METAS CURRICULARES DO ENSINO BÁSICO
5.º ano
EXEMPLOS DO CADERNO DE APOIO 2.º CICLO
António Bivar, Carlos Grosso, Filipe Oliveira, Maria Clementina Timóteo
Parte 2, pág. 20
Considera um triângulo [ABC] tal que AB  AC .
1.
Justifica que os ângulos ABC e ACB são iguais.
2.*
Na figura está representado um triângulo [PQR] em que os
lados [PR] e [QR] são iguais.
2.1 Considera M o ponto médio de [PQ] e une M ao ponto R .
Prova que os triângulos [PMR] e [QMR] são iguais.
2.2 Mostra que os ângulos RPQ e RQP são correspondentes
nos dois triângulos (e portanto iguais).
3.**
Na figura está representado um triângulo [DEF] em que
DÊF = DF̂E .
Prova que DE  DF começando por imaginar que DE  DF
e percorrendo os seguintes passos até chegar a um absurdo:
3.1 Vamos começar por supor que, por exemplo, DE  DF .
a. Prolonga o segmento [DE] traçando um segmento [EA]
de tal forma que DA  DF ; o que podemos afirmar
então acerca dos ângulos DAF e DFA ? Porquê?
b. Completa as seguintes afirmações:
Como DF̂A = AF̂E + … e DF̂E = DÊF então DF̂A … DÊF .
Mas, em a. já tínhamos afirmado que DÂF … DF̂A logo DÂF … DÊF .
c. Como sabes, o ângulo DEF é externo do triângulo [EFA] , então podemos afirmar
que DÊF = … + … .
d. De c. podes concluir que DÂF … DÊF mas em b. já tinhas concluído que
DÂF … DÊF . Que conclusão tiras?
3.2 Imagina agora que DE  DF . Seguindo um raciocínio análogo ao utilizado em a. a
que conclusão chegarias? Porquê?
3.3 O que podemos então concluir acerca de DE e DF ?
GM5-2.12, 3.1 e 7.1
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TEXTO DE APOIO AO PROFESSOR
4.
Justifica que um triângulo equilátero tem os ângulos todos iguais.
5.
Constrói um ângulo de amplitude 60º sem utilizares um transferidor.
6.
Tendo em conta os dados da figura e que A é o ponto de interseção dos segmentos
[EB] e [CD] , determina a medida da amplitude dos ângulos EAD , EDA e CAB .
7.
Na figura está representado um triângulo [ABC] equilátero e um triângulo [CBD]
isósceles.
7.1 Determina a medida da amplitude dos ângulos BCD e BDC .
7.2 Classifica o triângulo [ACD] quanto aos ângulos e justifica.
2
TEXTO DE APOIO AO PROFESSOR
Resposta
1.
Basta aplicar o critério de igualdade de ângulos referido no descritor GM4-2.11,
relembrado a propósito do descritor 1.1.
2.1
Já sabemos que RP  RQ . Também, como M é o ponto médio de [PQ] ,
PM  MQ . Como o lado [RM] é comum aos triângulos [PMR] e [QMR] , pelo
critério LLL, estes triângulos são iguais.
2.2
RP  RQ e PM  MQ , logo os ângulos RPM e RQM são correspondentes nos
triângulos iguais [PMR] e [QMR] . Como os ângulos RPQ e RQP coincidem
respetivamente com estes ângulos, também são iguais.
3.1 a. DÂF = DF̂A porque, num triângulo, a lados iguais opõem-se ângulos iguais.
b. Como DF̂A = AF̂E + DF̂E e DF̂E = DÊF então DF̂A > DÊF . Mas, em a. já tínhamos
afirmado que DÂF = DF̂A , logo DÂF > DÊF .
c. DÊF = DÂF + EF̂A
d. De c. podes concluir que DÂF < DÊF, mas em b. já tinhas concluído que DÂF > DÊF.
A conclusão que tiramos é que chegámos a um absurdo, logo a hipótese que
colocámos no início é falsa, ou seja, não é verdade que DE  DF .
3.2
Chegaria também a um absurdo, porque se pode usar um raciocínio análogo, supondo
que DE  DF e completando [DF] com um segmento [FB] de modo a obter um
segmento igual a [DE] .
3.3
Se é falso que DE  DF e que DE  DF , então DE  DF .
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TEXTO DE APOIO AO PROFESSOR
Descritor: 2.12
No exemplo 2.2, o reconhecimento da recíproca daquela propriedade (bem como da recíproca
da propriedade enunciada no descritor seguinte, 2.13, pode ser efetuado utilizando um
raciocínio pelo absurdo, semelhante ao utilizado no último exemplo de 2.11. Tratando-se de
um processo demonstrativo complexo, não será exigível à generalidade dos alunos.
Se num triângulo dois dos lados forem iguais o critério de igualdade de ângulos permite
concluir imediatamente que os ângulos assinalados na figura, opostos a esses lados, também
são iguais, analisando-se as igualdades de segmentos de reta que permitem aferir a igualdade
dos ângulos:
Esta propriedade, considerada uma das mais elementares da geometria euclidiana tal como
era ensinada na Idade Média, era então designada por pons asinorum ("ponte dos asnos", em
latim, por se considerar que deveria ser uma "ponte" fácil de passar e pela própria forma da
figura que ilustra a propriedade em questão).
Outra construção que por vezes se utiliza para obter este resultado consiste em começar por
tomar o ponto médio do terceiro lado do triângulo (para além dos dois cuja igualdade é
pressuposta).
Traçando o segmento que une o vértice oposto a esse ponto médio obtemos a seguinte figura:
Agora, o critério LLL permite concluir que os triângulos são iguais, notando-se que os ângulos
assinalados são determinados por lados correspondentes iguais, pelo que são iguais.
Esta identificação dos ângulos iguais em triângulos iguais, que foi referida a propósito do
critério LLL (2.9), é abordada de forma sistemática em 2.13.
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TEXTO DE APOIO AO PROFESSOR
Reciprocamente, se num triângulo dois dos ângulos forem iguais, podemos concluir que os
lados opostos são iguais, pois se um deles fosse maior do que o outro poderíamos efetuar a
seguinte construção:
Supondo aqui que AB tinha comprimento maior do que AC poderíamos construir AD com o
mesmo comprimento do que AB nas condições da figura e agora, pela propriedade que
acabámos de justificar, seriam iguais os ângulos assinalados com dois traços (ABD e ADB).
Mas então, por esse motivo, teríamos que a amplitude de ADB seria maior do que a amplitude
de ABC e portanto do que a amplitude de ACB , o que é absurdo, já que ACB é ângulo
externo de um triângulo ([BCD]) de que ADB é ângulo interno não adjacente.
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