meninas e 6 meninos.
2
20 Encontre a solução de cada uma das equações
abaixo. Sendo U Q.
a) x 9 2 (x 6)
x 9 2 (x 6) V x 9 2x 12 V
V x 21 V x 21 V S {21}
b) 2x 3 4x 6 (x 4) 2
2x 3 4x 6(x 4) 2 V 2x 3 4x
6x 24 2 V 2x 3 10x 26 V
2 3
29
29
V 8x 29 V x ___ V S ___
8
8
c) 1 4 (x 2) 3x 5 (x 1)
1 4(x 2) 3x 5(x 1) V 1 4x 8
3x 5x 5 V 4x 7 2x 5 V 2x 12 V
V x 6 V S {6}
d) 2 (x 3) 6 (x 5) 3x 4
2 (x 3) 6 (x 5) 3x 4 V 2x
6 6x 30 3x 4 V 4x 24 3x
4 V 7x 28 V x 4 V S {4}
e) 2 (x 6) 7x 3x 5x 8
2 (x 6) 7x 3x 5x 8 V 2x 12 7x
2x 8 V 5x 12 2x 8 V
2 3
4
4
3x 4 V x __ V S __
3
3
21 Pedro tem 10 anos e sua mãe tem 42. Dentro de
quantos anos a idade da mãe será o triplo da idade
de seu filho?
(10 x) 3 42 x V 30 3x 42 x V
2x 12 V x 6 V Dentro de 6 anos.
103
3P_YY_M7_RA_C06_079A110.indd 103
08.12.08 14:22:36
Resolução de atividades Capítulo 6
22 Um grande tanque possui três torneiras de abastecimento para enchê-lo. Uma das torneiras é capaz
de encher completamente o tanque em 36 horas,
outra em 20 horas e a terceira enche o tanque em
30 horas. Quanto tempo leva para encher o tanque se
forem abertas as três torneiras ao mesmo tempo?
1
Temos: T1 " 36h V em 1h T1 enche ___ do
tanque
36
1
T2 " 20h V em 1hT2 enche ___ do tanque
20
1
T3 " 30h V em 1hT3 enche ___ do tanque
30
51916
20
1
1
1
1
___ 1
___ 5
__________
____ 5
__ V
a cada
5
___ 1
9
36
20
30
180
180
1
hora as 3 torneiras juntas enchem __ do tanque.
9
Logo, se as 3 torneiras forem abertas ao mesmo
1
sua catempo, a cada hora o tanque completa __ da
9
pacidade total. Portanto, serão necessários 9h para
que ele esteja cheio.
23 O número de horas do dia que transcorreram é o quádruplo do número de horas que faltam para acabar o
dia. Determine em que hora do dia isso ocorre.
x 5 4 ? (24 2 x) V x 5 96 2 4x V 5x 5 96 V
V x 5 19,2 V São 19,2h (19 horas 1 0,2h, isto é,
1 20% da hora seguinte, que corresponde a 12 minutos)
Logo, são 19h12min.
24 Olga tem em sua carteira cédulas de RS
|| 5,00 e de
RS
|| 10,00, que somam RS|| 100,00. Se o número total
de cédulas é 13, quantas cédulas ela tem de cada
tipo? Escreva o sistema de equações apropriado e
resolva-o.
x ? 5 1 y ? 10 5 100, em que x e y são as quantidades
de cédulas de RS|| 5,00 e de RS|| 10,00, respectivamente.
x 1 y 5 13 (? 25)
25x 2 5y 5 265
V
1
5x 1 10y 5 100
5x 1 10y 5 100
5y 5 35 V y 5 7
V x 1 7 5 13 V x 5 6
Logo, são 6 notas de RS|| 5,00 e 7 notas de RS|| 10,00.
2
2
25 Letícia tem 18 anos e afirma que sua idade é igual
ao dobro da idade de seu irmão Paulo menos 6 anos.
Determine a idade de Paulo.
27 Laura tem 30 anos a menos que seu pai, sendo que
o pai tem o quádruplo de anos de Laura. Encontre
a idade de cada um.
5 P 2 30
em que L e P são as idades de Laura e
2 PL 54L
de seu pai, respectivamente.
Substituindo P 5 4 L na 1a equação: L 5 4 L 2 30 V
V 23 L 5 230 V L 5 10 V P 5 4 ? 10 V P 5 40
Logo, Laura tem 10 anos e seu pai tem 40 anos.
