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Relações métricas num triângulo qualquer.
Professor: Isaac Pimentel
Assunto: Relações métricas num triângulo qualquer.
1. Para entender melhor as relações obtidas, preciso ter em mente a relação de Pitágoras do triângulo
retângulo:
1. b2  c2  a 2 , onde a é hipotenusa, b e c são catetos.
Usaremos este resultado para provar que todos os triângulos obedecem uma relação comum.
1o) Caso: O triângulo acutângulo.
a
Observando que a altura h divide o triângulo abc nos triângulos retângulo
bnh e mhc.
Assim temos as seguintes relações:
c
2. a  h   b  m  , para o bnh;
2
h
2
2
3. c  h  m , para o mhc;
2
┌ m
2
2
sendo b  m   m  2mb  b temos:
2
b
2
2
De 1 h  a  m  2mb  b , substituindo esse resultado em 2
teremos:
finalmente,
c2  a2  m2  2mb  b2  m2  a 2  b2  2mb ,
depois de agrupada, teremos a equação:
2
2
2
2
a 2  b2  c2  2bm
4.
2o) Caso: O triângulo obtusângulo.
A altura h com o prolongamento do lado m define os triângulos
retângulos amh e cnh.
Assim temos as seguintes relações:
a
c
h
5. a  h   b  m  , para o triângulo amh;
┌
6. c  h  m , para o triângulo cnh.
2
Sendo b  m   b2  2bm  m2 temos:
2
2
b
m
2
2
2
2
De 3 h  a  b  2bn  n , substituindo em esse resultado em 4
teremos:
c2  a2  b2  2bm  m2  m2  a2  b2  2bm , finalmente,
depois de agrupada, teremos a equação:
2
2
2
2
7.
a 2  b2  c2  2bm
Essas duas expressões tornam-se uma só, quando usamos a relação trigonométrica cosseno.
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