Inversão de Matrizes
Uma matriz quadrada A é não-singular, se é possı́vel obter, no final da eliminação de Gauss, uma matriz triangular superior com todos os elementos na diagonal principal diferentes de zero, ou quando a caracterı́stica de A é igual à ordem
de A.
Uma matriz quadrada A é singular, se no final da eliminação de Gauss, a
matriz triangular superior obtida, apresentar pelo menos um elemento nulo na
diagonal principal, ou quando a caracterı́stica de A é inferior à ordem de A.
Ex: A matriz A é não-singular; a matriz B é singular.




0 1 2
3 4 2
A =  3 4 2  → ... →  0 1 2 
6 3 2
0 0 8
c(A) = 3 = ordem de A




1 2 3
1 2
3
B =  2 3 4  → . . . →  0 −1 −2 
0 1 2
0 0
0
c(B) = 2 < ordem de B
Uma matriz A é invertı́vel (ou admite inversa) se existe uma matriz B tal que
AB = I e BA = I.
Quando existe uma matriz B com estas caracterı́sticas, ela é única e designa-se
por A−1 .Assim, se A é invertı́vel tem-se:
AA−1 = I = A−1 A.
Nota: Só podem ser invertı́veis as matrizes quadradas.
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Proposição 0.1 Sejam A e B duas matrizes. Se A e B são matrizes invertı́veis
então AB é uma matriz invertı́vel e
(AB)−1 = B −1 A−1 .
Dada uma matriz A = [aij ]p,n
i,j=1 , podemos construir uma nova matriz cuja
coluna k é a linha k de A, para k ∈ {1, . . . , p}. A matriz assim obtida é do tipo
n × p, representa-se por AT e designa-se por matriz transposta de A.
Proposição 0.2 Seja A uma matriz invertı́vel. Então:
1.
(A−1 )−1 = A
2. Para qualquer inteiro positivo m, Am é invertı́vel, tendo-se
(Am )−1 = (A−1 )m
3.
(AT )−1 = (A−1 )T .
Proposição 0.3 Uma matriz quadrada A é invertı́vel se e só se é não singular.
Podemos enunciar uma última propriedade:
Proposição 0.4 As seguintes afirmações são equivalentes:
1. A matriz A é invertı́vel.
2. O sistema Ax = b é possı́vel e determinado, para qualquer b.
3. O sistema Ax = 0 é determinado.
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