28 Encontre o número cuja metade mais sua quarta
parte mais 1 é igual ao próprio número.
x x
Seja x esse número V __ 1 __ 1 1 5 x V (mmc 5 4) V
2 4
V 2x 1 x 1 4 5 4x V 3x 2 4x 5 24 V
V 2x 5 24 V x 5 4
Página
146
Questões globais
29 Resolva os sistemas de equações abaixo. Sendo U 5 Z.
2x 1 3y 5 4
a)
2x 2 3y 5 4
2
2x 1 3y 5 4
2
1
2x 2 3y 5 4
4x 5 8 V x 5 2
Substituindo x 5 2 na
1a equação: 2 ? 2 1 3y 5 4 V 3y 5 0 V y 5 0 V
V S 5 {(2; 0)}
2
2x 1 3y 5 8
2
1
22x 1 4y 5 6
2x 1 3y 5 8
b)
22x 1 4y 5 6
7y 5 14 V y 5 2 Substituindo y 5 2
na 1a equação: 2x 1 3 ? 2 5 8 V 2x 5 2 V x 5 1 V
V S 5 {(1; 2)}
2
3x 1 2y 5 7 (? 3)
2
V
4x 2 3y 5 15 (? 2)
9x 1 6y 5 21
V 2
1
8x 2 6y 5 30
3x 1 2y 5 7
c)
4x 2 3y 5 15
17x 5 51 V x 5 3
Substituindo x 5 3 na 1a equação: 3 ? 3 1 2y 5 7 V
V 2y 5 22 V y 5 21 V S 5 {(3; 21)}
2
V 12 5 P V Paulo tem 12 anos.
11x 2 3y 5 63
d)
23x 1 2y 5 23
L 5 18
V 18 5 2P 2 6 V 24 5 2P V
L 5 2P 2 6
26 Um hotel tem quartos com uma cama e quartos com duas camas. No total são 50 quartos e
87 camas. Quantos são os quartos com uma cama?
Quantos são os quartos com duas camas?
x 1 y 5 50
em que x é a quantidade de
1 ? x 1 2 ? y 5 87
quartos com uma cama e y a de quartos com duas
2
camas
x 1 y 5 50 (?21)
2x 2 y 5 250
V
x 1 2y 5 87
x 1 2y 5 87
y 5 37 V x 1 37 5 50 V x 5 13.
São 13 quartos com uma cama e 37 com duas.
2
2
2
11x 2 3y 5 63
23 1 3x
2
V y 5 ________
23x 1 2y 5 23
2
@
#
23 1 3x
Substituindo y na 1a equação: 11x 2 3 ? ________
5
2
5 63 V (mmc 5 2) V 22x 2 3(23 1 3x) 5 126 V
V 22x 1 9 2 9x 5 126 V 13x 5 117 V x 5 9
23 1 3x
:
Substituindo x 5 9 em y 5 ________
2
23 1 27
23 1 3 ? 9
V
V
y 5 __________
y 5 ________
2
2
24
V y 5 ___ V
y 5 12 V S 5 {(9; 12)}
2
104
4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 104
12.12.08 14:32:34
Resolução de atividades Capítulo 6
2
80 2 4y
7x 1 4y 5 80
2
V Substituin V
x 5 ________
5x 2 6y 5 4
7
7x 1 4y 5 80
e)
5x 2 6y 5 4
@
#
80 2 4y
2 6y 5 4 V
do x na 2a equação: 5 ? ________
7
V (mmc 5 7) V 5(80 2 4y) 2 42y 5 28 V
V 400 2 20y 2 42y 5 28 V 2 62y 5 2372 V
80 2 4y
V y 5 6. Substituindo y 5 6 em x 5 ________
:
7
80 2 4 ? 6
80 2 24
x 5 ________
x 5 __________
V
V
7
7
56
x 5 8 V S 5 {(8; 6)}
V x 5 ___ V
7
2
2x 2 5y 5 25
f) 3x 1 3y 5 11
2
V Comparando as duas linhas, temos:
Sendo c o comprimento da peça, temos:
c
c
c
__ 1 __ 1 ___ 1 20 5 c V (mmc 5 10 ) V
5
10
2
V 5c 1 2c 1 c 1 200 5 10c V 8c 2 10c 5 2200 V
11 2 3y
25 1 5y _______
5
V
(mmc 5 6) V 3(25 1 5y) 5
________
2
3
5 2(11 2 3y) V 75 1 15y 5 22 2 6y V 21y 5
253
253
. Substituindo y 5 _____
na
5 253 V y 5 _____
21
21
253
265
_____
____
a
1 equação: 2x 2 5 ?
