Estatística Probabilidades Probabilidades Eventos: A, B são EXCLUDENTES ? • NÃO: • SIM: P( A B) P( A) P( B) P( A B) P( A B) P( A) P( B) P( A B) 0 Eventos: A, B são INDEPENDENTES ? • NÃO: P( A B) P( B / A) P( A) P( A / B) P( B) • SIM: P( A B) P( B) P( A) P( B / A) P( B) P( A / B) P( A) Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores, registrou que 650 deles trabalham com cartões de crédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalham com cartões de crédito da bandeira VISA e que 200 trabalham com cartões de crédito de ambas as bandeiras. Qual a probabilidade de ao escolhermos deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser também um dos consumidores que utilizam cartões de crédito da bandeira MasterCard? Evento A Pr[A B] 200 4 Pr[A | B] Pr[B] 550 11 Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e 90% dos dias em que faz bom tempo. Chove 10% dos dias. Tendo havido previsão de chuva, qual a probabilidade de chover? PC: meteorologista previu chuva S: dia de sol Pr[PC/C]=0,8 PS: meteorologista previu sol C: dia de chuva Pr[PS/S]=0,9 Pr[C/PC]=? Pr[C]=0,1 Pr[C | PC] Pr[S]=0,9 0,8 * 0,1 Pr[PC C ] Pr[PC | C ] Pr[C ] 0,8 * 0,1 0,4705 Pr[PC] 0,17 P r[PC] Pr[PC] Pr[PC] Pr[PC C ] Pr[PC S ] Pr[PC | C ] Pr[C ] Pr[PC | S ] Pr[S ] Pr[PC | C ] Pr[C ] {1 Pr[PS | S ]}Pr[S ] =0,8*0,1+(1-0,9)*0,9=0,17 Dois por cento dos Tablets recebidos pelo Wal-Mart são defeituosos. Um teste realizado no Wal-Mart fornece 2% de falso bom e 5% de falso defeituoso. As unidades reprovadas no teste são vendidas para uma empresa de recuperação, que recupera 90% das unidades defeituosas e não estraga as unidades boas. Um comprador adquire um Tablet da empresa de recuperação. Ele não tem defeito. Qual a probabilidade da unidade adquirida ter sido uma unidade defeituosa que foi recuperada? 0,02 D 0,02 0,98 0,98 B 0,05 A R UFB Dois por cento dos Tablets recebidos pelo Wal-Mart são defeituosos. Um teste realizado no Wal-Mart fornece 2% de falso bom e 5% de falso defeituoso. As unidades reprovadas no teste são vendidas para uma empresa de recuperação, que recupera 90% das unidades defeituosas e não estraga as unidades boas. Um comprador adquire um Tablet da empresa de recuperação. Ele não tem defeito. Qual a probabilidade da unidade adquirida ter sido uma unidade defeituosa que foi recuperada? 0,02 D 0,02 0,98 0,98 B 0,05 A R P[ D |UFB] UFB 0,02 D 0,02 0,98 B 0,98 A R P[ D |UFB] UFB 0,05 P[ D | UFB] P[UFB D] / P[UFB] UFB (UFB D)U (UFB B) P(UFB D) P(UFB | D) P( D R) P(UFB | D) P( R | D) P( D) 0,90* 0,98* 0,02 P(UFB B) P(UFB | B) P( B R) P(UFB | B) P( R | B) P( B) 1,0 * 0,05* 0,98 Teorema de Bayes Considere a partição B1, B2 , ... , Bk : P(Bi /A) = ? B2 A Bi P(Bi /A) = P(Bi A) P(Bi A) P(A) P(A B1) + ... + P(A Bk ) P(A/Bi ) P(Bi ) P(A/B1) P(B1) + ... + P(A/Bk ) P(Bk ) BK ExeMPLO: Peças são produzidas por 3 fábricas (1,2,3) e armazenadas num único depósito P( B ) 1 2 1 P ( B3 ) 4 1 Fábrica 1 produz o dobro da Fábrica 2 P ( B2 ) Fábrica 2 produz igual a Fábrica 3 1 4 Bi={peça Fábrica i} , i =1, 2 Fábricas 1 e 2 produzem 2%de peças defeituosas Fábrica 3 produz 4% de peças defeituosas A={peça defeituosa} P ( A / B1 ) 0,02 P ( A / B3 ) 0,04 P ( A / B2 ) 0,02 Uma peça é retirada do depósito , ao acaso. Sabendo-se que a peça é defeituosa , qual a probabilidade que seja da Fábrica 1? P( B / A) ? 1 P( B1 / A) P( A / B1 ) P( B1 ) P( A / B1 ) P( B1 ) P( A / B2 ) P( B2 ) P( A / B3 ) P( B3 ) P( B1 / A) (0,02) (1/ 2) 0,4 (0,02) (1/ 2) (0,02) (1/ 4) (0,04) (1 / 4)