5 25 V 2x 1
5
21
21
5 25 V (mmc 5 21) V 42x 1 265 5 525 V 42x 5
130
260
130 253
5 260 V x 5 ____ V
x 5 ____ V
S 5 ____
; _____
42
21
21 21
#
2 @
#3
30 Determine os valores de x e y para que os triângulos sejam equiláteros nos casos:
a)
y�6
V 22c 5 2200 V c 5 100
Logo, a peça tem 100 m de comprimento.
33 As três quartas partes da idade de Susana excedem
em 15 anos a idade de Davi. Há 4 anos a idade de
Susana era o dobro da de Davi. Determine a idade
de cada um.
2
3
__
S 5 15 1 D
4
em que S é a idade de Susana e
S 2 4 5 2 ? (D 2 4)
D a de Davi
3S 5 60 1 4D
3S 2 4D 5 60
V
V
S 2 4 5 2D 2 8
S 2 2D 5 24 (? 22)
2
x
y 1 6 5 3y V 22y 5 2 6 V y 5 3
x 5 3y V Como y 5 3 V x 5 3 ? 3 V x 5 9
Logo, x 5 9 e y 5 3.
b)
34 Escreva em linguagem algébrica as frases abaixo e
encontre os números pedidos em cada item.
a) A soma de dois números que são consecutivos
é 115.
2y
x�y
2
x�4
x 1 y 5 x 1 4 V y 5 4
x 1 y 5 2y V Como y 5 4 V x 1 4 5 2 ? 4 V
Vx5824Vx54
Logo, x 5 y 5 4.
x 1 (x 1 1) 5 115 V 2x 1 1 5 115 V 2x 5 114 V
V x 5 57 V x 1 1 5 58
Os dois números são 57 e 58.
b) A soma de três números pares consecutivos é 54.
2
2
3S 2 4D 5 60
V
1
22S 1 4D 5 8
S 5 68 V 68 2 2D 5 24 V 22D 5 272 V
V D 5 36
Logo, Susana tem 68 anos e Davi tem 36 anos.
3y
2
2
32 Encontre o comprimento de uma peça de tecido, sabendo que depois de terem sido vendidas a metade,
a quinta parte e a décima parte sobraram 20 m.
25 1 5y
2x 2 5y 5 25 V x 5 ________
2 V
11
2
3y
3x 1 3y 5 11 V x 5 _______
3
@
31 Determine o comprimento e a largura de um retângulo de perímetro 80 m, sabendo que a largura
2
vale __
do comprimento.
3
2l 1 2c 5 80
em que l é a largura e c é o compri
2
l 5 __ c
mento do retângulo
3
2
Substituindo a 2a equação na 1a: 2 ? __ c 1 2c 5
3
4
__
5 80 V c 5 2c 5 80 V (mmc 5 3) V 4c 1 6c 5
3
48
2
5 240 V 10c 5 240 V c 5 24 V l 5 __ ? 24 V l 5 ___ V
3
3
V l 5 16
Portanto, o retângulo tem 24 m de comprimento e
16 m de largura.
Se x é par V x 5 2n, n Ñ Z, e os pares consecutivos são: 2n 1 2 e 2n 1 4 V 2n 1 (2n 1 2) 1
1 (2n 1 4) 5 54 V 6n 1 6 5 54 V 6n 5 48 V
Vn58
Logo, x 5 2 ? 8 V x 5 16 e os números pares consecutivos são: 2n 1 2 5 2 ? 8 1 2 5 18 e 2n 1 4 5
5 2 ? 8 1 4 5 20
Portanto, os três números são 16, 18 e 20.
105
4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 105
12.12.08 14:32:35
Resolução de atividades Capítulo 6
c) Um número mais a quarta parte desse número
é 45.
x
x 1 __ 5 45 V (mmc 5 4) V 4x 1 x 5 180 V
4
V 5x 5 180 V x 5 36
O número é 36.
d) A soma de três múltiplos de 4 consecutivos é
72.
Se x é múltiplo de 4 V x 5 4n, n Ñ Z e os múltiplos de 4 consecutivos são: 4n 1 4 e 4n 1 8 V
V 4n 1 (4n 1 4) 1 (4n 1 8) 5 72 V 12n 1 12 5
5 72 V 12n 5 60 V n 5 5
Logo, os 3 números são:
x 5 4n 5 4 ? 5 5 20; 4n 1 4 5 4 ? 5 1 4 5 24 e
4n 1 8 5 4 ? 5 1 8 5 28 V 20, 24 e 28.
35 A soma de dois números naturais é 32 e um deles
é igual à sétima parte do outro. Determine os dois
números.
2
4
Substituindo P 5 __ J na 2a equação, temos:
3
4
__
2 J 5 63 V 4J 2 J 5 63 V 3J 5 63 V J 5 21
3 J
3
4
4
Substituindo J 5 21 em P 5 __ J V P 5 __ ? 21 V
3
3
V P 5 28
As idades hoje são: João 5 21 anos e Pedro 5 28 anos.
@ #
37 O quociente de uma divisão é 3 e o resto 5. Se
diminuímos duas unidades do divisor, o quociente
aumenta uma unidade e o novo resto é 1. Calcule
o dividendo e o divisor.
Dividendo 5 quociente ? divisor 1 resto V
V D 5 3 ? d 1 5 (I) e D 5 4 ? (d 2 2) 1 1 (II)
3d 1 5 5 4d 2 8 1 1 " d 5 12
Substituindo em (I) V D 5 3 ? 12 1 5 5 41
O dividendo é 41 e o divisor é 12.
Sejam a e b os 2 números V
a
1 b 5 32
b
a 5 __ V substituindo a
7
b
a equação na 1a: __
1 b 5 32 V (mmc 5 7) V
2
7
V b 1 7b 5 224 V
28
a54
V 8b 5 224 V b 5 28 V a 5 ___ V
7
Logo, os dois números são 4 e 28.
38 Paula tem 16 anos e sua mãe 38. Quantos anos faz
que a idade da mãe de Paula era o triplo da idade de
sua filha?
Sejam P e M as idades de Paula e sua mãe respectivamente, e x a quantidade de anos passados.
P 5 16, M 5 38
M 2 x 5 3(P 2 x) V 38 2 x 5 3(16 2 x) V
V 38 2 x 5 48 2 3x V 2x 5 10 V x 5 5.
Portanto, faz 5 anos.
36 Pedro disse a seu amigo João: “eu tenho duas vezes
a idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que
tu tens. Quando tu tiveres a idade que eu tenho, a
soma de nossas idades será igual a 63 anos”. Calcule as idades de Pedro e de João.
39 Ao verificar as economias que havia juntado em seu
cofre, Laércio viu que possuía apenas moedas de
50 centavos e de 1 real e que tinha juntado 70 moedas que totalizavam 50 reais. Qual a quantidade de
moedas de cada tipo que ele possui?
Sejam C e U as quantidades de moedas de cinquenta
centavos de real e de um real, respectivamente:
0,50 ? C 1 1,00 ? U 5 50,00 V 0,5C 1 U 5 50
C 1 U 5 70 V U 5 70 2 C
Idades
Há x anos
Hoje
Daqui a y anos
Pedro
P 2 x
P
P1y
João
J 2 x
J
J1y
Pedro disse: "Eu tenho 2 vezes a idade que tu tinhas
P 5
2 ?
J2x
quando eu tinha a idade que tu tens" V
P 2 x
5J
P
=
2
(J
2
x)
V
P
5
2J
2 2x
V P2x5JVx5P2J
2
Substituindo x 5 P 2 J na 1a equação, temos:
P 5 2J 2 2(P 2 J) V P 5 2J 2 2P 1 2J V 3P 5 4J V
4
V P 5 __ J (I)
3
"Quando tu tiveres a idade que eu tenho, a
J 1 y
5P
soma das nossas idades será igual a 63 anos" V
(J 1 y) 1 (P 1 y)
5 63
J
1
y
5
P
V
y
5
P
2
J
V (J 1 y) 1 (P 1 y) 5 63 V J 1 P 1 2y 5 63
2
Substituindo y 5 P 2 J na 2a equação, temos:
J 1 P 1 2(P 2 J) 5 63 V J 1 P 1 2P 2 2J 5 63 V
V 3P 2 J 5 63 (II)
4
P 5 __ J
3
De (I) e (II), temos:
3P 2 J 5 63
2
2
2
Substituindo U 5 70 2 C na 1a equação:
0,5 ? C 1 (70 2 C) 5 50 V 0,5C 1 70 2 C 5 50 V
V 20,5C 5 220 V C 5 40 V U 5 70 2 40 V
V U 5 30.
Logo, Laércio tem 40 moedas de RS|| 0,50 e 30 moedas de RS|| 1,00.
40 O comprimento de um retângulo mede 10 mm a
mais que sua altura. Encontre as medidas do retângulo, sabendo que seu perímetro mede 260 mm.
Sendo c 5 comprimento e a 5 altura V
c 5 10 1 a
V 2c 1 2a 5 260
Substituindo a 1a equação na 2a: 2(10 1 a) 1 2a 5
5 260 V 20 1 2a 1 2a 5 260 V 4a 5 240 V
a 5 60 V c 5 10 1 60 V c 5 70
Logo, o retângulo tem 70 mm de comprimento e
60 mm de altura.
2
41 A soma de dois números é 51. Se dividimos o primeiro por 3 e o segundo por 6, a diferença entre os
quocientes obtidos é 1. Determine esses números.
Sejam x e y os dois números V
x 1 y 5 51
V
V
y
x
__
2 __ 5 1 V (mmc 5 6) V 2x 2 y 5 6
3 6
2
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Resolução de atividades Capítulo 6
2
x 1 y 5 51
V
1
2x 2 y 5 6
3x 5 57 V x 5 19. Substituindo x 5 19 na
1a equação:
19 1 y 5 51 V y 5 32
Os dois números são 19 e 32.
42 Ana deu a metade dos seus discos a sua amiga
Sônia; depois emprestou cinco discos a Davi. Com
isso restou apenas um disco. Quantos discos Ana
tinha inicialmente?
Sendo D a quantidade de discos que Ana tinha inicialmente, tem-se:
D
D
D 5 __ 1
5 1 1 V D 5 __ 1
6 V (mmc 5 2) V
2
2
V 2D 2 D 5 12 V D 5 12 V Ana tinha, inicialmente,
12 discos.
43 Em um retângulo de perímetro de 152 cm, a base
mede 9 cm a mais que a altura. Determine as dimensões desse retângulo.
Sendo b 5 base e a 5 altura V
2a 1 2b 5 152
V
b5a19
Substituindo a 2a equação na 1a:
2a 1 2(a 1 9) 5 152 V 2a 1 2a 1 18 5 152 V
V 4a 5 134 V a 5 33,5 V b 5 33,5 1 9 V
V b 5 42,5 V As dimensões são 33,5 cm e 42,5 cm.
2
44 Divida 473 em duas partes, de modo que, ao se dividir a parte maior pela menor, se obtenha quociente 7 e resto 9.
Sejam a e b as duas partes.
a 1 b 5 473
a 5 7b 1 9
Substituindo a 2a equação na 1a:
7b 1 9 1 b 5 473 V 8b 5 464 V b 5 58 V
V a 5 7 ? 58 1 9 V a 5 415
As partes são 58 e 415.
2
Página
147
Questões globais
45 Resolva as inequações abaixo, sabendo que U 5 Q.
a) 3x 2 2 < 16
18
3x 2 2 < 16 V 3x < 18 V x < ___ V
3
18
___
V S 5 x Q | x <
3
b) 12x 1 3 . 39
12x 1 3 . 39 V 12x . 36 V x . 3 V
V S 5 {x Q | x . 3}
2
3
c) 19 2 2x . 2 31
19 2 2x . 231 V 22x . 250 V 2x , 50 V
V x , 25 V S 5 {x Q | x , 25}
d)10 . 8x 1 5
10 . 8x 1 5 V 28x . 25 V 8x , 5 V
5
5
V x , __ V S 5 x Q | x , __
8
8
e) 11 , 3x 2 4
11 , 3x 2 4 V 23x , 215 V 3x . 15 V x . 5 V
V S 5 {x Q | x . 5}
2
3
f) 210 < 14 2 6x
210 < 14 2 6x V 6x < 24 V x < 4 V
V S 5 {x Q | x < 4}
46 Quantos números inteiros satisfazem simultaneamente as inequações
2x 2 4 > 11 1 3(x 2 1) e 3x < 28 1 7x?
2x 2 4 > 11 1 3(x 2 1) V 2x 2 4 > 11 1 3x 2 3 V
V 24x > 8 1 4 V 24x > 12 V 4x < 212 V
V x < 23 V
V S1 5 {x Z | x < 23}
3x < 28 1 7x V 24x < 28 V 4x > 228 V
V x > 27 V
S2 5 {x Z | x > 27}
Elementos comuns a S1 e a S2: {x Z |27 < x <23}5
5 {27; 26; 25; 24; 23}
5 elementos satisfazem simultaneamente as inequações.
47 Para não ter prejuízo, uma loja deve vender pelo
menos x peças por dia, de modo que o triplo do
número de peças menos 15 seja maior que 210.
Quantas peças a loja deverá vender diariamente
para ter lucro?
3x 2 15 . 210 V 3x . 225 V x . 75
Deve vender mais de 75 peças diariamente.
48 Francisco vai cercar um terreno retangular de medidas (x 1 5) e (25 2 2x) metros. Calcule qual deve
ser o menor valor de x para que a cerca tenha no
máximo 40 m de comprimento.
2 ? (x 1 5) 1 2 ? (25 2 2x) < 40 V
V 2x 1 10 1 50 2 4x < 40 V 22x 1 60 < 40 V
V 22x < 220 V 2x > 20 V x > 10
O menor valor possível de x é 10 m. Porém x deve
ser menor que 12,5 m, caso contrário um lado fica
negativo.
49 Em um campeonato de basquete, cada time participaria de 10 jogos. Para cada vitória, o time ganhava 5 pontos e, para cada derrota, perdia 3 pontos.
Além disso, para serem classificados para a segunda fase do campeonato os times deveriam ter um
mínimo de 26 pontos. Qual é o menor número de
vitórias que um time deve ter para se classificar
para a segunda fase?
Considerando-se que não haverá empates:
D 1 V 5 10, em que D é o número de derrotas e V, o
número de vitórias V V ? 5 1 D ? (23) > 26
2
D 1 V 5 10 V D 5 10 2 V
23D 1 5V > 26
Substituindo D 5 10 2 V na 2a linha:
23(10 2 V) 1 5V > 26 V
V 230 1 3V 1 5V > 26 V 8V > 56 V V > 7
Um time precisa ter no mínimo 7 vitórias para se
classificar.
50 Existe algum valor para x que satisfaz simultaneamente as inequações
2x . 22x 1 10 e 29 1 x . 5x?
2x . 22x 1 10 V x . 10
29 1 x . 5x V 24x . 229 V 4x , 29 V
29
x , 7,25
V x , ___ V
4
Logo, as inequações não têm solução comum.
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Resolução de atividades Capítulo 6
51 Heloísa está fazendo uma dieta de engorda e precisa ganhar alguns quilogramas para ficar com
pelo menos 50 kg. Sabendo que se ela dobrar sua
massa atual estará com 20 kg acima desse limite
mínimo, qual é a massa de Heloísa atualmente?
Sendo m a massa atual de Heloísa, então
2m 5 50 1 20 V 2m 5 70 V m 5 35
Atualmente ela tem 35 kg.
52 Mário tem 15 anos e Rafael é um garoto de 3 anos.
Daqui a quantos anos Mário terá o triplo da idade
de Rafael?
Sendo M a idade de Mário, R a de Raquel e x a quanM 5 15, R 5 3
tidade de anos V
V
M 1 x 5 3 ? (R 1 x)
V 15 1 x 5 3(3 1 x) V 15 1 x 5 9 1 3x V
V 22x 5 26 V x 5 3
Daqui a 3 anos.
2
53 Copie a tabela a seguir e preencha-a em seu caderno.
Termo algébrico
Coeficiente
Parte literal
3x2
2y3
24mn
zw
22sp2
3
21
24
1
22
x2
y3
mn
zw
sp2
54 Qual é a soma do menor e do maior valor que satisfaz simultaneamente as inequações no conjunto Universo dos números inteiros, 0 . 22x 1 10 e
101 2 2x . x?
0 . 22x 1 10 V 2x . 10 V x . 5 V
V S 5 {x Z | x . 5} 5 {6; 7; 8; 9;...}
101 2 2x . x V 23x . 2101 V 3x , 101 V x , 33,66... V
V S 5 {x Z | x , 33,66...} 5 {x Z | x < 33} 5
5 {....; 28; 29; 30; 31; 32; 33}
Logo, o menor valor que satisfaz simultaneamente
ambas as equações é 6, e o maior é 33.
A soma dos dois valores é 6 1 33 5 39.
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